第三十二章 投影与视图（单元自测·提升卷）数学冀教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第三十二章 投影与视图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如图，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是(　 　) A． B． C． D． 2．2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合，人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“天”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．合 B．同 C．心 D．人 3．如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列4个平面图，能沿虚线折叠围成几何体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图所示的几何体从左面看到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 6．如图是由6个大小相同的正方体塔成的几何体，将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（   ） A．主视图改变，左视图改变 B．主视图改变，俯视图改变 C．俯视图不变，主视图不变 D．俯视图不变，左视图不变 7．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（　　） A．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 8．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．一只蚂蚁在顶点A处侦查到顶点B处有一滴蜂蜜，它从点A爬行到点B的路程不可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上且离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A．25 B．5 C． D．5 10．图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 11．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是(    ) A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个 C．5个或 6个 D．6个或 7个 12．贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，第16题第一空2分，第二空1分，共12分） 13．已知正方体的一个平面展开图如图所示，则在原正方体上，“创”的对立面的汉字是 ． 14．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °． 15．小颖同学到学校领来了盒粉笔，整齐的摞在讲台上，从三个不同的方向看到的图形如图所示，那的值是 ． 从正面看  从左面看  从上面看 16．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的． （1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °． （2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． (1)填空：这个几何体由　 　个小正方体组成； (2)画出它的三个视图． 18．（8分）如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？ (2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论． ①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD． 19．（8分）如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)该几何体由______个小正方形组成； (2)请分别画出该几何体的主视图、左视图； (3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？ 20．（9分）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 21．（9分）某兴趣小组开展课外活动．如图，小明从点M出发以1.5米／秒的速度，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B，此时他(AB)在某一灯光下的影长为MB，继续按原速行走2秒到达点D，此时他(CD)在同一灯光下的影子GD仍落在其身后，并测得这个影长GD为1.2米． （1）请在图中画出光源O点的位置，并画出O到MN的垂线段OH(不写画法)； （2）若小明身高1.5m，求OH的长．    22.（9分）将纸杯展开后侧面形成如图所示扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），若的长为，，杯壁母线． (1)如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为（制作过程侧面展开图不允许有拼接）．则侧面展开图中所在的圆的半径为　　　　　　． (2)试说明：扇环的面积． (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁出（）中规格要求的纸杯，求这个矩形纸片的长与宽． 23．（10分）综合与实践： 课题 制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 知识准备 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填字母）    实践探索 嘉嘉在边长为的正方形纸板四个角各剪去一个边长为的小正方形并沿虚线折叠成一个无盖的长方体形收纳盒（图1）    b/ 1 2 3 4 5 6 V/ 324 512 588 576 500 384 图2 （2）任务1：当，时，求这个盒子的容积． （3）任务2：当，将相应长方体形盒子的容积V与高度b之间的关系建立如图2表格，若b取整数，观察表格特点，当 时V最大？当 时？ （4）任务3：经证明：当时，V取得最大值，求当时V的最大值（结果保留整数） 24．（11分）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第三十一章 随机事件的概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如图，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是(　 　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由平面图形的折叠及正方体的展开图知，选项A，B，D折叠后都可以围成正方体； 而C折叠后折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体． 故选C． 2．2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合，人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“天”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．合 B．同 C．心 D．人 【答案】C 【解析】解：在原正方体中，与“天”字所在面相对的面上的汉字是“心”， 故选：C． 3．如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】压扁后圆台的形状如图A， 故选A． 4．下列4个平面图，能沿虚线折叠围成几何体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：第一个图可以围成三棱锥（四面体）； 第二个，折叠后底面重合，不能围成几何体， 第三个图形能围成三棱柱， 第四个能围城长方体 故选：C． 5．如图所示的几何体从左面看到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：从左边看第一层两个小正方形，第二层一个小正方形， 故选：B． 6．如图是由6个大小相同的正方体塔成的几何体，将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（   ） A．主视图改变，左视图改变 B．主视图改变，俯视图改变 C．俯视图不变，主视图不变 D．俯视图不变，左视图不变 【答案】D 【解析】解：将正方体①移走后， 新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变，主视图的第二层由原来的两个小正方形变为一个小正方形， 故选：D． 6．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（　　） A．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 【答案】C 【解析】解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是正方体、圆柱、三棱柱、圆锥． 故选：C． 8．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．一只蚂蚁在顶点A处侦查到顶点B处有一滴蜂蜜，它从点A爬行到点B的路程不可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意知，点A到点B的展开图如图1、2、3，    由矩形的性质和勾股定理得， 图1中，， 图2中，， 图3中，， 综上，点A爬行到点B的路程为或或， 故选：D． 9．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上且离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A．25 B．5 C． D．5 【答案】A 【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图 ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD=CD+BC=20+5=25， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴AC=CD+AD=20+10=30， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： ∴； ∵25＜＜， ∴蚂蚁爬行的最短距离是25， 故选：A． 10．图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据相对面上的多项式的和相等可得： ． 故选：B． 11．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是(    ) A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个 C．5个或 6个 D．6个或 7个 【答案】A 【解析】根据主视图，左视图，画出俯视图可能情况. 所以选A. 12．贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据正方体的展开图和两个绿色小正方形与两个白色小正方形的相对位置，B选项符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，第16题第一空2分，第二空1分，共12分） 13．已知正方体的一个平面展开图如图所示，则在原正方体上，“创”的对立面的汉字是 ．    【答案】市 【解析】解：“建”的对立面汉字是“明”，“文”对立面的汉字是“城”，“创”对立面的汉字是“市”， 故答案为：市． 14．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °． 【答案】 【解析】解：∵圆锥的底面半径为， ∴底面周长为： 解得：， 故答案为： 15．小颖同学到学校领来了盒粉笔，整齐的摞在讲台上，从三个不同的方向看到的图形如图所示，那的值是 ． 从正面看  从左面看  从上面看 【答案】7 【解析】根据左视图与主视图可知粉笔共放了3层，结合俯视图可知第一层放了4盒粉笔，再根据主视图与左视图可知第二层共放了2盒粉笔，第三层放了1盒粉笔，综上所述，一共放了7盒粉笔，即的值是7， 故答案为：7. 16．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．    （1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °． （2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ． 【答案】 【解析】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度， ∴当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为； 故答案为：； （2）解：由题意知，赤道式日晷“晷面”和“晷针”互相垂直，则，， 又∵ 在中， 在中， 在中， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． (1)填空：这个几何体由　 　个小正方体组成； (2)画出它的三个视图． 【答案】(1)6；(2)画图见解析. 【解析】 解：（1）观察图形可知这个几何体由6个小正方体组成； 故答案为6． (2)三视图如下图： 18．（8分）如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？ (2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论． ①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD． 【答案】(1)AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD；(2)证明见解析. 【解析】解：（1）∵CD⊥AB， 而平行光线垂直AB， ∴AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影为BD； （2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°． ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∴BC2＝BD•AB； ②同理可得：△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2＝AD•BD． 19．（8分）如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)该几何体由______个小正方形组成； (2)请分别画出该几何体的主视图、左视图； (3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？ 【答案】(1) (2)画图见详解 (3) 【解析】（1）解：如图所示： 该几何体由个小正方形组成， 故答案为：； （2）解：如图所示： （3）解：小正方形的边长为1， 小正方体的每一个面的面积为1， 如图所示： 该几何体的表面积就是能看到的小正方体的各个面的面积之和， 则该几何体的表面积为：． 20．（9分）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【解析】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 21．（9分）某兴趣小组开展课外活动．如图，小明从点M出发以1.5米／秒的速度，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B，此时他(AB)在某一灯光下的影长为MB，继续按原速行走2秒到达点D，此时他(CD)在同一灯光下的影子GD仍落在其身后，并测得这个影长GD为1.2米． （1）请在图中画出光源O点的位置，并画出O到MN的垂线段OH(不写画法)； （2）若小明身高1.5m，求OH的长．    【答案】（1）见解析；（2）4m 【解析】解：（1）如图所示：    （2）由题意得：BM=BD=2×1.5=3， ∵CD∥OH， ∴△CDG∽△OHG， ∴， ∵AB=CD=1.5， ∴①， ∵AB∥OH， ∴△ABM∽△OHM， ， ∴②， 由①②得：OH=4， 则OH的长为4m． 22.（9分）将纸杯展开后侧面形成如图所示扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），若的长为，，杯壁母线． (1)如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为（制作过程侧面展开图不允许有拼接）．则侧面展开图中所在的圆的半径为　　　　　　． (2)试说明：扇环的面积． (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁出（）中规格要求的纸杯，求这个矩形纸片的长与宽． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)矩形长为，宽为． 【解析】（1）解：设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为， ∴，， ∴，， 故答案为：； （2）解：设大扇形半径为，小扇形半径为，圆心角为， 则：， ∵，， ∴， ∴， ∴扇环的面积 ； （3）解：如图，延长，交于点，连接，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 由（）知：， ∵，， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形长：，宽：， 所以矩形长为，宽为． 23．（10分）综合与实践： 课题 制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 知识准备 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填字母）    实践探索 嘉嘉在边长为的正方形纸板四个角各剪去一个边长为的小正方形并沿虚线折叠成一个无盖的长方体形收纳盒（图1）    b/ 1 2 3 4 5 6 V/ 324 512 588 576 500 384 图2 （2）任务1：当，时，求这个盒子的容积． （3）任务2：当，将相应长方体形盒子的容积V与高度b之间的关系建立如图2表格，若b取整数，观察表格特点，当 时V最大？当 时？ （4）任务3：经证明：当时，V取得最大值，求当时V的最大值（结果保留整数） 【答案】（1）B；（2）这个盒子的容积为；（3）3，0或10；（4）当时V的最大值为． 【解析】解：（1）B不能折成一个无盖正方体纸盒，ACD能折成一个无盖正方体纸盒； 故答案为：B； （2）由题意可知，该长方体纸盒的底面边长为，高为； 这个盒子的容积为； （3）由题意可知，该长方体纸盒的底面边长为，高为； 容积， 观察表格特点，当时V最大； 当时，， 解得或， ∴当或时，， 故答案为：3，0或10； （4）∵当时，V取得最大值， ∴当时，， ∴， ∴当时V的最大值为． 24．（11分）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ 【答案】(1)圆心O到地面的距离为 (2)小明的说法正确，理由见解析 (3)或； (4) 【解析】（1）解：由题意可得：，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴圆心O到地面的距离为； （2）解：小明的说法正确。理由如下： 如图，设光线的延长线交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径，小明的说法正确. （3）解：当重合时，过作交于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∵，结合题意可得四边形为矩形， ∴，， 如图，当光线时， 同理可得：， ∴，解得：， 如图，当时，光线时， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 如图，当时， ∵， ∴， ∴， 综上：或； （4）解：当时，， ∴， 此时：， 当时，， ∴， 解得：， ∴， 综上：太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米时，. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第三十二章 投影与视图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如图，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是(　 　) A． B． C． D． 2．2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合，人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“天”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．合 B．同 C．心 D．人 3．如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列4个平面图，能沿虚线折叠围成几何体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图所示的几何体从左面看到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 6．如图是由6个大小相同的正方体塔成的几何体，将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（   ） A．主视图改变，左视图改变 B．主视图改变，俯视图改变 C．俯视图不变，主视图不变 D．俯视图不变，左视图不变 7．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（　　） A．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 8．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．一只蚂蚁在顶点A处侦查到顶点B处有一滴蜂蜜，它从点A爬行到点B的路程不可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上且离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A．25 B．5 C． D．5 10．图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 11．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是(    ) A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个 C．5个或 6个 D．6个或 7个 12．贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，第16题第一空2分，第二空1分，共12分） 13．已知正方体的一个平面展开图如图所示，则在原正方体上，“创”的对立面的汉字是 ． 14．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °． 15．小颖同学到学校领来了盒粉笔，整齐的摞在讲台上，从三个不同的方向看到的图形如图所示，那的值是 ． 从正面看  从左面看  从上面看 16．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的． （1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °． （2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． (1)填空：这个几何体由　 　个小正方体组成； (2)画出它的三个视图． 18．（8分）如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？ (2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论． ①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD． 19．（8分）如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)该几何体由______个小正方形组成； (2)请分别画出该几何体的主视图、左视图； (3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？ 20．（9分）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 21．（9分）某兴趣小组开展课外活动．如图，小明从点M出发以1.5米／秒的速度，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B，此时他(AB)在某一灯光下的影长为MB，继续按原速行走2秒到达点D，此时他(CD)在同一灯光下的影子GD仍落在其身后，并测得这个影长GD为1.2米． （1）请在图中画出光源O点的位置，并画出O到MN的垂线段OH(不写画法)； （2）若小明身高1.5m，求OH的长．    22.（9分）将纸杯展开后侧面形成如图所示扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），若的长为，，杯壁母线． (1)如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为（制作过程侧面展开图不允许有拼接）．则侧面展开图中所在的圆的半径为　　　　　　． (2)试说明：扇环的面积． (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁出（）中规格要求的纸杯，求这个矩形纸片的长与宽． 23．（10分）综合与实践： 课题 制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 知识准备 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填字母）    实践探索 嘉嘉在边长为的正方形纸板四个角各剪去一个边长为的小正方形并沿虚线折叠成一个无盖的长方体形收纳盒（图1）    b/ 1 2 3 4 5 6 V/ 324 512 588 576 500 384 图2 （2）任务1：当，时，求这个盒子的容积． （3）任务2：当，将相应长方体形盒子的容积V与高度b之间的关系建立如图2表格，若b取整数，观察表格特点，当 时V最大？当 时？ （4）任务3：经证明：当时，V取得最大值，求当时V的最大值（结果保留整数） 24．（11分）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第三十二章投影与视图·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 6 7 9 10 11 12 A B 0 0 B A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，第16题第一空2分，第二空1分，共12分） 13.市 14.120 15.7 16.36 tanB=sinatany 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(8分) 【解析】 解：(1)观察图形可知这个几何体由6个小正方体组成： 故答案为6.(2分) (2)三视图如下图： 主视图 左视图 俯视图 (8分) 18.(8分) 【解析】解：(I):CDLAB, 而平行光线垂直AB, AC的投影是AD,CD的投影是点D,BC的投影为BD;(3分) (2)①：∠ACB=90°，CD⊥AB于D, ∴.∠ACB=∠CDB=90°. ∠B=∠B, ∴.△BCD-△BAC,(6分) 1/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :脂=咒 .BC2=BDAB;(8分) ②同理可得：△ACD~△CBD,(6分) 器=8， CD2=ADBD.(8分) 19.(8分) 【解析】(1)解：如图所示： 从正面看 ·该几何体由9个小正方形组成， 故答案为：9；(2分) (2)解：如图所示 L- 主视图 左视图 (6分) (3)解：：小正方形的边长为1， :小正方体的每一个面的面积为1， 如图所示： 从正面看 ·该几何体的表面积就是能看到的小正方体的各个面的面积之和， 则该几何体的表面积为：6×2+6×2+5×2+2=36.(8分) 20.(9分) 【解析】(1)解：：太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子 落在点F处， 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 …部=器， :标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE=DF, :CD=CA;(3分) (2)解：如图，令BN与DE的交点为H, E B FMD 则四边形BCDH和MNHD是矩形， 'DE=2.1m,DF=2.1m,DM=1m,MN=1.2m CD=BH,BC=DH=MN=1.2m,NH=DM=1m, ÷EH=DE-DH=0.9m, 设AB=x,则AC=AB+BC=(1,2+X)m, BH=CD=(1.2+x)m, :NB=BH+NH=(2.2+x), EHIAB, ·△NEH△NAB,(5分) 器=器， 婴=， 解得：x=19.8, 答：纪念碑AB的高度为19.8m.(7分) (3)解：纪念碑的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m,(2)中纪念碑AB的高 度为19.8m, 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计 算结果.(9分) 21.(9分) 【解析】解：(1)如图所示： 3/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 M B GD H (3分) (2)由题意得：BM=BD=2×1.5-3, CDIOH, ∴△CDG-△OHG, “器=器， AB=CD=1.5, 品=品①，(5分) 1.2 ABIIOH, :△ABM~△OM, 祭=器， :品=+②，(7分) 由①②得：OH=4, 则OH的长为4m.(9分) 22.(9分) 【解析】(1)解：设∠AOD=∠BOC=n°，BC所在圆的半径为rcm,则AD所在圆的半径为 (r+6)cm, :6π=m6,4π=需， 180 .n=60°，r=12, 故答案为：12cm;(2分) (2)解：设大扇形半径为R=(r+h)cm,小扇形半径为rcm,圆心角为n, 则：S扇环=1R-2r=1(r+h)-l2r, :1=器，2=， =9, 4/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :hr=1R, :扇环ABCD的面积S=1r+1h-12” =l2R+1h-l2 =l2(r+h)+l1h-2r =专(11+12)h:(5分) (3)解：如图2，延长AB,DC交于点O,连接AD,过点O作OP⊥EH于P,交FG于Q, F BO 图2 :四边形EFGH是矩形， :EHIFG, OQ⊥FG, .∠0QB=90°，(6分) 由(1)知：∠B0C=60°， :0B=0C=12cm,0A=0D, △OBC和△OAD都为等边三角形， .∠0BC=60°， .∠B0Q=30°，(7分) :.BQ=0B=6cm, :0Q=V0B2-BQ2=V122-62=65(cm),(8分) :矩形长：AD=FG=0D=12+6=18(cm),宽：EF=PQ=0P-0Q=（18-6V3)cm, 所以矩形长为18cm,宽为(18-6V5)cm.(9分) 23.(10分) 【解析】解：(I)B不能折成一个无盖正方体纸盒，ACD能折成一个无盖正方体纸盒： 故答案为：B;(2分) 5/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)由题意可知，该长方体纸盒的底面边长为10-2×2=6cm,高为2cm: 这个盒子的容积为6×6×2=72(cm3);(4分) (3)由题意可知，该长方体纸盒的底面边长为(20-2b)cm,高为bcm: 容积V=(20-2b)2.b=4b(20-2b)2, 观察表格特点，当b=3时V最大： 当V=0时，4b(20-2b)2=0, 解得b=0或b=10, .当b=0或b=10时，V=0, 故答案为：3,0或10；(7分) (4):当b=言a时，V取得最大值， :当a=20cm时，b=君×20=号， :V最大=9×(20-2×9)2=19≈593(cm3), .当a=20cm时V的最大值为593cm3.(10分) 24.(11分) 【解析】(1)解：由题意可得：BC⊥AD,OA=OB, 设0A=OB=r, :AC=0.8m, ∴.C0=r-0.8, :BC=1.6m, r2=1.62+(r-0.8)2, 解得：r=2, .圆心0到地面的距离为AD-A0=2.6-2=0.6(m);(2分) (2)解：小明的说法正确。(3分)理由如下： 如图，设光线的延长线交ED于K, 6/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 KD H BKIFG, ∠GFE=∠K, :BC‖DE ∠K=∠OBC, ∴.∠0BC=∠GFE,(4分) 0B=0A=2,AC=0,8, .0C=2-0.8=1.2,而EG=1.2m, ∴.0C=EG,(5分) :∠0CB=∠GEF=90°， .△BC0≌△FEG, .0B=FG, :当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧AB的 半径，小明的说法正确.(6分) (3)解：当E,H重合时，过B作BQIIGH交DE于Q,过B作BK⊥DE于K, .∠BQK=∠GHE,∠BKQ=∠GEH=90°， A DO KHF E :△BQKM△GHE, 器=器， :BC⊥AD,结合题意可得四边形CDKB为矩形， CD=BK=1.8,DK=BC=1.6, 7/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图，当光线BD川GF时， A B G D K H(F E 同理可得：器=瓷 :提=品，解得：E驴=， 如图，当1<n≤号时，光线GFBQ时， A G DO K H(F E 同理可得： 器-器 提=班， :.QK=n, :QD=1.6-n, :DQ+QF+EF=3, 1.6-n+1+n=3, 整理得：1=0.5n十1.4， 如图，当<n<3时， 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G D H(F E DF+EF=3, .1+n=3, 1=-n+3, 综上：1=0.5n+1,4(1<n≤)或1=-n+3(带<n<3):(9分) (4)解：当1<n≤号时，1≥0.8， .0.5n+1.4≥0.8， 此时：1<n≤， 当号<n<3时，1≥0.8， .-n+320.8, 解得：n≤2.2， <n≤2.2， 综上：太阳光线照在花圃上的宽度不得小于0.8米时，1<n≤2.2.(11分) 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