专题03 平行线和相交线的动点问题、变换问题等综合问题（七大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题03 平行线和相交线的动点问题、变换问题等综合问题 目录 典例讲解 类型一、三角板问题 类型二、动点问题 类型三、平移问题 类型四、旋转问题 类型五、翻折问题 类型六、情景探究题 类型七、数学活动题 压轴专练 类型一、三角板问题 1．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 2．一副直角三角板如图（1）摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图（2）保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，此时等于___________（写出所有可能的t的值）． 3．两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为______． 4．问题情境： 数学活动课上，嘉嘉，淇淇两位同学用一张长方形纸带做折纸游戏．已知长方形纸带的边，将一个含角的三角板按如图所示的方式放置（点始终在边上），将纸片沿折痕折叠，点在上，使点，，在同一条直线上，点，的对应点分别为，． 操作探究： (1)如图1，的度数为______． (2)如图2，将一个含角（）的三角板按如图所示的方式放置（两三角板的直角顶点重合），在三角板绕点旋转的过程中，当时，求的度数． 5．综合与探究 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动如图，将两块三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 操作探究： (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由． (2)当三角板绕点A旋转到如图2所示的位置，且时，求的度数． (3)深入思考：在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 6．综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． (1)【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； (2)【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 类型二、动点问题 7．如图，，点在和之间，，是上的动点，连接，当的长度最短时，的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，点在的延长线上，交于点，且，，，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为___________． 10．如图，直线，连接，线段把直线，之间分成三部分：①的上方；②上；③的下方．并规定：直线，上各点不属于任何部分．当动点P落在某部分时，连接，，构成，，三个角． (1)当动点P落在第②部分时，试说明：． (2)当动点P落在第①部分时，是否仍有：？请说明理由． (3)当动点P落在第③部分时，问：，与之间存在怎样的数量关系？请写出解答过程． 11．已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； (2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 12．如图，，点C是边上一点，动点A从点B出发沿射线方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线，使得． (1)若平分，猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由； (2)当时，求的度数，并说明此时与之间的位置关系； (3)若，求的度数． 类型三、平移问题 13．如图， 在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（ ） ① ② ③ ④ A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 14．如图，在中，，是锐角，平分，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接，若在整个平移过程中，和中一个角是另一个角的3倍，则____． 15．如图，将含角的直角三角板沿着射线方向平移，得到三角形，连接，在平移过程中，若与之间存在两倍的数量关系，则______． 16．将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点F，作的平分线，交直线于点，则的度数为________． 17．如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，将三角形平移，使点A沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 类型四、旋转问题 18．如下图，点，，，在同一直线上，现将绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转一周后与同时停止转动，设旋转时间为秒，下列的值，不能满足的是（   ） A．18 B．36 C．45 D．54 19．将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时，__________． 20．如图，点A、B分别在直线上，，，平分，将射线绕点B以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转时间为，当与平行时，旋转时间t的值为 _____． 21．如图，直线，一副三角板（，，，）．按图（1）所示方式放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图（2），将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点B旋转的同时，绕点E以每秒的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．当边与的一边平行时，请写出对应的t值． 22．如图1，已知，点A，B分别在，上，且，射线绕点A顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是/秒），射线绕点B顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是/秒）、且a、b满足．    (1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒，两条旋转射线交于点C，过C作交于点D，求与的数量关系； (2)若射线先旋转20秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为t秒，若旋转中，求t的值． 23．如图，直线，点E，F分别在直线上，射线从出发绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点F以每秒的速度顺时针旋转，射线先旋转6秒后射线才开始旋转，在旋转过程中射线与射线不在同一条直线上，且射线旋转的度数为时，两条射线的旋转运动同时停止，设射线的旋转时间为t秒． (1)填空：射线旋转的度数为______度，射线旋转的度数为______度；（用含t的代数式表示）； (2)若，求此时t的值． 类型五、翻折问题 24．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 26．如图，在长方形中，点P在上，连接，将沿翻折得到，沿翻折得到，已知．则的度数为___________． 27．如图，在中，，先将沿翻折到的位置，然后再将沿翻折到的位置，若，则________． 28．学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图①所示的长方行纸片，按如图②所示的方法折叠． (1)在图②的折叠过程中，若，则∠2的度数是 ． (2)如图③，在长方形中，为图②折叠过程中产生的折痕．与平行吗？请说明理由． (3)若按图②折叠后，继续按图④折叠，得到新的折痕，此时展开长方形纸片（如图⑤），新的折痕有何位置关系？请说明理由． 29．阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填． 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则，依据是 ． 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以，依据是 ． 解决问题：如图⑤，于点，于点，．求证：平分． 类型六、情景探究题 30．在放学回家的路上，小亮同学发现地面上有一块矩形的玻璃片碎成了两块（形如图1），为防止碎玻璃伤害行人，他小心地捡起碎玻璃准备放入路边的垃圾分类收集点时，爱思考的小亮同学又发现这碎玻璃与数学课上学习过的“猪蹄模型”很相似，于是尝试用“猪蹄模型”的研究方法去探究其中角之间的关系． (1)在图2中，证明． (2)针对此问题，小亮同学进行了深入探究，感受到数学探究的乐趣，现在重现小亮的探究过程，并请你解决以下问题． 【探究1】小亮同学在“猪蹄模型”的基础上画出了图3，发现图3中、、、也存在着某种数量关系，请你写出这四个角之间的数量关系，并写出证明过程． 【探究2】小亮同学进一步探究，画出了图4，请问这五个角之间是否存在某种数量关系，如果有，请写出数量关系并予以证明；如果没有，请说明理由． 【探究3】小亮同学突发奇想：“若是摔碎的玻璃上有个角（如图5），那么这些角之间有什么数量关系呢？”请你做出一个猜想，直接写出你猜想的这个角的数量关系，并说一说为什么可以这样猜想． 31．综合与探究 问题情境 在数学探究课上，老师给出这样的情境：如图1，，，请同学们提出数学问题，并予以解答． 探究发现 （1）小丽同学提出问题：与有怎样的数量关系？请解答小丽同学提出的问题，并加以证明． 深入探究 （2）小兵同学提出问题：如图2，当点在上时，连接和，请判断，与之间的数量关系，并加以证明． 问题解决 （3）睿思小组提出问题：如图3，连接，当点在上时，若，平分，，求的度数． 32．小华在学习“平行线的性质”后，对图中，和的关系进行了探究： (1)如图1，，点在，CD之间，试探究，和之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点的辅助线，并且请帮助他写出解答过程； (2)如图2，若点在的上侧，试探究，和之间有什么关系？并说明理由； (3)如图3，若点在的下侧，试探究，和之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 33．综合与探究：在数学实践活动课上，小亮和同学们利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中边的位置关系与角的数量关系．（其中） (1)首先小亮将三角尺如图1所示叠放在一起（直角顶点重合），当时，请你帮助探究的度数为 ； (2)小红固定其中一块三角尺不变，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从如图2的与重合开始，旋转到如图3的与在一条直线上时结束．探索的边与的边平行的情况． ①小丽进行动手操作，她发现在转动过程中，出现如图4的情况，即此时，请你探究此时的大小； ②小刘发现的一边与的其他边也存在互相平行的情况，请你探究符合情况的的度数； ③请你探究存在的任意一边与的任意一边平行的情况，直接写出所有的可能值． 34．如图，在四边形中，已知，，连接． 【问题提出】 （1）如图1，点E、F在线段上，连接，，平分，平分，若，求 的度数； 【问题初探】 （2）如图2，点E在线段上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由； 【类比探究】 （3）如图3，点E在的延长线上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 类型七、数学活动题 35．【数学活动】利用折纸画平行线． 活动1： 如图1，小芳将长方形纸条对折，使得线段的端点与重合，折痕交于点． （1）直接回答：_____ 活动2： 如图2，小芳按照如下步骤与方式折纸，得到了过点且与平行的直线． （2）根据以上操作，说明平行于的理由． 活动3： 如图3，在正方形中，点是对角线上的动点（不与端点，重合），小芳沿折叠三角形，使得落在正方形所在平面内的处． （3）当三角形的边平行于正方形的边时，请直接写出的度数． 36．在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行探究活动． 活动主题 关于三角板的数学思考 工具 三角板、量角器、直尺等 活动过程 第一小组 第二小组 模型抽象 相关信息 三位同学各测量的度数一次，求得的平均值为，然后又各测量的度数一次，求出其平均值． 将一个三角板，）放在互相平行的直尺和之间，并使直角顶点在直尺上，顶点在直尺上． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)第一小组选择三位同学各测量一次，再以三次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是___________；图1中___________度； (2)请你帮第一小组想一想，当摆成___________度时，才能确保； (3)在图2中，当改变直尺的位置时（始终保持直角顶点在上），点在上保持不动，同学们发现点的位置会随着直角顶点的位置的变化而变化．请你猜想：的值是否会发生改变？如果不变，它们的和是多少度？请说明理由． 37．在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》． (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，的度数为___________； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 38．【问题情境】综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连接、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图①，若．则线段与的位置关系是__________； 【任务二】（2）如图②，延长至点，试说明：；（提示：过点作） 【任务三】（3）如图③，连接、，点是和的平分线的交点，若，，请直接写出的度数． 1．如图，，直线平移后得到直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（    ） A． B． C． D． 3．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 5．如图，点为长方形的边上的点，连接，将三角形沿着翻折得到三角形，三角形翻折得到三角形．此时，点恰好落在线段上，且．以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的是______．（填入所有正确的序号） 6．如图，已知长方形纸片，点和点分别是边和上的动点，且，点和点分别是边和上的动点，现将四边形和四边形分别沿翻折到同一平面得到四边形和四边形，若，则的度数为__________． 7．五一假期，“绚丽赣江景，多彩英雄城”南昌一江两岸主题灯光秀盛大上演．在赣江边两条笔直且平行的观景栈道上分别设有P，Q两盏激光灯（如图），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转45秒，光线才开始转动．当光线旋转时间为______秒时，． 8．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．    (1)三角板的位置如图1 ①若，则的度数是________． ②猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，探究等于多少度时使得，并说明理由． 9．已知分别是上的动点，也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动、，使，若，则___________． 10．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 11．在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 12．综合与探究 问题情境 在数学探究课上，老师给出这样的情境：如图1，，，请同学们提出数学问题，并予以解答． 探究发现 （1）小丽同学提出问题：与有怎样的数量关系？请解答小丽同学提出的问题，并加以证明． 深入探究 （2）小兵同学提出问题：如图2，当点在上时，连接和，请判断．，与之间的数量关系，并加以证明． 问题解决 （3）睿思小组提出问题：如图3，连接，当点在上时，若，AD平分，，求的度数． 13．问题情境：在数学探究活动课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含30°角的直角三角板”为主题开展数学探究活动． 探究发现：（1）如图-1，小明把三角板的60°角的顶点放在上，若，则___________°； （2）如图-2，小亮把三角板的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； （3）如图-3，小颖把三角板的直角顶点放在上，30°角的顶点放在上．若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； 拓展延伸：若将如图-3所示的三角形绕直角顶点顺时针旋转一周，每秒转动10°，直接写出当时，三角形旋转所用的时间（用含的代数式表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 专题03平行线和相交线的动点问题 综合问题 目录 典例讲解 类型一、三角板问题 类型二、动点问题 类型三、平移问题 类型四、旋转问题 类型五、翻折问题 类型六、情景探究题 类型七、数学活动题 压轴专练 典例详解 类型一、三角板问题 1.如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘l∥12，三角板ABC中3 点C在Z上，三角板与直尺边缘形成的∠2=40°，则∠1=() A.20° B.25° C.30° D.35° 【答案】A 【详解】解：过点A作AD∥l,且点D在点A的右侧，如图所示： 1/76 上好每一堂课 变换问题等 °角的顶点B在L上，直角顶 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B :4∥02， AD∥1∥l2, ∠BAD=∠1，∠CAD=∠2， LBAD+LCAD=∠1+L2, 即∠BAC=∠1+∠2， :∠BAC=60°，∠2=40°， .60°=∠1+40°， ∠1=20°， 故选：A. 2.一副直角三角板如图（1)摆放在直线MN上，（直角三角板ABC和直角三角板EDC,∠EDC=90°， LDEC=60°，∠ABC=90°，LBAC=45°)，如图(2)保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每 秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转，在旋转过程中，当三角板 ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，此时t等于_ (写出所有可能的t的值). D M EA CN M E C B B 图1 图2 【答案】15或24或27或33 【详解】解：如图1，当AB∥DE时， A D B M E CN 图1 此时BC与CD重合， ∴.∠ACE=30°+45°=75°， t=75°÷5°=15s; 2/76 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图2，当AB∥CE时， D B A 图2 ∴LBCE=LB=90°， ∠ACE=90°+45°=135°， t=135°÷5°=27s; 如图3，当AB∥CD时， D B y C N 图3 .∠BCD=∠B=90°， ∠ACE=90°+30°+45°=165°， 1=165°÷5°=33s; 如图4，当AC∥DE时， D B ME 图4 C N LACD=LD=90°， ∠ACE=90°+30°=120°， .t=120°÷5°=24s; 综上，t=15或24或27或33， 故答案为：15或24或27或33. 3.两块含30°角的三角板如图所示叠放，现固定三角板ABC不动，将三角板DEC绕顶点C顺时针转动， 使两块三角板至少有一组边互相平行，则LBCD所有可能的度数为一， 3/76 而学科网·上好课 www.zxx k com E B D 【答案】30°或60°或90°或120 【详解】解：由题意可知，∠BAC=∠CDE=90°，∠B=∠DCE=60°， ①如图1，当点D在AC上时， D 图1 :∠BAC=∠CDE=90°， ∴.∠BAC=∠ADE=90°， AB∥DE,符合题意， 此时∠BCD=∠ACB=30°； ②如图2，当AB‖CE时， A D C 图2 ∠BCE=180°-∠B=180°-60°=120°， .LBCD=LBCE-∠DCE=60°； ③如图3，当BC∥DE时， 4/76 上好每一堂课 LACB=LCED=30°. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Dd口 E 图3 ∠BCD=∠CDE=90°； ④如图4，当AB∥CD时， D 图4 .BCD 180 B120; 综上，∠BCD所有可能的度数为30°或60°或90°或120°， 故答案为：30°或60°或90°或120°. 4.问题情境： 数学活动课上，嘉嘉，淇淇两位同学用一张长方形纸带做折纸游戏.已知长方形纸带的边AD∥BC,将一 个含45°角的三角板EHF按如图所示的方式放置（点H始终在边BC上），将纸片沿折痕FG折叠，点F在 BC上，使点C,E,F在同一条直线上，点C,D的对应点分别为C,D. 操作探究： 图1 图2 (①)如图1，LEFG的度数为 (2)如图2，将一个含30°角（∠Q=30°）的三角板PQH按如图所示的方式放置（两三角板的直角顶点重合）， 在三角板PQH绕点H旋转的过程中，当QH∥FG时，求∠EHQ的度数. 【答案】(1)67.5° (2)∠EHQ的度数为22.5°或157.5°. 【分析】 【详解】(1)解：：∠EFH=45°， ∠EFC=180°-∠EFH=45°=135°， 5/76 品学科网·上好课 www.zxxk.com 由折叠的性质得∠EFG=∠CFG, :∠EFG=∠CFG=∠EFC=67.5°， 2 故答案为：67.5°； (2)解：当点Q在直线BC的上方时， D :OH∥FG,∠CFG=67.5°， L0HF=67.5°， .∠EHF=90°， :∠EHQ=90°-67.5°=22.5°： 当点Q在直线BC的下方时，记直线OH交AD于点R, D 同理∠EHR=22.5°， .∠EHQ=180°-22.5°=157.5°， 综上，∠EHQ的度数为22.5°或157.5°. 5.综合与探究 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板 板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中∠BAC=∠DAE=90°，∠C=45°，∠E 三角板ADE绕点A旋转. 6/76 上好每一堂课 的探究活动如图，将两块三角 =30°，然后三角板ABC不动， 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E B 图1 图2 备用图 操作探究： (1)如图1，若∠EAB=60°，判断线段DE与AC的位置关系，并说明理由. (2)当三角板ADE绕点A旋转到如图2所示的位置，且DE∥BC时，求∠EAC的度数. (3)深入思考：在三角板ADE绕点A旋转的过程中，当∠DAB为多少度时，DE∥AB?请直接写出∠DAB的 度数. 【答案】(I)DE∥AC,理由见解析 (2)LEAC=75 (3)120°或60 【分析】 【详解】(1)解：DE∥AC,理由如下： :∠BAC=90°，且LEAB=60°， .∠EAC=∠EAB+∠BAC=150°， :∠E=30°， ∠E+∠EAC=180°， DE∥AC. (2)解：如图1，过点A作AM∥DE, D E A分 -----M ∠1=∠E=30°. 图1 AM∥DE,DE∥BC, .AM∥BC, .∠2=∠C=45°， ∠EAC=∠1+∠2=75°. 7/76 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：120°或60°. 理由：分以下两种情况： 若DE在AB下方， 当∠DAB+∠D=180°时，DE∥AB, :∠D=60°， ∠DAB=120°， 即当∠DAB=120°时，DE∥AB; 若DE在AB上方， 当∠DAB=∠D时，DE∥AB, .∠DAB=60°， 即当∠DAB=60°时，DE∥AB. 故当∠DAB=120°或∠DAB=60°时，DE∥AB. 图2 图3 6.综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线(AB、CD)和一块含45°角的直角三角板（∠EFG=90)” 为主题开展数学活动，己知点E、F不能同时落在直线AB和CD之间. A B >万 cG D 图1 图2 备用图 (I)【探究】如图1，把三角板的45°角的顶点E、G分别放在AB、CD上，若∠BEG=140°，求∠FGC的度数； (②)【迁移】如图2，把三角板的锐角项点G放在CD上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在 AB和CD之间，且AB与EF所夹锐角为25°，求LFGC的度数； (3)【拓展】把三角板的锐角顶点G放在CD上，在绕点G旋转三角板的过程中，若 8/76 命学科网·上好课 www .zxxk.com 、1 ∠DGE=5∠FGC(∠DGE<45),请直接写出射线GF与4B相 【答案】(1)95°： (2)115°： (3)67.5°或11.25°. 【分析】 【详解】(1)解：依题意得：∠FGE=45°， AB∥CD, .∠BEG+∠EGD=180°， :∠BEG=140°， .∠EGD=180°-140°=40°， :∠EGF=45°，∠FGC+∠EGF+∠EGD=180°， .∠FGC=180°-45°-40°=95°. (2)解：如图，过点E作EN∥CD, M B W-- G D 依题意得：∠BME=25°，∠FEG=∠FGE=45°， :AB∥CD,EN∥CD, .AB∥EN∥CD, LNEM=∠BME=25°， .∠NEG=∠FEG-∠NEM=45°-25°=20°， LDGE=∠NEG=20°， ∠FGC=180°-∠FGE-∠DGE=180°-45°-20°=115°. (3)解：分两种情况讨论如下： ①当点E在CD上方时，设AB交GF于点H,如图所示： F H B E D G 9/76 上好每一堂课 交所夹锐角的度数 可学科网·上好课 www .zxxk.com 依题意得：∠FEG=∠FGE=45°， 设LDGE=a,则∠FGC=5LDGE=5a, :∠DGE+∠FGE+∠FGC=180°， 50+45°+a=180°， 解得：a=22.5°， .∠FGC=5a=112.5°， AB∥CD, ∠AHG=180°-∠FGC=180°-112.5°=67.5°； ②当点E在CD下方时，延长GF交AB于点H,如图所示： H一B D G E 依题意得：∠FGE=45°， 设∠EGD=B,则∠FGC=5∠DGE=5B, .∠FGD=∠FGE-∠EGD=45°-B, :∠FGC+∠FGD=180°， 5B+45°-6=180°， 解得：B=33.75°， LFGC=5B=168.75°， :AB∥CD, :∠AHG=180°-∠FGC=180°-168.75°=11.25 综上所述：射线GF与AB相交所夹锐角的度数为67.5°或11.25°. 类型二、动点问题 7.如图，AB∥CD,点E在AB和CD之间，∠BAE=,F是CD上的动点， 时，∠AEF的度数是() 10/76 上好每一堂课 连接EF,当EF的长度最短