专题4 图形的性质 -第05讲直角三角形 2026年中考数学一轮复习

第05讲 直角三角形 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.图中直角三角形的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得据此，可求得学校与工厂之间的距离等于(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，，，边的中点为，边上的点满足若，则的长是(    ) A. B. C. D. 5.在中，，平分，则等于(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，是的中点，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，为边上的中线，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.已知的内角分别为，，，下列不能判定是直角三角形的条件是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，，垂足为，，则的长为(    ) A. B. C. D. 11.如图，在中，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点若，则的长为(    ) A. B. C. D. 12.将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点上，与相交于点，则的值为(    ) A. B. C. D. 14.如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 15.如图，，交于点，，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 16.如图，中，，于，则图中共有          个直角三角形． 17.在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为          度． 18.如图所示的是某超市入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，则点与点之间的距离为_________． 19.如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是          ． 20.如图，点，在同侧，，，则          ． 21.如图，在中，，，若点在直线上不与点、重合，且，则的长为          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 22.本小题分 如图，在中，，平分，且求证：是直角三角形． 23.本小题分 用一副直角三角板按图的位置摆放，抽象成如图的示意图，已知，求四边形的面积结果保留根号． 24.本小题分 如图，在中，，请用尺规作图的方法在边上求作一点，连接，使得是等边三角形保留作图痕迹，不写作法 25.本小题分 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知 ， ，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． 求 的长； 求塔的高度．取，取，结果取整数 26.本小题分 如图，，，为水平边，为边上一点． 只用圆规在的正上方作一点，使说明作法，不需要证明； 在的条件下，连接，若，，求的长度． 27.本小题分 如图，在中，，，，是中线，作，交边于点． 求的长 求的正切值． 28.本小题分 如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． 若，则的度数为          ． 求证：． 已知，求的值． 29.本小题分 如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． 求的度数； 若，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、、、是直角三角形，共有个直角三角形， 故选：． 有一个角是度的三角形叫直角三角形，由此即可得到答案． 本题考查直角三角形，关键是掌握直角三角形的定义． 2.【答案】  【解析】解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长． 【详解】 ， ． 故选D． 3.【答案】  【解析】解：，， ， 是的中点，， ， 为等边三角形， ， ， 故选：． 利用三角形的内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质可得结果． 本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键． 4.【答案】  【解析】解：在中，，， ． 是中点， 设，则． ， 是直角三角形，且， ， ，则． 在中，根据勾股定理， ，，， 解得． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：，， ， 平分， ． 故选：． 先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数． 本题主要考查的是直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：点是斜边的中点，， ， ， 为等边三角形， ． 故选：． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，再根据得为等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出的长． 此题主要考查了等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 7.【答案】  【解析】解析：如图，过点作于点， ，，， ，． ，， 故选B． 8.【答案】  【解析】解：，为边上的中线， ，， ， ， 故选：． 9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  【解析】解：如图所示，， 根据题意，对顶角相等， 在中，， ， 所以的度数是， 故选：． 根据题意，，中，，根据对顶角相等即可求解． 本题考查了直角三角形的性质，对顶角、邻补角，理解图示，掌握角的和差计算是解题的关键． 13.【答案】  14.【答案】  【解析】解：如图，连接， ，，为边的中点， ，，， 在和中， ， ≌， ， 四边形的面积， 故选：． 由等腰直角三角形的性质可得，，，由“”可证≌，可得，即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求得的度数． 【解答】 解：， 两直线平行，同位角相等， ． 16.【答案】  【解析】此题考查直角三角形的性质，解题关键在于掌握判定定理． 根据直角三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：， ， 又， 直角三角形有，共个直角三角形． 故答案为：． 17.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查三角形的内角和定理和直角三角形的性质，解决本题的关键是分情况讨论中哪个角是，不要漏解． 【解答】 在中，，， 是直角三角形 当时，， 当时，， 综上，或 18.【答案】  【解析】解：过点作于点，过点作于点，如图， ，， ， 由对称性可知：， 点与点之间的距离为， 故答案为：． 19.【答案】  【解析】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．    由条件可知，  是点到直线的最短距离垂线段最短，  由条件可知  的最小值是，  故答案为：． 作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再根据含度角的直角三角形的性质即可得出结论． 本题考查的是轴对称最短路线问题，直角三角形的性质，角平分线的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 20.【答案】  21.【答案】或  22.【答案】证明：在中，，平分，  又，是直角三角形．  23.【答案】．  【解析】，，，  ，  在中利用勾股定理，得，  ，  设为 ，  在中利用勾股定理，得，即，  解得，舍去，  ，  根据“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半”求出，在中利用勾股定理求出，根据等腰三角形的判定与性质、在中利用勾股定理求出、，再利用三角形面积公式，根据四边形的面积的面积的面积计算即可． 本题考查三角形的面积、含度角的直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形，掌握“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半”、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积计算公式是解题的关键． 24. 【解析】解：，， ， ， 解得：，， 若是等边三角形，则只需， 作图方法为：以为圆心，为半径画弧，交于点，再连接． 如图： 根据等边三角形的判定解题即可． 本题考查了尺规作图、等边三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 25.【答案】【小题】 解：在 中， ，  ． 即 的长为 ． 【小题】 设， 在中，， ． 在中，由，，， 则． ． 即的长为． 如图，过点作，垂足为．    根据题意，， 四边形是矩形． ，． 可得． 在中，，， 即． ． 答：塔的高度约为．   【解析】 根据含度角的直角三角形的性质求解即可；   设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为可证明四边形是矩形，得到，在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 26.【答案】如图，点即为所求；   【解析】解：如图，点即为所求； 如图，连接，，， ，， ． 由作图可得：，， 又， ≌． ，． ． ， 若，，则． 分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，点即为所求． 利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 本题考查作图基本作图，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握五种基本作图． 27.【答案】【小题】 解：中，，是中线， ，． 可得A. 中，，， ，， ． 【小题】 由可得． 过点作，垂足为点． 在中，，，， ，． ， ．   【解析】 略  略 28.【答案】【小题】 【小题】 证明：设， ， ， 又，   ， ， ； 【小题】 解：如图所示，过作于， ， 由得， 为等腰直角三角形， ， ，     又，    ， 又，           ， ．   【解析】  本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； 解：， ， 又     ，   ， ；   设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出；   过作于，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 29.【答案】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ； ，， 是等边三角形， ， ，， ．  【解析】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，度的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； 易证是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $