专题01 正弦（型）函数的图像与性质6种题型归类（压轴题专项训练）数学沪教版必修第二册

专题01 正弦（型）函数的图像与性质 目录 类型一、正弦（型）函数的图像及其应用 类型二、正弦（型）函数的单调性问题 类型三、正弦（型）函数的值域与最值问题 类型四、正弦（型）函数的奇偶性问题 类型五、正弦（型）函数的对称性问题 类型六、正弦（型）函数图像与性质的综合应用 压轴专练 类型一、正弦（型）函数的图像及其应用 解题技巧： 1.图像识别：先看振幅、周期、相位，确定函数的基本形式，再结合特殊点（如最高点、最低点、零点）来求解析式。 2.五点法作图：抓住一个周期内的五个关键点，依次是起点、最高点、中点、最低点、终点，这样能快速画出图像。 3.图像变换：平移、伸缩变换要注意顺序，先平移再伸缩和先伸缩再平移的结果是不一样的。 4.应用建模：遇到实际问题，先把文字描述转化为三角函数模型，再用图像性质去解决最值、周期等问题。 5.数形结合：遇到方程、不等式问题时，画出函数图像，通过图像交点或位置关系来判断解的情况。 例1-1．函数的零点个数为 【答案】3 【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案. 【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，   时，函数取最大值， 时函数的值为， 又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点. 所以的零点个数为个. 故答案为：. 例1-2．若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先利用降幂公式，辅助角公式，化简等式为，并求的范围，转化为函数在上的图象有交点，利用数形结合，即可求解. 【详解】， 即，即 设，则在上有实数根， 在上的图象有交点，如图 由于，由图象可知，，即． 故答案为： 变式1-1．已知定义在上的函数满足：，且当时，.若对任意的，都有，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，且当时，，类比周期函数的性质，求出函数的解析式，然后作出图象，利用数形结合法求解. 【详解】当时，； 当时，，， 当时，，， 当时，，， 则函数的图象如图所示：    当时，，解得， 若对任意的，都有， 则， 故答案为：. 变式1-2．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由题意可得，两个函数有公共对称轴，分别做出两个函数图像，结合图像即可得到结果. 【详解】   函数的图像与函数的图像有公共对称轴，分别做出两个函数的图像如图所示， 由图像可知，两个函数共有12个交点，且关于直线对称，则所有交点的横坐标之和为. 故选：C 变式1-3．已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数写成分段函数的形式，在同一坐标系下画出函数和函数图象，利用数形结合即可判断两函数有两个不同的交点时实数k 的取值范围. 【详解】由题意，得 画出函数的图象，如下图所示：      由图象可知， 当时，函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点． 故答案为： 变式1-4．设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】，再利用正弦型函数的最值再结合其最小正周期的公式逐项分析即可. 【详解】，显然， 对A，由图知，根据，则，则，则， 则其最小正周期，其最小值应为，则A中图象满足题意； 对B，显然因为不恒为0，则B错误； 对C，由图知，根据A可知，但图中其最小正周期小于，故矛盾，故C错误； 对D，由图知，则，则， 则其最小正周期，但由图易知其最小正周期大于，故矛盾，则D错误； 故选：A. 类型二、正弦（型）函数的单调性问题 解题技巧： 1.基础换元：将函数中含自变量的角整体设为新变量，转化为基础正弦函数的单调性问题，再还原求解原变量的区间。 2.符号修正：若函数整体带有负号，先利用诱导公式调整符号，或直接将求得的单调区间反向，避免单调性判断错误。 3.定义域约束：求解单调区间时，需结合题目给定的自变量范围，筛选出符合条件的有效区间，剔除超出范围的部分。 4.参数定号：面对含参数的系数，先判定参数的正负性，正号不改变单调性，负号则需将基础单调区间反转。 5.参数范围推导：已知单调区间求参数时，将换元后的变量范围与基础正弦函数的单调区间对应，列出关于参数的不等式，结合参数自身限制条件求解。 6.分类讨论参数：参数取值影响周期或区间归属时，以临界值为分界，分情况讨论参数的不同取值范围，逐一求解对应单调区间。 7.特值验证：求得参数范围后，选取区间内及端点的特殊值代入，检验函数单调性是否符合题意，排除增根。 例2-1．函数与函数的交点为，则函数（其中）的一个减区间是（     ）. A．    B．    C．    D． 【答案】C 【分析】利用交点求出，利用正弦型函数减区间的求法即可得减区间. 【详解】因为在上，所以； 把代入可得, 所以或， 即或， 因为，所以，即， 令，解得； 当时，减区间为. 故选：C. 例2-2．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角和辅助角公式可化简得到，利用整体代换的方式可确定的取值范围及所处的单调递增区间，由此可构造不等式求得结果. 【详解】； 当时，， ，，， 在上单调递增，，解得：， 即的取值范围为. 故选：D. 变式2-1．已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件化为，利用换元法化为，结合正弦函数的单调性即可确定实数的取值范围. 【详解】 ，令， 则，因为，所以； 又因为在区间上是单调函数， 则在区间上是单调函数， 所以，即，解得. 故选：C 变式2-2．已知函数，其中为实数，且，若对恒成立，且，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】由题意可知为函数的最大值或最小值，所以，由，得到或，即可得的表达式，根据，即可验证值，代入正弦函数单调递增区间，化简整理，即可得答案. 【详解】由对恒成立知，， 得到或， 因为，所以或， 当时，， 此时，， ，不合题意，舍， 当 时，， 此时，， ，符合题意， 所以， 所以由 得， 所以的单调递增区间是. 故答案为： 变式2-3．函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简得到，根据图象对称性可求得，排除AD；分别代入BC选项，根据正弦型函数单调性的判断方法可得结果. 【详解】图象关于原点对称， ，解得：，可排除A，D； 当时，，则当时，，此时为减函数，符合题意，B正确； 当时，，则当时，，此时为增函数，不合题意，C错误. 故选：B. 变式2-4．已知函数，.若函数在区间上递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用三角函数二倍角公式以及辅助角公式，化简三角函数解析式，根据整体思想和正弦函数的单调区间，可得答案. 【详解】函数， 若函数在区间上递增，此时， 所以，得，则实数的取值范围为. 故答案为：. 类型三、正弦（型）函数的值域与最值问题 解题技巧： 1.有界性核心：紧扣正弦函数的取值范围，结合振幅确定函数的上下限，这是求解值域和最值的基础。 2.换元转化：将含自变量的角整体换元，转化为基础正弦函数在特定区间内的值域问题，降低求解难度。 3.区间定位：先确定换元后新变量的取值范围，结合正弦函数图像，找到区间内的最高点和最低点，进而确定最值。 4.二次转化法：遇到含正弦函数的二次式，将正弦函数换元为新变量，转化为二次函数在限定区间内的值域问题，注意新变量的范围约束。 5.参数分类讨论：参数影响振幅、相位或变量范围时，按参数的临界值划分情况，分别求解不同情况下的值域与最值。 6.实际意义约束：解决实际应用问题时，除考虑函数本身的有界性，还需结合实际场景对自变量和函数值的限定，筛选有效最值。 7.验证取等条件：求得最值后，需验证此时自变量是否存在且在定义域内，确保最值能够取到。 例3-1．函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．3 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦值公式、二倍角公式以及辅助角公式化简函数 ，结合正弦函数的最值即可求解. 【详解】因为， 当，即时，， 所以的最大值为2. 故选：B 例3-2．已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 变式3-1．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 因为，所以， 因为，所以， 不妨令，即，则，所以， 所以，， 所以的取值范围是. 故选：D 变式3-2．已知函数，，若对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为且，根据正弦型函数值域求法可求得的最大值和最小值，结合二次函数的最值可构造不等式组求得结果. 【详解】对于任意的，总存在，使得， 且； 当时，， 当时，；当时，； 当时，；当时，； ，解得：，即实数的取值范围为. 故答案为：. 变式3-3．已知函数，.直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用诱导公式、倍角公式、余弦的两角和公式及辅助角公式，将表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质求解最值即可. 【详解】依题意，，， 因为直线与函数的图象分别交于两点，所以， 当时，，所以， 所以，从而， 所以当，即时，取得最大值，即的最大值为. 故答案为：. 变式3-4．已知． (1)求解关于的方程； (2)求函数，的值域； (3)已知常数，设，若函数在区间上的最小值是，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）令，求出； （2），故； （3）化简得到，换元得到，，根据对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】（1），故， 解得 （2）时，， 故； （3） ， 令，由（2）知，， 则，对称轴为， 当时，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，不满足条件； 当时，在取得最小值， 最小值为，令，解得（舍负）； 当时，在上单调递减， 故当时，取得最小值，最小值为， 令，解得，但与矛盾，舍去； 综上， 类型四、正弦（型）函数的奇偶性问题 解题技巧： 1.先验定义域：判断奇偶性前，必须先确认函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，直接判定为非奇非偶。 2.奇函数核心特征：正弦型函数为奇函数时，函数图像过原点，可通过代入原点坐标快速建立方程，求解相关参数。 3.偶函数核心特征：正弦型函数为偶函数时，相位会使函数在原点处取得最值，利用这一图像特征列方程，比代数推导更快捷。 4.代数定义验证：利用奇偶性的定义式，代入负自变量，通过恒等变形对比原式，判断是否满足奇函数或偶函数的条件。 5.参数求解与检验：根据奇偶性条件求出参数值后，需代回原函数进行检验，排除因变形过程中产生的增根，确保结论成立。 6.整体换元判断：对于复杂的正弦型复合函数，可将内层函数整体换元，结合内外层函数的奇偶性规律，快速判断复合函数的奇偶性。 例4-1．“函数是奇函数”的充要条件是实数 ． 【答案】0 【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解. 【详解】若函数是奇函数， 则当且仅当， 也就是恒成立，从而只能. 故答案为：0. 例4-2．若的最大值和最小值分别为，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】构造，确定函数为奇函数，，根据奇函数性质计算得到答案. 【详解】设，函数定义域为，则，即为奇函数， 其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0， ，故. 故选：D. 变式4-1．已知函数，若是偶函数，则 ． 【答案】， 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再求，结合偶函数的定义和正弦函数的性质列关系式求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因为是偶函数，所以对任意的恒成立， 所以， 所以或，， 所以（舍去）或，， 所以，， 故答案为：，. 变式4-2．已知函数（）是偶函数，则的最小值是 【答案】 【分析】由诱导公式及三角函数的奇偶性即可判断. 【详解】因为（）是偶函数， 所以，又， 所以当时，取最小值. 故答案为： 变式4-3．若函数是偶函数，则 . 【答案】 【分析】 由已知偶函数可得，从而可得到关于的方程，即可求解. 【详解】 解：因为函数为偶函数，则， 所以， 整理得，解得，经检验，m的值符合题意 故答案为: . 变式4-4．已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据偶函数结合可得，再根据两角和差的正弦公式求解即可. 【详解】由（其中常数）是R上的偶函数可得， 又可得，故. 又，即，，故， 则. 故 . 故答案为： 类型五、正弦（型）函数的对称性问题 解题技巧： 1.对称轴核心特征：正弦型函数的对称轴必经过图像的最高点或最低点，令函数取到最值，据此列方程求解对称轴方程。 2.对称中心核心特征：对称中心是函数图像与平衡位置的交点，令函数值为零，结合图像确定对称中心坐标。 3.整体换元定位：将函数内的角整体换元，对照基础正弦函数的对称轴和对称中心，反推原函数的对称性参数。 4.参数求解策略：已知对称轴或对称中心求参数时，利用特征条件列方程，结合参数的取值范围确定唯一解或通解。 5.双对称推周期：若已知函数的两条对称轴或两个对称中心，利用两者间的距离与周期的关系，快速推导函数周期。 6.轴心结合验证：同时已知对称轴和对称中心时，通过两者间距验证周期合理性，排除不符合函数图像特征的解。 例5-1．对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 因为，所以函数的图象关于点对称，故①正确； 令，解得， 所以函数的对称轴是，，故②正确； 因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故③正确； 当，则，当， 即时，故④错误. 故选：D 例5-2．已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则 . 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合函数图象的对称性，确定6个交点的关系即可求解作答. 【详解】显然函数的图象关于点成中心对称， 依题意，函数的图象与函数的图象的交点关于点成中心对称， 于是，所以. 故答案为：6 变式5-1．函数在区间上所有零点之和为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点概念，变形为，作出和在区间上的图象，再证明的图象关于直线对称，运用对称性得解. 【详解】，作出和在区间上的图象如图， 可知两个图象共有4个交点，因此在区间上共有4个零点，由小到大记为． 同时，，， 可得，故的图象关于直线对称， 因此，故所有零点之和为， 故选：B． 变式5-2．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求出的范围，进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称中心，得到答案. 【详解】，, ， ， ， ，所以的最大值为， 当时，令，解得， 所以函数的对称中心为，， 当时，对称中心为，经检验，其他三个均不合要求. 故选：C 变式5-3．已知，，则与图像交点的横坐标之和为 . 【答案】 【分析】先分析出与均关于对称，然后结合图像确定它们的交点的个数，最后根据对称性计算即可 【详解】令，，于是正弦函数的对称中心为，由，则，令，其定义域为，，于是为奇函数，则关于对称，从向左平移单位得到，故关于对称，至此分析可知，与均关于对称. 在同一坐标系画出两者图像如下，注意到，，至此之后，将不再和相交，于是在的部分，两者有个交点，不妨设它们横坐标为（），且；根据对称性，的部分，两者也有个交点，设它们横坐标为（），且，利用对称性可知：，，……，，于是，注意到与图像均过，于是它们图像交点的所有横坐标之和为. 故答案为： 变式5-4．已知函数，两个等式，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为（    ） A．17 B．16 C．15 D．13 【答案】C 【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，依次分析选项求出得出相应的解析式，依次验证函数的单调性即可. 【详解】，，的一个对称中心为， ，，的对称轴方程， 有，解得， 又，所以，，为奇数， 在上单调，则，得， 由选项知，需要依次验证，直至符合题意为止， 当时，，有， 得，由得， 此时，可以验证在上不单调，不符合题意； 当时，，有， 得，由得， 此时，可以验证在上单调，符合题意； 综上，的最大值为15. 故选：C． 类型六、正弦（型）函数图像与性质的综合应用 解题技巧： 1.数形结合：做题时优先画出函数的草图，借助图像的直观形态，快速分析函数的走势、关键点位置，帮助判断单调区间、最值和对称性。 2.分步拆解：把综合问题拆成多个基础小问题，比如先求周期、再找对称轴、最后分析单调性，分步求解降低难度。 3.转化换元：遇到复杂的复合结构，将内层的角整体换元，转化为熟悉的基础正弦函数问题，再还原回原变量分析。 4.参数定位：求解含参数的综合题时，通过函数的最值、零点、对称轴等条件列方程或不等式，确定参数的取值或范围。 5.实际应用转化：解决实际场景问题时，先将题目中的文字描述转化为正弦型函数模型，确定函数的各个参数，再结合实际意义分析值域、周期等。 6.验证取等：分析最值或特殊点时，验证对应的自变量是否在定义域内，确保最值、特殊值确实能取到。 7.性质串联：把奇偶性、周期性、单调性、对称性结合使用，比如用周期性扩展区间，用奇偶性简化分析，用对称性定位关键点。 例6-1．已知函数. (1)求的周期及图象的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开，再由辅助角公式得到，再由整体代入法即可求解； （2）由，得到再结合正弦函数的性质即可求解； （3）令，问题转换成对任意的，不等式恒成立，由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为， 令，解得：， 所以图象的对称中心的坐标为. （2）因为，所以， 当，即时，取得最小值，； 当，即时，取得最大值，； 所以在上的值域是. （3）设， 则对任意的，不等式恒成立，等价于： 对任意的，不等式恒成立， 所以等价于，记函数在单调递增. 所以，所以， 即的取值范围是. 例6-2．已知函数. (1)证明：函数的图象关于直线对称； (2)当时，求方程在内实根个数； (3)当时，讨论函数在上的单调性. 【答案】(1)证明见解析 (2)6079个 (3)在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）按照为奇数和为偶数两种情况讨论，然后利用诱导公式化简得，即可证明. （2）先求得是的一个周期，然后令，则，求得或，进而利用正弦函数性质求得方程的根，即可求解. （3）当时，，结合二次函数性质可得在和上单调递减，进而利用对称轴性得在和上单调递增. 【详解】（1）要证函数的图象关于直线对称， 即证， 当为奇数时，， 所以； 当为偶数时，， 所以， 综上所述，， 所以的图象关于直线对称. （2）因为，所以是的一个周期， 下面研究在内的实根情况.令， 则， 当时，， 令，则，得， 所以或， 若，即，解得，有1个实根； 若，即， 即，解得或，有2个实根， 所以在内有3个实根，因为是的一个周期， 所以在内有个实根， 又，所以也是的实根， 综上，在内有6079个实根. （3）当时，， 当时，， 令，则开口向下，对称轴为， 当时，且关于单调递增，在上单调递减， 即在上单调递减； 由（1）知的图象关于直线对称，所以在上单调递增； 当时，且关于单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减； 由（1）知的图象关于直线对称，所以在上单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. 变式6-1．已知函数，其中. (1)当时，求的值域. (2)当时，求的最大值. (3)当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意写出函数进行整理，令，根据二次函数性质求解最值； （3）根据题意写出函数进行整理，运用三角函数性质进行求解b和不等式解集. 【详解】（1）因为，当时， ，因为， 所以，故的值域为； （2）因为， 当时，， 因为，所以， 令，由（1）可知，则， 当时，，故的最大值为. （3）当时，，其中， 因为函数图像关于直线对称，故， 整理得，即，故， 又因为将函数的图像向右平移单位， 得到函数，由题可知， 计算得，故， 即， 所以的解集为. 变式6-2．已知. (1)试将表示成的形式. (2)当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. (3)对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正余弦的二倍角公式和辅助角公式即可化简； （2）先写出表达式，利用其最小值求出，再利用正弦函数的单调区间即可求出答案； （3）先求出的最大值，存在，则只需小于关于的函数的最大值，由此可得出答案. 【详解】（1）由二倍角公式及辅助角公式可得 . （2）由题意得，， 由，， 令，解得， 在内，，所以单调减区间为. （3）由（2）知在的最大值为， 在有解，即在有解， 而，所以. 变式6-3．已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 【答案】(1)函数的最小值，此时的值为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质运算求解； （2）以为整体，结合正弦函数分析运算. 【详解】（1）∵ ， 即， 令，解得， 故函数的最小值，此时的值为. （2）由（1）可知：， ∵，则，， 故，且， 结合正弦函数可得：若在上有四个不同的根，则的取值范围为， 设在上的四个不同的根由小到大依次为， 当时，则， 整理得，故； 当时，则， 整理得，故； 综上所述：当时，四个根之和为； 当时，四个根之和为. 变式6-4．已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可得到结果； （2）由正弦型函数的单调性，即可得到，再将不等式化简，代入计算，即可得到结果； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求得λ的取值范围. 【详解】（1）依题意， 又因为的最小正周期为，则，即， 所以. （2）当时，，则， 所以，即， 因为不等式在上有解， 即在上有解， 即，即. （3）由（2）及已知，，因为偶函数， 则， 解得，又，即有，， 于是， 由可得，， 而函数的周期， 依题意，对于在上 均有不少于6个且不多于10个根，则有，即，解得， 所以正实数λ的取值范围是. 压轴专练 1.函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简得到，根据图象对称性可求得，排除AD；分别代入BC选项，根据正弦型函数单调性的判断方法可得结果. 【详解】图象关于原点对称， ，解得：，可排除A，D； 当时，，则当时，，此时为减函数，符合题意，B正确； 当时，，则当时，，此时为增函数，不合题意，C错误. 故选：B. 2.已知定义在上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，当，，，令，得或，结合函数图象可求解. 【详解】由可得，， 当时，， 当，，， 当，，， 令，得或（舍）； 若对任意，都有，结合函数图象， 可得的取值范围是. 故选：B. 3.设函数，若对于任意，在区间上总存在确定的，使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数图象的单调性得,,根据，可得即可根据求解. 【详解】因为， 若，则， 所以,，即,， 由在区间上总存在确定的，使得， 则在区间上总存在确定的，使得， 当时，, 故，故 故的最大值为：， 故选：C． 4.设，.若对任意实数，都有，则满足条件的有序数对的个数是（    ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】先讨论的情形，由恒成立得，时，由所以对任意实数x均有，确定只有，由正弦函数的周期性，，再分类确定的值即可得． 【详解】若，则恒成立，故，而，故. 若，因为对任意实数x均有， 所以对任意实数x均有， 又因为，， 所以只能是对任意实数x均有成立， 由三角函数的图象与性质可知，必有， 若，此时方程可化为， 根据三角函数的周期性，此时，，解得，， 又，所以； 若，此时方程可化为， 根据三角函数的周期性，此时，，解得，， 又，所以； 综上满足条件的有序实数对为，，共有3个， 故选：B 5.已知线段AB的长为4，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，其中∥（如图）则这个梯形的周长的最大值为（　　） A．8 B．10 C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】连接AC，设，用表示出周长来，利用二次函数求解. 【详解】连接AC，过C作于E， 因为AB为直径且为，则， 设，则，可得， 则， 又因为ABCD为等腰梯形，则， 故其周长为 ， 所以当，即时，周长取到最大值10. 故选：B. 6.已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式辅助角公式化简函数解析式可得，令，可得在区间上的值域为，作函数图象，观察图象可求的最值，由此可得结论. 【详解】因为 所以， 所以 由可得，， 令，则在区间上的值域为， 作函数，，的图象如下： 令可得，，， 令可得，或，， 结合图象可得的最小值为，故的最小值为， 的最大值为，故的最大值为， 观察四个选项，只有选项D不满足， 故选：D. 7.已知函数，其中，且．则关于下列两个命题的判断，说法正确的是（　　） ①的最大值为2； ②，都有． A．①真命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①假命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】A 【分析】对①，由题可得当且仅当时，取得最大值2，利用正弦函数的性质运算可得当，，时，取得最大值2；对②，由三角恒等变换可得，要使得上式恒成立，则，利用正弦函数的性质运算得当，满足. 【详解】对于①，由，可得当且仅当时，取得最大值2， 即存在实数，，且使得成立， ，，即， ，可取满足上式，此时， 所以当，，时，取得最大值2，故①是真命题； 对于②，由 ， 要使得上式对任意的实数均成立，则， ，得， 又，可取，，此时，满足， 所以存在，，都有，故②是真命题. 故选：A. 8.在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“正余弦函数”定义结合题给条件得出，结合正弦函数性质，对“正余弦函数”的性质进行逐一判断. 【详解】由题知，点坐标为，则 . 性质①：，值域为，正确. 性质②：， ，所以，错误. 性质③：当时，，，非最值； 最值出现在，即，错误. 性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为， 故为周期函数，最小正周期为，正确. 综上，性质①④正确，共2个. 故选：B. 9.若在内有两个不同的实数值满足等式，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】讨论函数在的单调性即可得解. 【详解】函数， 时，单调递增， 时，单调递减， ，，， 所以在内有两个不同的实数值满足等式， 则， 所以. 故答案为： 10.已知函数，其中在上是严格增函数，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由整体代入法得函数的单调递增区间，对比即可得解. 【详解】由于函数满足的单调递增区间为，， 解得，； 故函数的单调递增区间为，； 故，； 故，，即的最大值为． 故答案为：. 11.设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，使得，又由，得到，即可求解. 【详解】由函数，因为， 所以， 又因为在区间上总存在唯一确定的，使得， 即在区间上总存在唯一确定的，使得， 因为，结合三角函数的性质，可得 故答案为：. 12.已知关于的方程（）在有四个不同的实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令（），判断出为偶函数，将问题转化为研究 时，有两个零点，令，则有一个零点，分和两种情况，结合二次函数的性质分析求解即可. 【详解】当，（）， 则有，所以函数为偶函数， 由偶函数的对称性， 只需研究时，有两个零点， 设，由， 则有一个零点在上， 若是函数的零点，则，在上只有一个零点，不符合题意， 所以有一个零点， ①当时，，，解得，不符合题意； ②当时，，只需即可， 只需，解得. 所以. 综上：实数的取值范围为， 故答案为： 13.已知，若对任意，当时，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的性质计算即可. 【详解】由题意可得，，则, 由,都有， 则 所以, , 则转化为 , 令, 由时,都有, 由正弦函数的单调递增，, 则， 由,则, 故时,区间为 满足且 则.的取值范围 故答案为：. 14.已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用二倍角公式与和差倍角的正弦公式化简，然后化简，结合二次函数的性质判断单调性，进而求出值域. （2）先求出正弦函数的零点，然后列出原点周围的零点，进而根据零点个数列出不等式，最后求出解集即可. 【详解】（1）函数． 所以. 因为，所以，所以.令， 根据二次函数的性质，在上单调递减，所以. 因为，. 所以在区间上的值域为. （2）令，则，所以. 列出零点为， 因为函数在区间上有4个零点， 所以，解得. 所以的取值范围为. 15.设函数的表达式为，其中. (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求的范围，结合条件列不等式求的取值范围； （2）由条件列关系式，确定的值，再由周期公式求周期. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，， 因为有且只有一个使得函数取得最小值， 所以，解得， 所以的取值范围是， （2）因为对任意，成立， 所以的图像关于点对称， 则， 解得，又因为， 所以， 由，，可得， 因为函数在区间上是严格增函数， 令可得，函数在上严格单调递增， 所以，所以， 所以，，， 所以函数的最小正周期. 16.已知直线是函数的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据给定的对称轴，结合正弦函数的图象与性质列式求解即得. （2）化简，再利用正弦函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）直线是函数的一条对称轴， 所以， 解得，由可得， 所以. （2） 令，由， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，， 即在上的最大值为，最小值为. 17.设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；②的最小值为3，此时. 【分析】（1）根据单调函数的定义，结合三角函数的性质和不等式的性质，判断的正负，即可证明； （2）①根据三角函数的性质，将函数的零点转化为图象的交点个数问题，即可判断； ②根据①的结果以及分析过程，判断当时的交点情况，以及得到取值. 【详解】（1）设， ， ， ， 因为，所以， 且，所以，所以， 则， 所以， 即，所以， 所以函数在区间上是严格增函数. （2）①，则， 当时，即，，， 所以不管为何值，和是函数的零点， 当，即或时，，如图画出函数的图象， 若或时，与无交点，没有零点， 若或时，与有1个交点，为和，需舍去，所以没有零点， 当或时，与有2个交点， 当时，与有3个交点， 综上可知，或时，有2个零点， 当或时，有4个零点， 当时，有个5零点. ②由①可知，时，最多有5个零点， 时，区间为，不管为何值，函数的零点包含，3个零点， 当时，与在区间有4个交点， 如图， 当时，在区间有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点， 所以的最小值为3，此时. 18.已知函数． (1)若对于任意的，等式总是成立，求，的值； (2)若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由； (3)若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将化简，即可得解； （2）首先求出的值，即可求出在上的值域，依题意，即可得到关于的不等式组，解得即可； （3）首先求出的值，再令，结合二次函数的性质求出的值域，依题意可得，求出的范围，结合正弦函数的性质得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为 ， 又且， 所以，； （2）因为为偶函数， 所以，则， 当时，，所以，所以， 因为恒成立，即恒成立，所以，解得， 所以不存在使得恒成立； （3）因为的最大值为，且，所以，则， 令，则， 因为，所以当时取得最大值，即， 当时取得最小值，即， 所以， 因为对于任意的，总是存在，使等式成立， 所以， 当时， 又，所以，又，， 所以，解得，即的取值范围为； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 正弦（型）函数的图像与性质 目录 类型一、正弦（型）函数的图像及其应用 类型二、正弦（型）函数的单调性问题 类型三、正弦（型）函数的值域与最值问题 类型四、正弦（型）函数的奇偶性问题 类型五、正弦（型）函数的对称性问题 类型六、正弦（型）函数图像与性质的综合应用 压轴专练 类型一、正弦（型）函数的图像及其应用 解题技巧： 1.图像识别：先看振幅、周期、相位，确定函数的基本形式，再结合特殊点（如最高点、最低点、零点）来求解析式。 2.五点法作图：抓住一个周期内的五个关键点，依次是起点、最高点、中点、最低点、终点，这样能快速画出图像。 3.图像变换：平移、伸缩变换要注意顺序，先平移再伸缩和先伸缩再平移的结果是不一样的。 4.应用建模：遇到实际问题，先把文字描述转化为三角函数模型，再用图像性质去解决最值、周期等问题。 5.数形结合：遇到方程、不等式问题时，画出函数图像，通过图像交点或位置关系来判断解的情况。 例1-1．函数的零点个数为 例1-2．若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是 ． 变式1-1．已知定义在上的函数满足：，且当时，.若对任意的，都有，则实数m的取值范围是 . 变式1-2．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 变式1-3．已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ． 变式1-4．设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 类型二、正弦（型）函数的单调性问题 解题技巧： 1.基础换元：将函数中含自变量的角整体设为新变量，转化为基础正弦函数的单调性问题，再还原求解原变量的区间。 2.符号修正：若函数整体带有负号，先利用诱导公式调整符号，或直接将求得的单调区间反向，避免单调性判断错误。 3.定义域约束：求解单调区间时，需结合题目给定的自变量范围，筛选出符合条件的有效区间，剔除超出范围的部分。 4.参数定号：面对含参数的系数，先判定参数的正负性，正号不改变单调性，负号则需将基础单调区间反转。 5.参数范围推导：已知单调区间求参数时，将换元后的变量范围与基础正弦函数的单调区间对应，列出关于参数的不等式，结合参数自身限制条件求解。 6.分类讨论参数：参数取值影响周期或区间归属时，以临界值为分界，分情况讨论参数的不同取值范围，逐一求解对应单调区间。 7.特值验证：求得参数范围后，选取区间内及端点的特殊值代入，检验函数单调性是否符合题意，排除增根。 例2-1．函数与函数的交点为，则函数（其中）的一个减区间是（     ）. A．    B．    C．    D． 例2-2．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知函数，其中为实数，且，若对恒成立，且，则的单调递增区间为 . 变式2-3．函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 变式2-4．已知函数，.若函数在区间上递增，则实数的取值范围为 . 类型三、正弦（型）函数的值域与最值问题 解题技巧： 1.有界性核心：紧扣正弦函数的取值范围，结合振幅确定函数的上下限，这是求解值域和最值的基础。 2.换元转化：将含自变量的角整体换元，转化为基础正弦函数在特定区间内的值域问题，降低求解难度。 3.区间定位：先确定换元后新变量的取值范围，结合正弦函数图像，找到区间内的最高点和最低点，进而确定最值。 4.二次转化法：遇到含正弦函数的二次式，将正弦函数换元为新变量，转化为二次函数在限定区间内的值域问题，注意新变量的范围约束。 5.参数分类讨论：参数影响振幅、相位或变量范围时，按参数的临界值划分情况，分别求解不同情况下的值域与最值。 6.实际意义约束：解决实际应用问题时，除考虑函数本身的有界性，还需结合实际场景对自变量和函数值的限定，筛选有效最值。 7.验证取等条件：求得最值后，需验证此时自变量是否存在且在定义域内，确保最值能够取到。 例3-1．函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．3 例3-2．已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 变式3-1．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知函数，，若对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 ． 变式3-3．已知函数，.直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为 . 变式3-4．已知． (1)求解关于的方程； (2)求函数，的值域； (3)已知常数，设，若函数在区间上的最小值是，求的值． 类型四、正弦（型）函数的奇偶性问题 解题技巧： 1.先验定义域：判断奇偶性前，必须先确认函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，直接判定为非奇非偶。 2.奇函数核心特征：正弦型函数为奇函数时，函数图像过原点，可通过代入原点坐标快速建立方程，求解相关参数。 3.偶函数核心特征：正弦型函数为偶函数时，相位会使函数在原点处取得最值，利用这一图像特征列方程，比代数推导更快捷。 4.代数定义验证：利用奇偶性的定义式，代入负自变量，通过恒等变形对比原式，判断是否满足奇函数或偶函数的条件。 5.参数求解与检验：根据奇偶性条件求出参数值后，需代回原函数进行检验，排除因变形过程中产生的增根，确保结论成立。 6.整体换元判断：对于复杂的正弦型复合函数，可将内层函数整体换元，结合内外层函数的奇偶性规律，快速判断复合函数的奇偶性。 例4-1．“函数是奇函数”的充要条件是实数 ． 例4-2．若的最大值和最小值分别为，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 变式4-1．已知函数，若是偶函数，则 ． 变式4-2．已知函数（）是偶函数，则的最小值是 变式4-3．若函数是偶函数，则 . 变式4-4．已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 类型五、正弦（型）函数的对称性问题 解题技巧： 1.对称轴核心特征：正弦型函数的对称轴必经过图像的最高点或最低点，令函数取到最值，据此列方程求解对称轴方程。 2.对称中心核心特征：对称中心是函数图像与平衡位置的交点，令函数值为零，结合图像确定对称中心坐标。 3.整体换元定位：将函数内的角整体换元，对照基础正弦函数的对称轴和对称中心，反推原函数的对称性参数。 4.参数求解策略：已知对称轴或对称中心求参数时，利用特征条件列方程，结合参数的取值范围确定唯一解或通解。 5.双对称推周期：若已知函数的两条对称轴或两个对称中心，利用两者间的距离与周期的关系，快速推导函数周期。 6.轴心结合验证：同时已知对称轴和对称中心时，通过两者间距验证周期合理性，排除不符合函数图像特征的解。 例5-1．对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例5-2．已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则 . 变式5-1．函数在区间上所有零点之和为（   ）． A． B． C． D． 变式5-2．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知，，则与图像交点的横坐标之和为 . 变式5-4．已知函数，两个等式，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为（    ） A．17 B．16 C．15 D．13 类型六、正弦（型）函数图像与性质的综合应用 解题技巧： 1.数形结合：做题时优先画出函数的草图，借助图像的直观形态，快速分析函数的走势、关键点位置，帮助判断单调区间、最值和对称性。 2.分步拆解：把综合问题拆成多个基础小问题，比如先求周期、再找对称轴、最后分析单调性，分步求解降低难度。 3.转化换元：遇到复杂的复合结构，将内层的角整体换元，转化为熟悉的基础正弦函数问题，再还原回原变量分析。 4.参数定位：求解含参数的综合题时，通过函数的最值、零点、对称轴等条件列方程或不等式，确定参数的取值或范围。 5.实际应用转化：解决实际场景问题时，先将题目中的文字描述转化为正弦型函数模型，确定函数的各个参数，再结合实际意义分析值域、周期等。 6.验证取等：分析最值或特殊点时，验证对应的自变量是否在定义域内，确保最值、特殊值确实能取到。 7.性质串联：把奇偶性、周期性、单调性、对称性结合使用，比如用周期性扩展区间，用奇偶性简化分析，用对称性定位关键点。 例6-1．已知函数. (1)求的周期及图象的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 例6-2．已知函数. (1)证明：函数的图象关于直线对称； (2)当时，求方程在内实根个数； (3)当时，讨论函数在上的单调性. 变式6-1．已知函数，其中. (1)当时，求的值域. (2)当时，求的最大值. (3)当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式. 变式6-2．已知. (1)试将表示成的形式. (2)当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. (3)对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 变式6-3．已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 变式6-4．已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 压轴专练 1.函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 2.已知定义在上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.设函数，若对于任意，在区间上总存在确定的，使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4.设，.若对任意实数，都有，则满足条件的有序数对的个数是（    ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 5.已知线段AB的长为4，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，其中∥（如图）则这个梯形的周长的最大值为（ ） A．8 B．10 C． D．以上都不对 6.已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 7.已知函数，其中，且．则关于下列两个命题的判断，说法正确的是（　　） ①的最大值为2； ②，都有． A．①真命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①假命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 8.在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9.若在内有两个不同的实数值满足等式，则实数k的取值范围是 ． 10.已知函数，其中在上是严格增函数，则的最大值为 ． 11.设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ． 12.已知关于的方程（）在有四个不同的实数解，则实数的取值范围为 ． 13.已知，若对任意，当时，都有，则的取值范围是 ． 14.已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 15.设函数的表达式为，其中. (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期. 16.已知直线是函数的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在上的最大值和最小值. 17.设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 18.已知函数． (1)若对于任意的，等式总是成立，求，的值； (2)若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由； (3)若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $