专题4 图形的性质 -第06讲 矩形 2026年中考数学一轮复习

第06讲 矩形 一、选择题：本题共13小题，每小题3分，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.矩形具有而菱形不具有的性质是(    ) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 2.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是(    ) A. B. C. D. 3.已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是(    ) A. B. C. D. ． 4.如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为(    ) A. B. C. D. 5.如图，中，，，点是边上一点，点是边上一点，，过点作于点，过点作于点，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，，，记，，当不变，改变的过程中，下列代数式的值不变的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，点，分别在边，上，连接交对角线于点若为的中点，，则(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，过点作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使当最短时，则的长度为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为(    ) A. B. C. D. 11.如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点，，，，在同一平面内，，，，则点到的距离为(    ) A. B. C. D. 12.如图，正方形的边长为，点，，分别在边，，上，且当时，的最小值为(    ) A. B. C. D. 13.已知，，作射线，使得，作于点，则长的最大值是 A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 14.一个矩形相邻两边的长分别为，，则这个矩形的面积是          ． 15.如图，在平行四边形中，添加一个条件          ，使平行四边形是矩形． 16.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行____          ___． 17.如图，在矩形中，在边上，关于直线的对称点为，连接，，如果四边形是菱形，那么的值为          ． 18.已知在直角梯形中，，，，，，那么梯形的周长为          ． 19.如图，菱形的面积为，，，，分别是边的中点，则四边形的面积为          ． 20.如图，矩形中，，，点在边上，将沿直线翻折，点落在点处，联结、如果是以为腰的等腰三角形，那么的长是          ． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 如图，在中，，是的中点，，，． 求证：四边形是矩形； 若，，求的长． 22.本小题分 已知：如图，在矩形中，点、在上，求证：≌． 23.本小题分 已知：如图，矩形． 尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；不写作法，保留作图痕迹 在所作图形中，若，，求的长． 24.本小题分 如图，在矩形中，点，在边上，连接，，． 求证：≌． 当，时，求的长． 25.本小题分 如图，在中，，是的中点延长至点，使连接，记，，的周长为，的周长为，四边形的周长为． 求证：四边形是矩形； 若，，求的长． 26.本小题分 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高参考数据：，， 27.本小题分 小方根据我国古代数学著作九章算术中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高丈丈尺，折断后顶端触到墙上距地面尺的点处，墙脚离竹根处尺远请你解答：折断处离地面多高？ 28.本小题分 某型号起重机吊起一货物在空中保持静止状态时，货物与点的连线恰好平行于地面，米，参考数据：，，，，，，结果精确到米 求直吊臂的长； 直吊臂与的长度保持不变，绕点逆时针旋转，当时，货物上升了多少米？ 29.本小题分 如图，在▱中，对角线，相交于点，． 求证：； 点在边上，满足若，，求的长及的值． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  【解析】解：如图，过点作于，过点作于， 则，， ，． ，， ， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ，，． 四边形是矩形． ， ， 故选：． 如图，过点作于，过点作于，则，，得出，，勾股定理算出，证明≌，得出，证明四边形是矩形，得出，即可求解． 本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 6.【答案】  【解析】解：作，，、为垂足 ， ，， 四边形为矩形， ， ， 不变， 设为定值， ， ， 四边形为矩形， ，， ，，， ， ， ∽， ， ，即， ， 整理得， 为定值， 故选：． 过点和作的垂线，垂足分别为和，设为定值，由勾股定理求得，再证明∽，推出，得到，据此求解即可． 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：在矩形中，，， ，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：； 故选：． 利用勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键， 8.【答案】  【解析】解：过点作交于点，连接，如图所示：    四边形是矩形，，  ，，  ，  ，  点为的中点，  ，  在和中，  ，  ≌，  ，  又，  四边形是平行四边形，  ，  平行四边形是矩形， ， 为的中点， 点为的中点，  ， 等边对等角， 在中，． 故选：． 过点作交于点，连接，则，证明和全等得，进而得四边形是平行四边形，再根据得四边形是矩形，则，继而得，然后根据三角形内角和定理即可得出的度数． 此题主要考查了矩形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图，在点的右侧取一点，使得，连结，，过点作于点， 直线，， ， ，， ， ， ， ∽， ，， ，， ∽， ， ，， ， ， 和都是定值， 点在射线上运动， 当时，最短如图所示，延长，相交于点， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ，，，， ，， ∽， ， ， 解得：， 当最短时，则的长度为． 故选：． 在点的右侧取一点，使得，连结，，过点作于点，先根据相似三角形的判定与性质，推得是定值，点在射线上运动，从而得到当时，最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得和的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案． 本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段最短时的几何图形是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：过点作的延长线于点，如图所示： ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 在中，， ， 是等腰三角形， 点是的中点， ， ， ， 解得：． 故选：． 过点作的延长线于点，根据题意可判断四边形是矩形，则有，，再由勾股定理求得，，从而可判断是等腰三角形，则有，利用三角形的面积可求解． 本题主要考查矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解答的关键是求得的长度． 11.【答案】  【解析】解：作于点，作于点， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形，，， ，， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 点到的距离等于， 故选：． 作于点，作于点，可得四边形是矩形，得到，又由四边形是矩形，可得，，进而可得，再分别解和求出和，进而即可求解． 本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 12.【答案】  13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰直角三角形，切线的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的性质定理；不妨设射线在上方射线在下方时与它在上方时关于对称，计算方法一样，取中点，连接，根据，，是中点，得出，点在以为直径的上运动，画出图形，由图可知，当与相切时，最大，则此时为，长的最大值为线段的长，连接，设交于点，过点作于点，，根据，得出，是等腰直角三角形，由勾股定理可得，，根据与相切，为半径，得出，证明四边形为矩形，得出，求出，进而得出长的最大值是，即可求解． 【解答】 解：不妨设射线在上方射线在下方时与它在上方时关于对称，计算方法一样，取中点，连接，如图：   ，，是中点， ， 点在以为直径的上运动， 由图可知，当与相切时，最大，则此时为，长的最大值为线段的长， 如上图所示，连接，设交于点，过点作于点， ， 又， ， ，是等腰直角三角形， 由勾股定理可得，，即， ，， 与相切，为半径， ， 又，， ， 四边形为矩形，  ， ， 长的最大值是． 故选：． 14.【答案】  【解析】解：根据题意可得矩形的面积是， 故答案为：． 根据矩形的面积是长乘以宽即可解答． 本题考查了列代数式，正确列出式子是解题的关键． 15.【答案】答案不唯一  【解析】【分析】 本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据矩形的判定方法即可解决问题． 【解答】 解：若使平行四边形变为矩形，可添加的条件是： 对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为答案不唯一． 16.【答案】  【解析】由题意可构建直角三角形求出的长，过点作于点，则四边形是矩形．，长度可求，，在中，可根据勾股定理求出长． 【详解】 如图，设大树高为，小树高为， 过点作于点，则四边形是矩形． ，． 连接， 在中，根据勾股定理得： ， 故答案为 17.【答案】  18.【答案】  19.【答案】  【解析】连接，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，根据矩形面积公式计算即可． 本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 菱形的面积为， ，， ，，，分别是边的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形为矩形， 四边形的面积为：， 故答案为： 20.【答案】或  21.【答案】证明：在中，，是的中点， ，即， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； 解：在中，，是的中点，， ， 由可知：四边形是矩形， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 由三角形的面积公式得：， ．  【解析】根据等腰三角形性质得，即，由得，由得，则，由此即可得出结论； 根据等腰三角形性质得，根据四边形是矩形，则，，进而可在中求出，然后根据三角形的面积公式可求出的长． 此题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 22.【答案】证明：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ≌．  【解析】根据矩形的性质，可以得到，，再根据平行线的性质，即可得到，然后根据即可证明结论成立． 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 23.【答案】图形如图所示：    设  四边形是矩形，  ，，  将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，  ，，  在中，由勾股定理得：，    ，，    在中，由勾股定理得：，  即，  解得  故CE的长为．  【解析】以为圆心，为半径作弧交于点，作平分交于点即可；  设，根据矩形的性质，可得，，，再结合折叠的性质，可得，，；接下来在中利用勾股定理求出的长度，进而求出的长度，然后在中根据勾股定理，列出关于的方程，解方程即可得到答案． 本题考查作图复杂作图，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 24.【答案】证明过程见解答；   ．  【解析】证明：在矩形中，，， 在和中， ， ≌； 解：由知：≌， ， ， ． 根据矩形的性质得，，然后利用即可证明≌； 由≌，得，根据勾股定理即可求出的长． 本题考查矩形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 25.【答案】证明过程见解答；   ．  【解析】证明：是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； 解：记，，的周长为，的周长为，四边形的周长为， ，， ， ， ，， ． 先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形； 根据矩形的性质得，，解方程组可得，，再利用勾股定理即可解决问题． 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 26.【答案】解：过点作于点，过点作于点，如图所示： ，均与水平线垂直，，，，，在中，，，则，在中，，，则，，，，，四边形是矩形，，，，，，，信号杆的高为   27.【答案】解：如图，过点作于点，    由题意得：，尺，尺，尺，，  四边形是矩形，  尺，，  设尺，则尺，尺，  ，即，  解得，  即尺，  答：折断处离地面尺．  【解析】过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键． 28.【答案】解：由题意得，， ，米， 在中，米， 答：直吊臂的长为米； 如图，设旋转后的点，的对应点为，，延长交于点，过点作于点， 则， 由题意得米， 米， ， 四边形为矩形， 米， 在中，米， 米， 货物上升了米．  【解析】根据，即可解，即可求解； 设旋转后的点，的对应点为，，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，，求出，再由，即可求解． 本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 29.【答案】证明：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ． 作于点，则， ，，， ， ， ， ， ，，且， ， ， ， ， ， ， 的长为，的值为．  【解析】由四边形是平行四边形，，证明四边形是矩形，则； 作于点，由，，求得，则，再证明，则，求得，由，求得，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $