5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（分层作业）数学人教A版2019必修第一册

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 知识点1 特殊角的三角函数值 1．（24-25高一下·北京海淀·期中）求的值为 ． 2．（23-24高一下·山东临沂·期中）（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江西赣州·月考）计算（    ） A． B． C． D． 知识点2 两角和与差公式的正用 1．（24-25高一下·陕西汉中·月考）若，，则（    ） A． B．3 C．5 D． 2．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，则（    ） A．7 B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）若，且 ，则 . 知识点3 两角和与差公式的逆用 1．（24-25高一下·青海海南·期末）（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南平顶山·期末）（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知 ． 知识点4 利用倍角公式求三角函数值 1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·甘肃张掖·月考）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 知识点5 公式综合应用：给值求值 1．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知，均为锐角，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 4．（24-25高一下·浙江·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 知识点6 公式综合应用：给值求角 1．（24-25高一下·河南南阳·月考）若为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·月考）已知，，，，则 ． 4．（24-25高一下·四川德阳·月考）已知，都是锐角且，，则 ． 1．（24-25高一下·湖北·月考）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山西·期末）（多选）已知，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 1．（24-25高三下·安徽安庆·月考）在中则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一下·广东佛山·期中），，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京·期中）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是 . ①每一个直角三角形的面积为 ② ③ ④ 4．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，，， (1)求； (2)如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点，当时，求的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 基础达标题 知识点1特殊角的三角函数值 1.(24-25高一下·北京海淀·期中)求cos75的值为 【答案】V6-V2 4 【解析】cos75°=cos45°+30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°= √2V5√216-2 2222 4 2.(23-24高一下山东临沂期中)cos15°=() A.2-V3 B.3 C.16-V2 D. V6+√2 4 4 【答案】D 【解析】由题意可得：cosl5°=cos45°-30)=cos45°cos30°+sin45°sin30 -2x5+2x16+2 2×2224 所以cos15°=6+2故选：D 4 3.(23-24高一下·辽宁.期末)sin75=() A.16-v2 B.6+V2 C.6-V2 D.6+2 2 2 4 4 【答案】D 【解析】sin75=sin(45+30）=si血45cos30+cos45sin30-5x5+x2_6+5故选：D 2222 4 4.(22-23高一下江西赣州·月考)计算sin () 7π A.2+V6 B.2-V6 c.6-2 D.-2+V6 4 4 4 4 【答案】D 1/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 X一十 -X 2222 故选：D. 知识点2两角和与差公式的正用 1.(24-25高一下陕西汉中月考)若ana=4,tam(a-B)= ,则tanB=() 13 A青 B.3 C.5 D.5 【答案】B 【解析】因为tan(a-B)=ana-tans 4-tanβ1 所 1+tang tanβ 1+4 tanB=3,解得an明=3.故选：B 2.(25.26商三上湖南开学考试)已知sn0+s如0-}-1，则sn0+ 6 =() A.-6 B.、3 C.3 D.6 3 3 3 3 【答案】B ”2 2 2 3 6202s贵州遵义模拟预测已知a,Bed号smcs6=3h 29case--7,划u1a+B1-（) 10 A.7 B. D.-7 【答案】D 【解折】由cos(a-P)=co+s血B=72 10 2 因为sinasinB= 5 2,所以cosa=75_2巨_32 10510 则cos(a+B)=co-sin=3V5_2巨_-V2 10 510 又因为a,Be0引可得a+Be0,,由cos1a*9)=- <0, 10 可知a+Be（径即sina+B)=-cosa*f-小-10-0 27V2 2/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7W2 所以tan(a+B) sin(a+)=10=-7故选D cos(a+B)2 10 4（2425高-下江苏南京期中)若nu+sinB-分且coa+oa=子，则oaa-=— 【管】引 【解折】由题意，“5a+sinB=号，cosa+cosB=- (sina+sinB)sina+2sinasinB+sin 1 cosa+cosβ)'=cos2a+2 cosacosβ+cos2B= 16 即sina sinB eaa-g=oaeos+smasm-sa-csa-g-csp 27 知识点3两角和与差公式的逆用 1.(24-25高一下.青海海南期末)cos26°cos34°-sin26°sin34°=（) A B. √2 C.3 D.1 2 2 【答案】A 解折】c0s26°c0s34°-sin26sin340=c0s26°+349=c0s60°=，故达： 2.(24-25高一下.甘肃庆阳期末)sin400°c0s20°-c0s40°cosl10°=() A.-3 B.3 1 2 2 C.2 D. 【答案】B 【解析】sin400°cos20°-cos40cosl10°=sin(360°+40°)cos20°-cos40cos(90°+20） =sin40°cos20°-cos40°(-sin20°)=sin40°cos20°+cos40°sin20° 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =sin40°+209)=sin60=5故选：B 3.(24-25高一下.河南平顶山·期末)cos160°cos130°-sin(-160)cos40°=() A.3 2 B. c D.-3 【答案】A 【解析】cos160°cos130°-sin(-160)cos40° =cos160°cos(90°+40)+sin160°cos40° =-c0s160°sin40°+sin160°c0s40° =sin(160°-40)=sin120°=5故选：A 2 4.(2425高一下内蒙古包头期末)已知，an20,an40 tan20°+tan40°-√ 【答案】- 3 tan20°×tan40 tan20°×tan40 -tan20°+tan40）】 1 5 【解析】tan20°+tan40-V3 tan20°+tan40°1-tan20°×tan40 tan20°+tan40°- 3 tan(20°+40) 1-tan20°☐an40 知识点4利用倍角公式求三角函数值 1.(24-25高-下甘肃定西期末)已知0<a<x,c0s8- 23 ,则cosa=() 4 B. 9 n 【答案】D 【1南格角会式=2w号-12个哥-1-高 2 3 2.(25.26高一上四川绵阳期中)cos25π-sin25孤=（) 12 12 A. B.3 2 c D.-3 2 【答案】D 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【解析】cos5-sin5=cos5江-co-5故选：D 12 12 6 62 3（2425商-下江苏南察月考)已知coQ+引}，则s加a的值为（) A 7 B.8 C.3 3 D. 4 4 【答案】A ,π）√2 解析】四a中4a2】 'cosa-sina= 2 sina=1 4 1 7 (cosa-sina)=l-2=1-sin2a=8,sin2a=8,故选：A. 4.(2425高一下甘肃张掖月考)下列各式的值为V3的是() 2 A.2sinl5°cosl5o B.c0s215°-sin215 C.2sin215° D.sin215°+cos215° 【答案】B 【解析】2sin15°cos15°=sim30°= 2,A错误； cos215°-sin215°=c0s30=y 2 ,B正确： 2sin215°1-cos30°=13，C错误； sin215°+cos215°=1，D错误， 知识点5公式综合应用：给值求值 1.(2425商-下潮6黄冈期中)己如0<B<a<号，ma-)-号smB=各，则eou=（) 6 A. 33 12 B. 5 65 C.16 D. 65 65 【答案】C 【解析】因为0<B<a<受，所以0<a-B<号 5/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所uowa=ma-引+]-oma-cop-mle-月n0-号手名- ,故选：C 22s商=上山两并学考试)若a,B为战角，m(任a片m任》-号.则a-号) () A.3 3 B.-3 D.5 3 9 9 【答案】D 【1医为0<a<经则好子+a<且任a骨0， 44 3 又因为0<B<，则好<， 4422 所以aa--w[*a任+】-of任+ajmr任}+sm(任+ajm〔任+8 5,2W2653 ,故选：D 3333 9 3.245商下江苏苏州月考)已知a,B均为，as口+倒=高mB+到引-手则 33 B.33 65 C.05 【答案】C 【解析】因为a,B均为锐角，所以a+B∈(0，x),sin(a+B)= B) 12 13 所以+升别 国为m(a+引-专所以on+}号含去，orp+写引号 ora-）o[a+pl-(B+】=owsa+cop+》i+1saa+号 6/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3)124-63 13-513565 故选：C 4.(24-25高一下.浙江月考)己知tan(a+β)=4，tan(a-)=5,则tan2B=(） 9 1 1 A.19 B. 21 C.1 D.21 【答案】B 【解析】因为tan(a+β)=4，tan(a-β)=5， 路m=aa+-e-刚离京减选：B 知识点6公式综合应用：给值求角 1.(24-25高一下…河南南阳月考)若a+B 人2}B为领角，如a+刷=25co28=D,则a-B的 10 值为() A骨 B. C.3x 4 D.5r 6 【答案】B 【1因为a+pe小Be引 所以cosa+B)= 25) 10 3√10 10 10 5>2,c0s2B=01 因为2Be(0,列，sin(a+B)=255 1021 所以<u+B<骨2B登骨×-2B<-骨所以0a-B号 所以cos(a-B)=cos(a+β)-2B=cos(a+B)cos2β+sin(a+B)sin2B =-5x0,2530_2 510510 2 因为0<a-B<胥，所以a-B=晋故选：B 245育三上山东期若业g-a-ae层引B则《 10 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.4r 3 C. 11π D. 6 【答案】C 【解析】因a∈42] ππ 所以2a∈ 小，又s2a= 2>0, 5 根据sin2A+cos2A=1,得cos2a=-V1-sin22a 5 25 同时也能确定 5 因为sin(B-a)= cos(B-a)=-/1-sin2(B-a)=- 10 3V10 10 10 将cos(a+)转化为cos[(B-a)+2a] 所以cos(a+B)=cos(B-a)cos2a-sin(B-a)sin2a 10V5_310x2510×5_650-50_5W50_V2 105 10×5 10×5 50 502 为a引B],所以a+( 在这个区间内，osa+B)=5时，a+B=7:故选：C 2 4 3（2425商-下四川成都月考)已知-受<a<号0B<,Sma 5’c0sB=-7V2 则 10 a-B= 【答案】 【解所】由sna-}0以及-子<a<受可特0<a<受，故coa=-ma-手 、) 由cos8=-75<0以及0<月<可得B<,故B=-cos万= 10 10 a-Be(-0),cos(a-B)=cosa cosB+sinasinB-4x 5 10 510 2 故a-B=-平故答案为：妥 8/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25高-下四川德用月考)已知a,B都是锐角且cosa+B月)=D,ana-B)=2,则 10 2a=」 【答案】买 【解折】因为a,Be0引所以a+Be0,,a-B(受引】 又cos(a+B)= V10 ,tana-β）=2， 10 所以a+e0}a-e0引} 所以sin(a+B)=V-co'(a+B=30 10 由tan(a-B)= simn(-B-2.sin(a-B)-2x>0.cos(a-B)=x>0. cos(a-B) sina-B)+cos(a-B)=4r2+r2=l,解得x=5 s.cos(a-B)=5 所以tsin(a-B)=2y5 cos2a=cos[(a+B)+(a-B)]=cos(a+B)cos(a-B)-sin(a+B)sin(a-B) i0x53i0252 1051052 又2ae(0,π)，所以2a= 3π 4 π 故答案为：4 B 能力提升题 2π 1 1.(24-25高-下湖北月考)已知sima+号3，则√5sin2a-co2a的值为（） 4.14 B.14 1 C. 7 9 9 D.9 【答案】A 【解析】5sin2a-cos2a=2sn(2a-引 设B=a+2 2元 ，则a=B- 9/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以m号m2如=m2g-}A-m2B-}=ow2p. 因为cos2B=1-2sin2B=1-2×)g 17 所以5n2a-cos2a=2sn2a-君》-2co:2B-号放选：A 2.(2025海南核拟预测）已知ama=2amB,sna+)=子，则o2a-2p)=《) 3 B. C. 3 4 D.8 7 【答案】D 【解析】由ana=2tanB可得sna-2sin ,即sina cosβ=2 cosa sinβ， cosa cos B sina cosβ=2 cosa sinβ sina cosB=1 由题意可得 sin(a+B)=nB+ossiB=3,解得 4 cosa sin B= 4 111 所以sin(a-B)=sinB-osiB=244 因此cos(2a-2p)=1-2sin(a-1=1-2x 4) _7故选：D 8 √2 3.(2425商-下山西期末)（多选）已知0<a<B<受，且a+B<,若= 5 ana+amB=子，则() 7V2 A.sin(a+β)= B.sina sin B= 岭 10 0 c.a-B=君 D.tand=2 1 【答案】AD 解析】A选项，电ama+anB=,得nc+snP7 cosa cos B 2' 所以sina cos+cosasinB7 cosa cos阝 2,侧加a+)7 cosa cos B 2' 7 所以sina+)7 cos=2,A正确， 10 B选顶，由经<a+B<,得csa+)=--5ina+B)=5 10 10/14