专题04 平行线的拐点模型（五大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04平行线的拐点模型 目录 典例讲解 类型一、猪蹄模型 类型二、铅笔头模型 类型三、牛角模型 类型四、羊角模型 类型五、“5”字模型 压轴专练 典例详解 在类型一、 猪蹄模型 猪蹄模型(M型) 图①可得：己知ABIICD,结论：∠APC=∠A+∠C; 己知∠APC=∠A+∠C,结论：ABIICD A B A B P P P 0 D 图① 图② 图②可得：已知ABIICD,结论：∠A+∠P2+∠C=∠P+∠P 1.如图，直线AB∥CD,GE⊥EF于点E,若∠BGE=58°，则∠EFD的度数是() 1/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G -B E -D A.29° B.32° C.42° D.58 【答案】B 【详解】解：如图，过点E作EH∥AB, A -B H----E :EH∥AB, C F D :∠HEG=∠BGE=58°， 'GE⊥EF, ∠GEF=90°， :∠HEF=∠GEF-∠HEG=90°-58°=32°， :EH∥AB,AB∥CD, .EH∥CD, :∠EFD=∠HEF=32°. 故选：B 2.如图，直线CE∥DF,∠CAB=125°，∠ABD=85°，则∠1+∠2=() C E A 1250 85B 丁2 D F A.30° B.35° C.36° D.40° 【答案】A 【详解】解：CE∥DF, .LCEF+LDFE=I80°， :∠2+∠DFE=85°，∠1+∠CEF=125°， .∠CEF=125°-∠1，∠DFE=85°-∠2， 2/49 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .125°-∠1+85°-∠2=180°， .∠1+∠2=30°， 故选：A. 3.生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如图，从光源点P照射到抛物线上的光线 PA,PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP=a,∠DBP=B,则∠APB的度数为 B →D 【答案】a+B/B+a 【详解】解：：AC‖EF,∠CAP=a, ∠APE=∠CAP=a, :BD∥EF,∠DBP=B, .∠BPE=∠DBP=B, .∠APB=∠APE+∠BPE=a+B. 故答案为：a+B。 4.如图，已知MD∥NE,若LABD=70°，∠ACE=36°，BP,CP分别平分∠ABD,∠ACE,则∠BPC 的度数为 M B N C E 【答案】53° 【详解】解：过点P作PF‖MD M B N C E MDI NE :MDI PF II NE 3/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BP平分∠ABD,∠ABD=70°， 2P9D-4Dx0=35 :CP平分∠ACE,∠ACE=36, :∠PCE=∠ACE=x36=18. 2 2 :MD‖PF, ∠BPF=∠PBD=35. PFNE, ∴∠CPF=∠PCE=18. .∠BPC=∠BPF+∠CPF=35+18=53°. 故答案为：53°. 【点晴】本题考查了知识点平行线的性质与角平分线的定义，解题关键是通过作辅助线构造平行线，将角 进行转化，从而利用平行线的性质建立角之间的关系 5.如图，AB∥EF,∠C=90°，则a,B和Y的数量关系是 C E 【答案】∠a+∠B-∠y=90° 【分析】 【详解】解：如图，分别过点C,D作CM∥AB,DN∥EF, A N 丁y F :AB∥EF, .CM∥AB∥DN∥EF, 4/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BCM=∠a,∠DCM=∠CDN,∠EDN=∠y, :.∠B=∠CDN+∠EDN=∠CDN+∠y①， ∠BCD=∠BCM+∠DCM=∠a+∠DCM②， 由①-②得：∠3-∠BCD=∠y-∠a, :∠BCD=90°， ∠a+∠B-∠y=90°. 故答案为：∠a+∠β-∠y=90°. 6.已知AB∥CD,点M,N分别是AB,CD上两点，点G在AB,CD之间，连接MG,NG,点E是AB 上方一点，连接EM,EN,若GM的延长线MF平分∠AME,NE平分∠CNG,2LMEN+∠MGN=105°， 则∠AME= B 【答案】50°/50度 【详解】解：如图，过G点作GK∥AB,过E点作ET∥AB. E M 3 B·ABII CD, K---- ,G 6 :ET AB GK I CD 设∠1=x,∠2=y,则∠MGN=x+y,∠3=∠1=x,∠4=∠2=y. :NE平分∠CNG, 25=26=3∠0G=180-∠4=080-月=90-. 2B0=24+25=490-=0+ , ∠7=∠3， 5/49 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠7=x, :MF平分∠AME, ∠AME=2∠7=2x, ET AB, ∠TEM=∠AME=2x, ET CD ·.∠TEW=∠6=90°-1 , 六∠MEN=∠TEN-∠TEM=90°- 2y-2x, :2∠MEN+∠MGN=105°， 290°-1」 2-2x+(x+y川=1050， 解得x=25°， ∠AME=2x=50°. 故答案为：50°. 类型二、铅笔头模型 铅笔头模型 图①可得：己知ABI∥CD,结论：∠PAB+∠APC+∠PCD=360°； ②已知∠PAB+∠APC+∠PCD=360°，结论：ABIICD A B A 1 P 2 D n-1 D D 图① 图② 图②可得：已知AB/CD,结论：∠1+∠2+..+∠n=180(n-1) 7.已知如图，AD∥CE,则LA+∠B+∠C=() 6/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E A.180 B.270 C.360° D.540 【答案】C 【详解】解：过点B作AD平行线， A -D F:AD∥CE∥BF, -E :∠A+∠B+∠C=∠A+∠ABF+∠FBC+∠C=180°+180°=360°. 故选C 8.如图，AB∥CD,E,F分别是AB,CD上的点，EH,FH分别是∠AEG和∠CFG的平分线，若 ∠G=116°，则∠H的度数为() E G C D A.120° B.124° C.122 D.116° 【答案】C 【详解】解：如图，过点G作GM∥AB E A -B G …W :AB∥CD D F :CD∥MG∥AB ∴.∠BEG=∠MGE,∠DFG=∠MGF ∠MGE+∠MGF=∠DFG+∠BEG=∠EGF=1I6° 7/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠AEG+∠CFG=360°-116°=244° :EH,FH分别是∠AEG和LCFG的角平分线 ∠HEA+∠C=2∠4EG+2CFG)=129 过点H作HN∥AB, 同理可求∠EHF=∠EHN+∠FHN=∠HEA+∠HFC=122° 故选C. 9.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输.如图 2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD,CG∥EF,∠BAG=150°， ∠DEF=130°，则∠AGC的度数是 -B A 图1 图2 【答案】80°/80度 【详解】解：如图，过点F作FM∥CD, ------M B AB∥CD, AB∥CD∥FM, .∠DEF+LEFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°， ∠BAG=150°，∠DEF=130°， .∠MFA=30°，∠EFM=50°， .∠EFA=∠EFM+∠AFM=80°， :CG∥EF, ∴∠AGC=∠EFA=80°. 8/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为80° 【点晴】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算， 1O.如图，AB与HN交于点E,点G在直线CD上，∠FMA=LFGC,∠FEN=2∠NEB, ∠FGH=2∠HGC,下列四个结论：①AB∥CD;②LFEN+∠FGH=2∠EHG;③LEHG+∠EFM=90°； ④3LEHG-∠EFM=180°.其中正确的结论是 (填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得 0分). M E C G D 【答案】①②④ 【详解】解：：∠FMA=∠FGC, AB∥CD, ∴.①正确： 过点H作HQ∥AB, .N M B E H --0 D G :AB∥CD, .ABII HOl CD, :.∠EHQ=∠AEH=∠NEB,∠GHQ=∠HGC, 设∠NEB=x,∠HGC=y,则∠FEN=2x,∠FGH=2y, :∠EHG=∠EHQ+∠GHQ=∠NEB+∠HGC=x+y, .∠FEN+∠FGH=2x+y)=2LEHG, ∴.②正确； :∠EFM=∠BEF-∠FME=∠BEF-∠AMG, 9/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠EFM=∠BEF-180°-∠FGC)=x+2x-180°-y-2y)=3x+3y-180°， :∠EHG+∠EFM=x+y+3x+3y-180°=4x+4y-180°≠90°， ∴③错误； 3LEHG-∠EFM=3(x+y-(3x+3y-180)=180°， “④正确。 综上所述，正确的结论是①②④. 故答案为：①②④， 11.探究题： A B A 图1 图2 (1)如图1，若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明理由吗？ (②)若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (②)LB+LD+∠E=360°，证明见解析 【分析】 【详解】(1)解：能，理由如下： 如图，过点E作EF∥AB, A D 图1 .·EF∥AB, ∠B=∠BEF, EF∥AB,AB∥CD, :EF∥CD, ∠D=∠DEF, ∴.∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D. 10/49命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04平行线的拐点模型 目录 典例讲解 类型一、猪蹄模型 类型二、铅笔头模型 类型三、牛角模型 类型四、羊角模型 类型五、“5”字模型 压轴专练 典例详解 在类型一、 猪蹄模型 猪蹄模型(M型) 图①可得：己知ABIICD,结论：∠APC=∠A+∠C; 己知∠APC=∠A+∠C,结论：ABIICD A B A B P P P 0 D 图① 图② 图②可得：已知ABIICD,结论：∠A+∠P2+∠C=∠P+∠P 1.如图，直线AB∥CD,GE⊥EF于点E,若∠BGE=58°，则∠EFD的度数是() 1/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G -B E F -D A.29° B.32° C.42° D.58° 2.如图，直线CE∥DF,∠CAB=125°，∠ABD=85°，则∠1+∠2=() C E 1T A 1250 85B A.30° B.35° C.36° D.40° 3.生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如图，从光源点P照射到抛物线上的光线 PA,PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP=a,∠DBP=B,则∠APB的度数为 E P -D 4.如图，己知MD∥NE,若∠ABD=70°，LACE=36°，BP,CP分别平分∠ABD,∠ACE,则∠BPC 的度数为 D E 5.如图，AB∥EF,∠C=90°，则a,B和Y的数量关系是 C E F 6.已知AB∥CD,点M,N分别是AB,CD上两点，点G在AB,CD之间，连接MG,NG,点E是AB 2/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 上方一点，连接EM,EN,若GM的延长线MF平分∠AME,NE平分∠CNG,2LMEN+∠MGN=105°， 则∠AME= M B 类型二、铅笔头模型 铅笔头模型 图①可得：已知ABIICD,结论：∠PAB+∠APC+∠PCD=360°； ②已知∠PAB+∠APC+∠PCD=360°，结论：ABIICD A B B 1 n-1 图① 图② 图②可得：已知AB/CD,结论：∠1+∠2+..+∠n=180(n-1 7.己知如图，AD∥CE,则LA+∠B+∠C=() B A.180° B.270° C.360 D.540° 8.如图，AB∥CD,E,F分别是AB,CD上的点，EH,FH分别是LAEG和LCFG的平分线，若 ∠G=116°，则∠H的度数为() 3/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E A B G D A.120° B.124° C.122° D.116 9.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输.如图 2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，己知AB∥CD,CG∥EF,∠BAG=150°， ∠DEF=130°，则∠AGC的度数是 图1 图2 10.如图，AB与HN交于点E,点G在直线CD上，LFMA=LFGC,LFEN=2LNEB, ∠FGH=2∠HGC,下列四个结论：①AB∥CD;②∠FEN+∠FGH=2LEHG;③LEHG+∠EFM=90°； ④3LEHG-∠EFM=180°.其中正确的结论是 (填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得 0分). E H 11.探究题： A 0 C 图1 图2 (I)如图1，若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？并证明 4/18 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.(1)问题发现：如图①，直线AB∥DC,E是AB与DC之间的一点，连接BE,CE,可以发现 LB+∠C=∠BEC,请把下面的证明过程补充完整： D D 图① 图② 图③ 证明：过点E作EF∥AB, :AB∥DC,EF∥AB, EF∥DC. ∠C= EF∥AB, .∠B= ∴.∠B+∠C= 即∠B+LC=LBEC; (2)拓展探究： 如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C=360°-∠BEC; (3)解决问题： 如图③，AB∥DC,∠C=120°，∠AEC=80°，求∠A的度数. 5/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13.如图，已知直线l∥12,13、4和1h、2分别交于点A、B、C、D,点P在直线马或上且不与点A、 B、C、D重合，记LAEP=∠1，LPFB=∠2，∠EPF=∠3. B (1) (2) 1)若点P在图(1)位置时，求证：∠3=1+∠2： (2)若点P在图(2)位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明， 类型三、牛角模型 牛角模型 如图，已知AB/CD,结论：∠1=∠2+∠3 B 2 6/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.如图，AB∥CD∥EF,点0在AB上，连接0D、OE,若∠D=130°，∠D0E=30°，则∠E=() A B D E A.70° B.75 C.80 D.85° 15.小明观察“抖空竹时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD, LBAE=91°LDCE=124°，则LAEC的度数是() B A.29° B.30° C.31° D.33° 16.如图，直线AB∥EF,点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°， ∠DEF=120°，则∠CDE的度数是() B E D A.20° B.25° C.30° D.35 17.如图，已知AB∥DE,∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=· A B 18.直线AB∥CD,P为直线AB上方一点，连接PA、PD. 7/18 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 图1 图2 (1)如图1，若∠A=100°，∠D=130°，求∠APD的度数： (2)如图1，设∠PAB=a,∠CDP=B,求∠APD的度数（用含a、B的式子表示）： (O如图2，N为∠PAB内部一点，∠BAN=3ZP,连接CN,若∠DCN=3∠PCW,求二C的值. 类型四、 羊角模型 羊角模型 如图，AB∥CD,结论：∠2=∠1+∠3 0 19.如图所示，AB‖CD,∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为 8/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 20.汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成.如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后 均平行于地面射出，已知∠1=88°，∠3=130°，则∠2的度数为() 反光镜 2 焦点 A.30° B.36° C.42 D.52° 21.如图，已知AB∥CD,∠ABC= ∠CBE,CB的延长线交∠BED的角平分线于点F,若∠C=25°， ∠D=35°，则∠F的度数为() A B E A.27° B.30° C.32° D.36° 22.已知，如图，AB∥EF,∠ABC=75°，∠CDF=135°，则∠BCD等于() E F 135 A.45o B.40° C.35 D.30° 23.如图，AB∥CD,∠NGB=∠HEF,∠H=2∠HGA,FG⊥HN,则不正确的是() 9/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 N B 公 D A.FG∥HE B.HE平分∠FEC C.∠H+2∠FGA=180° D.3∠NGB-∠F=90° 24.学习完平行线的性质与判定之后，发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题， (I)小明遇到了下面的问题：如图1，直线L∥12，点P在直线(、马之间，探究∠A,∠APB,∠B的等量 关系 小明过点P作的平行线PQ,可证∠APB,∠A,∠B之间的等量关系是： A P B 2 图1 (2)如图2，如果AC∥BD,点P在直线AC上方，那么∠A,∠APB,∠B的等量关系是否发生变化？ 请你补全下面的证明过程. E B D 图2 解：过点P作PE∥AC, ∠A= :AC∥BD, ∠B= 10/18