专题04 正切（型）函数的图像与性质6种题型归类（压轴题专项训练）数学沪教版必修第二册

专题04 正切（型）函数的图像与性质 目录 类型一、正切（型）函数的图像及其应用问题 类型二、正切（型）函数的单调性问题 类型三、正切（型）函数的值域与最值问题 类型四、正切（型）函数的奇偶性问题 类型五、正切（型）函数的对称性问题 类型六、正切（型）函数图像与性质的综合应用 压轴专练 类型一、正切（型）函数的图像及其应用问题 解题技巧： 1.定义域优先：正切函数的定义域不包含使角为直角的自变量，解题时先明确定义域，排除无定义的点，避免在间断点处分析性质。 2.图像特征识别：正切函数图像是由无数条间断的分支组成，每个分支对应一个周期，抓住分支的渐近线、零点和单调性，快速识别函数特征。 3.周期简化：正切型函数的周期由角的系数决定，先确定周期，再分析一个周期内的图像与性质，通过周期性扩展到整个定义域。 4.换元转化：将复杂的正切型函数里的角整体换元，转化为基础正切函数问题，再还原回原自变量，降低求解难度。 5.渐近线定位：正切型函数的渐近线对应函数无定义的点，通过求解角为直角的条件，确定渐近线位置，辅助理解图像走势。 6.应用建模：实际问题中，先将文字描述转化为正切型函数模型，再利用图像性质解决角度、距离、高度等问题，注意结合实际意义筛选解。 7.数形结合：遇到方程、不等式时，画出正切函数图像，通过图像交点或位置关系判断解的个数与范围，避免漏解。 例1-1．利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 例1-2．已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．与轴平行的直线与的图象相交，其相邻两交点间的距离为 . 变式1-2．已知函数和函数的图像交于、、三点，则的面积为 ． 变式1-3．当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1-4．函数与，有个交点，坐标分别为，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 类型二、正切（型）函数的单调性问题 解题技巧： 1.定义域优先：先明确正切型函数的定义域，排除使函数无定义的点，再讨论单调性，避免在间断区间内分析。 2.换元转化：把函数中含自变量的角整体设为新变量，转化为基础正切函数的单调性问题，再还原回原自变量求解区间。 3.紧扣图像：利用正切函数在每个连续分支上单调递增的特点，先确定换元后新变量的范围，再结合图像扩展到整个定义域。 4.注意系数符号：如果函数整体带有负号，单调性会反转，需将基础正切函数的增区间转化为减区间。5.结合定义域：求解单调区间时，必须结合题目给定的自变量范围，筛选出在定义域内的有效区间，剔除无定义部分。 6.参数定号：面对含参数的系数，先判定参数的正负性，正号不改变单调性，负号则需将基础单调区间反转。 7.参数范围推导：已知单调区间求参数时，将换元后的变量范围与基础正切函数的单调区间对应，列出关于参数的不等式，结合参数自身限制条件求解。 8.验证端点：区间的端点是否包含，要根据题目要求和函数在该点的连续性来判断，避免漏写或多写。 例2-1．若函数在上单调递增，则 . 例2-2．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 . 变式2-1．已知函数在上单调递增，且其图象经过点和，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-4．已知函数． （1）当时，求的最小正周期及单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 类型三、正切（型）函数的值域与最值问题 解题技巧： 1.定义域优先：先明确正切型函数的定义域，排除使函数无定义的点，再讨论值域与最值，避免在间断区间内分析。 2.换元转化：将含自变量的角整体换元，转化为基础正切函数在特定区间内的值域问题，降低求解难度。 3.区间定位：先确定换元后新变量的取值范围，结合正切函数在每个连续分支上单调递增的图像特征，找到区间内的边界值，进而确定值域。 4.无界性认知：正切函数在每个连续分支上可趋向正负无穷，因此在无限制区间内，正切型函数通常没有最值，只有在有限闭区间内才存在最值。 5.参数分类讨论：参数影响角的范围或函数符号时，按参数的临界值划分情况，分别求解不同情况下的值域与最值。 6.实际意义约束：解决实际应用问题时，除考虑函数本身的定义域，还需结合实际场景对自变量和函数值的限定，筛选有效最值。 7.验证取等条件：求得最值后，需验证此时自变量是否存在且在定义域内，确保最值能够取到。 例3-1．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 . 例3-2．若对，关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 变式3-2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 变式3-3．若在区间上恒成立，则的取值范围是 ． 变式3-4．已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 类型四、正切（型）函数的奇偶性问题 解题技巧： 1.先验定义域：判断奇偶性前，必须先确认函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，直接判定为非奇非偶。 2.奇函数核心特征：正切型函数为奇函数时，图像关于原点对称，且过原点，可通过代入原点坐标快速建立方程，求解相关参数。 3.偶函数判定：正切函数本身是奇函数，一般情况下正切型函数很难成为偶函数，若题目要求为偶函数，需重点检查相位和参数条件。 4.代数定义验证：利用奇偶性的定义式，代入负自变量，通过恒等变形对比原式，判断是否满足奇函数的条件。 5.参数求解与检验：根据奇偶性条件求出参数值后，需代回原函数进行检验，排除因变形过程中产生的增根，确保结论成立。 6.整体换元判断：对于复杂的正切型复合函数，可将内层函数整体换元，结合内外层函数的奇偶性规律，快速判断复合函数的奇偶性。 例4-1．已知函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 例4-2．若的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知函数，若，则=（   ） A． B． C．1 D．2 变式4-2．已知函数是上的奇函数，则 ． 变式4-3．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 变式4-4．（24-25高一·上海·随堂练习）已知为奇函数，且m满足不等式，则m的值为 ． 类型五、正切（型）函数的对称性问题 解题技巧： 1.对称中心核心定位：正切型函数只有对称中心，无对称轴。对称中心是其图像与渐近线的中间点，也是函数的零点或无定义点的中点，令角的取值为半周期的整数倍，可直接求解对称中心坐标。 2.整体换元法：将函数内的角整体换元，对照基础正切函数的对称中心特征，反推原函数的对称中心参数，简化计算过程。 3.参数求解策略：已知对称中心求参数时，利用对称中心的核心条件列方程，结合参数的取值范围确定唯一解或通解。 4.双对称推周期：若已知函数的两个对称中心，利用两者间的距离为半周期整数倍的关系，快速推导函数周期。 5.定义域适配：求解对称中心时，需结合函数定义域，区分该点是函数零点还是无定义点，确保对称中心坐标表述准确。 6.图像验证法：画出函数的草图，通过观察图像的对称特征，验证所求对称中心或参数是否符合题意，避免计算错误。 例5-1．已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例5-2．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．若点（）为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为 . 变式5-3．若函数的图象的一个对称中心的横坐标为2，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式5-4．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O按逆时针方向旋转至在旋转的过程中，记为x，OP所经过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为对于函数给出以下4个结论： ；函数在为减函数； ；的图象关于直线对称． 其中正确结论的序号为 . 类型六、正切（型）函数图像与性质的综合应用 解题技巧： 1.定义域优先：正切型函数的间断点是关键，先明确定义域，排除无定义点，再分析其他性质，避免在间断区间内讨论。 2.数形结合：画出函数草图，借助图像的分支、渐近线和对称中心，直观判断单调性、值域和对称特征，辅助解题。 3.分步拆解：把综合问题拆成多个基础小问题，比如先求周期、再找对称中心、最后分析单调区间，分步求解降低难度。 4.转化换元：遇到复杂的复合结构，将内层的角整体换元，转化为熟悉的基础正切函数问题，再还原回原变量分析。 5.参数定位：求解含参数的综合题时，通过函数的零点、对称中心、单调区间等条件列方程或不等式，确定参数的取值或范围。 6.实际应用转化：解决实际场景问题时，先将题目中的文字描述转化为正切型函数模型，确定函数的各个参数，再结合实际意义分析值域、周期等。 7.验证取等：分析最值或特殊点时，验证对应的自变量是否在定义域内，确保最值、特殊值确实能取到。8.性质串联：把周期性、单调性、对称性结合使用，比如用周期性扩展区间，用对称性定位关键点，用单调性判断值域边界。 例6-1．已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 例6-2．足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 变式6-1．已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 变式6-2．已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心. (1)求的解析式； (2)探究在区间上有几条平行于轴且被曲线无限逼近的直线. 变式6-3．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 变式6-4．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数是“依赖函数”． (1)判断是否是“依赖函数”，并说明理由； (2)若在定义域上是“依赖函数”，求的值； (3)已知函数中在定义域上是“依赖函数”，记，若的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围． 压轴专练 1.若函数图象与直线相邻两交点间的距离为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·上海长宁·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.已知函数的最小正周期为，则下列说法不正确的是（    ） A． B．若直线是图象的一条渐近线，则 C．不存在，使为图象的一个对称中心 D．若在区间内单调，则的取值范围是 6.已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 7.若函数的图象经过点，则下列说法不正确的是（ ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 8.（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 9.已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 10.若函数的最大值为 11.已知直线与函数图象的相邻两个交点间的距离为，若在上单调递增，则的最大值为 ． 12.已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 13.有下列命题： ① 函数的对称中心是； ② 函数和在的图像的交点个数为3； ③ 若函数（，）对于任意都有成立，则； ④已知定义在上的函数，当且仅当时，成立； 则其中正确的命题有 .（填写正确的序号） 14.已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为4. (1)求的定义域（用区间表示）； (2)若是定义在上的函数，求关于的不等式的解集. 15.已知函数，其中． （1）当，时，求函数的最大值与最小值； （2）函数为奇函数，求的值； （3）求的取值范围，使在区间上是单调函数． 16.已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 17.（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 正切（型）函数的图像与性质 目录 类型一、正切（型）函数的图像及其应用问题 类型二、正切（型）函数的单调性问题 类型三、正切（型）函数的值域与最值问题 类型四、正切（型）函数的奇偶性问题 类型五、正切（型）函数的对称性问题 类型六、正切（型）函数图像与性质的综合应用 压轴专练 类型一、正切（型）函数的图像及其应用问题 解题技巧： 1.定义域优先：正切函数的定义域不包含使角为直角的自变量，解题时先明确定义域，排除无定义的点，避免在间断点处分析性质。 2.图像特征识别：正切函数图像是由无数条间断的分支组成，每个分支对应一个周期，抓住分支的渐近线、零点和单调性，快速识别函数特征。 3.周期简化：正切型函数的周期由角的系数决定，先确定周期，再分析一个周期内的图像与性质，通过周期性扩展到整个定义域。 4.换元转化：将复杂的正切型函数里的角整体换元，转化为基础正切函数问题，再还原回原自变量，降低求解难度。 5.渐近线定位：正切型函数的渐近线对应函数无定义的点，通过求解角为直角的条件，确定渐近线位置，辅助理解图像走势。 6.应用建模：实际问题中，先将文字描述转化为正切型函数模型，再利用图像性质解决角度、距离、高度等问题，注意结合实际意义筛选解。 7.数形结合：遇到方程、不等式时，画出正切函数图像，通过图像交点或位置关系判断解的个数与范围，避免漏解。 例1-1．利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象与性质求解不等式. 【详解】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是， 所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，. 故选：D 例1-2．已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求，再根据,求的范围，结合正切函数的图象，列不等式，即可求的取值范围. 【详解】由条件可知，，所以， ，当时，， 若函数在区间上恰有2个零点，则， 解得. 故选：D 变式1-1．与轴平行的直线与的图象相交，其相邻两交点间的距离为 . 【答案】 【分析】作出直线与函数的图象，可知直线与函数图象相邻两交点间的距离为函数的最小正周期，然后利用正切型函数周期公式可得出答案. 【详解】作出直线与函数的图象如下图所示： 由图象可知，与轴平行的直线与的图象的相邻两交点间的距离为函数的最小正周期，即为. 故答案为. 变式1-2．已知函数和函数的图像交于、、三点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】联立方程组，求出交点坐标，利用三角形的面积公式求出面积. 【详解】由，得或，因为， 所以或或， 所以函数与函数图像的交点为，，，所以的面积 故答案为：. 变式1-3．当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】函数，其零点就是方程的解，也就是的解. 作出与在给定区间上的图象，根据图象交点个数来确定函数的零点个数. 【详解】由，得， 作出，，的图象，    由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4． 故选：C． 变式1-4．函数与，有个交点，坐标分别为，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数基本关系解方程可判断A，利用正切函数与余弦函数图象可判断BCD. 【详解】因为，∴，故A正确； 作出函数与图象， 通过两个函数的图像可以得到图象有4个交点，故B选项正确； 且4个点两两关于点对称，所以， ，因此D选项正确，C选项错误. 故选：C 类型二、正切（型）函数的单调性问题 解题技巧： 1.定义域优先：先明确正切型函数的定义域，排除使函数无定义的点，再讨论单调性，避免在间断区间内分析。 2.换元转化：把函数中含自变量的角整体设为新变量，转化为基础正切函数的单调性问题，再还原回原自变量求解区间。 3.紧扣图像：利用正切函数在每个连续分支上单调递增的特点，先确定换元后新变量的范围，再结合图像扩展到整个定义域。 4.注意系数符号：如果函数整体带有负号，单调性会反转，需将基础正切函数的增区间转化为减区间。5.结合定义域：求解单调区间时，必须结合题目给定的自变量范围，筛选出在定义域内的有效区间，剔除无定义部分。 6.参数定号：面对含参数的系数，先判定参数的正负性，正号不改变单调性，负号则需将基础单调区间反转。 7.参数范围推导：已知单调区间求参数时，将换元后的变量范围与基础正切函数的单调区间对应，列出关于参数的不等式，结合参数自身限制条件求解。 8.验证端点：区间的端点是否包含，要根据题目要求和函数在该点的连续性来判断，避免漏写或多写。 例2-1．若函数在上单调递增，则 . 【答案】 【分析】根据正切函数的单调性以及周期性分析求解即可. 【详解】因为，则， 且，则，， 若函数在上单调递增， 注意到函数的最小正周期，且， 则，解得. 故答案为：. 例2-2．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解出正切型函数单调区间，则得到的范围. 【详解】令，，解得，， 令，则其一个单调增区间为，则实数的取值范围为， 故答案为：. 变式2-1．已知函数在上单调递增，且其图象经过点和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，根据两角差正切公式可得，结合根据在上单调递增即可求解. 【详解】由题意得，， 化简得，， 所以，可得， 根据在上单调递增，故，解得，所以. 故选：B 变式2-2．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得. 【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数， 则有，解得，又因，故. 故选：C. 变式2-3．已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的单调减区间，结合题意，得出不等式组求出的取值范围即可. 【详解】由 可知，解得 又，故的取值范围为 故选: 变式2-4．已知函数． （1）当时，求的最小正周期及单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）4，，；（2）. 【分析】（1）当时，利用正切函数的周期公式和单调性即可求出的最小正周期及单调区间； （2）根据在上恒成立，建立周期与最值的关系，解不等式即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，的最小正周期,故最小正周期为4； 要求的单调区间，只需，解得：， 故的增区间为，，无单减区间. （2）∵，∴函数的周期．∵在上恒成立，∴在上为严格增函数，∴，∴． ∵，∴，即，即，∴，∴． 类型三、正切（型）函数的值域与最值问题 解题技巧： 1.定义域优先：先明确正切型函数的定义域，排除使函数无定义的点，再讨论值域与最值，避免在间断区间内分析。 2.换元转化：将含自变量的角整体换元，转化为基础正切函数在特定区间内的值域问题，降低求解难度。 3.区间定位：先确定换元后新变量的取值范围，结合正切函数在每个连续分支上单调递增的图像特征，找到区间内的边界值，进而确定值域。 4.无界性认知：正切函数在每个连续分支上可趋向正负无穷，因此在无限制区间内，正切型函数通常没有最值，只有在有限闭区间内才存在最值。 5.参数分类讨论：参数影响角的范围或函数符号时，按参数的临界值划分情况，分别求解不同情况下的值域与最值。 6.实际意义约束：解决实际应用问题时，除考虑函数本身的定义域，还需结合实际场景对自变量和函数值的限定，筛选有效最值。 7.验证取等条件：求得最值后，需验证此时自变量是否存在且在定义域内，确保最值能够取到。 例3-1．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 . 【答案】/ 【分析】分析在的单调性，求出的范围，根据最值建立等式，解出即可. 【详解】解：取，解得， 所以在上单调递增， 即在上单调递减， 因为在闭区间上有最大值为7，最小值为3， 所以，且，， 即，解得， 因为，所以，故. 故答案为： 例3-2．若对，关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转换为即可得解. 【详解】由题意即可，所以. 故选：D. 变式3-1．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的有界性与正切函数的单调性，即可求出函数的值域． 【详解】∵，∴. ∵在上是单调递增的． 即 ∴函数的值域为. 故选：C 变式3-2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 变式3-3．若在区间上恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出，可得在区间上的最大值为，从而可得答案. 【详解】 所以 所以 在区间上的最大值为， 因为在区间上恒成立， 所以的取值范围是， 故答案为：. 变式3-4．已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的周期可求的值，再根据，结合的取值范围，可求的值，进而可得的解析式. （2）利用正切函数的性质，结合换元思想求函数在给定区间的值域. （3）先得到的解析式，再结合，利用正切函数的周期性，可求的最小值. 【详解】（1）因为最小正周期．所以，解得． 因为， 所以，则． 解得． 由，得，从而. （2）因为，所以， 所以，即在上的值域． （3）由（1）知． 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以当时，的最小值为． 类型四、正切（型）函数的奇偶性问题 解题技巧： 1.先验定义域：判断奇偶性前，必须先确认函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，直接判定为非奇非偶。 2.奇函数核心特征：正切型函数为奇函数时，图像关于原点对称，且过原点，可通过代入原点坐标快速建立方程，求解相关参数。 3.偶函数判定：正切函数本身是奇函数，一般情况下正切型函数很难成为偶函数，若题目要求为偶函数，需重点检查相位和参数条件。 4.代数定义验证：利用奇偶性的定义式，代入负自变量，通过恒等变形对比原式，判断是否满足奇函数的条件。 5.参数求解与检验：根据奇偶性条件求出参数值后，需代回原函数进行检验，排除因变形过程中产生的增根，确保结论成立。 6.整体换元判断：对于复杂的正切型复合函数，可将内层函数整体换元，结合内外层函数的奇偶性规律，快速判断复合函数的奇偶性。 例4-1．已知函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】由诱导公式进行化简，再利用函数解析式求解相应的性质. 【详解】由诱导公式得， 因为， 所以是奇函数，其最小正周期为. 故为最小正周期为的奇函数. 故选：C. 例4-2．若的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，结合，列出方程，得到恒成立，即可求解. 【详解】因为函数的图象关于原点对称， 所以函数为奇函数，则满足，且定义域关于原点对称， 又因为， 所以在定义域上恒成立， 因为在定义域上不恒为，所以， 可得在定义域上恒成立，所以. 故选：D. 变式4-1．已知函数，若，则=（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】求出的值即可求解. 【详解】由题可得：, 所以， 故选：B 变式4-2．已知函数是上的奇函数，则 ． 【答案】 【分析】利用和角的正切公式化简函数，再利用函数奇偶性运算分析计算得解. 【详解】依题意， 函数是上的奇函数，而函数是上的奇函数， 因此函数是上的偶函数， 则，所以. 故答案为： 变式4-3．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】依题意可得，令，，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质计算可得； 【详解】解:，令，，于是 ，所以是奇函数，从而的最大值G与最小值g的和为0，而. 故选：B 变式4-4．（24-25高一·上海·随堂练习）已知为奇函数，且m满足不等式，则m的值为 ． 【答案】或或 【分析】利用奇函数性质求出的关系式，再解不等式求出的范围即可得解. 【详解】函数的定义域为，而该函数为奇函数， 则当时，，即，解得， 经检验当时，函数为奇函数， 由，得，因此或或， 所以m的值为或或. 故答案为：或或 类型五、正切（型）函数的对称性问题 解题技巧： 1.对称中心核心定位：正切型函数只有对称中心，无对称轴。对称中心是其图像与渐近线的中间点，也是函数的零点或无定义点的中点，令角的取值为半周期的整数倍，可直接求解对称中心坐标。 2.整体换元法：将函数内的角整体换元，对照基础正切函数的对称中心特征，反推原函数的对称中心参数，简化计算过程。 3.参数求解策略：已知对称中心求参数时，利用对称中心的核心条件列方程，结合参数的取值范围确定唯一解或通解。 4.双对称推周期：若已知函数的两个对称中心，利用两者间的距离为半周期整数倍的关系，快速推导函数周期。 5.定义域适配：求解对称中心时，需结合函数定义域，区分该点是函数零点还是无定义点，确保对称中心坐标表述准确。 6.图像验证法：画出函数的草图，通过观察图像的对称特征，验证所求对称中心或参数是否符合题意，避免计算错误。 例5-1．已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较 【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件 故选：B 例5-2．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得即可求解的方程，再由即可得解. 【详解】由点是函数图象的一个对称中心得， 则，又，所以当时，取得最小值为. 故选：A． 变式5-1．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得函数与的最小正周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】对于函数，令， 解得， 即的对称中心为； 因为函数的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又函数的最小正周期，所以，所以， 则， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：C． 变式5-2．若点（）为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用正切函数的性质求出函数图象的对称中心，再求出最小值. 【详解】由，，得，; 因此函数的图象的对称中心为（） 而，则，，，， ，，， 所以的最小值为. 故答案为：. 变式5-3．若函数的图象的一个对称中心的横坐标为2，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正切函数的对称中心，根据题意得，结合，即可求得的最小正值. 【详解】对于，由，可得，， 即函数的图象的对称中心为， 依题意，， 解得， 因为，则时，可得的最小值为. 故选：B. 变式5-4．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O按逆时针方向旋转至在旋转的过程中，记为x，OP所经过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为对于函数给出以下4个结论： ；函数在为减函数； ；的图象关于直线对称． 其中正确结论的序号为 . 【答案】①③ 【分析】由题意，分段整理函数的解析式，根据正切函数的性质，逐项计算并检验，可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 对于①，显然，则，故①正确； 对于②，由，函数为增函数， 当时，，则函数在该范围上单调递增， 当时，，则函数在该范围上单调递增， 并且， 综上可得：函数在上单调递增，故②错误； 对于③，当时，则，可得， 同理可得当取其他值时，等式都成立，故③正确； 对于④，由，则函数的图象关于成中心对称. 故答案为：①③. 类型六、正切（型）函数图像与性质的综合应用 解题技巧： 1.定义域优先：正切型函数的间断点是关键，先明确定义域，排除无定义点，再分析其他性质，避免在间断区间内讨论。 2.数形结合：画出函数草图，借助图像的分支、渐近线和对称中心，直观判断单调性、值域和对称特征，辅助解题。 3.分步拆解：把综合问题拆成多个基础小问题，比如先求周期、再找对称中心、最后分析单调区间，分步求解降低难度。 4.转化换元：遇到复杂的复合结构，将内层的角整体换元，转化为熟悉的基础正切函数问题，再还原回原变量分析。 5.参数定位：求解含参数的综合题时，通过函数的零点、对称中心、单调区间等条件列方程或不等式，确定参数的取值或范围。 6.实际应用转化：解决实际场景问题时，先将题目中的文字描述转化为正切型函数模型，确定函数的各个参数，再结合实际意义分析值域、周期等。 7.验证取等：分析最值或特殊点时，验证对应的自变量是否在定义域内，确保最值、特殊值确实能取到。8.性质串联：把周期性、单调性、对称性结合使用，比如用周期性扩展区间，用对称性定位关键点，用单调性判断值域边界。 例6-1．已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为1 (2) 【分析】（1）根据题意，得到，结合在区间上单调，列出不等式组，即可求解； （2）求得函数的对称中心满足，根据题意，得到图象在区间上至少有两个对称中心，确定的值，即可求解. 【详解】（1）当时，可得， 因为函数在区间上单调， 则满足，解得，故的最大值为1． （2）由函数， 可得图象的对称中心满足，整理得， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则， 因为在区间上至少有两个不同的解，所以至少存在两个值使， 所以至少有两个取值，所以， 综上可得，的取值范围为． 例6-2．足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出的外接圆半径，再设出圆心坐标，借助勾股定理求解即得. （2）利用直角三角形边角关系，用点的纵坐标表示，再利用差角的正切公式建立函数关系，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）在中，设其外接圆半径为，,， 由正弦定理得，解得， 显然的外接圆圆心在线段的中垂线，即轴上，设圆心坐标为， 于是，解得， 所以的外接圆的圆心坐标为. （2）设点，显然，而轴， 则， 于是， 当且仅当，即时取等号，而是锐角，正切函数在上单调递增， 因此最大，当且仅当最大， 所以当最大时，点的坐标是. 变式6-1．已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的周期可求的值，再根据，结合的取值范围，可求的值，进而可得的解析式. （2）利用正切函数的性质，结合换元思想求函数在给定区间的值域. （3）先得到的解析式，再结合，利用正切函数的周期性，可求的最小值. 【详解】（1）因为最小正周期．所以，解得． 因为， 所以，则． 解得． 由，得，从而. （2）因为，所以， 所以，即在上的值域． （3）由（1）知． 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以当时，的最小值为． 变式6-2．已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心. (1)求的解析式； (2)探究在区间上有几条平行于轴且被曲线无限逼近的直线. 【答案】(1) (2)在区间上有4条平行于轴且被曲线无限逼近的直线. 【分析】（1）解题的关键在于根据正切函数对称中心的性质求出函数的参数，确定函数表达式. （2）运用整体代换思想，分析正切型函数的定义域问题. 【详解】（1）由题可知，，其中T是的最小正周期，故. 又因为点是曲线的对称中心， 所以，，即，， 结合可知. 因此. （2）平行于y轴且被曲线无限逼近的直线的方程满足，. 解得，. 在区间上解，可得，共四个取值， 所以在区间上有4条平行于轴且被曲线无限逼近的直线. 变式6-3．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据正切函数的性质代入公式求解即可； （2）结合正切函数的性质，可知要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，再代入运算即可. 【详解】（1）当时，，所以最小正周期. 由，得， 所以严格增区间为，. （2）因为，，， 与相差个周期，与相差个周期， 所以要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，且最小值不小于， 故，即，所以，又, 所以. 变式6-4．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数是“依赖函数”． (1)判断是否是“依赖函数”，并说明理由； (2)若在定义域上是“依赖函数”，求的值； (3)已知函数中在定义域上是“依赖函数”，记，若的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析； (2) (3)或 【分析】（1）举出反例，得到不是“依赖函数”； （2）整体法得到，，在定义域上单调递增，且，从而得到，求出； （3）当时，，举出反例得到在定义域上不是“依赖函数”，当时，在上单调递增，要想在定义域上是“依赖函数”，需满足，解得，再分，和三种情况，由的解集中恰有两个整数，得到的取值范围. 【详解】（1）不是“依赖函数”，理由如下： 当时，，则， 故，解得， 所以不是“依赖函数”； （2）时，，显然， 解得， 在定义域上单调递增，且， 由题意得，当时，， 要想满足存在唯一的使得， 则，，解得； （3）当时，， 故对于，不存在，使得， 在定义域上不是“依赖函数”， 当时，在上单调递增， 要想在定义域上是“依赖函数”， 需满足，即， 解得（舍去）或0， 故， 若，则的解集为， 的解集中恰有两个整数，故， 若，此时的解集为，不合要求， 若，则的解集为， 的解集中恰有两个整数，故， 综上，实数的取值范围是或. 压轴专练 1.若函数图象与直线相邻两交点间的距离为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可知函数的周期，进而求出，再由函数单调性求值域. 【详解】因，所以在各周期内单调递增，最小正周期. 而该函数图象与相邻两交点的距离为，即，故. 所以. 故，因，所以. 因在上单调递增，因此，即. 所以的值域为. 故选：D 2.（24-25高一下·上海长宁·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数的周期性求得解析式，进而求得其增区间，再由在区间上单调递增求解. 【详解】解：由题意知，解得，所以， 令，，解得，， 当时，可得在上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以， 即m的取值范围是． 故选：B 3.函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，化简函数解析式，利用正切函数和正弦函数的单调性和性质，结合选项，即可求解. 【详解】由函数 当时，可得， 所以， 此时函数为单调递减函数，且，可排除选项C、D； 当时，可得， 所以， 此时函数为单调递增函数，且，可排除选项A． 故选：B． 4.已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的简图，结合图象及对称性可得答案. 【详解】设，作出的简图， 不妨设，由正弦函数的对称性可知， 由图可知，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 5.已知函数的最小正周期为，则下列说法不正确的是（    ） A． B．若直线是图象的一条渐近线，则 C．不存在，使为图象的一个对称中心 D．若在区间内单调，则的取值范围是 【答案】C 【分析】利用正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切函数的渐近线方程可判断B选项；利用正切型函数的对称性求出的表达式，结合赋值法可判断C选项；利用正切型函数的单调性可求出的取值范围，结合可得出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的最小正周期为，故，A对； 对于B选项，由A选项可得， 令，，解得，， 因为，所以，B对； 对于C选项，若点为图象的对称中心，则，， 即，，当时，，C错； 对于D选项，若在区间内单调， 由可得， 所以，， 则，，即，， 记，，则， 又所以的取值范围，D对. 故选：C 6.已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的图像与性质，直接求解即可. 【详解】， 当时，， 当时，， 当时，，单调递增， 且函数不单调，结合, ，， 故选：D 7.若函数的图象经过点，则下列说法不正确的是（ ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 【答案】B 【分析】求出解析式，再求出函数的对称中心即判断A；求出最小正周期判断B；根据变量范围得出角的范围进而求出函数值范围判断C；求出正切型函数的单调递增区间以及零点，结合正切（型）函数图象性质求得单调增区间判断D. 【详解】依题意，，又，则，， 对于A，令，则，的对称中心为， 当时，，因此点为函数图象的一个对称中心，A正确； 对于B，的最小正周期为，B错误； 对于C，当，，，C正确； 对于D，由，得， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间， 令，得，则，即， 因此函数的零点为，    函数的单调递增区间为，D正确. 故选：B 8.（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 9.已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 【答案】5 【分析】根据正切函数的单调性列不等式计算，再分讨论即可求出最大值. 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得. 当时，1，又，所以； 当时，； 当时，不等式无解. 综上，的最大值为5. 故答案为：5. 10.若函数的最大值为 【答案】 【分析】根据的取值正负化简函数，再结合正切函数的单调性分析出原函数的单调性，即可解出. 【详解】∵，且， ∴，∴， ∴， ∵在上单调递增，∴在上单调递减， ∴， 故答案为：. 11.已知直线与函数图象的相邻两个交点间的距离为，若在上单调递增，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】确定周期，求得，再通过整体代换求得单调区间，即可求解. 【详解】因为直线与函数图象的相邻两个交点间的距离为一个最小正周期， 所以，即，． 由，解得， 所以在上单调递增，故， 解得， 即的最大值为． 故答案为： 12.已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 【答案】 【分析】求得的周期和奇偶性，结合题意，只需求在的值域即可；再根据的单调性即可求得结果. 【详解】因为，定义域为，故为偶函数； 又，故的一个周期为； 根据题意可得：的值域，也就是在的值域，也就是上的值域； 当，，又在上均为单调增函数，故在单调递增， 又，当趋近于时，趋近于，故的值域为. 故答案为：. 13.有下列命题： ① 函数的对称中心是； ② 函数和在的图像的交点个数为3； ③ 若函数（，）对于任意都有成立，则； ④已知定义在上的函数，当且仅当时，成立； 则其中正确的命题有 .（填写正确的序号） 【答案】② 【分析】①由正切函数的性质分析即可；②令，解的个数即为图像交点个数；③利用对称性和正弦函数的图像分析即可；④画出分段函数的图像，利用图像判断即可. 【详解】的对称中心应为，①错误； 解方程，显然，所以解得或， 因为且，所以或，②正确； 由可得的对称轴为，正余弦函数在对称轴处取最值，所以，③错误； ，其图像如下， 由图像可知④错误； 故答案为：② 14.已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为4. (1)求的定义域（用区间表示）； (2)若是定义在上的函数，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件和图象首先求出，再根据正切函数的性质求解即可. （2）首先对不等式进行变形，分两个区间进行讨论，结合函数的单调性，范围和特殊值求解即可. 【详解】（1）根据题意可得，解得，则. 由， 得，即的定义域为. （2）由（1）得，其定义域为. 关于的不等式即，即. 当时，，则， 因为，所以成立. 当时，因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以. 综上，关于的不等式的解集为. 15.已知函数，其中． （1）当，时，求函数的最大值与最小值； （2）函数为奇函数，求的值； （3）求的取值范围，使在区间上是单调函数． 【答案】（1）；；（2）；（3），. 【分析】（1）代入,再对中的二次函数进行配方分析最值即可. （2）根据奇函数的定义可得，解方程即可. （3）计算二次函数的对称轴满足的关系式,再列出对应的不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，， 对称轴，当时，最大，且； 当时，最小，且， 综上，的最大值，最小值为. （2）， 函数的定义域 若为奇函数，则， 即，解得， 所以， 所以函数为奇函数时， （3）的对称轴为， 在区间上单调时，或， ∴或， 解得或，（）， ∴的取值范围是，. 16.已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质，解不等式； （2）首先求函数的值域，再换元为函数，转化为讨论对称轴与定义域的关系，求函数的最小值问题，即可求解. 【详解】（1）不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. 17.（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $