第7章 认识概率（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

第7章 认识概率 教学目标 1.认识三类事件，建立确定性与随机性的区分意识；能结合具体情境准确判断事件类型，是本章的基础能力。 2.理解概率的意义，掌握其基本性质‌，概率是用来刻画随机事件发生可能性大小的数值。 3.掌握简单等可能事件的概率计算方法；‌在所有结果等可能的前提下，若一次试验有n种等可能结果，事件A包含其中m种，则 P(A) =m/n。​ 4.理解频率与概率的关系，学会用频率估计概率‌，这是从实验走向理论的关键桥梁。 5.能运用概率知识解决简单实际问题‌，提升数学建模与应用能力。 教学重难点 1. 重点 （1）理解概率的本质与现实意义‌：概率不是“一定会发生”的保证，而是对可能性的量化描述； （2）理解频率与概率的区别与联系。 2. 难点 （1）用频率估计概率的思想建构与应用‌，学生常误认为“一次试验的频率就是概率”； （2）理解“频率的稳定性”是最大认知难点。 考点01 事件的分类 不可能事件：在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定不会发生，这样的事件是不可能事件（impossible event）。 必然事件：在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定会发生，这样的事件是必然事件（certain event）。 随机事件：在一定条件下，很多事件我们事先不能确定它会不会发生，这样的事件是随机事件（random event）。 【题型1】确定事件（不可能与必然事件） 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列事件中，属于必然事件的是（  ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．抛一枚硬币，正面朝上 【答案】C 【详解】解：A选项：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数可能为1、2、3、4、5、6中的任意一个，因此点数为6是可能发生也可能不发生的随机事件； B选项：射击运动员射击一次，可能命中靶心也可能不命中靶心，属于随机事件； C选项：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都为，这是一定会发生的事件，属于必然事件； D选项：抛一枚硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，属于随机事件；故选：C． 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．购买1张彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．温度降到以下，纯净的水结冰 D．汽车累积行驶，从未出现故障 【答案】C 【详解】解：A、“购买1张彩票，中奖”是随机事件，故本选项不符合题意； B、“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件，故本选项不符合题意； C、“温度降到以下，纯净的水结冰”是必然事件，故本选项符合题意； D、“汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故本选项不符合题意．故选：C． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）下列事件是确定性事件的是（   ） A．打开电视机，正在播电视剧 B．小明坚持体育锻炼，今后会成为奥运冠军 C．太阳从西边升起 D．13个同学中，恰有2人出生的月份相同 【答案】C 【详解】解：∵太阳总是从东边升起，∴太阳从西边升起是不可能事件，即确定性事件． 对于A：打开电视机可能播电视剧，也可能播其他节目，是不确定事件． 对于B：小明坚持体育锻炼不一定成为奥运冠军，是不确定事件． 对于D：13个同学出生月份有12种可能，根据鸽巢原理，至少两人同月，但“恰有2人”不一定成立（如可能有多人同月），是不确定事件．故选：C． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）“煮熟的鸭子飞了”，从数学的观点看，这句俗语中描述的事件是（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件， ∵煮熟的鸭子不具备飞行能力，“煮熟的鸭子飞了”这一事件在现实中一定不会发生， ∴该事件是不可能事件，故选：． 5．（25-26九年级上·江苏南通·期末）在下列事件中，不可能事件是（   ） A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．任意画一个圆，它是轴对称图形 C．从只有红球的袋子中摸出黄球 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【详解】解：掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是可能发生的随机事件，故A不符合题意； 任意画一个圆，它一定是轴对称图形，属于必然事件，故B不符合题意； 袋子中只有红球，必然无法摸出黄球，该事件是不可能事件，故C符合题意； 射击运动员射击一次，命中靶心是可能发生的随机事件，故D不符合题意，故选：C． 6．（25-26九年级上·山西长治·期末）下列说法正确的是（   ） A．“打开手机，微信有新消息”是必然事件 B．“购买1张中奖率是的彩票中奖”是不可能事件 C．“打开电视正在播放《新闻联播》”是不可能事件 D．“50个人中有2个人的生日相同”是随机事件 【答案】D 【详解】解： “打开手机，微信有新消息”可能发生也可能不发生，是随机事件，不是必然事件，故A错误． “购买1张中奖率是1%的彩票中奖”可能发生，是随机事件，不是不可能事件，故B错误． “打开电视正在播放《新闻联播》”可能发生，是随机事件，不是不可能事件，故C错误． “50个人中有2个人的生日相同”可能发生也可能不发生，是随机事件，故D正确．故选：D． 【题型2】随机事件 7．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（    ） A．守株待兔 B．画饼充饥 C．水中捞月 D．拔苗助长 【答案】A 【详解】解：“守株待兔”的结果不确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件；故A符合题意； “画饼充饥”“水中捞月”“拔苗助长”均违背客观规律，是一定不会发生的不可能事件，故B、C、D不符合题意． 故选：A． 8．（25-26九年级上·重庆南川·期末）下列事件是随机事件的是（   ） A．抛出的篮球会下落 B．明天会下雨 C．任意三角形，其内角和是 D．太阳从东方升起 【答案】B 【详解】解：A选项抛出的篮球会下落是必然事件；B选项明天会下雨是随机事件； C选项任意三角形内角和是是不可能事件；D选项太阳从东方升起是必然事件；故选：B． 9．（25-26九年级上·河南周口·期末）“连掷四次骰子都得到5点，则第5次得到5点”这一事件是（   ） A．必然事件 B．确定事件 C．随机事件 D．不可能事件 【答案】C 【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，确定事件包含必然事件与不可能事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． ∵每次掷骰子的结果相互独立，前四次的结果不会影响第五次的结果． ∴第5次掷骰子可能得到5点，也可能得不到5点．∴该事件是随机事件，故选：C． 10．（25-26九年级上·江西上饶·期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 【答案】B 【详解】解：A．旭日东升是必然会发生的自然现象，属于必然事件，不符合题意； B．萍水相逢指偶然相遇，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合题意； C．瓮中捉鳖是肯定能达成的事件，属于必然事件，不符合题意； D．天方夜谭指不可能发生的事情，属于不可能事件，不符合题意．故选：B． 考点02 概率 概率：我们把用于度量一个随机事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率（probability）。 概率的表示：若用字母A表示一个事件，那么P（A）表示事件A发生的概率。 随机事件与概率的关系： 必然事件A 发生的概率是1，记作P（A）=1； 不可能事件A 发生的概率是0，记作P（A）=0； 随机事件A 发生的概率P（A）是0和1之间的数。 【题型1】概率的意义理解 11．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）若气象部门预报明天下雨的概率是，下列说法正确的是（   ） A．明天一定不会下雨 B．明天下雨的可能性比较小 C．明天下雨的可能性比较大 D．明天一定会下雨 【答案】C 【详解】解：若气象部门预报明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大；故选C． 12．（24-25八年级·江苏·专题练习）某商家搞营销活动，顾客买商品后抽奖券，中奖概率为．对“中奖概率为”这句话，下列理解正确的是（    ） A．抽1张奖券肯定不会中奖 B．抽10张奖券肯定有2张奖券中奖 C．抽1张奖券也可能会中奖 D．抽10张奖券至少有1张奖券中奖 【答案】C 【详解】解：A、抽张奖券可能会中奖，故A不正确； B、 抽张奖券不一定有2张中奖，故B不正确；C、抽张奖券也可能会中奖 ，故C正确； D、抽张奖券可能没有奖券中奖 ，故D不正确；故选：C． 13．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）某地的天气预报中说：“明天的降水概率是．”根据这个预报，下面第（    ） 种说法是正确的． A．明天这个地区的时间会下雨 B．明天这个地区的地方下雨 C．明天这个地区下雨的可能性不大 D．明天这个地区下雨的可能性是 【答案】D 【详解】∵降水概率的含义是指某地区下雨的可能性大小． ∴选项中“的时间下雨”、选项中“的地方下雨”均错误． ∵的概率说明下雨可能性较大．∴选项错误． ∵降水概率即表示明天该地区下雨的可能性是．∴选项正确．故选：D． 14．（25-26九年级上·云南昭通·期末）下列说法正确的是（   ） A．买中奖率为的奖券100张，一定会中奖 B．“同旁内角互补”是必然事件 C．连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次正面向上，则抛掷一枚硬币正面向上的概率为 D．某校有3000名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有80名学生表示喜欢的项目是打羽毛球，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为羽毛球的学生约有1200人 【答案】D 【详解】解：选项A：中奖率为1%是指每张奖券中奖的可能性为1%，买100张奖券也有可能不中奖，A选项错误，不符合题意； 选项B：只有两直线平行时同旁内角才互补，否则同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”是随机事件，B选项错误，不符合题意； 选项C：抛掷质地均匀的硬币，正面向上的概率是固定的，是此次试验的频率，不是概率，C选项错误，不符合题意； 选项D：用样本估计总体，该校喜欢羽毛球的学生约有人，D选项正确，符合题意； 故选：D． 15．（25-26九年级上·广东惠州·期末）下列说法正确的是（   ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C．一个事件发生的概率可能为200% D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 【答案】A 【详解】解：∵ 概率表示事件发生的可能性，降水概率即指明天下雨的可能性是，∴ A正确； ∵ 硬币抛掷是随机事件，出现反面的概率为，但实际次数不一定为50次，∴ B错误； ∵ 概率的取值范围是到，不可能为，∴ C错误； ∵ 彩票中奖是独立事件，中奖概率并不保证买100张一定中奖，∴ D错误．故选：A． 【题型2】事件可能性的大小比较 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（　 　） A．点数是奇数 B．点数是3的倍数 C．点数大于5 D．点数小于5 【答案】D 【详解】A．∵奇数有1，3，5共3个，∴点数是奇数的概率为； B．∵3的倍数的数有3，6，∴点数是3的倍数的概率为； C．∵点数大于5的数有6共1个，∴点数大于5的概率为； D．∵点数小于5的数有1，2，3，4共4个，∴点数小于5的概率为； ∵，∴发生可能性最大的是点数小于5．故选D． 17．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 【答案】D 【详解】解：，蝴蝶琥珀昆虫吊坠最多，蝎子琥珀昆虫吊坠最少， 菲菲随机领取一个盲袋，领取蝴蝶的可能性最大，蝎子的可能性最小，故选：D． 18．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 【答案】D 【详解】解：7张卡片中，数字1有4张，数字2有1张，数字3有2张， 因此摸出卡片1、2、3的可能性分别为：，，， 随意摸出一张，不一定能摸出，故 A选项描述错误； 随意摸出一张，可能摸出，故 B选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最小，故 C选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最大，故D选项描述正确；故选：D． 19．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在一个不透明的袋子中有2个红球，3个白球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，将球摇匀后，从袋子中任意摸出一个球，摸到______球的可能性最大． 【答案】黑 【详解】解：根据题意，袋子中共10个球，其中有2个红球，3个白球和5个黑球，故将球摇匀，从中任取1球，每个球被摸到的可能性相同， ∴摸到红球的可能性为，摸到白球的可能性为，摸到黑球的可能性为， ∴摸到黑球的可能性最大．故答案为：黑 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）掷一枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，下列事件：①向上一面的点数为正数；②向上一面的点数是3的倍数；③向上一面的点数是偶数；④向上一面的点数是两位数．其中按发生的可能性从小到大的顺序排列为________________（填序号）． 【答案】④②③① 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，每个面出现的概率均为． 事件①：向上一面的点数为正数，是必然事件，概率为1； 事件②：向上一面的点数是3的倍数，有2种可能（点数为3和6），概率为； 事件③：向上一面的点数是偶数，有3种可能（点数为2，4，6），概率为； 事件④：向上一面的点数是两位数，不可能事件，概率为0． 因此，概率从小到大为0，，，1，对应事件顺序为④，②，③，①．故答案为：④②③①． 【题型3】求事件的概率 21．（25-26九年级上·四川广元·期末）将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，将这枚硬币再抛掷一次，第5次正面朝上的可能性是________． 【答案】 【详解】解：∵硬币质地均匀，∴每次抛掷正面朝上的概率均为， ∵各次抛掷相互独立，∴第5次正面朝上的概率为．故答案为：． 22．（24-25九年级上·广西防城港·月考）不透明的口袋中有质地、大小、质量相同的白球和红球若干个，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则从袋中随机摸出一个白球的概率是_______． 【答案】 【详解】解：∵随机摸红球的概率为； ∴随机摸出一个白球的概率为：；故答案为：． 23．（25-26八年级上·北京昌平·期末）为了宣传某学校初二年级学生中的优秀典型，学校团委组成了宣讲团，成员为初二年级六个班的宣传委员，包括2名男生和4名女生，利用每天的早广播时间随机抽取一名宣讲团成员作为广播员，开展主题宣传活动． （1）“随机抽取1人，初二（1）班的宣传委员恰好被抽中”是________事件； A．不可能    B．必然    C．随机 （2）广播员恰好是男生的可能性是___________． 【答案】 C 【详解】解：（1）“随机抽取1人，初二（1）班的宣传委员恰好被抽中”是随机事件，故选： C （2）总共有6人，男生有2人，∴广播员恰好是男生的可能性是，故答案为： 24．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是__________． 【答案】 【详解】解：∵有5张形状、大小、材质均相同的卡片，滑冰项目图案的有速度滑冰和花样滑冰， ∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑冰项目的可能性是，故答案为：． 25．（2025七年级上·广东·专题练习）一个盒子里装有3个红球、4个黄球、5个白球和6个黑球，这些球形状与大小完全相同．从盒子中任意摸一个球，摸到（ ）球的可能性是． A．红 B．黄 C．白 D．黑 【答案】D 【详解】解：因为，红球3个，黄球4个，白球5个，黑球6个，所以，总数为个． 摸到红球的可能性是：；摸到黄球的可能性是：；摸到白球的可能性是： 摸到黑球的可能性是：；所以，黑球的可能性为，故选：D． 【题型4】改变事件的概率 26．（24-25八年级上·山东德州·期末）已知一条不透明的袋子里装有20个橘子和若干个苹果．若任意摸一个，要使摸到的苹果的可能性大，袋子里至少装（   ）个苹果． A．20 B．19 C．21 D．22 【答案】C 【详解】解：∵一条不透明的袋子里装有20个橘子和若干个苹果．若任意摸一个，要使摸到的苹果的可能性大，∴袋子里至少装21个苹果，故选：C． 27．（24-25七年级上·福建漳州·开学考试）口袋里有红、绿、黄三种大小外形相同的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个球，摸到绿球的可能性是，则摸到黄球的可能性是______． 【答案】 【详解】解：根据题意，得球总数为：（个），故黄球有（个）， 故摸出一个黄球的可能性是：，答：提出一个黄球的可能性是．故答案为：． 28．（24-25九年级上·广东·专题练习）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 _______个面涂了黄色． 【答案】4 【详解】解：一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多．如果每种颜色朝上的数量都一样多，则红、黄、绿各涂2个面， 但现在黄色朝上的次数最多，而红色和绿色朝上的次数要一样多， 因此只能是红色、绿色各1个面，黄色涂4个面．故答案为：4． 29．（24-25七年级上·福建福州·开学考试）在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有______个黑球． 【答案】7 【详解】解：∵8个绿球，绿球的可能性小于， 球的总数大于24，至少有个黑球．故答案为：7． 考点03 概率与频率 在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，我们把这种现象称为频率的稳定性，并且用这个频率的稳定值作为该随机事件的概率。 概率是对随机事件发生可能性大小的一种度量。在大量重复试验中，随机事件发生的频率具有稳定性。实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率估计概率。 【题型1】频率与概率的关系（概念型） 30．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近.∴ 选项D正确. 故选：D. 31．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。故选：B． 32．（24-25七年级下·辽宁阜新·期末）关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（    ） A．事件发生的频率就是它发生的概率 B．在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率 C．事件发生的频率与它发生的概率无关 D．随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动 【答案】D 【详解】解：事件发生的频率不一定是它发生的概率；故A错误； 在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率；故B错误； 事件发生的频率与它发生的概率是有关系的，故C错误； 随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动；故D正确；故选：D． 【题型2】频率估计概率 34．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）信阳被誉为“中国毛尖之都”，当地茶科院为研究信阳毛尖新品种茶树的移栽成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 估计这一类信阳毛尖新品种茶树成活的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵随着移植总数的增大，成活率的数值逐渐稳定在左右， ∴估计这类信阳毛尖新品种茶树成活的概率为．故选：C． 35．（2025·山东潍坊·一模）如图，用计算机模拟随机投掷一枚啤酒瓶盖的实验结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（   ）（多选题） A．当投掷次数是1000时，“凸面向上”的次数为443 B．当投掷第1000次时，“凸面向上”的概率是0.443 C．随着实验次数的增加，“凸面向上”的频率趋近于0.440，故可以估计其概率是0.440 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443 【答案】AC 【详解】解：A、当投掷次数是1000时，“凸面向上”的频数是0.443，则“凸面向上”的次数是正好是443，故正确，符合题意； B、当投掷第1000次时，“凸面向上”的频数是0.443，故错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“凸面向上”的频率趋近于0.440，故可以估计其概率是0.440，正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率不一定是0.443，故错误，不符合题意．故选：AC． 36．（25-26九年级上·广东广州·期末）赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为________．（结果精确到） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值 【答案】 【详解】解：由表可知，当累计抽测学生数时，喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值为，且其他数值如、400、600时比值均为，表明频率稳定在附近，因此估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为．故答案为：． 37．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）“头盔是家校路的守护罩”，社区安全志愿队对家长骑电瓶车接送孩子时使用的头盔合格情况抽样检查，结果如下表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 900 1000 2000 合格的头盔数 98 193 292 484 873 970 1940 合格头盔的频率 0.980 0.965 0.973 0.968 0.970 0.970 0.970 如果从家长常用的电瓶车头盔中任取一个，则该头盔合格的概率为______________（精确到0.01）． 【答案】0.97 【详解】从表格数据可知，当抽查数量为900、1000和2000时，合格头盔的频率均为0.970， 且随着增大，频率趋于稳定，因此该头盔合格的概率为0.97．故答案为：0.97． 38．（25-26九年级上·北京海淀·期末）小明遇到下面的问题：在一个平面上一组间距为的平行线，将一根长度为的针随机投掷在这个平面上，试估计针与直线相交的概率．小明结合信息课中人工智能的相关知识，利用某智能体模型做了模拟试验，试验结果如下表： 试验次数n 50 100 200 300 500 1000 2000 4000 相交频数m 26 45 93 144 242 481 955 1916 相交频率 0.520 0.450 0.465 0.480 0.484 0.481 0.478 0.479 根据表中的数据，估计针与直线相交的概率为____（精确到0.01）． 【答案】0.48 【详解】根据大量试验中频率的稳定性，当试验次数增加时，相交频率趋于稳定在0.48附近，因此估计概率为0.48，故答案为：0.48． 39．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验．探究盖面朝上的概率．整理的实验数据如下表： 抛掷次数 50 500 1000 3000 5000 朝上次数 27 264 527 1587 2650 朝上频率 下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的； ②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近． 其中正确的是____________．（填序号） 【答案】①③/③① 【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多于累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确； ②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近，故正确．故答案为：①③． 【题型3】频率估计概率的运用 40．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【详解】解：设红球有x个，由题意可得，，解得：， 经检验：是方程的解，故选：C． 41．（25-26九年级上·广东汕头·月考）二维码在日常生活中被广泛应用．如图，兴趣小组将二维码打印在面积为的正方形纸片上，利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.4左右，据此估计此二维码中黑色阴影的面积为________． 【答案】/40平方厘米 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为， 故答案为：． 42．（25-26九年级上·四川成都·期末）一只不透明的袋中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.2，则袋中约有红球______个． 【答案】40 【详解】解：由题意可得，可估计摸到白球的概率是0.2， 所以袋中约有红球（个）．故答案为：40． 43．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为______． 【答案】5.4 【详解】解：的面积约为，故答案为：． 44．（24-25九年级上·浙江温州·月考）实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影部分）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点的情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表： 数据分析： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地上的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 (1)通过各组实验可以发现，石子落在草地上的概率大约是 ． (2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着投掷次数的增多，石子落在草地内的频率稳定在左右，所以石子落在草地内的概率大约是．故答案为：． （2）解：∵长方形的面积为，石子落在草地内的概率大约是， ∴草地的面积大约为：． 【题型4】频率估计概率综合 45．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题：(1)上表中，_____，_____；(2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1）；(3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)，1802(2)(3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9.故答案为：0.9. （3）解：（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗. 46．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ；(2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1)0.962，0.96；(2)0.96；(3)14400只． 【详解】（1）解：，，故答案为：0.962，0.96； （2）解：从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96．故答案为：0.96 （3）解：这批公仔中优等品大约有（只）， 答：估计这批公仔中优等品大约有14400只． 47．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）某学校七年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“书画”区域的次数 落在“书画”区域的频率 (1)完成上述表格：_____；______；(2)请估计当次数很大时，频率将会接近______（精确到），假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是_______（精确到）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度? 【答案】(1)，(2)，(3) 【详解】（1）解：，，故答案为：，； （2）当次数很大时，频率将会接近，获得“书画”奖品的概率约是，故答案为：，； （3）标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是． 48．（24-25七年级下·广东深圳·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________；(2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117(2)(3)棵 【详解】（1）解：，；故答案为：117；； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为，所以这种油菜籽发芽的概率估计值是， （精确到）；故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 49．（24-25九年级下·福建厦门·期中）大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 【答案】(1)万件(2)每件衬衣至少需要定价元 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着抽检数量的增多，合格衬衣的频数稳定在左右，所以抽取一件衬衫是合格衬衣的概率为，因此抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有：（万件）； （2）解：设每件衬衣需要定价x元，根据题意得： ，解得：， 答：每件衬衣至少需要定价元． 50．（24-25九年级上·北京·期中）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．表格是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 （结果保留小数点后两位） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70    (1)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_________；（结果保留小数点后一位）；(2)铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用． 【答案】(1)(2)5000元 【详解】（1）转动该转盘一次,获得铅笔的概率约为，故答案为：； （2）元， 所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 认识概率 教学目标 1.认识三类事件，建立确定性与随机性的区分意识；能结合具体情境准确判断事件类型，是本章的基础能力。 2.理解概率的意义，掌握其基本性质‌，概率是用来刻画随机事件发生可能性大小的数值。 3.掌握简单等可能事件的概率计算方法；‌在所有结果等可能的前提下，若一次试验有n种等可能结果，事件A包含其中m种，则 P(A) =m/n。​ 4.理解频率与概率的关系，学会用频率估计概率‌，这是从实验走向理论的关键桥梁。 5.能运用概率知识解决简单实际问题‌，提升数学建模与应用能力。 教学重难点 1. 重点 （1）理解概率的本质与现实意义‌：概率不是“一定会发生”的保证，而是对可能性的量化描述； （2）理解频率与概率的区别与联系。 2. 难点 （1）用频率估计概率的思想建构与应用‌，学生常误认为“一次试验的频率就是概率”； （2）理解“频率的稳定性”是最大认知难点。 考点01 事件的分类 不可能事件：在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定不会发生，这样的事件是不可能事件（impossible event）。 必然事件：在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定会发生，这样的事件是必然事件（certain event）。 随机事件：在一定条件下，很多事件我们事先不能确定它会不会发生，这样的事件是随机事件（random event）。 【题型1】确定事件（不可能与必然事件） 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列事件中，属于必然事件的是（  ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．抛一枚硬币，正面朝上 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．购买1张彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．温度降到以下，纯净的水结冰 D．汽车累积行驶，从未出现故障 3．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）下列事件是确定性事件的是（   ） A．打开电视机，正在播电视剧 B．小明坚持体育锻炼，今后会成为奥运冠军 C．太阳从西边升起 D．13个同学中，恰有2人出生的月份相同 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）“煮熟的鸭子飞了”，从数学的观点看，这句俗语中描述的事件是（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定 5．（25-26九年级上·江苏南通·期末）在下列事件中，不可能事件是（   ） A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．任意画一个圆，它是轴对称图形 C．从只有红球的袋子中摸出黄球 D．射击运动员射击一次，命中靶心 6．（25-26九年级上·山西长治·期末）下列说法正确的是（   ） A．“打开手机，微信有新消息”是必然事件 B．“购买1张中奖率是的彩票中奖”是不可能事件 C．“打开电视正在播放《新闻联播》”是不可能事件 D．“50个人中有2个人的生日相同”是随机事件 【题型2】随机事件 7．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（    ） A．守株待兔 B．画饼充饥 C．水中捞月 D．拔苗助长 8．（25-26九年级上·重庆南川·期末）下列事件是随机事件的是（   ） A．抛出的篮球会下落 B．明天会下雨 C．任意三角形，其内角和是 D．太阳从东方升起 9．（25-26九年级上·河南周口·期末）“连掷四次骰子都得到5点，则第5次得到5点”这一事件是（   ） A．必然事件 B．确定事件 C．随机事件 D．不可能事件 10．（25-26九年级上·江西上饶·期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 考点02 概率 概率：我们把用于度量一个随机事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率（probability）。 概率的表示：若用字母A表示一个事件，那么P（A）表示事件A发生的概率。 随机事件与概率的关系： 必然事件A 发生的概率是1，记作P（A）=1； 不可能事件A 发生的概率是0，记作P（A）=0； 随机事件A 发生的概率P（A）是0和1之间的数。 【题型1】概率的意义理解 11．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）若气象部门预报明天下雨的概率是，下列说法正确的是（   ） A．明天一定不会下雨 B．明天下雨的可能性比较小 C．明天下雨的可能性比较大 D．明天一定会下雨 12．（24-25八年级·江苏·专题练习）某商家搞营销活动，顾客买商品后抽奖券，中奖概率为．对“中奖概率为”这句话，下列理解正确的是（    ） A．抽1张奖券肯定不会中奖 B．抽10张奖券肯定有2张奖券中奖 C．抽1张奖券也可能会中奖 D．抽10张奖券至少有1张奖券中奖 13．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）某地的天气预报中说：“明天的降水概率是．”根据这个预报，下面第（    ） 种说法是正确的． A．明天这个地区的时间会下雨 B．明天这个地区的地方下雨 C．明天这个地区下雨的可能性不大 D．明天这个地区下雨的可能性是 14．（25-26九年级上·云南昭通·期末）下列说法正确的是（   ） A．买中奖率为的奖券100张，一定会中奖 B．“同旁内角互补”是必然事件 C．连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次正面向上，则抛掷一枚硬币正面向上的概率为 D．某校有3000名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有80名学生表示喜欢的项目是打羽毛球，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为羽毛球的学生约有1200人 15．（25-26九年级上·广东惠州·期末）下列说法正确的是（   ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C．一个事件发生的概率可能为200% D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 【题型2】事件可能性的大小比较 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（　 　） A．点数是奇数 B．点数是3的倍数 C．点数大于5 D．点数小于5 17．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 18．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 19．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在一个不透明的袋子中有2个红球，3个白球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，将球摇匀后，从袋子中任意摸出一个球，摸到______球的可能性最大． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）掷一枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，下列事件：①向上一面的点数为正数；②向上一面的点数是3的倍数；③向上一面的点数是偶数；④向上一面的点数是两位数．其中按发生的可能性从小到大的顺序排列为________________（填序号）． 【题型3】求事件的概率 21．（25-26九年级上·四川广元·期末）将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，将这枚硬币再抛掷一次，第5次正面朝上的可能性是________． 22．（24-25九年级上·广西防城港·月考）不透明的口袋中有质地、大小、质量相同的白球和红球若干个，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则从袋中随机摸出一个白球的概率是_______． 23．（25-26八年级上·北京昌平·期末）为了宣传某学校初二年级学生中的优秀典型，学校团委组成了宣讲团，成员为初二年级六个班的宣传委员，包括2名男生和4名女生，利用每天的早广播时间随机抽取一名宣讲团成员作为广播员，开展主题宣传活动． （1）“随机抽取1人，初二（1）班的宣传委员恰好被抽中”是________事件； A．不可能    B．必然    C．随机 （2）广播员恰好是男生的可能性是___________． 24．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是__________． 25．（2025七年级上·广东·专题练习）一个盒子里装有3个红球、4个黄球、5个白球和6个黑球，这些球形状与大小完全相同．从盒子中任意摸一个球，摸到（ ）球的可能性是． A．红 B．黄 C．白 D．黑 【题型4】改变事件的概率 26．（24-25八年级上·山东德州·期末）已知一条不透明的袋子里装有20个橘子和若干个苹果．若任意摸一个，要使摸到的苹果的可能性大，袋子里至少装（   ）个苹果． A．20 B．19 C．21 D．22 27．（24-25七年级上·福建漳州·开学考试）口袋里有红、绿、黄三种大小外形相同的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个球，摸到绿球的可能性是，则摸到黄球的可能性是______． 28．（24-25九年级上·广东·专题练习）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 _______个面涂了黄色． 29．（24-25七年级上·福建福州·开学考试）在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有______个黑球． 考点03 概率与频率 在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，我们把这种现象称为频率的稳定性，并且用这个频率的稳定值作为该随机事件的概率。 概率是对随机事件发生可能性大小的一种度量。在大量重复试验中，随机事件发生的频率具有稳定性。实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率估计概率。 【题型1】频率与概率的关系（概念型） 30．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 31．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 32．（24-25七年级下·辽宁阜新·期末）关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（    ） A．事件发生的频率就是它发生的概率 B．在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率 C．事件发生的频率与它发生的概率无关 D．随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动 【题型2】频率估计概率 34．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）信阳被誉为“中国毛尖之都”，当地茶科院为研究信阳毛尖新品种茶树的移栽成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 估计这一类信阳毛尖新品种茶树成活的概率为（   ） A． B． C． D． 35．（2025·山东潍坊·一模）如图，用计算机模拟随机投掷一枚啤酒瓶盖的实验结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（   ）（多选题） A．当投掷次数是1000时，“凸面向上”的次数为443 B．当投掷第1000次时，“凸面向上”的概率是0.443 C．随着实验次数的增加，“凸面向上”的频率趋近于0.440，故可以估计其概率是0.440 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443 36．（25-26九年级上·广东广州·期末）赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为________．（结果精确到） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值 37．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）“头盔是家校路的守护罩”，社区安全志愿队对家长骑电瓶车接送孩子时使用的头盔合格情况抽样检查，结果如下表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 900 1000 2000 合格的头盔数 98 193 292 484 873 970 1940 合格头盔的频率 0.980 0.965 0.973 0.968 0.970 0.970 0.970 如果从家长常用的电瓶车头盔中任取一个，则该头盔合格的概率为______________（精确到0.01）． 38．（25-26九年级上·北京海淀·期末）小明遇到下面的问题：在一个平面上一组间距为的平行线，将一根长度为的针随机投掷在这个平面上，试估计针与直线相交的概率．小明结合信息课中人工智能的相关知识，利用某智能体模型做了模拟试验，试验结果如下表： 试验次数n 50 100 200 300 500 1000 2000 4000 相交频数m 26 45 93 144 242 481 955 1916 相交频率 0.520 0.450 0.465 0.480 0.484 0.481 0.478 0.479 根据表中的数据，估计针与直线相交的概率为____（精确到0.01）． 39．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验．探究盖面朝上的概率．整理的实验数据如下表： 抛掷次数 50 500 1000 3000 5000 朝上次数 27 264 527 1587 2650 朝上频率 下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的； ②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近． 其中正确的是____________．（填序号） 【题型3】频率估计概率的运用 40．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．20 41．（25-26九年级上·广东汕头·月考）二维码在日常生活中被广泛应用．如图，兴趣小组将二维码打印在面积为的正方形纸片上，利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.4左右，据此估计此二维码中黑色阴影的面积为________． 42．（25-26九年级上·四川成都·期末）一只不透明的袋中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.2，则袋中约有红球______个． 43．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为______． 44．（24-25九年级上·浙江温州·月考）实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影部分）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点的情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表： 数据分析： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地上的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 (1)通过各组实验可以发现，石子落在草地上的概率大约是 ． (2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 【题型4】频率估计概率综合 45．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题：(1)上表中，_____，_____；(2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1）；(3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 46．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ；(2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 47．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）某学校七年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“书画”区域的次数 落在“书画”区域的频率 (1)完成上述表格：_____；______；(2)请估计当次数很大时，频率将会接近______（精确到），假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是_______（精确到）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度? 48．（24-25七年级下·广东深圳·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________；(2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 49．（24-25九年级下·福建厦门·期中）大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 50．（24-25九年级上·北京·期中）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．表格是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 （结果保留小数点后两位） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70    (1)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_________；（结果保留小数点后一位）；(2)铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $