专题01 构造三角形中位线的常用方法（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题01 构造三角形中位线的常用方法 方法一：连接两点构造三角形的中位线 方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线 方法三：利用倍长法构造三角形的中位线 方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线 方法一：连接两点构造三角形的中位线 1．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2 【答案】D 【解答】解：如图，连接CM， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DE是CMN的中位线， ∴DECM， 当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小， 由勾股定理得：AB5， ∵S△ABC， ∴CM， ∴DE1.2， 故选：D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一点，点E为AB边上的动点，点F，G分别为CD，DE的中点，则FG的最小值为（　　） A．1 B．1.2 C．1.5 D．1.8 【答案】B 【解答】解：如图，连接CE， ∵点F，G分别为CD，DE的中点， ∴， 当CE⊥AB时，CE的值最小，此时FG的值也最小， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，下列结论成立的是（　　） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关 【答案】C 【解答】解：如图，连接AR， ∵四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点， ∴EF是△APR的中位线， ∴EF， 由题意可知，线段AR的长度是定值， ∴线段EF的长度是定值， ∴线段EF的长不变， 故选：C． 4．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，EF⊥AB．若EF＝6，AB＝5，则BC的长度为（　　） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【解答】解：在四边形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，EF＝6，AB＝5，如图，连接AC， ∴EF是△ACD的中位线， ∴，即AC＝2EF＝12， 又∵EF⊥AB， ∴AC⊥AB， 则∠BAC＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：， 故选：D． 5．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，D、E分别是边BC、AB上的动点，M、N分别是DE、AE的中点，则MN的最小值是　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接AD， ∵M、N分别是DE、AE的中点， ∴MN是△AED的中位线， ∴（三角形的中位线等于第三边的一半）， 当CD最小时，MN最小， 当AD⊥BC时，AD最小， ∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，62+82＝102， ∴AB2+AC2＝BC2（勾股定理的逆定理）， ∴∠BAC＝90°， 当AD⊥BC时，， ∴， 解得：， ∴MN的最小值为， 故答案为：． 6．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，，若CF＝3，则EF的长为 　4　 ． 【答案】4 【解答】解：如图，连接DE、CD， ∵D，E分别是AB，AC边上的中点，AB＝4， ∴DE是△ABC的中位线，BD＝2， ∴DEBC，DE∥BC， ∵CFBC，CF＝3， ∴DE＝CF，BC＝6， ∴四边形DCFE为平行四边形， ∴EF＝CD， ∵CA＝CB，D是AB的中点， ∴CD⊥AB， ∴CD4， ∴EF＝4， 故答案为：4． 7．如图，在Rt△BAC中，∠ABC＝90°，E，F分别是AC，BC的中点，延长AB到点D，使，连接DE，DF，DE交BF于点G．求证：BG＝FG． 【答案】见解答 【解答】证明：连接BE、FE， ∵E，F分别是AC，BC的中点， ∴EF∥AB，EFAB． 又∵， ∴EF＝BD． 又∵EF∥BD， ∴四边形BEFD是平行四边形． ∴BF与DE互相平分， ∴BG＝FG． 方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线 8．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥CE，AB＝6，AC＝10，则DE的长为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠EAM＝∠EAC， ∵AE⊥CE， ∴∠AEM＝∠AEC＝90°， ∴∠M＝∠ACM， ∴AM＝AC＝10， ∴BM＝AM﹣AB＝10﹣6＝4， ∵AM＝AC，AE⊥CE， ∴ME＝CE， ∵D是CB的中点， ∴DE是△CMB的中位线， ∴DEMB＝2， 故答案为：2． 9．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：延长BD交AC于H， 在△ADB和△ADH中 ， ∴△ADB≌△ADH（ASA） ∴AH＝AB＝4，BD＝DH， ∴HC＝AC﹣AH＝6﹣4＝2， ∵BD＝DH，BM＝MC， ∴DM是△BCH的中位线， ∴， 故选：D． 10．如图，点E在△ABC的内部，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，F是BC的中点，连接EF，若AC＝10，AB＝18，则EF的长为（　　） A．6 B．4.8 C．4 D．7 【答案】C 【解答】解：延长CE交AB于G， ∵AE平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠GAE， ∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝∠AEG＝90°， 在△AEC与△AEG中， ， ∴△AEC≌△AEG（ASA）， ∴CE＝GE，AC＝AG＝10， ∴BG＝AB﹣AG＝18﹣10＝8， ∵F是BC的中点， ∴CF＝BF， ∴EFBG＝4， 故选：C． 11．如图，已知BD，CE分别是△ABC的内角平分线，过A点作AF⊥BD；AG⊥CE，垂足分别为F，G，连结FG，若AB＝4，AC＝6，BC＝7，则FG的长等于　　 ． 【答案】． 【解答】解：延长AF交BC于点M，延长AG交BC于点N， ∵BD，CE分别是△ABC的内角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝∠MFB＝90°， 在△ABF和△MBF中， ， ∴△ABF≌△MBF（ASA）， ∴BM＝BA，AF＝FM， 同理，CN＝CA，NG＝GA， ∴GF是△AMN的中位线， ∴GFMN， ∵AB+AC＝MB+CN＝BN+MN+CM+MN，BC＝BN+MN+CM， ∴AB+AC﹣BC＝MN， ∴GFMN（AB+AC﹣BC）（4+6﹣7）． 故答案为：． 12．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为（　　） A．3 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】D 【解答】解：延长CF交AB与点G， ∵AE平分∠BAC， ∴∠GAF＝∠CAF， ∵CF⊥AE， ∴∠AFC＝∠AFG， ∵AF＝AF， ∴△AFC≌△AFG， ∴AG＝AC，GF＝CF， 又∵点D是BC中点， ∴DF是△CBG的中位线， ∴， 故选：D． 13．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，求AC的长为（　　） A．10 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：过D点作DF∥BE， ∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE， ∴F为EC中点，AD⊥DF， ∵AD＝BE＝6，则DF＝3，AF3， ∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE， ∴∠AGB＝∠DGB＝90°，∠ABG＝∠DBG， ∵BG＝BG， ∴△ABG≌△DBG（ASA）， ∴G为AD中点， ∴E为AF中点， ∴ACAF． 故选：B． 方法三：利用倍长法构造三角形的中位线 14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝　3　 ． 【答案】3 【解答】解：连接CF并延长交AB于G， ∵AB∥CD， ∴∠FDC＝∠FBG， 在△FDC和△FBG中， ， ∴△FDC≌△FBG（ASA） ∴BG＝DC＝6，CF＝FG， ∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6， ∵CE＝EA，CF＝FG， ∴EFAG＝3， 故答案为：3． 15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【解答】解：连接AE，并延长交CD于K， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK， ∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点． ∴BE＝DE， 在△AEB和△KED中，， ∴△AEB≌△KED（AAS）， ∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线， ∴EFCK（DC﹣DK）（DC﹣AB）， ∵EG为△BCD的中位线， ∴EGBC， 又FG为△ACD的中位线， ∴FGAD， ∴EG+GF（AD+BC）， ∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，即DC﹣AB＝6， ∴EG+GF＝6，FE＝3， ∴△EFG的周长是6+3＝9． 故选：B． 16．在△ABC中，AB＝10，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，E是AC的中点，DE＝1，则BC的长度是 　8或12　 ． 【答案】8或12． 【解答】解：如图，延长AD交BC延长线于F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠FBD， ∵AD⊥BD于点D， ∴∠ADB＝∠FDB＝90°， ∴∠BAD＝∠BFD， ∴BF＝BA＝10， ∵BD⊥AF， ∴D是AF中点， ∵E是AC的中点， ∴DE是△ACF的中位线， ∴CF＝2DE＝2×1＝2， ∴BC＝BF﹣CF＝10﹣2＝8． 如图， 同样求得CF＝2，DF＝AB＝10， ∴BC＝BF+FC＝12． 故答案为：8或12． 17．我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明． （1）如图1，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且； （2）如图2，四边形ABCD中，点M是边AB的中点，点N是边CD的中点，若AD∥BC，AD＝4，MN＝5，直接写出BC的长． 【答案】（1）见解析； （2）6． 【解答】（1）证明：如图所示，延长DE到F，使得DE＝FE，连接CF． ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△AED和△CEF中， ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠FCE，AD＝CF， ∴AD∥CF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD＝CF， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DE∥BC，DF＝BC， 又∵DE＝FE， ∴， ∴DE∥BC，且； （2）解：如图所示，连接AN并延长交BC延长线于E， ∵AD∥BC， ∴∠NAD＝∠NEC，∠NDA＝∠NCE， ∵点N是CD的中点， ∴DN＝CN， 在△ADN和△ECN中， ， ∴△ADN≌△ECN（AAS）， ∴AD＝CE＝4，AN＝NE，即点N是AE的中点， 又∵点M是AB的中点， ∴由（1）的结论可知BE＝2MN＝10， ∴BC＝BE﹣CE＝10﹣4＝6． 方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线 18．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，EF＝10，则BD的长度是（　　） A． B．20 C． D．16 【答案】D 【解答】解：取AB的中点H，连接EH交AC于点P，设AC交BD于点Q， ∵AC⊥BD， ∴∠AQB＝90°， ∵点E、F分别是边AD、BC的中点，AC＝12， ∴HE∥BD，且HEBD，HF∥AC，且HFAC＝6， ∴∠EHF＝∠APH＝∠AQB＝90°， ∵EF＝10， ∴HE8， ∴BD＝2HE＝16， 故选：D． 19．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞5，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝5，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接FN并延长，使ND＝NF，连接AD，ED， ∵N为AB的中点， ∴AN＝BN， ∵∠AND＝∠BNF， 在△AND和△BNF中， ， ∴△AND≌△BNF（SAS）， ∴AD＝BF，∠DAN＝∠FBN， ∴AD∥BC， ∴∠DAC+∠C＝180°， ∵∠C＝120°， ∴∠DAC＝60°， ∵AD＝BF，AE＝BF＝5， ∴AE＝AD， ∴△ADE为等边三角形， ∴DE＝AD＝5， ∵M为EF的中点，ND＝NF， ∴MNDE， 故答案为：． 20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 　　 ． 【答案】 【解答】解：连接CD，设CD的中点为F，连接FN，FM，如图所示： 在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3， ∴AD⊥CE， ∵点M、N分别是AC、DE的中点， ∴FN是△CDE的中位线，FM是△ACD的中位线， ∴FN∥CD，FNCE，FM＝∥AD，FMAD＝2， ∴FM⊥FN， ∴△FMN是直角三角形， 在Rt△FMN中，由勾股定理得：MN， ∴MN的长度为． 故答案为：． 21．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，则EF的长是（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP． ∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8， ∴PE是△ADB的中位线， ∴PE∥AB，且PEAB＝3，PF∥CD且PFCD＝4． 又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°， ∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°， ∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°， 在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF， 即EF＝5； 故选：D． 22．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为（　　） A．1.5 B．3 C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，连接AF，取AF的中点G，连接MG、NG， 在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∵AC2+BC2＝9+16＝25，AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∵M、G分别为EF、AF的中点， ∴MG是△AEF的中位线， ∴MGAE＝1，MG∥AE， ∴∠MGF＝∠CAF， 同理可得：NGBF＝1，NG∥BF， ∴∠ANG＝∠B， ∴∠MGN＝∠MGF+∠NGF＝∠CAF+∠FAB+∠B＝90°， ∴MN， 故选：D． 23．如图，在△ABC中，点E是AB边上的中点，点D在AC上，BD交CE于点F，且∠ADB＝2∠BFE，若BD＝5，AD＝3，则线段BF的长为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：如图，取AD的中点G，连接EG， 则AG＝GDAD＝1.5， ∵点E是AB边上的中点， ∴EG是△ABD的中位线， ∴EGBD＝2.5，EG∥BD， ∴∠ADB＝∠AGE，∠CEG＝∠BFE， ∴∠AGE＝2∠CEG， ∵∠AGE＝∠CEG+∠GCE， ∴∠CEG＝∠GCE， ∴CG＝EG＝2.5， ∴CD＝CG﹣DG＝2.5﹣1.5＝1， ∵∠CFD＝∠CEG＝∠GCE， ∴DF＝CD＝1， ∴BF＝BD﹣DF＝5﹣1＝4， 故答案为：4． 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN的长为　13　 ． 【答案】13． 【解答】解：如图，M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF， ∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线， ∴NF∥BE，MF∥AD，，， ∵∠ACB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵MF∥AD， ∴MF⊥BC， ∵NF∥BE， ∴NF⊥MF， 在Rt△MNF中，由勾股定理得：， 故答案为：13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 构造三角形中位线的常用方法 方法一：连接两点构造三角形的中位线 方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线 方法三：利用倍长法构造三角形的中位线 方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线 方法一：连接两点构造三角形的中位线 1．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一点，点E为AB边上的动点，点F，G分别为CD，DE的中点，则FG的最小值为（　　） A．1 B．1.2 C．1.5 D．1.8 3．如图，四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，下列结论成立的是（　　） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关 4．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，EF⊥AB．若EF＝6，AB＝5，则BC的长度为（　　） A．8 B．10 C．12 D．13 5．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，D、E分别是边BC、AB上的动点，M、N分别是DE、AE的中点，则MN的最小值是 　 ． 6．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，，若CF＝3，则EF的长为 　 　 ． 7．如图，在Rt△BAC中，∠ABC＝90°，E，F分别是AC，BC的中点，延长AB到点D，使，连接DE，DF，DE交BF于点G．求证：BG＝FG． 方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线 8．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥CE，AB＝6，AC＝10，则DE的长为　 　 ． 9．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 10．如图，点E在△ABC的内部，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，F是BC的中点，连接EF，若AC＝10，AB＝18，则EF的长为（　　） A．6 B．4.8 C．4 D．7 11．如图，已知BD，CE分别是△ABC的内角平分线，过A点作AF⊥BD；AG⊥CE，垂足分别为F，G，连结FG，若AB＝4，AC＝6，BC＝7，则FG的长等于　 　 ． 12．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为（　　） A．3 B．1.5 C．2 D．2.5 13．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，求AC的长为（　　） A．10 B． C． D． 方法三：利用倍长法构造三角形的中位线 14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝　 　 ． 15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 16．在△ABC中，AB＝10，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，E是AC的中点，DE＝1，则BC的长度是 　 　 ． 17．我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明． （1）如图1，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且； （2）如图2，四边形ABCD中，点M是边AB的中点，点N是边CD的中点，若AD∥BC，AD＝4，MN＝5，直接写出BC的长． 方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线 18．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，EF＝10，则BD的长度是（　　） A． B．20 C． D．16 19．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞5，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝5，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为 ． 20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 　 ． 21．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，则EF的长是（　　） A． B．3 C．4 D．5 22．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为（　　） A．1.5 B．3 C． D． 23．如图，在△ABC中，点E是AB边上的中点，点D在AC上，BD交CE于点F，且∠ADB＝2∠BFE，若BD＝5，AD＝3，则线段BF的长为　 ． 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN的长为　 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $