第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图像（知识清单+8题型讲解举一反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图像 知识清单 知识点01：函数的周期性 题型讲解 （举一反三） 题型1：相位变换及解析式特征 题型2：周期变换及解析式特征 题型3：描述正（余）弦型函数图象的变换过程 题型4：求图象变化前（后）的解析式 题型5：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 题型6：由图象确定正（余）弦型函数解析式 题型7：由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 题型8：正、余弦型三角函数图象的应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 题型1：相位变换及解析式特征 【例1-1】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【变式1-1】（24-25高一下·上海·期中）函数的初始相位为 . 【变式1-2】函数的初始相位为 . 【变式1-3】函数的初始相位是 ． 题型2：周期变换及解析式特征 【例2-1】（24-25高一·上海·课堂例题）下列函数中，与函数的图象形状相同的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【变式2-1】已知函数记作，为了得到函数，只需（    ） A．先将的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 B．先将横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 C．先将向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的 D．先将向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍 【变式2-2】（24-25高一下·上海·月考）函数的频率与初始相位之差为 【变式2-3】（24-25高一下·上海·期末）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为 题型3： 描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【例3-1】（24-25高一下·上海·期中）对于函数，的图像（ ）得到． A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【变式3-1】（24-25高一下·上海·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移 【变式3-2】在同一平面直角坐标系下作出和的图象，并说明它们之间的关系. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的图象是由函数的图象通过怎样的变换得到的？ 题型4： 求图象变化前（后）的解析式 【例4-1】（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·上海·期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（   ）. A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·上海浦东新·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 . 【变式4-3】（24-25高一上·上海·课后作业）将函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的，然后再将其图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与的图象相同，求的解析式. 题型5： 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【例5-1】已知函数的部分函数图像如下图，则（    ） A． B． C．1 D．0 【变式5-1】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式5-2】将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 【变式5-3】已知向右平移个单位后为奇函数，则 . 题型6： 由图象确定正（余）弦型函数解析式 【例6-1】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 【变式6-1】函数的部分图像如图所示，则 . 【变式6-2】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则 【变式6-3】（24-25高一下·上海黄浦·月考）已知函数的图象如图所示，点为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值. (1)求参数的值； (2)若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围. 题型7： 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【例7-1】（24-25高一下·上海·期中）函数的振幅是2，频率是，初始相位是，则它的解析式为 . 【变式7-1】（24-25高一下·上海·月考）已知，，，函数的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为 ． 【变式7-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（，，）在同一周期内，当时，y取到最大值4，当时，y取到最小值–4，求函数的解析式. 【变式7-3】（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数（，）的图象经过点，与点P相邻的最高点． (1)求和的值； (2)当时，求函数的值域． 题型8： 正、余弦型三角函数图象的应用 【例8-1】函数为（    ） A．最小正周期是的偶函数 B．最小正周期是的偶函数 C．最小正周期是的奇函数 D．最小正周期是的奇函数 【变式8-1】设a，，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数组的组数为（    ） A．1组； B．2组； C．4组； D．无数组． 【变式8-2】应用五点法作函数y＝sin的图象时，图象的最高点的坐标是 ． 【变式8-3】试确定关于的方程的解的个数. 一、填空题 1．设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是 . 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（，）的图像的一个最高点为，相邻最低点，则 ， . 3．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，（，，）的最小值是－2，其图像相邻的最高点与最低点横坐标差是，又图像过点，则函数解析式为 ． 4．（24-25高一下·上海青浦·期中）将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是 . 5．（24-25高一下·上海黄浦·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是 . 6．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则 ． 7．函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 8．（24-25高一下·上海杨浦·期中）函数的部分图象如图，则该函数的单调增区间为 . 9．（24-25高一下·上海·期末）已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则 ． 10．（24-25高一下·上海·月考）函数的图象的一部分如图所示，则的初相为 ． 11．（24-25高一下·上海·期中）根据下图，函数的解析式为    12．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中，），则估计中午12时的温度近似为 ℃；（精确到） 二、单选题 13．（24-25高一·上海·随堂练习）函数的图象关于（    ）． A．y轴对称； B．直线对称； C．原点对称； D．直线对称． 14．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·上海宝山·月考）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 三、解答题 17．（24-25高一下·上海嘉定·期中）已知函数，，的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 18．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 19．如图，已知函数（，，）的图像与y轴的交点为，并已知其在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．求此函数的表达式． 20．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 21．（24-25高一下·上海·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图像 知识清单 知识点01：函数的周期性 题型讲解 （举一反三） 题型1：相位变换及解析式特征 题型2：周期变换及解析式特征 题型3：描述正（余）弦型函数图象的变换过程 题型4：求图象变化前（后）的解析式 题型5：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 题型6：由图象确定正（余）弦型函数解析式 题型7：由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 题型8：正、余弦型三角函数图象的应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 题型1：相位变换及解析式特征 【例1-1】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可. 【详解】 将函数向左平移个单位得： 故选：B 【变式1-1】（24-25高一下·上海·期中）函数的初始相位为 . 【答案】 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】因为函数为，所以初始相位为. 故答案为：. 【变式1-2】函数的初始相位为 . 【答案】 【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】函数的初始相位为. 故答案为：. 【变式1-3】函数的初始相位是 ． 【答案】 【分析】由初始相位的定义可得结论. 【详解】因为， 所以函数的初始相位是， 故答案为：. 题型2：周期变换及解析式特征 【例2-1】（24-25高一·上海·课堂例题）下列函数中，与函数的图象形状相同的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】D 【分析】利用三角函数图象形状相同的性质即可得解. 【详解】与函数的图象形状相同，则振幅和周期相同即可， 即； 对于A，中，振幅不相同，故A错误； 对于B，中，振幅不相同，故B错误； 对于C，中，周期不相同，故C错误； 对于D，中，相同，则图象相同，故D正确. 故选：D. 【变式2-1】已知函数记作，为了得到函数，只需（    ） A．先将的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 B．先将横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 C．先将向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的 D．先将向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍 【答案】B 【解析】分别分析先平移后伸缩和先伸缩后平移的情况，然后判断符合的选项. 【详解】如果将先平移后伸缩，则为了得到函数，需要先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍；如果先伸缩后平移，则为了得到函数，需要先将横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一下·上海·月考）函数的频率与初始相位之差为 【答案】 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】函数的周期，初相为， 所以频率为，故频率与初始相位之差为. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一下·上海·期末）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为 【答案】8 【分析】根据所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，得到方程，整理得到所以，，又，故，经检验后得到或6，所有可能取值之和为8. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍， 所以，，， 所以，，， 两式相加得，， 所以，其中，故， 两式相减得， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，或6，所有可能取值之和为8. 故答案为：8 题型3： 描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【例3-1】（24-25高一下·上海·期中）对于函数，的图像（ ）得到． A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【答案】A 【分析】根据题意利用平移规则可知向右平移即可满足题意. 【详解】易知将向右平移个单位可得. 故选：A 【变式3-1】（24-25高一下·上海·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移 【答案】B 【分析】根据条件，利用图象的变换，即可求解. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移个单位得到， 故选：B. 【变式3-2】在同一平面直角坐标系下作出和的图象，并说明它们之间的关系. 【答案】作图见解析 【分析】取分别为，求出对应的，然后描点，用平滑的曲线连接即可. 【详解】列表： 描点、连线，函数图象如下图所示： 故根据函数图象观察可得：函数的图象保持横坐标不变， 把所有点的纵坐标向上平移2个单位即可得到的图象. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的图象是由函数的图象通过怎样的变换得到的？ 【答案】答案见解析. 【分析】根据三角函数平移伸缩的规则分两种方法得出变换过程. 【详解】方法一：先伸缩后平移 的图象 的图象 的图象的图象. 方法二：先平移后伸缩 的图象 的图象 的图象 的图象的图象. 题型4： 求图象变化前（后）的解析式 【例4-1】（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 将向右平移个单位得到. 故选：D 【变式4-1】（24-25高一下·上海·期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换求出解析式. 【详解】依题意，曲线，曲线. 故选：D 【变式4-2】（24-25高一下·上海浦东新·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用三角函数的图象变换求出平移后所得函数的解析式，结合诱导公式可得出关于的表达式，即可解出正实数的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象， 因为， 由题意可知，函数的图象与函数的图象重合， 所以，可得， 因为，故当时，取最小值. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高一上·上海·课后作业）将函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的，然后再将其图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与的图象相同，求的解析式. 【答案】 【分析】利用三角函数平移的性质求出函数解析式即可. 【详解】由题意得沿着轴向右平移个单位长度得到， 再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到， 故的解析式为. 题型5： 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【例5-1】已知函数的部分函数图像如下图，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用图象可确定最小正周期，由此可得，结合可得，由此可得；由可知其周期为，结合可求得结果. 【详解】由图象可得：，解得：； 又，，解得：， ，，； ，的周期为， 又，. 故选：C 【变式5-1】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】先将转化为,再判断的符号即可得出结论. 【详解】解：因为, 所以只需把向右平移个单位. 故选A 【点睛】函数左右平移变换时,一是要注意平移方向：按“左加右减",如由的图象变为的图象,是由变为,所以是向左平移个单位；二是要注意前面的系数是不是,如果不是,左右平移时,要先提系数,再来计算. 【变式5-2】将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的图象变化规律，结合三角函数的奇偶性、诱导公式，求得的值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象， 根据所得函数为奇函数，可得 ，即，因为，令，可得， 故答案为： 【变式5-3】已知向右平移个单位后为奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据辅助角公式化简函数，其中，根据平移公式得，再结合奇函数性质即可求解． 【详解】由根据题意可得，函数，其中 因为向右平移个单位后，可得， 又由为奇函数，所以，即， 又因为，所以，所以． 故答案为： 题型6： 由图象确定正（余）弦型函数解析式 【例6-1】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】根据三角函数图像及性质，可求得其解析式，进而可判断A、B选项错误，再结合三角函数的对称性即可判断C选项正确，D选项错误. 【详解】设的周期为，根据函数图像可得，解得，故B错误； 又，解得， 因为当时，取得最小值，且，所以， 所以，即， 所以，解得， 又，取，得，所以，故A错误； 对于C，当时，，可得， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，，取不到最大值或最小值， 所以直线不是图象的对称轴，故D错误． 故选：C. 【变式6-1】函数的部分图像如图所示，则 . 【答案】 【分析】先根据图象得到和，进而求出，代入特殊点坐标求出，得到答案. 【详解】由图象可得，，解得， 因为，所以，解得， 将代入解析式得，，故，， 因为，解得， 故. 故答案为： 【变式6-2】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则 【答案】 【分析】由“五点法”， 结合图象分别求出即可求解. 【详解】由图象知，，，即， 由图象过点，代入函数， 即，因为，则， 所以. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高一下·上海黄浦·月考）已知函数的图象如图所示，点为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值. (1)求参数的值； (2)若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数在处取得最小值和这两个条件求出的值. （2）首先根据函数解析式求出点的坐标，进而可求得向量的表达式，然后判断函数的最小值，让其最小值大于等于1，即可使得原不等式恒成立，从而可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得在处取得最小值，则，， 所以，， ，则. （2）因为，所以最小正周期，因为在处取得最小值， 所以，，，， 是上之间的一个动点，设， 则，，                      ， 易知，在或处有最小值， 在或处有最大值， 当或时，有最小值， 要使得恒成立，则需的最小值大于等于1即可，此时或， 若，则，，， 又，解得， 若，则，，， 又，解得， 综上可得. 题型7： 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【例7-1】（24-25高一下·上海·期中）函数的振幅是2，频率是，初始相位是，则它的解析式为 . 【答案】 【分析】根据振幅，频率，初始相位，求出对应的参数，即可求解. 【详解】由振幅是2，得，由频率是，得周期为，则，解得， 由初始相位是，得，所以解析式为. 故答案为：. 【变式7-1】（24-25高一下·上海·月考）已知，，，函数的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据求出，再根据，可求出，即可求得其最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以， 又为的零点，即， 所以，解得， 又，所以当取得最小值，此时. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（，，）在同一周期内，当时，y取到最大值4，当时，y取到最小值–4，求函数的解析式. 【答案】 【分析】由题意可得，，求出，然后将代入函数中可求出，从而可求出函数解析式. 【详解】因为函数在同一周期内，当时，取到最大值4，当时，取到最小值， 所以，周期，所以， 所以， 因为当时，取到最大值4， 所以，（）， 所以（）， 因为，所以 所以. 【变式7-3】（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数（，）的图象经过点，与点P相邻的最高点． (1)求和的值； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由已知，函数的图象经过点，与点P相邻的最高点，可得，即可求得的值，根据五点法作图可得，可求得的值； （2）由（1）可得，当时，，可得，即为函数的值域. 【详解】（1）因为函数（，）的图象经过点， 与点P相邻的最高点， 所以，所以． 根据五点法作图可得，所以． （2）由（1）可得， 当时，， 所以，所以， 即函数的值域为． 题型8： 正、余弦型三角函数图象的应用 【例8-1】函数为（    ） A．最小正周期是的偶函数 B．最小正周期是的偶函数 C．最小正周期是的奇函数 D．最小正周期是的奇函数 【答案】B 【分析】根据正弦、余弦函数的基本性质进行判断即可. 【详解】由知， 是偶函数； 又， 故为函数的周期； 从选项分析知，函数是最小正周期是的偶函数， 故选：B 【变式8-1】设a，，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数组的组数为（    ） A．1组； B．2组； C．4组； D．无数组． 【答案】C 【分析】由题意得出，，然后对、的取值进行分类讨论，结合题中等式求出的值，即可得出正确选项. 【详解】由题意知，函数与函数的最大值相等，最小值也相等，则， 函数与函数的最小正周期相等，则， 当，时，由于，则， 由于，此时，； 当，时，， 则，得，，此时，； 当，时，， 则，得，，则； 当，时，， 则，得，，则. 因此，满足条件的有序实数组的组数为组. 故选：C． 【变式8-2】应用五点法作函数y＝sin的图象时，图象的最高点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由正弦型三角函数图像性质求解即可. 【详解】由sin＝1可得x＝，所以图象的最高点的坐标是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查正弦型三角函数图像的性质，属于简单题. 【变式8-3】试确定关于的方程的解的个数. 【答案】时，0个；时，1个；时，2个. 【分析】把化为，作出函数和函数的图象，结合图象可得解的个数. 【详解】， 作出函数，和函数的图象，如下图， 由图可知，当时，方程有0个解； 时，方程有1个解； 时，方程有2个解. 一、填空题 1．设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，可得①；或且②，分别解①②，求得的范围. 【详解】（其中）既没有最大值，也没有最小值， 且，可得；或且，可得； 结合正弦函数的性质，易知其它区间不符合. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（，）的图像的一个最高点为，相邻最低点，则 ， . 【答案】 1 【分析】根据函数的最值求出的值；由题得函数图像的最高点和最低点可求得函数的最小正周期，由此可求得的值. 【详解】根据题意以及三角函数的图象与性质可知，，， 所以， 故答案为：1； 3．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，（，，）的最小值是－2，其图像相邻的最高点与最低点横坐标差是，又图像过点，则函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据函数的最值求出，根据周期求出，根据函数图象过点求出，可得函数解析式. 【详解】由题意得，，则， ∴，， ∴，把代入得， 又 所以， ∴． 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海青浦·期中）将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是 . 【答案】. 【分析】求出平移后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可解得的最小正值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，且该函数为偶函数， 则，解得， 因为，则当时，取最小值. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海黄浦·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】 【分析】根据函数的朋友可得解析式，再根据正弦型函数的对称轴方程得解. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 令， 解得， 当时，得对称轴方程为， 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到的值. 【详解】因为最小正周期为， 所以，解得，所以． 将的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 根据所得图象关于轴对称，可得，解得， 又，所以． 故答案为：． 7．函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 【答案】 【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得，代入计算即可得解. 【详解】由图可得，又，故， ，又，故， 则有，，即，， 又，则，即， 由，则， 即， 故或，， 即或，， 又，故， 则. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海杨浦·期中）函数的部分图象如图，则该函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】根据函数图象求函数解析式，再应用正弦型函数的性质求单调增区间. 【详解】由图，则，故，可得， 所以，则， 所以，可得，而，故， 所以， 令，则， 所以函数单调递增区间为. 故答案为： 9．（24-25高一下·上海·期末）已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则 ． 【答案】/0.5 【分析】首先根据计算出的范围,再由函数在上单调递增计算出的范围,把对称点代人,即可计算出,从而计算. 【详解】在上单调递增 又关于点对称 , 当时,, 故答案为： 10．（24-25高一下·上海·月考）函数的图象的一部分如图所示，则的初相为 ． 【答案】/ 【分析】由图象利用“五点法”求出函数的解析式，从而可求出初相. 【详解】由图可知， 周期，所以，所以， 因为点在函数图象上， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以初相为， 故答案为： 11．（24-25高一下·上海·期中）根据下图，函数的解析式为    【答案】 【分析】根据函数图像判断函数性质，进而确定函数解析式. 【详解】由图像可知函数最小值为，且最小正周期， 又，， 则，， 根据函数的对称性可知函数经过点， 即， 解得，， 又， 即， 即， 故答案为：. 12．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中，），则估计中午12时的温度近似为 ℃；（精确到） 【答案】27 【分析】根据图像易得，根据最高点最低点横坐标差值为求得周期，进而求得，再代点到解析式得，得函数解析式，即可求解. 【详解】由图易得，， 所以，由， 所以，代入， 所以， 即，即， 又，所以， 所以， 当时，． 故答案为：27． 二、单选题 13．（24-25高一·上海·随堂练习）函数的图象关于（    ）． A．y轴对称； B．直线对称； C．原点对称； D．直线对称． 【答案】C 【分析】由正弦型函数的图象与性质可直接判断. 【详解】是奇函数，图象关于原点对称，A错误，C正确； 而，则直线都不是的图象的对称轴，CD错误. 故选：C． 14．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可，即边长即函数的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 如图所示，在函数与交点中， 令,不妨取，即， 因为三个相邻的交点构成一个等边三角形， 当时，函数值为，故等边三角形的高为， 由此得到边长为，边长即为函数的周期， 故.所以 故选：A． 15．（24-25高一下·上海宝山·月考）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象先求出函数的周期和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可. 【详解】解：由图象知函数的周期 ， 即 即   当 时，，解得， 所以， ， 当 时， ，解得， 所以， 故选： C. 16．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【分析】对B，利用图象求出函数的解析式判断；对A，代入验证判断；对C，利用 可得，即可求得的值域判断；对D，利用图象的变换即可判断. 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误. 故选：B. 三、解答题 17．（24-25高一下·上海嘉定·期中）已知函数，，的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦型函数图象观察可得，利用代入最高点可得，从而可得解析式； （2）利用正弦函数单调递增区间即可解得； （3）利用定义域可得正弦函数的值域，从而可得函数值域. 【详解】（1） 根据图象可得：，， 由，因为，所以解得， 此时，代入最高点可得; ，可得，， 又因为，所以， 即； （2）由，，解得，， 所以的递增区间为； （3）当时，，此时有， 即的值域为. 18．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由函数的图象，根据三角函数的性质，即可求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求得函数的单调递减区间； （2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，转化为和的图象在上有公共点，由，求得函数的值域为，进而求得的范围. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，且函数的周期为， 所以，即， 又由，即， 根据五点对应法，可得，即， 因为，所以，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）解：将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 关于的方程在上有解，即在上有解， 即函数和的图象在上有公共点， 因为，可得， 当时，可得；当时，即时，可得， 所以函数的值域为，所以，解得， 所以实数的取值范围 19．如图，已知函数（，，）的图像与y轴的交点为，并已知其在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．求此函数的表达式． 【答案】 【分析】由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出函数的解析式. 【详解】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为， 则，且，得， 又因为，且，则， 所以， 又函数图象过点，则，可得， 由，且点在单调递增区间之内，解得， 所以. 20．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）观察图象确定函数的最值，周期，由此可求，，再结合关系及的范围，求，由此可得的解析式； （2）由条件结合正弦函数的单调性结论列不等式求的最大值即可， （3）根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据条件根据正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以， 所以，， 所以， 又，所以， 所以，，又， 所以 所以. （2）由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以. 所以的最大值是. （3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以， 令，可得，所以，， 所以，， 因为在区间上至少有个最大值， 又， 所以，所以， 所以，又， 所以. 21．（24-25高一下·上海·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简，根据化简结果结合三角函数的最值求解出. 【详解】（1）， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，； （2）由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. （3）由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $