专题02 余弦（型）函数的图像与性质6种题型归类（压轴题专项训练）数学沪教版必修第二册

专题02 余弦（型）函数的图像与性质 目录 类型一、余弦（型）函数的图像及其应用问题 类型二、余弦（型）函数的单调性问题 类型三、余弦（型）函数的值域与最值问题 类型四、余弦（型）函数的奇偶性问题 类型五、余弦（型）函数的对称性问题 类型六、余弦（型）函数图像与性质的综合应用 压轴专练 类型一、余弦（型）函数的图像及其应用问题 解题技巧： 1.图像识别：先看振幅、周期、相位，确定函数的基本形式，再结合特殊点（如最高点、最低点、零点）来求解析式。 2.五点法作图：抓住一个周期内的五个关键点，依次是起点、最高点、中点、最低点、终点，这样能快速画出图像。 3.图像变换：平移、伸缩变换要注意顺序，先平移再伸缩和先伸缩再平移的结果是不一样的。 4.应用建模：遇到实际问题，先把文字描述转化为余弦函数模型，再用图像性质去解决最值、周期等问题。 5.数形结合：遇到方程、不等式问题时，画出函数图像，通过图像交点或位置关系来判断解的情况。 例1-1．函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 例1-2．对于函数，下列5个结论正确的是 . （1）任取，都有； （2）函数在上严格递减； （3）（），对一切恒成立； （4）函数有3个零点； （5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则. 变式1-1．定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 变式1-2．已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1-4．（24-25高一下·上海徐汇·月考）函数，关于函数的零点情况说法错误的是（   ） A．当取某些值时，无零点 B．当取某些值时，恰有1个零点 C．当取某些值时，恰有2个不同的零点 D．当取某些值时，恰有3个不同的零点. 类型二、余弦（型）函数的单调性问题 解题技巧： 1.换元转化：把复杂的余弦型函数里的角，整体看成一个简单变量，先求这个简单变量的单调区间，再还原回原来的自变量范围。 2.紧扣图像：利用余弦函数的图像，先确定它在一个周期内的增减区间，再根据函数的周期和相位，把这些区间扩展到整个定义域上。 3.注意系数符号：如果函数前面有负号，单调性会反过来，这时候要记得把增区间和减区间互换。 4.结合定义域：求单调区间时，不能只看函数本身，还要结合题目给出的自变量范围，只保留在这个范围内的有效区间。 5.验证端点：区间的端点是否包含，要根据题目要求和函数在该点的连续性来判断，避免漏写或多写。 6.参数定号：面对含参数的系数，先判定参数的正负性，正号不改变单调性，负号则需将基础单调区间反转。 7.参数范围推导：已知单调区间求参数时，将换元后的变量范围与基础余弦函数的单调区间对应，列出关于参数的不等式，结合参数自身限制条件求解。 例2-1．已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 例2-2．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高三下·上海青浦·月考）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 变式2-2．已知函数（为正整数）在上不单调，则的最小值为 ． 变式2-3．（24-25高三下·上海·月考）设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（    ）． A． B． C． D． 变式2-4．已知函数的表达式为. (1)求函数的定义域，并写出函数的值域； (2)证明函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间. 类型三、余弦（型）函数的值域与最值问题 解题技巧： 1.有界性核心：紧扣余弦函数的取值范围，结合振幅确定函数的上下限，这是求解值域和最值的基础。 2.换元转化：将含自变量的角整体换元，转化为基础余弦函数在特定区间内的值域问题，降低求解难度。3.区间定位：先确定换元后新变量的取值范围，结合余弦函数图像，找到区间内的最高点和最低点，进而确定最值。 4.二次转化法：遇到含余弦函数的二次式，将余弦函数换元为新变量，转化为二次函数在限定区间内的值域问题，注意新变量的范围约束。 5.参数分类讨论：参数影响振幅、相位或变量范围时，按参数的临界值划分情况，分别求解不同情况下的值域与最值。 6.实际意义约束：解决实际应用问题时，除考虑函数本身的有界性，还需结合实际场景对自变量和函数值的限定，筛选有效最值。 7.验证取等条件：求得最值后，需验证此时自变量是否存在且在定义域内，确保最值能够取到。 例3-1．（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 例3-2．函数在区间上的最小值是，则的最大值为 ． 变式3-1．若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 . 变式3-2．函数的值域是 ． 变式3-3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知实数、满足方程，则的取值范围是 ． 变式3-4．（24-25高一下·上海·期末）对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为 ． 类型四、余弦（型）函数的奇偶性问题 解题技巧： 1.先验定义域：判断奇偶性前，必须先确认函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，直接判定为非奇非偶。 2.偶函数核心特征：余弦型函数为偶函数时，图像关于y轴对称，在原点处通常取得最值，可据此建立方程求解参数。 3.奇函数核心特征：余弦型函数为奇函数时，图像过原点，可通过代入原点坐标快速建立方程，求解相关参数。 4.代数定义验证：利用奇偶性的定义式，代入负自变量，通过恒等变形对比原式，判断是否满足奇函数或偶函数的条件。 5.参数求解与检验：根据奇偶性条件求出参数值后，需代回原函数进行检验，排除因变形过程中产生的增根，确保结论成立。 6.整体换元判断：对于复杂的余弦型复合函数，可将内层函数整体换元，结合内外层函数的奇偶性规律，快速判断复合函数的奇偶性。 例4-1．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 例4-2．函数，设它的最小正周期为，值域为，则（    ） A．，，且为奇函数 B．，为偶函数 C．，且为奇函数 D．，，且为偶函数 变式4-1．若函数是奇函数，则该函数的所有零点是 ． 变式4-2．若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（24-25高一下·上海杨浦·月考）满足为奇函数的所有组成的集合有 个子集. 变式4-4．给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 类型五、余弦（型）函数的对称性问题 解题技巧： 1.对称轴核心特征：余弦型函数的对称轴必经过图像的最高点或最低点，令函数取到最值，据此列方程求解对称轴方程。 2.对称中心核心特征：对称中心是函数图像与平衡位置的交点，令函数值为零，结合图像确定对称中心坐标。 3.整体换元定位：将函数内的角整体换元，对照基础余弦函数的对称轴和对称中心，反推原函数的对称性参数。 4.参数求解策略：已知对称轴或对称中心求参数时，利用特征条件列方程，结合参数的取值范围确定唯一解或通解。 5.双对称推周期：若已知函数的两条对称轴或两个对称中心，利用两者间的距离与周期的关系，快速推导函数周期。 6.轴心结合验证：同时已知对称轴和对称中心时，通过两者间距验证周期合理性，排除不符合函数图像特征的解。 例5-1．（24-25高一下·上海·期中）已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 例5-2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则 . 变式5-1．（25-26高三上·上海·期中）若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 变式5-2．在下列结论中： ①函数为奇函数； ②函数的图象关于点对称； ③函数的图象的一条对称轴为； ④若，则． 其中正确结论的序号为 （把所有正确结论的序号都填上）. 变式5-3．设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 变式5-4．已知函数，其中 (1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期； (2)若，求函数在上的最小值； 类型六、余弦（型）函数图像与性质的综合应用 解题技巧： 1.数形结合：做题时优先画出函数的草图，借助图像的直观形态，快速分析函数的走势、关键点位置，帮助判断单调区间、最值和对称性。 2.分步拆解：把综合问题拆成多个基础小问题，比如先求周期、再找对称轴、最后分析单调性，分步求解降低难度。 3.转化换元：遇到复杂的复合结构，将内层的角整体换元，转化为熟悉的基础余弦函数问题，再还原回原变量分析。 4.参数定位：求解含参数的综合题时，通过函数的最值、零点、对称轴等条件列方程或不等式，确定参数的取值或范围。 5.实际应用转化：解决实际场景问题时，先将题目中的文字描述转化为余弦型函数模型，确定函数的各个参数，再结合实际意义分析值域、周期等。 6.验证取等：分析最值或特殊点时，验证对应的自变量是否在定义域内，确保最值、特殊值确实能取到。7.性质串联：把奇偶性、周期性、单调性、对称性结合使用，比如用周期性扩展区间，用奇偶性简化分析，用对称性定位关键点。 例6．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知函数，函数，设. (1)求证：是函数的一个周期； (2)当时，求：在区间上的最大值； (3)若函数在区间内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k的值. 变式6-1．函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”． （1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由； （2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围． 变式6-2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； (2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； (3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 变式6-3．（24-25高一下·上海浦东新·开学考试）若函数平移个单位后可以成为偶函数，则称为“平移偶函数”. (1)求证：所有对称轴不为y轴的抛物线均为“平移偶函数”； (2)若为“平移偶函数”，求：的最小值； (3)若是定义域为R的奇函数，求：. 变式6-4．（24-25高一下·上海黄浦·月考）已知，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值； (2)当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围. 压轴专练 1.已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．可以取到最大值 D．可以取到最小值 4.设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5.已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 6.已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列情况不可能发生的是（　　　　） A． B． C． D． 7.（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，给出下列结论： ①是周期函数；                         ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（    ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 8.设函数，给出的下列结论中正确的是（   ） ①当，时，为偶函数； ②当，时，在区间上是单调函数； ③当，时，在区间恰有3个零点； ④当，时，在区间的最大值为，最小值为，则的最大值为 A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 9.（24-25高一下·上海·月考）已知，，，函数的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为 ． 10.函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 . 11.设，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 12.（24-25高二上·上海·月考）设，其中，若函数为偶函数且函数在上是减函数，则的取值范围是 . 13.（24-25高一下·上海黄浦·期中）设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为 . 14.（24-25高一下·上海浦东新·期中）若关于的方程在上恰有两解，则的取值范围是 . 15.已知，是实常数，. （1）当，时，求函数的最小正周期、单调递增区间和最大值； （2）是否存在，使得是与有关的常数函数（即的值与x的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的，若不存在，说明理由. 16.（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知. (1)当时，化简并计算的值； (2)当时，若为锐角，且，求的值； (3)当时，若关于x的方程在上有两个不相等的实数根. （i）直接写出c的取值范围； （ii）求的值. 17.（24-25高一下·上海·期中）若函数和的定义域均为，则记. (1)已知，证明：是的周期. (2)命题：若均是和的最小正周期，则是的最小正周期，试判断该命题的真假性，若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例. (3)若.请根据的周期性，求的值域和最值. 18.已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 余弦（型）函数的图像与性质 目录 类型一、余弦（型）函数的图像及其应用问题 类型二、余弦（型）函数的单调性问题 类型三、余弦（型）函数的值域与最值问题 类型四、余弦（型）函数的奇偶性问题 类型五、余弦（型）函数的对称性问题 类型六、余弦（型）函数图像与性质的综合应用 压轴专练 类型一、余弦（型）函数的图像及其应用问题 解题技巧： 1.图像识别：先看振幅、周期、相位，确定函数的基本形式，再结合特殊点（如最高点、最低点、零点）来求解析式。 2.五点法作图：抓住一个周期内的五个关键点，依次是起点、最高点、中点、最低点、终点，这样能快速画出图像。 3.图像变换：平移、伸缩变换要注意顺序，先平移再伸缩和先伸缩再平移的结果是不一样的。 4.应用建模：遇到实际问题，先把文字描述转化为余弦函数模型，再用图像性质去解决最值、周期等问题。 5.数形结合：遇到方程、不等式问题时，画出函数图像，通过图像交点或位置关系来判断解的情况。 例1-1．函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由，，令，求解的值，判断选项. 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 例1-2．对于函数，下列5个结论正确的是 . （1）任取，都有； （2）函数在上严格递减； （3）（），对一切恒成立； （4）函数有3个零点； （5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则. 【答案】(1)(3)(5) 【分析】作出函数的图象，结合函数图象以及函数的性质即可根据选项逐一求解. 【详解】的图象如图所示， ，所以对，都有，故（1）正确； 由的图象可知：在上严格递增；故（2）错误； 由于当时，，因此当时，，所以 （），故（3）正确； 在同一直角坐标系中画出与的图象，当时，，，由于,所以，结合两者的图象可知只有一个交点，故（4）错误； 根据图象可知：当时，有且只有两个不同的实根，，此时，关于对称，故，因此（5）正确； 故答案为：（1）（3）（5） 变式1-1．定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 【答案】4 【分析】在平面直角坐标系中，分别画出与的图像，根据图像即可求解. 【详解】在平面直角坐标系中，函数与的图像如图所示， 根据图像，可得函数与的图像交点个数为4. 故答案为：4. 变式1-2．已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由诱导公式可得，得到，，分三种情况，得到不等式，求出实数m的取值范围. 【详解】， ，显然，故，， 若，解得， 若，解得， 若，解得， 综上，. 故选：C 变式1-3．已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数和的图象，要想使方程恰有5个实数解，则需直线处在函数在内的曲线切线和之间． 【详解】解：作出函数和的图象如图： 若方程恰有5个实数解， 则直线处在函数在内的曲线切线和之间． 函数是周期为4的周期函数， ，此时． ，， 此时两个函数不相交． 当，时，，， ，，． 由，得， 则由，得， 整理得，解得， 当，时，，， ，，． 即，将代入整理得， 即， 由判别式得 要使方程恰有5个实数解，则， 即的取值范围为， 故选：B． 变式1-4．（24-25高一下·上海徐汇·月考）函数，关于函数的零点情况说法错误的是（   ） A．当取某些值时，无零点 B．当取某些值时，恰有1个零点 C．当取某些值时，恰有2个不同的零点 D．当取某些值时，恰有3个不同的零点. 【答案】D 【分析】画出函数的图象，结合与的交点的横坐标，结合图象和三角函数的性质，逐项判定即可求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 因为，令，即， 则函数的零点，即为与的交点的横坐标， 对于A，当时，在上与无公共点，所以A正确； 对于B，当时，在上与只有1个公共点，所以B正确； 对于C，当时，在上与有2个公共点，所以C正确； 对于D，由图象可得，函数与不相邻的两个交点的横坐标间的距离为最小正周期的整数倍， 即， 因为，可得， 所以不存在t的值，使得有3个零点，所以D不正确. 故选：D. 类型二、余弦（型）函数的单调性问题 解题技巧： 1.换元转化：把复杂的余弦型函数里的角，整体看成一个简单变量，先求这个简单变量的单调区间，再还原回原来的自变量范围。 2.紧扣图像：利用余弦函数的图像，先确定它在一个周期内的增减区间，再根据函数的周期和相位，把这些区间扩展到整个定义域上。 3.注意系数符号：如果函数前面有负号，单调性会反过来，这时候要记得把增区间和减区间互换。 4.结合定义域：求单调区间时，不能只看函数本身，还要结合题目给出的自变量范围，只保留在这个范围内的有效区间。 5.验证端点：区间的端点是否包含，要根据题目要求和函数在该点的连续性来判断，避免漏写或多写。 6.参数定号：面对含参数的系数，先判定参数的正负性，正号不改变单调性，负号则需将基础单调区间反转。 7.参数范围推导：已知单调区间求参数时，将换元后的变量范围与基础余弦函数的单调区间对应，列出关于参数的不等式，结合参数自身限制条件求解。 例2-1．已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【详解】，可化为， 故单调增区间满足：，， 解得，. 令，，令，， ， 所以的单调递增区间是，. 故选：D 例2-2．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的取值范围求出的取值范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【详解】由，所以， 又，所以， 且函数在上单调递增， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 变式2-1．（24-25高三下·上海青浦·月考）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】化简函数解析式为，利用余弦函数的单调性逐项判断即可. 【详解】因为. 对于A选项，当时，. 因为在上单调递增，而, 故函数在上单调递增，故A错； 对于B选项，当时，. 因为在上单调递减，而, 故函数在上单调递减，故B对； 对于C选项，当时，. 因为在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上先增后减，故C错； 对于D选项，当时，. 因为在上单调递减，在上单调递增， 故函数在上先减后增，故D错. 故选：B. 变式2-2．已知函数（为正整数）在上不单调，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】需要分单调递增和单调递减两种情况来讨论，然后利用三角函数中余弦函数的性质的单调性的应用，集合的对立关系的应用求出的最小值． 【详解】解：当函数严格增时，， 整理得（）． 若函数在上严格增， 则（）， 即，整理得． 当时，；① 当函数严格减时，（）， 整理得（）， 若函数在上严格减， 则（）， 即，整理得， 当时，．② 由于函数在上不单调，且为正整数， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， 所以的最小值为3． 变式2-3．（24-25高三下·上海·月考）设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解. 【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究， 因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数， 所以只需要在区间是单调函数即可， 根据选项可知只需要满足时取值， 故， 根据余弦函数的单调性，若满足，解得， 若满足，解得， 若满足，无解， 故必满足题意，而，则ABC错误； 故选：D． 变式2-4．已知函数的表达式为. (1)求函数的定义域，并写出函数的值域； (2)证明函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间. 【答案】(1)； (2)证明见解析；；， 【分析】（1）解不等式可得定义域，根据可得值域； （2）利用诱导公式和偶函数的定义可证函数为偶函数，根据反证法可得是的最小周期，根据余弦函数的单调性以及定义域可得结果. 【详解】（1）由得，，. 则函数的定义域D为， 函数的值域为 （2）任给，有，， 所以函数为偶函数. 因为，即是的一个周期， 假设为的一个周期，且， 则对定义域内的任意一个恒成立， 取，则，即，即， 因为，所以，则不成立， 所以假设不成立，故是的最小周期， 因为的单调递增区间为，，在上为增函数， 结合定义域可得的单调增区间为，. 类型三、余弦（型）函数的值域与最值问题 解题技巧： 1.有界性核心：紧扣余弦函数的取值范围，结合振幅确定函数的上下限，这是求解值域和最值的基础。 2.换元转化：将含自变量的角整体换元，转化为基础余弦函数在特定区间内的值域问题，降低求解难度。3.区间定位：先确定换元后新变量的取值范围，结合余弦函数图像，找到区间内的最高点和最低点，进而确定最值。 4.二次转化法：遇到含余弦函数的二次式，将余弦函数换元为新变量，转化为二次函数在限定区间内的值域问题，注意新变量的范围约束。 5.参数分类讨论：参数影响振幅、相位或变量范围时，按参数的临界值划分情况，分别求解不同情况下的值域与最值。 6.实际意义约束：解决实际应用问题时，除考虑函数本身的有界性，还需结合实际场景对自变量和函数值的限定，筛选有效最值。 7.验证取等条件：求得最值后，需验证此时自变量是否存在且在定义域内，确保最值能够取到。 例3-1．（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】由余弦函数的周期和最值点的分布，以及区间内包含最值点的条件逐项判断即可. 【详解】由题意可得函数的周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对于D，若，当时，最大值点为，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误. 故选：D 例3-2．函数在区间上的最小值是，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由已知中函数，由同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为的形式，进而根据函数的最小值为，结合已知中，及余弦函数的图象和性质，即可得到的最大值． 【详解】解：函数 若在区间，上的最小值为， 则由， 解得， 又， ， 故答案为：． 变式3-1．若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求的取值范围，进而结合的图象列不等式组求解. 【详解】由，得. 因为，所以, 作出在上的图象，如图所示，    因为函数在上有最小值而没有最大值， 所以，解得. 故答案为： 变式3-2．函数的值域是 ． 【答案】 【分析】将化为，利用余弦函数的有界性，即，解不等式即可得答案. 【详解】由，可得， 当时等式不成立，∴，则有， ∵，∴，，或， ∴函数的值域是， 故答案为： 变式3-3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知实数、满足方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得，从而得解. 【详解】由得， 因为，所以， 所以，故， 所以，故. 故答案为：. 变式3-4．（24-25高一下·上海·期末）对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，按取值情况分段讨论，并结合二倍角公式及余弦函数性质求解. 【详解】当时，为在上的减函数，则， 由，得，即，解得或，不合题意； 当时，，，由，则，则； 当时，，，不合题意； 当时，，，则； 当时，的区间长度不小于，，则， 所以正数的取值范围为． 故答案为： 类型四、余弦（型）函数的奇偶性问题 解题技巧： 1.先验定义域：判断奇偶性前，必须先确认函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，直接判定为非奇非偶。 2.偶函数核心特征：余弦型函数为偶函数时，图像关于y轴对称，在原点处通常取得最值，可据此建立方程求解参数。 3.奇函数核心特征：余弦型函数为奇函数时，图像过原点，可通过代入原点坐标快速建立方程，求解相关参数。 4.代数定义验证：利用奇偶性的定义式，代入负自变量，通过恒等变形对比原式，判断是否满足奇函数或偶函数的条件。 5.参数求解与检验：根据奇偶性条件求出参数值后，需代回原函数进行检验，排除因变形过程中产生的增根，确保结论成立。 6.整体换元判断：对于复杂的余弦型复合函数，可将内层函数整体换元，结合内外层函数的奇偶性规律，快速判断复合函数的奇偶性。 例4-1．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 例4-2．函数，设它的最小正周期为，值域为，则（    ） A．，，且为奇函数 B．，为偶函数 C．，且为奇函数 D．，，且为偶函数 【答案】B 【分析】利用倍角公式把已知函数解析式变形，再由周期公式求周期，由的范围求得函数值域，再由奇偶性的定义判断函数的奇偶性． 【详解】解： ， 的最小正周期． ，， 则函数的值域为，，． 又的定义域为，且， 则为偶函数． 故选：B． 变式4-1．若函数是奇函数，则该函数的所有零点是 ． 【答案】； 【分析】根据函数为奇函数进行求解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，即， 则， 得， 则，其中， 所以该函数的所有零点是. 故答案为： 变式4-2．若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数为奇函数得，即可得. 【详解】由题设，则， 显然时，而、、均不可能. 故选：C 变式4-3．（24-25高一下·上海杨浦·月考）满足为奇函数的所有组成的集合有 个子集. 【答案】1 【分析】由奇函数的性质有求得，再验证是否满足题设得到对应空集，即可得. 【详解】由题设，则，故， 当，则，不符合； 当，则，不符合； 综上，不存在这样的值，即对应空集，故子集个数为1. 故答案为：1 变式4-4．给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 【答案】(1)证明见解析 (2)甲正确，证明见解析；乙错误，答案见解析 【分析】（1）由集合的定义，只需证明符合即可； （2）由周期函数与奇偶性判断即可. 【详解】（1）证明：， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以是周期为6的周期函数， 即集合中的元素都是周期为6的函数； 若，则， 但，不是偶函数； 甲正确，乙错误． 类型五、余弦（型）函数的对称性问题 解题技巧： 1.对称轴核心特征：余弦型函数的对称轴必经过图像的最高点或最低点，令函数取到最值，据此列方程求解对称轴方程。 2.对称中心核心特征：对称中心是函数图像与平衡位置的交点，令函数值为零，结合图像确定对称中心坐标。 3.整体换元定位：将函数内的角整体换元，对照基础余弦函数的对称轴和对称中心，反推原函数的对称性参数。 4.参数求解策略：已知对称轴或对称中心求参数时，利用特征条件列方程，结合参数的取值范围确定唯一解或通解。 5.双对称推周期：若已知函数的两条对称轴或两个对称中心，利用两者间的距离与周期的关系，快速推导函数周期。 6.轴心结合验证：同时已知对称轴和对称中心时，通过两者间距验证周期合理性，排除不符合函数图像特征的解。 例5-1．（24-25高一下·上海·期中）已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据余弦函数对称轴的性质求出的表达式，在代入中计算即可. 【详解】令，解得， 是函数图像的一条对称轴，， 则， 当为偶数时，，则； 当为奇数时，，则， 的值为或. 故选：C. 例5-2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则 . 【答案】2或 【分析】根据题意，令，分和讨论，求得的范围，利用余弦函数的对称中心列出不等式求解即可. 【详解】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 变式5-1．（25-26高三上·上海·期中）若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将利用辅助角公式化为，利用函数的图像关于y轴对称，得到，计算求解. 【详解】，， 的图像关于y轴对称， ，， 当时，. 故选：B. 变式5-2．在下列结论中： ①函数为奇函数； ②函数的图象关于点对称； ③函数的图象的一条对称轴为； ④若，则． 其中正确结论的序号为 （把所有正确结论的序号都填上）. 【答案】①③④ 【分析】利用诱导公式、分类讨论可得是奇函数，即可判断①；由时，函数，即可判断②；由时，函数取得最小值，即可判断③；利用诱导公式及同角三角函数的基本关系，即可判断④． 【详解】解：对于①：函数，当为奇数时，函数即，是奇函数；当为偶数时，函数即，也是奇函数，故①正确； 对于②：当时，函数，故的图象不关于点，对称，故②不正确； 对于③：当时，函数，是函数的最小值，所以函数的图象关于直线对称，故③正确； 对于④：若，则，，，，故④正确． 故答案为：①③④． 变式5-3．设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 【答案】B 【分析】根据在区间上的单调性以及，求得图象的对称中心、对称轴、函数的最小正周期，即可判断各选项. 【详解】对于A，因为，所以是的零点， 所以是图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，因为一个周期内单调区间长度不超过半个周期， 而，且， 所以是图象的一条对称轴. 因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，故，则， 所以是图象的一条对称轴，故C正确； 对于D，由已知得，且点是函数图象的一个对称中心， 则函数的一个零点是，故D正确. 故选：B 变式5-4．已知函数，其中 (1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期； (2)若，求函数在上的最小值； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题设中的对称轴可得，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间. （2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值. 【详解】（1）可知， 因为直线是图象的一条对称轴，故， 解得，而，故，则， 则周期， 再令，则， 故的递减区间为. （2）可知 因为，故， 则在即取最小值，其最小值为. 类型六、余弦（型）函数图像与性质的综合应用 解题技巧： 1.数形结合：做题时优先画出函数的草图，借助图像的直观形态，快速分析函数的走势、关键点位置，帮助判断单调区间、最值和对称性。 2.分步拆解：把综合问题拆成多个基础小问题，比如先求周期、再找对称轴、最后分析单调性，分步求解降低难度。 3.转化换元：遇到复杂的复合结构，将内层的角整体换元，转化为熟悉的基础余弦函数问题，再还原回原变量分析。 4.参数定位：求解含参数的综合题时，通过函数的最值、零点、对称轴等条件列方程或不等式，确定参数的取值或范围。 5.实际应用转化：解决实际场景问题时，先将题目中的文字描述转化为余弦型函数模型，确定函数的各个参数，再结合实际意义分析值域、周期等。 6.验证取等：分析最值或特殊点时，验证对应的自变量是否在定义域内，确保最值、特殊值确实能取到。7.性质串联：把奇偶性、周期性、单调性、对称性结合使用，比如用周期性扩展区间，用奇偶性简化分析，用对称性定位关键点。 例6．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知函数，函数，设. (1)求证：是函数的一个周期； (2)当时，求：在区间上的最大值； (3)若函数在区间内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)或或. 【分析】（1）求证即可得证； （2）利用换元法结合二次函数性质进行求解即可； （3）根据绝对值性质，利用分类讨论思想、换元法，结合正弦函数性质进行求解即可. 【详解】（1）证明：函数， 则， 所以是函数的一个周期； （2）当，时，， 令，因为， 所以，所以， 又，故， 所以， 所以当，单调递增， 所以有. （3）当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递减， 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递增， 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 综上所述：当函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，或或 变式6-1．函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”． （1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由； （2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）. 【分析】(1)根据函数值的范围可判定不是函数的“区间”； (2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围. 【详解】(1) 不是函数的“区间”.理由如下： 因为， 所以对于任意的，，都有， 所以不是函数的“区间”. (2)因为是函数的“区间”， 所以存在，，使得. 所以 所以存在，使得 不妨设，又因为， 所以，所以. 即在区间内存在两个不同的偶数. ①当时，区间的长度， 所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意. ②当时，有， 所以. 当时，有，即. 所以也符合题意. 当时，有，即. 所以符合题意. 当时，有，此式无解. 综上所述，的取值范围是. 变式6-2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； (2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； (3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意得到； （2）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得，是一个与无关的定值； （3）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得到，要使是一个与无关的定值，则，与的终边只能关于轴对称，从而得到方程组，求出答案. 【详解】（1）因为集合，， 所以； （2）由“余弦方差”的定义得： . 所以是与无关的定值. （3）由“余弦方差”的定义得： ， 要使是一个与无关的定值，则， 因为，所以与的终边关于轴对称或关于原点对称， 又，所以与的终边只能关于轴对称， 所以， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以或时， 相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值 变式6-3．（24-25高一下·上海浦东新·开学考试）若函数平移个单位后可以成为偶函数，则称为“平移偶函数”. (1)求证：所有对称轴不为y轴的抛物线均为“平移偶函数”； (2)若为“平移偶函数”，求：的最小值； (3)若是定义域为R的奇函数，求：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0 【分析】（1）设出二次函数的一般形式，由函数新定义的等价形式即可判断； （2）由函数新定义、正余弦函数图象和分段函数可得； （3）设平移后的函数为为偶函数，由函数的奇偶性和周期性结合函数新定义可得. 【详解】（1）因为函数平移个单位后可以成为偶函数， 所以有对称轴（向左移）或（向右移）， 故为“平移偶函数”的等价条件为的图像有对称轴， 设，   由二次函数的性质可得该函数图像具有对称轴， ∴所有对称轴不为y轴的抛物线均为“平移偶函数” . （2）由正余弦函数的单调性可得，在内，当时，， 又为“平移偶函数”， 所以结合分段函数和正余弦图象可得最小值为. （3）设平移后的函数为为偶函数， ∴，即①，   令， 则根据①有，     即满足， ∴， ∴是周期为的周期函数，    ∴，    ∵为奇函数且定义域为R，，    ∴. 变式6-4．（24-25高一下·上海黄浦·月考）已知，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值； (2)当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知恒成立且，由此算出周期为，再根据周期公式就能求出 （2）先确定时表达式，根据范围求出范围，进而得到范围，算出值域.再根据条件得到值域，由范围求出范围，结合确定.最后根据列不等式组求解范围. 【详解】（1）由题意，， 因为对任意的恒成立，且， 所以函数的最小正周期为，        所以，得. （2）当时，， 当时，，所以， 所以函数的值域为， 因为对任意，存在，使得成立，即成立， 设在上的值域为， 当时，，所以，       因为，所以的值域， 根据题意，，      则有，解得，又因为，所以. 所以实数的取值范围为. 压轴专练 1.已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 所以，，所以，， 所以当时，当时，时， 所以的最小值为. 故选：C 2.（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知有两解，以为整体，结合余弦函数图象分析求解. 【详解】令，可得， 函数在上有且仅有2个零点，即有两解， 因为，且，则，可知的区间长度为， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 3.函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．可以取到最大值 D．可以取到最小值 【答案】C 【分析】根据题意计算出当时，的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】函数在区间上是增函数，且，，则当时，， 而函数在区间上先增后减， 所以，函数在区间上先增后减，当，该函数取到最大值. 故选：C. 4.设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论． 【详解】且在上为严格减函数，则， 又，，因此，， 又，所以，即， 由，则且，， ，， 因此，， 若，则，取，满足题意， 若，则，取，满足题意， 的值有2个． 故选：D． 5.已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等腰直角三角形的斜边长即可，再根据可知等腰直角三角形的斜边上的高，由此求得斜边长即函数的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 如图所示，在函数与的交点中， ， 令，即， 不妨取， 即， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 当正弦值等于余弦值时，函数值为， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，所以． 故选：． 6.已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列情况不可能发生的是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的单调性，取特殊值排除选项. 【详解】取时，则，，函数在上单调递减，最大值为，函数在上单调递减，最大值为，故A正确； 取时，则，，函数在上单调递减，最大值为，函数在上单调递减，在上单调递增，最大值为，故B正确； 取时，则，，函数在上单调递减，在上单调递增，最大值为，函数在上单调递增，，最大值为，故C正确； 所以不可能发生的是D. 故选：D. 7.（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，给出下列结论： ①是周期函数；                         ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（    ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】先求出解析式，再对①②③④一一验证：对于①：利用周期的定义验证；对于②：取特殊数值排除；对于③：利用三角函数的有界性进行计算，即可判断；对于④：可以求出零点，进行判断. 【详解】函数， 对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确； 对于②：由于，，，， 故函数在上不是单调增函数，故②错误； 对于③：函数的最大值为1，若， 则， 所以，，， 故；故③正确； 对于④：当时，， 由于，即，解得或， 所以函数有两个零点，故④错误． 故选：B. 8.设函数，给出的下列结论中正确的是（   ） ①当，时，为偶函数； ②当，时，在区间上是单调函数； ③当，时，在区间恰有3个零点； ④当，时，在区间的最大值为，最小值为，则的最大值为 A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】①当时，，由偶函数的定义判断①正确；②当时，，由复合函数的单调性判断②错误；③当时，，求得函数的零点判断③错误；④当时，，令，求其最大值判断④正确. 【详解】①当时，，其定义域为， 且，函数为偶函数，故①正确； ②当时，，由，得， 则在上不单调，故②错误； ③当时， 由，得，即 则，共4个零点，故③错误； ④当时， 周期，区间的长度为，即为周期， 所以当区间为函数的单调递增区间或单调递减区间时，最大， 令 ，其中， 即设在区间上的最大值为，最小值为，则， 故④正确.   故选：B. 9.（24-25高一下·上海·月考）已知，，，函数的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据求出，再根据，可求出，即可求得其最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以， 又为的零点，即， 所以，解得， 又，所以当取得最小值，此时. 故答案为：. 10.函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 . 【答案】 【分析】由函数在R上单调增得出，再由函数图像关于原点对称得出，即可得出答案. 【详解】当时，在上必有增有减，不合题意， 故，此时，为常值函数，由其图像关于原点对称， 所以，所以或，故满足条件的数对为， 故答案为：. 11.设，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用奇偶性、单调性将不等式转化恒成立问题，利用换元法结合二次函数的性质求解即可. 【详解】令， 由定义域为，且， 所以为奇函数，且在单调递增， 所以在单调递增， 所以不等式对一切恒成立， ， ， ， 即， 在恒成立， 设，则问题转化为： 在上恒成立， 又因为， 所以， 解得：或， 所以实数的取值范围是：. 故答案为：. 12.（24-25高二上·上海·月考）设，其中，若函数为偶函数且函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件得到，从而有，利用的性质，求出的单调区间，结合条件，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，则，得到， 又，则，所以，得到， 因为，由，得到， 因为函数在上是减函数，令，得到， 由，得到，所以的取值范围是， 故答案为：. 13.（24-25高一下·上海黄浦·期中）设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为 . 【答案】 【分析】直接解方程即可得 【详解】令，则有或， 解得或， 又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，， 所以，，，，，，，， 故，. 所以即， 则，解得， 故答案为：. 14.（24-25高一下·上海浦东新·期中）若关于的方程在上恰有两解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先化简方程，再令，结合三角函数在上的单调性可将方程有解问题分三种情况讨论，方程在内存在两个相等根、方程两个不等实根都在上、两个不等实根一个在上，一个取，分类讨论即可. 【详解】因， 则方程在上有两解， 令，且其在上单调递增，在上单调递减， ①若方程存在两个相等根， 则结合三角函数在上的单调性可知， 方程必在内存在两个相等根， 因一元二次函数对称轴， 则方程在内不可能存在两个相等根； ②若方程存在两个不相等实根， 则结合三角函数在上的单调性可知， 方程必在上存在两个不相等实根， 若方程两个不等实根都在上， 则，解得； 若方程两个不等实根一个在上，一个取， 则，得， 则，两根分别为，不符合题意， 综上，的取值范围是. 故答案为： 15.已知，是实常数，. （1）当，时，求函数的最小正周期、单调递增区间和最大值； （2）是否存在，使得是与有关的常数函数（即的值与x的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的，若不存在，说明理由. 【答案】（1）；，；最大值；（2）存在，. 【分析】先由题意对函数化简变形得， （1）将，代入上式可得，从而可求出函数的最小正周期、单调递增区间和最大值； （2）由于，所以当时，的值与x的取值无关 【详解】解：由题意得 ， （1）当，时，， 所以函数的最小正周期为， 由，得， 所以的单调递增区间为，； 当时，取得最大值为， （2）由（1）可知， 显然当，即时，的值与x的取值无关， 所以存在，使得是与有关的常数函数， 16.（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知. (1)当时，化简并计算的值； (2)当时，若为锐角，且，求的值； (3)当时，若关于x的方程在上有两个不相等的实数根. （i）直接写出c的取值范围； （ii）求的值. 【答案】(1) (2)或 (3)（i）；（ii） 【分析】（1）化简得，当时，得到，即可求解； （2）根据题意，得到，求得，利用三角函数的基本关系式，求得，由，结合两角和余弦公式，即可求解； （3）（i）化简得到，根据题意，转化为函数和的图像有两个不同的交点，设，转化为与的有两个交点，画出在上的图象，结合图象，即可求解； （ii）由（i）中的图像，得到，求得，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 当，时，可得，则. （2）解：当，时，可得， 因为，可得， 因为为锐角，可得，所以， 则， 所以 ， 当时，可得； 当时，可得. （3）解：（i）当，时，， 因为方程在上有两个不相等的实数根， 即方程在上有两个不相等的实数根， 即函数和的图像在上有两个不同的交点， 当时，可得，设，则， 即函数和的图像在上有两个不同的交点， 画出函数在上的图象，如图所示， 由图像，可得，解得， 即实数的取值范围为. （ii）由（i）中的图像，可得关于对称，所以， 因为方程在上有两个不相等的实数根，可得， 所以，则. 17.（24-25高一下·上海·期中）若函数和的定义域均为，则记. (1)已知，证明：是的周期. (2)命题：若均是和的最小正周期，则是的最小正周期，试判断该命题的真假性，若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例. (3)若.请根据的周期性，求的值域和最值. 【答案】(1)证明见解析 (2)假命题，答案见解析 (3)答案见解析，值域为，最大值为，最小值为 【分析】（1）利用正弦函数性质和余弦函数性质结合周期性的定义求解即可. （2）先判断原命题是假命题，再利用正弦函数的性质证明即可. （3）利用诱导公式求出，再利用正弦函数和余弦函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）由正弦函数性质得， 由余弦函数性质得， 则 故是的周期. （2）该命题是假命题，令， 由正弦函数性质得与最小正周期均为， 但最小正周期为，故原命题为假命题. （3）由已知结合诱导公式得， 得到， 由正弦函数和余弦函数性质得 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 故由正弦函数性质得， 令，由余弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减；故 而，故值域为， 且的最大值为，最小值为. 18.已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，；当时， 【分析】（1）由题意可知对任意恒成立，整理得，令，由的单调性，求出的最小值即可； （2）由时，，可求得)时，，利用在上单调递增，即可求出的范围； （3）由对一切实数恒成立，得一切实数恒成立．当时，；当时，可得，进而可得答案． 【详解】（1）由题意可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， 整理得：， ∴， 令，则， ∵在上单调递增，∴， ∴． （2）∵时，， ∴当时，， ∴当时，， 即)时，， ∵在上单调递增， ∴且，即. （3）由已知，有对一切实数恒成立， 即一切实数恒成立， 当时，； 当时，∵，∴，， 于是，， 故要使恒成立，只有， 当时，，得到且； 当时，，得到，即， 综上可知：当时，；当时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $