第七章 幂的运算（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

第七章 幂的运算 教学目标 1、理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法的运算法则。 2、掌握零指数幂、负整数指数幂的意义及运算。 3、能准确、熟练地进行各类幂的混合运算，规范书写步骤。 教学重难点 1. 重点 （1）掌握同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法四个法则。 （2）理解零指数幂、负整数指数幂的意义并正确运算。 （3）能进行幂的混合运算，步骤规范、结果最简。 2. 难点 （1）区分四个幂的运算法则，不混淆指数运算（加、乘、减）。 （2）负号、系数、括号在幂运算中的处理（如−a2与(−a)2）。 （3）法则的逆向运用（如因式分解、简便计算）。 （4）含字母指数、整体代入型幂的运算。 知识点01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点02 科学记数法表示数的乘法 若两个数分别用科学记数法表示为和（其中，，、为整数），则它们的积为： 通俗总结，分两步计算： 1 先将两个数中前面的系数（和）相乘； 2 再将10的幂相乘（根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加）； 3 最后将两步结果结合，整理成规范的科学记数法形式。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加即可求解 【详解】解：， 故选：A 2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知，那么a、b、c之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据得，可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则的值为___________． 【答案】8 【分析】利用同底数幂的乘法法则、乘方的意义进行求解． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； ∴． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，，则=________． 【答案】30 【分析】此题考查同底数幂乘法的逆运算，根据同底数幂乘法公式得到，代入，求出结果． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为30． 5．（24-25七年级下·吉林长春·月考）规定． (1)填空：_______； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，零指数幂，有理数的混合运算； （1）根据所规定的运算进行作答即可； （2）根据所规定的运算进行作答即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 知识点03 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点04 积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【即学即练】 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）若，，则的值为（　　） A．45 B．30 C．14 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用． 先逆用同底数幂的乘法将化为，再逆用幂的乘方将化为，进而根据，求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 7．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）已知，，，，则这四个数从小到大排列顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数大小比较以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， 而， ∴． 故选：B． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算___________． 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算及有理数乘方的性质简便计算． 【详解】解：． 【点睛】注意利用幂的运算的简便算法． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【教材研究】：下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题： 计算：． 解：原式 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）逆用积的乘方和幂的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（n是整数，）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （3）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （4）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （5）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （6）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解；； （3）解：； （4）解： ； （5）解： （6）解： ． 知识点05 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点06 零指数幂 a0=1 (a≠0) 知识点07 负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点08 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【即学即练】 11．（2026七年级下·江苏·专题练习）如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件．根据零指数幂成立的条件是底数，当该等式不成立时，底数为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵不成立， ∴， ∴． 故选：D 12．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）下列运算结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法运算，根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算正确； C、，故本选项计算错误； D、，故本选项计算错误． 故选：B． 13．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）若，则___________ 【答案】2 【分析】逆用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： （1）_____．（2）_______． （3）__________．（4）_______． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方，零指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行计算． （2）根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算． （3）根据零指数幂的定义进行计算，． （4）根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． （3） 故答案为：． （4） 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知：． (1)的值等于 ； (2)的值等于 ； (3)试说明：． 【答案】(1)9 (2)2 (3)见解析 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知幂的相关计算法则是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）先求出，再求出，则可得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 考点01 同底数幂的乘法 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的运算，解题关键是将常数转化为同底数幂，熟练运用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则． 先将8转化为以2为底的幂，再运用同底数幂的乘法法则计算，最后匹配选项得到结果． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，正确掌握同底数幂的乘法性质是解题关键．先将等式左右两边转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等则指数相等的性质推导a与b的关系． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）若，则______． 【答案】3 【分析】本题考查同底数幂乘法、解一元一次方程及代数式求值，先根据同底数幂乘法法则得出关于的一元一次方程，解方程求出的值，代入其中即可得答案．熟练掌握同底数幂乘法法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 4．（24-25七年级下·河南郑州·月考）定义一种新运算：规定．若，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了定义新运算，同底数幂的乘法，读懂题意是解题的关键．根据题意可知，，然后解方程即可． 【详解】解： 故答案为：1． 5．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）小明在预习课本时看到幂的运算章节图里有这样一句话：“乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础”，我们知道同底数幂的乘法运算性质为：．（、是正整数）． (1)请结合课本的这句话写出这一运算性质的推导过程； (2)解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法运算法则的推导． （1）根据乘方的意义解答即可； （2）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵，，∴． 考点02 同底数幂乘法的逆用 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 【详解】解：由， 故选：． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂乘法法则、积的乘方法则以及对整数位数的理解．解题关键是熟练掌握同底数幂乘法法则． 首先利用同底数幂乘法法则将变形为 ，因为是位数．根据是10位数，得 乘一个数后变为10位数，这个数的范围是 ．最后根据的取值范围，进而得出的可能值． 【详解】， 是一个位数， 整数是一个10位数， ， 可能是，，， 可能是12，13，14． 故选：C． 8．（24-25八年级上·北京·期中）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了乘方、同底数幂的运算等知识点，根据新定义运算表示出左右两侧的数，再根据相应的运算法则求解即可，理解新定义运算和掌握对应知识的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设， 则由题意可得， 即 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆运算、对指数的大小比较，掌握这些知识点时解题的个关键. 利用同底数幂乘法及其逆运算对等式进行对比可得：①，②，③，可证结果. 【详解】解：（1）∵， ∴，即 ∴ ∴；①正确； （2）∵， ∴ ，即 ∵ ∴ ；②不正确； （3）∵ ∴ ，而，③正确； 故答案为：①③ . 10．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂运算的法则是关键． （1）根据题意，得到关于的方程，求解即可； （2）先根据同底数幂的运算法则，将转化为，化简并解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点03 科学记数法 11．（24-25七年级下·河北保定·期末）氧气是由氧元素形成的一种单质，氧元素的原子半径约为，则氧原子的半径用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 12．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.000000308cm.数据0.000000308用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法即可得到答案． 【详解】解：根据科学记数法：． 故选：C． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示小于1的数，熟知概念是解题的关键． 13．（24-25八年级下·福建泉州·期末）中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏南京·月考）经测算，一个水分子的直径约为m，数据用科学记数法表示为 ____________． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数，表示时关键是要正确确定a及n的值． 【详解】 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）某种缨小蜂体长约为，质量只有约． (1)用科学记数法表示上述两个数据； (2)一个鸡蛋的质量大约是，相当于多少只该种缨小蜂的质量（答案用科学记数法表示）？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数、一元一次方程的应用，解题的关键是能够正确的用科学记数法表示较小的数和根据题意列出方程． （1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定； （2）设x只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据“缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等”列方程求解即可． 【详解】（1）解：用科学记数法表示为， 用科学记数法表示为； （2）解：设x只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得 ， 解得， 答：只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等． 考点04 幂的乘方运算及其逆用 16．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，以及积的乘方，根据法则进行计算即可； 【详解】解：原式= 故原式可以被5，7，9整除． 故选：D ． 17．（2026七年级下·江苏·专题练习）若，则x的值是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方． 逆用积的乘方得到，根据幂的乘方得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：1． 18．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是_______________． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，有理数的乘方，利用负整数指数幂，幂的乘方法则变形后进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．（2026七年级下·江苏·专题练习）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据幂的乘方的逆用、同底数幂相乘法则，列出关于x的方程求解； （2）利用同底数幂乘法的逆用和分配律的逆用，列出关于x的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 20．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 考点05 积的乘方运算及其逆用 21．（25-26八年级上·全国·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算性质、代数式的化简求值，掌握幂的乘方和积的乘方运算法则是解题关键． 利用幂的乘方和积的乘方运算，结合推出，再化简并计算其次幂，得到结果． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为____________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法的整理，掌握积的乘方、幂的乘方的运算法则是解题的关键． 应用积的乘方法则和幂的乘方法则分别计算两个部分的幂，再根据有理数乘法法则计算乘积． 【详解】解：计算：根据积的乘方法则得：， 计算：同理，， 计算乘积：， 写成科学计数法：， 故答案为： ． 23．（24-25七年级上·上海宝山·期中）通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算________． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，正确将所求式子变形为是解题的关键． 所求式子可以变形为，根据积的乘方计算法则继续变形得到，由此根据题意求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 24．（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）填空并回答下列问题： __________； ___________； ___________； ___________； ___________； ___________． （1）想一想以上三组中每组得数是否相等？ （2）猜一猜当为正整数时，___________； （3）使用上面的发现计算________． 【答案】36；36；16；16；；；（1）相等；（2）；（3）1 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，积的乘方运算的应用，理解题意，归纳总结规律是解本题的关键． 第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算； 同理求解即可； （1）根据得出的结果判断即可； （2）由（1）归纳可得：； （3）由，可得，再利用规律进行简便运算即可． 【详解】解：；； ，； ，； （1）以上三组得数相等； （2）当为正整数时，， 故答案为：； （3） 故答案为：1． 25．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：． 材料二：等式成立． 试求： (1)＝________； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． （1）利用进行计算即可得到答案； （2）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2）， ， 原式 ． 考点06 同底数幂的除法运算及其逆用 26．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方运算以及积的乘方，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 27．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）若，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法等知识点，灵活运用幂的乘方的逆用法则是解题的关键． 由可得，再根据幂的乘方的逆用、同底数幂除法化简，最后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 28．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值．正确掌握运算法则是解题关键． 根据，得，，得，代入计算即得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴ ． 故选：D． 29．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）若，，为整数，则______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，积的乘方的逆运算，由同底数幂除法的逆运算可得，进而利用积的乘方的逆运算计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ． 【答案】(1)8 (2)8 (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法除法，幂的乘方法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可； （3）由（1）（2）即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）由（1）（2）可知：， ∴． 考点07 幂的混合运算 31．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 32．（24-25八年级上·吉林长春·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，积的乘方计算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算幂的乘方，再算乘除即可； （2）先算积的乘方，再算乘法，最后算加法． 【详解】（1）解： ； （2） 33．（24-25八年级上·福建泉州·月考）计算． (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； （1）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘除法则计算即可； （2）计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解： ． 34．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)a (2) (3)6 (4) 【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算，零指数幂，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同底数幂乘除法法则进行计算即可； （2）首先根据，再根据同底数幂乘法法则进行计算即可； （3）根据绝对值的意义，零指数与负整数指数幂的意义进行即可； （4）根据幂运算性质进行运算，最后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 35．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的除法运算，实数的加减运算，解题的关键是熟练掌握相关的幂的运算法则， 根据有理数指数幂的运算法则进行计算或化简即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 考点08 零指数幂与负整数指数幂 36．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】∵ ， ， ， ， 又∵ ， ∴ ． 37．（25-26八年级上·广东广州·期中）如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先依据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂分别计算a、b、c的值，再比较大小． 【详解】解：，，， 则， 故选：A． 38．（24-25七年级下·江苏无锡·期中），则m的值为_______． 【答案】1或0或 【分析】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据1的任何次幂都是1，的偶次幂都是1，零指数幂的运算法则分别计算即可． 【详解】解：当，即时，，； 当，即时，，； 当，，即时，； 综上，的值为1或0或， 故答案为∶ 1或0或． 39．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若实数，满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、负整数指数幂、零指数幂，先根据非负数的性质得出，，再由负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 40．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 考点09 利用幂的运算比较大小 41．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：，∵，∴ (1)，求x的值 (2)[类比解答]比较，的大小． (3)[拓展拔高]比较，，的大小． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则，是解题的关键． （1）逆用幂的乘方，列出方程进行求解即可； （2）转化为同底数幂，比较指数即可； （3）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：， 即：， ∴， ∴； （2）， ∵， ∴， 即：； （3）， ∵， ∴； ∴． 42．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且， 所以，即」 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且， 所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较的大小： (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 43．（24-25七年级下·广西来宾·期中）阅读材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为，而，所以，即． 小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，而，所以，即． 小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． （1）比较，，的大小： （2）比较，，的大小． 【答案】（1）344＞433＞522；（2）8131＞2741＞961 【分析】（1）根据幂的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小； （2）根据幂的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小． 【详解】解：（1）∵344=(34)11=8111， 433=(43)11=6411， 522=(52)11=2511， ∵81＞64＞25， ∴8111＞6411＞2511， 即344＞433＞522； （2）∵8131=(34)31=3124， 2741=(33)41=3123， 961=(32)61=3122， ∵124＞123＞122， ∴3124＞3123＞3122， 即8131＞2741＞961． 【点睛】本题考查幂的乘方的逆用、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 44．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1)>，< (2)< (3)< 【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，”即可比较和的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有，即可比较和的大小； （2）据“对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有”，即可比较与的大小； （3）利用作商法，即可比较和的大小． 【详解】（1）解：， ∴>， ∵，，122<123， ∴<， 故答案为：，； （2）解：∵，，8<9， ∴<． （3）解：∵， ∴<． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方及有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键． 45．（24-25八年级上·湖南·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点10 利用幂的运算判断指数的关系 46．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 根据可得，再根据同底数幂的乘法可得出结论． 【详解】解：，，， ， 即：， ， ， ， ， 故选：A． 47．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，可得答案． 【详解】解： ∴ ∴ 故选：B． 48．（2022·河北唐山·一模）已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C、， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； D、由B可得，，故D不成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方． 49．（2024七年级下·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是____________ ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． ②可根据同底数幂乘法法则判断；①可根据幂的乘方的逆用，同底数幂除法法则判断；③可根据同底数幂乘法的逆用判断． 【详解】解：，, ， ， ，②关系成立； ， ，①关系成立； ， ，③关系成立； 则①②③成立， 故答案为：①②③． 50．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，熟练掌握同底数幂乘法法则和幂的乘方法则成为解题的关键． 先根据同底数幂乘法法则和幂的乘方法则计算与的关系，进而完成解答． 【详解】解：a，b，c之间满足的等量关系为：，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即． 考点11 幂的运算等于1的分类讨论问题 51．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若x满足，则x的值为________． 【答案】，0 【分析】本题考查了零指数幂以及1的任何次幂的性质和得偶次幂的性质，熟练掌握指数幂的基本性质是解题的关键； 通过对底数为1，，指数为时，三种不同情况进行分析解方程即可． 【详解】解：当底数为1时 当时，即． 把代入指数，得， 则，满足条件． 当底数为时 当时，即． 把代入指数，得 则，不满足条件． 当指数为时 当时，即． 把代入底数，得， 则，满足条件． 综上，x的值为或． 52．（2022八年级上·全国·专题练习）若，则x的值为_______． 【答案】或1或0 【分析】本题考查了零指数幂，乘方，掌握任何非零数的零次方都等于1是解题的关键． 根据乘方结果等于1，分别考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0三种情况． 【详解】解：根据，可分为以下三种情况， ①当底数时，解得，此时指数，即，符合题目要求； ②当底数时，解得，此时指数为偶数，即，符合题目要求； ③当指数时，解得，此时底数，故，符合题目要求； 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 53．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若，则x的值为______． 【答案】0或1 【分析】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．分三种情况讨论：当时；当为任意数时；当为偶数时；分别计算即可． 【详解】解：当时，，此时； 当为任意数时，，此时； 当为偶数时，，此时不合题意，舍去； 综上，x的值是0或1， 故答案为：0或1． 54．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知，则x的值为________． 【答案】2，0， 【分析】本题考查了零指数幂的运算法则和1的任何次幂都等于1以及的偶次方为；根据零指数幂的运算法则和，1的任何次幂都等于1，以及的偶次方为，再计算即可． 【详解】解：∵ ∴或且或且为偶数， ∴或或． 故答案为：2，0， 55．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，a，n要满足的条件．请解答下列问题： (1)经过讨论，小明同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②，n为偶数；③________． (2)若，求的值． (3)延伸迁移：若，请直接写出a的值． 【答案】(1)1 (2)1或2025 (3)或或 【分析】此题主要考查有理数的乘方及零指数幂的意义，解题的关键是熟知有理数乘方的运算法则及零指数幂的意义． （1）根据1的任何次幂都等于1解答即可； （2）根据（1）三种情况讨论解答即可； （3）根据0的非零次幂等于0，1的任何次幂等于1，的奇数次幂等于解答即可． 【详解】（1）当时，（n为整数）； 故答案为：1； （2）由， 当时，， 解得； 此时底数为，成立 当时， 解得； 指数，是奇数， 结果为，不成立； 当时， 解得． 此时指数为， 此时结果为 所以x的值是1或2025； （3）由，可知 当时，， 解得； 当时， 解得； 当时，是奇数， 解得． 所以a的值是或或． 考点12 幂的运算中的新定义问题 56．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 57．（24-25七年级下·上海·月考）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键．结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴，故⑤错误； 那么正确的有②③④． 故答案为：②③④． 58．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 59．（24-25八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及有理数的混合运算． （1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为16； （2）解：由题意得： ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 60．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0， (2)2，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数． （1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到 （3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 幂的运算 教学目标 1、理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法的运算法则。 2、掌握零指数幂、负整数指数幂的意义及运算。 3、能准确、熟练地进行各类幂的混合运算，规范书写步骤。 教学重难点 1. 重点 （1）掌握同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法四个法则。 （2）理解零指数幂、负整数指数幂的意义并正确运算。 （3）能进行幂的混合运算，步骤规范、结果最简。 2. 难点 （1）区分四个幂的运算法则，不混淆指数运算（加、乘、减）。 （2）负号、系数、括号在幂运算中的处理（如−a2与(−a)2）。 （3）法则的逆向运用（如因式分解、简便计算）。 （4）含字母指数、整体代入型幂的运算。 知识点01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点02 科学记数法表示数的乘法 若两个数分别用科学记数法表示为和（其中，，、为整数），则它们的积为： 通俗总结，分两步计算： 1 先将两个数中前面的系数（和）相乘； 2 再将10的幂相乘（根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加）； 3 最后将两步结果结合，整理成规范的科学记数法形式。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知，那么a、b、c之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则的值为___________． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，，则=________． 5．（24-25七年级下·吉林长春·月考）规定． (1)填空：_______； (2)如果，求x的值． 知识点03 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点04 积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【即学即练】 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）若，，则的值为（　　） A．45 B．30 C．14 D．11 7．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）已知，，，，则这四个数从小到大排列顺序是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算___________． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【教材研究】：下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题： 计算：． 解：原式 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题 计算： (1) (2) 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（n是整数，）． 知识点05 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点06 零指数幂 a0=1 (a≠0) 知识点07 负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点08 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【即学即练】 11．（2026七年级下·江苏·专题练习）如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）下列运算结果正确的是（） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）若，则___________ 14．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： （1）_____．（2）_______． （3）__________．（4）_______． 15．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知：． (1)的值等于 ； (2)的值等于 ； (3)试说明：． 考点01 同底数幂的乘法 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）若，则______． 4．（24-25七年级下·河南郑州·月考）定义一种新运算：规定．若，则的值为________． 5．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）小明在预习课本时看到幂的运算章节图里有这样一句话：“乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础”，我们知道同底数幂的乘法运算性质为：．（、是正整数）． (1)请结合课本的这句话写出这一运算性质的推导过程； (2)解决问题：已知，，求的值． 考点02 同底数幂乘法的逆用 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 8．（24-25八年级上·北京·期中）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为______． 9．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是______. 10．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 考点03 科学记数法 11．（24-25七年级下·河北保定·期末）氧气是由氧元素形成的一种单质，氧元素的原子半径约为，则氧原子的半径用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.000000308cm.数据0.000000308用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·福建泉州·期末）中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米米，将用科学记数法表示为______． 14．（24-25七年级下·江苏南京·月考）经测算，一个水分子的直径约为m，数据用科学记数法表示为 ____________． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）某种缨小蜂体长约为，质量只有约． (1)用科学记数法表示上述两个数据； (2)一个鸡蛋的质量大约是，相当于多少只该种缨小蜂的质量（答案用科学记数法表示）？ 考点04 幂的乘方运算及其逆用 16．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 17．（2026七年级下·江苏·专题练习）若，则x的值是_______． 18．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是_______________． 19．（2026七年级下·江苏·专题练习）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 20．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 考点05 积的乘方运算及其逆用 21．（25-26八年级上·全国·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为____________． 23．（24-25七年级上·上海宝山·期中）通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算________． 24．（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）填空并回答下列问题： __________； ___________； ___________； ___________； ___________； ___________． （1）想一想以上三组中每组得数是否相等？ （2）猜一猜当为正整数时，___________； （3）使用上面的发现计算________． 25．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：． 材料二：等式成立． 试求： (1)＝________； (2)计算：． 考点06 同底数幂的除法运算及其逆用 26．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）若，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 28．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 29．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）若，，为整数，则______． 30．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ． 考点07 幂的混合运算 31．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 32．（24-25八年级上·吉林长春·月考）计算： (1)； (2)． 33．（24-25八年级上·福建泉州·月考）计算． (1) ； (2) ． 34．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 35．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点08 零指数幂与负整数指数幂 36．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若则（   ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级上·广东广州·期中）如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·江苏无锡·期中），则m的值为_______． 39．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若实数，满足，则__________． 40．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 考点09 利用幂的运算比较大小 41．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：，∵，∴ (1)，求x的值 (2)[类比解答]比较，的大小． (3)[拓展拔高]比较，，的大小． 42．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且， 所以，即」 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且， 所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较的大小： (3)比较与的大小． 43．（24-25七年级下·广西来宾·期中）阅读材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为，而，所以，即． 小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，而，所以，即． 小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． （1）比较，，的大小： （2）比较，，的大小． 44．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)比较与的大小． 45．（24-25八年级上·湖南·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 考点10 利用幂的运算判断指数的关系 46．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 48．（2022·河北唐山·一模）已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（　　） A． B． C． D． 49．（2024七年级下·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是____________ ①；②；③；④ 50．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程． 考点11 幂的运算等于1的分类讨论问题 51．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若x满足，则x的值为________． 52．（2022八年级上·全国·专题练习）若，则x的值为_______． 53．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若，则x的值为______． 54．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知，则x的值为________． 55．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，a，n要满足的条件．请解答下列问题： (1)经过讨论，小明同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②，n为偶数；③________． (2)若，求的值． (3)延伸迁移：若，请直接写出a的值． 考点12 幂的运算中的新定义问题 56．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则_________． 57．（24-25七年级下·上海·月考）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有________． 58．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 59．（24-25八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 60．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $