重庆市南开中学校2025-2026学年高三下学期3月质量检测数学试题

重庆市南开中学高 2026 届高三年级3月质量检测 数学试题 注意事项: 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若复数 ( 为虚数单位),则 的虚部为 A. B. 2i C. 2 D. -2 2. 已知非空集合 ,若 是 的充分不必要条件, 则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 3. 某市高三年级男生身高 近似服从正态分布 ,若 ,则 A. 0.65 B. 0.85 C. 0.15 D. 0.3 4. 直线 被圆 所截得的最短弦长为 A. B. C. D. 5. 关于函数 ,下列说法不正确的是 A. 是偶函数 B. 最大值为 2 C. 最小值为 -2 D. 不是周期函数 6. 是定义在 上的函数,且对 均有: ,若 ,实数 的取值范围是 A. B. C. D. 7. 骰宝一般称为赌大小，是一种用骰子赌博的方式，规则为:玩家向庄家下注，每次下注前，庄家把三枚骰子放在有盖的器皿中摇晃，若三枚骰子点数一样，称为豹子，庄家直接获胜；其他情况中，点数和为 4 到 10 称为小，和为 11 到 17 称为大；玩家下注完毕打开器皿，玩家猜中大小即为玩家获胜，否则庄家获胜；在某局中玩家猜大，已知庄家获胜的条件下，三枚骰子点数最大的是 5 的概率为 A. B. C. D. 8. 正四面体 棱长为 2,点 为其外接球球心,点 满足: , ,且点 在平面 上,则三棱锥 体积最小值为 A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分. 9. 已知 ,则下列选项正确的是 A. B. 若 ,则 C. D. 的展开式中,不存在连续三项成等比数列 10. 已知函数 ,其导函数为 ,下列说法正确的是 A. 若 ,则 B. 时, 的单调递减区间为 C. 时, 为 的极值点 D. 时, 无零点 11. 已知曲线 与抛物线 交于 两点， 的中点为 ,当 时， 到抛物线准线的距离为 为抛物线的焦点,则下列选项正确的是 A. B. 的轨迹方程为 C. D. 若 ,则 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 盒子中装有除编号 (1 到 6 ) 外完全相同的 6 个小球, 从中有放回地摸球 5 次, 记录摸到球的编号, 若已知 5 个编号的中位数为 3,唯一众数为 2,则平均数最大可能为_____. 13. 公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,若 恒成立,且 ,则 _____. 14. 对数集 中的元素先按照从小到大的顺序排列得到 ,定义 为其 “交替和”, 数集 的所有非空子集的交替和的和为 “交替总和”. 已知 , ，则 的交替总和为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 某科技公司研发了一款 AI 图像分类模型. 现随机抽取 500 张图片对该模型进行测试，记录了单次测试的准确率(百分比). 通过对测试结果的分析，绘制出了如下频率分布直方图: (1)求平均准确率； (2)将准确率不低于 90% 的一次分类视为“精准分类”, 以频率估计概率, 现用该模型独立进行 5 次测试，记 为 “精准分类” 的次数，求随机变量 的分布列及数学期望 . 16. (15 分) 记数列 的前 项和为 ,若 且 . (1)求数列 的通项公式； (2) ， 的前 项和为 ，求集合 的元素个数. 17. (15 分) 如图，在直角坐标系 中， ， ， ，动点 与 ， 两点构成 ， 中角 的对边分别为 ，且满足 . (1)当 点运动时,探究 是否为定值,并求出动点 的轨迹方程. (2)点 ， 在点 的轨迹上且满足 ，求坐标原点 到直线 的距离. 18. (17分) 如图， 、 、 为圆台 下底面圆周上三点， 为直径且 ， 为上底面圆周上一点， 、 分别为线段 、 的中点，且满足: ，平面 平面 . (1)求证: 平面 ； (2)若 ，满足要求的点 有且只有一个，设三棱锥 外接球半径为 ，圆台的高为 . ( i ) 求 ; (ii) 为上底面圆周上一动点,当平面 与平面 夹角为 时,求点 到平面 的距离. 19. (17 分) 已知函数 . (1)求 在 处的切线方程； (2)若 ，求函数 在 上的最大值 ； (3)已知 为函数 学科网（北京）股份有限公司 $高2026届高三年级质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号 1234 5 6 7 8 9 10 11 选项 C B B C A B D ACD ABD BCD 一、单顶选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.C【解析】z=-2i=-1-2i,云=-1+2i,虚部为2，选C 2.阝【解析】易知集合A是集合B的真子集，所以m∈[1,4)，选B 3.B【解析】P(X<175)=1-(1-0.7)÷2=0.85,选B 4.(:【解析】y=x+1-过定点(1,1)，圆心与该定点连线垂直于弦时弦K最短为2√7，选G S.C【解析l/代-x)=sinl-xl+Isin(-x）|=sinlx+|sinx|=f(x),所以f(x)是偶函数，战选项 A正确： 当x∈[2kT,2kT+T](∈N)时，fx)=sinx+sinx=2sinx, 当x∈[2kr+T,2km+2m(k∈N)时，f(x)=sinx+(-sinx)=0, 因为(x)是偶函数，图象关于y轴对称，可得(x)的图象如图所示： =f(x) 由图易知C错 6.A【解析】fx)关于(1,0)巾心对称，在R上单调递增，f代a2+a)+fa-1)<0等价于(a2+a)+ (a-1)<2,∴.a∈(-3,1)，选A 7.B【解析】已知庄家获胜，所以点数为豹子或者小，豹子有6种情况，小有105种情况，所以三枚骰 子点数最大的是5的情况有：(5,5,5)种，(1,1,5)三种，(1,2,5)六种，(1,3,5)六种，(2,2,5) 三种，23,5六种，1,4.5)六种，所以对应概字为0引6引运5 8D【解析】设△ABG巾心为1，D0-子Dw-子(D丽+兮丽+}4C)-(+D丽+D)=D+ 1DF+3DC 81 女-+号赠当当等又60号2 n%2受，m≥经放选D 数学试题参考答案第1页{共7页) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.ACD【解析】A由C1-21解得n=6,所以A止确： B.Ha+a1+a2+…+2n=1,可以在二项展开式4令x=1,有(1-a)2=a+a1+a2+…+ u12=1,所以1-a=±1→a=2或0，故B错误； .在二项展开式巾令x=0,有1=a0,战止确； D.(1-ax)=(1-a)2,其展式的通项为T,+1=Ci2(-ax)”,r=0,1,2,…,12, (①若a戏=0，则显然D止确； (②若a戏≠0，若展开式中存在连续三项成等比数列，则必存在整数r∈[1,11]使得 T1=T,·T,+2→(C2)2(-a2=C2·C'(-ax）-l+*1→(Ci2)2=C21·C21= 12！ 2 12! 121 ！(12-)=(r-1):(13-r)1×+1)11-r1→r(2-r)=(13-r)(r+1)→13-0， 矛厅，战假设错误， 综上，D正确 10.ABD )【解析】f'(x)=1+ax2-x+6. A若'(1)=a+6=4,则2+82≥a+》°=8，&A正骑： 2 B了(=士x+-2-1》-+2》<0一>2，)的河避X间为2，+， 2x 故B正确； Cf(1=士+2-1--1少+1》≥0，)单调递拉，无拟值点，放c销误： DF()=女as-,a≤0时，f'代)单润递减，且0时，f'()一+0，f()=a≤0， 月∈(0,1]， 使把/）-+a-=0,即a-号太a)存(0)单塔，(+)单流， )=n+-9=n首-e)=n若✉-当 xE(0,1]时，g'()>0,gx)单增，g()≤g(1)=号<0，即f()<0,f)无零点， 故D正确. 11.BCD【解析】设B关于x轴的对称点为B1,设直线B,:x=y+1,A(x1,y1),B,(x2,y2),则B(x2,-y2), [=y+1 y2=2px →y2-2py-2p=0,∴，y1+y2=2pm,y1y2=-2p; Am去1时+%-5+号=为智2-号=p2: 2 B%为4m=-4,,2到 数学试题参考答案第2页{共7页) =4=m）+2=2m2+l,g=1)'-+4h=4m+4: 2 2 4 4 义y=22>%=2=2a+2y>2: 设直线8y-力±-丙轴交点为月，令=0得xg十2土 1+32y1+2 =-1,0为FH巾点，.S人HB=2SA04B; D.设∠A0F=,则∠B0F=20,几tan日=当-4，tan29=二2--4 X1 Y1 2y2 又an28=2am9代入得=24,1=26,24。-￥6 3心为+2 5、6=4m, 3 6-1-26 m 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 123.6或餐 【斛析】由题可知摸到的号码为2,2,3，a,b,其中a,b∈{4,5,6}，且u≠b,,a=5,b=6时，平均数 最大为3.6. 13.-空 【解折：S-2-o-引及=A22m2a-分2n=a+a经》闪 2--0 f2-2+2-)a-）n=0恒成立 12-Aa-）=0 A=44-爱-音-4=-1，a=-方+12-0x(-0=-受 14.2202e2 【解析】4的非空子集有2“-1个，最小元素为x1,除去集合{x},剩下2”-2个非空子集可分为两 类：不包含x,的集合B:与包含1的集合C,=BUx,},几具有一一对应关系，设B:的交替和为， 2-2 则C:的交替和为-，这对集合的交替和为故A,的交替总和为2x+x1=21: f()（x2》,易知最小元泰1=2)-年，故交替总和为2. x3 数学试题参考答案第3页{共7页) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)由频疼分布直乃图，可旷得平均准确率为：0.05×55+0.1×65+0.25×75+0.5×85+0.1× 95=80.…5分 (2)由频率分布直方图可知，次分类是“精准分类”的概率为0.1，…6分 以频率仙计概率，则X心B(5,0.1),…8分 则P(X=k)=C×0.1x0.95-,k=0,1,2,3,4,5, ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■+■■■+■ 11分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 0.59049 0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001 X的期望为E(X)=5×0.1=0.5… 13分 16.(15分) 2n·an 2+1 解：(1) (n+1)·a+1 ,∴.n+1 2(m+1）a,l_2na0l=2.+2 见+1→ n+1, …3分 2+2 S+1= n+2 2=2+10-=2n”022,3 ar-1 f’a4-2 21 2,41=2, 累乘得an=(+I)2m-1(n≥2)，… 5分 a,=2也符合上式；… 6分 综上4，=(n+1)20-1. 心7分 (2)bn=1g2 （n+1)2-1 n =1g+1+-1 …8分 =e径××…x2+1+2+…+(-1)=g(a++"卫 10分 n T-1g,(台+1)+k21）≤500→米≤31.… 12分 2 几T=1o%(k+1)+h2》∈N*sk=2-1,… 2 14分 ∴.=1,3,7,15,31，共5个元素.… 15分 17.(15分) 解：(1)在△BC中，sin∠BMC+sin∠ACB=2sin∠1BCcos∠bMC 出正弦定理有：a+c=2b·c0sA=26·2bc,6=a+c=2+30 …3分 而c0s∠AD+c0s∠(1B=0,分别在△B(:,△MDG巾利用余弦定理可得： 1+6:CD,92-0,化筒得w=8-写+4=(a+2月 26 26×3 .|GDl=a+2,即|CD|-|GB|=2,… …5分 根据双曲线定义，点C的轨迹为-号=1(>1).…6分 数学试题参考答案第4页{共7页) (2)山题直线MN斜率不为0，设其方程为x=y+,M(x1,y1),N(x2,2） 3x2-y2-3=0 .(3m2-1)y2+6my+3n2-3=0, lx=my +n 32-3 △=36m2-4(3m2-1)(3m2-3)>0,.+3m>1,y+为3m2-i,-3m2-1 -6mn …9分 又0M⊥0N,即x,名3+y2=(y1+B)(my2+n）+yy2=0,所以(m2+1)yy2+m(y1+2)+n2=0 代人达定理可得：3=22-3m2…12分 点0到直线MN的距离d=In 2n2 3m2+3√6 √1+m√2+2m2=、 V2+2m2 2 15分 18.(17分) 解：(1)证明：因为AE LFH,CE∥FH,所以GE⊥AE 又内为平面ABF⊥平面AGE,CEC平面ACE,所以CF⊥平面ABF. …2分 听以有CE⊥AB,而在下底面里，AC是直径，所以，BC⊥AB,且BC∩CE=C 听以ABL平面BCE.…4分 (2)中(1)可知，B是平面BCE的一个法向量，因为满足要求的点E有几只有一个，所以平面BCE 与上底面圆周有几只有一个公共点，所以上底面圆周在下底面的射影图形与B(相切于点H,EH⊥ 底面ABG.即上底面圆的半径r=(OH=1,…5分 (i)由(1)可知，△C为等腰直角三角形， 又∠ACB=30°，所以易得，BC=23,EH=V3,即圆台高h=3, …7分 BE=CE=√6,1B=2,AE=10 因为三棱锥E-BC四个面皆为直角三角形，可知，(0M=(OB=0C= (OE,即()为三棱锥E-B外接球的球心，所以R=2，…8分 所哈号 …9分 (ⅱ)连接0H,如图建立空间直布坐标系，则有A(3,-1,0),B(5,1,0),C(-3,1,0),(0,1,3) 停，， 设P(,,).则c=(-23,20).F--92.}4-(os-3,+1w5 m·AG=0 设半面4Cf的个法向最为m=(a,6e,则有m.Af=0可 「-25a+26+0=0 亭+25+月0取=1年积 万即成=15，-3）1分 设平面40P的个法向量为元=(x,),划有{a.AP=0{(e心。-3)x+(sn位+1)y+5:=0 rn·4G=0、「-23x+2y+0=0 数学试题参考答案第5页{共7页) 取x=-3,解得 3=-3 ,=(-3,-3,3sin a+cos a) …13分 lz=√3sina+cose 所以平面ACP与平面ACF灾的余弦值为cos(i,1=-43-3(3sina+cosm) =0S ￥13×W/12+(V3sim+cosx)2 4 设5ima+eu=i=2sin(a+君)c[-2,2],则前式化简得：5f+483r-60=0, 解得t=-483±13×43=23或-10V3(舍)， 15分 10 所以点P到平面AGF的距离为： 2v3 -33 133 d=p,m_cos&-3+3sin&+3-33_k-3w3l 5 5 30 v13 v/13 v13 5 …17分 m √/13 19.(17分) 解：(1x)=e·sinx(x)=e(si+eosx)'}=e(sm平+os翠)=万e, 1}=血子=，所以)在=暮处的饲线方程为：要=夏〔-引 2 y=2i+2e可2-到… …3分 (2)h(x）=2sinx·sin0-sin(x+0)→h'(x）=2sin0cosx-cos(x+0）=2 sin 0cos x-cos xcos0+ sin xsin 0=cos xcos (2lan 6-1 lan xlan 0) 因为∈0,8）x∈[0,8，所以C0s xco8≥0，所以h(x)>0eo(x)-2ang-1+tan xan0>0. 吊然4()在∈[0，到单调递增，(x)=0→mx=120-。-2(*)…4分 Lanlan 6 ①当ad。2≥1m0c(0,号引时，()在eo,引只有喉-可能解x-年，即有(a)≤0i成立， 所以(x)在x∈[0，单调递减，此时五.(x)=h(0)=-sin0 5分 2当m02≤0→m9[2时，()≥0l成立所以(x)在0，单调这增， n=引-，-e+到-n-=sl-引 …6分 ③当0<an02<1sam0分分)时，()在=0到有昨一解， 当x∈(0，)时，(x)<0-→h'(x)<0,即h(x)在xe[0,]单调递减， 当x∈，④时，()>0-'()>0，即(x)在[④]单满递塔， 所以h(x)=ma(0),4军}=nar{-in0,snfe-4} 数学试题参考答案第6页（共7页） p(a)=sim0-罩+i血0在80，牙)单洞通增，几P贺)=0，ang=反-1=（含2》 所以当am0e(3lam8)时，h)=max-in0,in-4}-simg 所以当m9∈ag2）时.A()）=ma-sin0,infg-4）}-inf9-4）…9分 h(0)=-sin6,9=(0g] 综上知，hm（x）=g(0)= 10分 )=sim9-eg4】 (3)证明：设p(x）=f(21x）=e21rgin21x, 划p(x)=21e(sin21x+6os21)=212e2sim21x+军}=021x+年=m,keZ, 固为ep牙.以21k+7=行8j=1,23456, =京×字京×浮=京×片守×，5山三用酸数的医修居知e(e)生剑 所以1=21× 一个x,(i=1,2,3,4)左右两边异号，即④(x)在每一个x,(i=1,2,3,4)左右两边单调性相反，所以 x:(i=1,2,3,4)均为(x)的极伯点.…12分 由(2)可知，当0e0,罩we[0,]时，h(x)=2sin·sin0-sin(x+0)<0=2sinx·sn0<sin(x+0) →2 e"sin x·e”sin6<e+sin(x+0)→2fx)f(0）<f(x+9), 面4e0引4+=守×行×平分×的引，然e0时，w0, 所以a,)<2八+，)<++)==4×e …14分 h(1)x在=开处的阿线方径为7-号i=2ee-引y-2ex+}引 设m()=fx)-2e-2e7-罩}→m'()=2 'sin+罩-2e 当∈0)时，m'(x)单调递增，所以m'(x)<m召-0今m(x)单调递减，所以m(x)>m军)-0， 所以)>万ex+e2,则 )>+a份-引=×15-2e分-}=a可分-d …16分 综市×盟。 2 …17分 f（x4) e24 28-4T 数学试题参考答案第7页{共7页)