第六章 二元一次方程组（复习课件）数学新教材冀教版七年级下册

单元复习课件 第六章 二元一次方程组 新教材冀教版·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解二元一次方程（组）是刻画现实世界中两个未知数之间等量关系的数学模型，能准确识别二元一次方程（组），掌握解的概念，感悟消元思想与化未知为已知的转化思想. 3.能从实际问题中抽象出两个（或三个）未知数，准确找出两个独立的等量关系建立方程组模型，解决和差倍分、行程、工程、利润、配套等常见实际问题，培养数学建模意识和应用能力. 2. 熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，能根据方程特点灵活选择解法，会解简单的三元一次方程组，能正确进行消元变形与回代求解，培养运算能力和逻辑推理能力. 单元学习目标 方程组 三元一次方程组 二元一次方程组 二元一次方程组的概念 应用 二元一次方程组的解 两种消元法解二元一次方程组 单元知识图谱 考点一、二元一次方程 1.二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程。 例子： 是二元一次方程 是二元一次方程 不是二元一次方程(含有三个未知数) 不是二元一次方程(项的次数是2) 不是二元一次方程(x²项的次数是2) 注意事项： "二元"指的是含有两个未知数，不是说未知数的次数是二 "一次"指的是含有未知数的项的次数是1，不是指未知数的个数 方程中不能出现未知数的乘积项（如），因为xy的次数是2 方程中不能出现未知数的平方、立方等高次项 判断时不要只看表面形式，要化简后再判断，比如化简后是，实际上是一元一次方程 考点串讲 注意事项： 二元一次方程的解通常有无数多组，不是唯一的 一组解必须同时满足方程，不能只代入一个未知数检验 写解时要注意对应关系，x的值写在上面，y的值写在下面 检验一组数是否为解时，要分别代入两个未知数，计算左右两边是否相等 2.二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 例子：对于方程 是一组解，因为 是一组解，因为2 + 3 = 5 是一组解，因为0 + 5 = 5 也是一组解 解的表示方法：用花括号把两个未知数的值括起来，写成的的形式。 考点一、二元一次方程 考点串讲 注意事项： 变形时要注意移项变号，把要表示的未知数留在左边，其他项移到右边 最后要把未知数的系数化为1，即两边同时除以系数 如果系数是负数，建议先把负号处理掉，或者最后化简时注意符号 表示的结果应该是一个未知数等于含有另一个未知数的式子 3.用含一个未知数的式子表示另一个未知数 对于二元一次方程，可以把一个未知数看成已知数，解出另一个未知数。 例子：对于方程 用含x的式子表示y： ， 用含y的式子表示x： ， 考点一、二元一次方程 考点串讲 注意事项： 方程组中的两个方程不一定都是二元一次方程，可以其中一个是一元一次方程 两个方程必须含有相同的两个未知数，如果一个是x和y，另一个是a和b，就不是二元一次方程组 方程组用大括号把两个方程括起来，表示这两个方程要同时满足 考点二、二元一次方程组 1.二元一次方程组的定义 含有两个未知数的一次方程组，叫做二元一次方程组。 组成：二元一次方程组由两个方程组成，这两个方程都含有相同的两个未知数. 考点串讲 注意事项： 方程组的解必须同时满足两个方程，只满足一个方程的不是方程组的解 检验时要分别代入两个方程，两个都成立才是方程组的解 一般情况下，二元一次方程组有唯一的一组解（特殊情况除外） 解的表示方法与二元一次方程的解相同，用花括号表示 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的一组未知数的值。 例子：对于方程组 ，是方程组的解，因为： 代入第一个方程：3 + 2 = 5，成立 代入第二个方程：3 - 2 = 1，成立 考点二、二元一次方程组 考点串讲 注意事项： 选择变形方程时，优先选择系数为1或-1的未知数进行表示，这样计算简便 代入时一定要代入另一个方程，不能代入原方程，否则会出现恒等式，无法求解 求出第一个未知数后，代入最简的式子求第二个未知数，减少计算错误 最后一定要写出方程组的解，用花括号把两个未知数的值括起来 解完后建议把解代入原方程组检验，确保两个方程都成立 1.代入消元法 基本思想：通过"代入"消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解. 解题步骤： 第一步：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来 第二步：把所得的式子代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 第三步：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 第四步：把求得的未知数的值代入第一步所得的式子中，求出另一个未知数的值 第五步：写出方程组的解 考点三、解二元一次方程组 考点串讲 注意事项： 选择消元对象时，优先选择系数相同、互为相反数或成倍数关系的未知数，减少计算量 方程两边同乘一个数时，每一项都要乘，包括常数项，不要漏乘 相加或相减时，要注意符号，特别是减的时候，减去一个负数等于加上正数 如果系数都不相同，一般选择系数的最小公倍数较小的那个未知数进行消元 变形后的方程要与原方程组中的另一个方程进行加减，不要两个变形后的方程相加减（除非检验） 求出第一个未知数后，代入原方程组中较简单的方程求第二个未知数，不要代入变形后的复杂方程 2.加减消元法 基本思想：通过把两个方程相加或相减，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解 适用情况： 当两个方程中某个未知数的系数相同或互为相反数时，用加减法可以直接消去这个未知数 解题步骤： 第一步：观察方程组，看哪个未知数的系数相同或互为相反数，确定消去哪个未知数 第二步：如果系数不相同也不互为相反数，就把方程两边同时乘以一个适当的数，使某个未知数的系数相同或互为相反数 第三步：把两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 第四步：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 第五步：把求得的未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值 第六步：写出方程组的解 考点三、解二元一次方程组 考点串讲 注意事项： 没有绝对的好坏，要根据方程组的特点灵活选择 一般来说，系数为1或-1时用代入法，系数相同或相反时用加减法 对于复杂的方程组，可能需要先化简（去分母、去括号、移项合并）再选择方法 无论用哪种方法，核心都是"消元"，即把二元转化为一元 3.选择解法 代入消元法适用情况： 某个未知数的系数是1或-1 方程组中有一个方程已经表示出了一个未知数等于含另一个未知数的式子 加减消元法适用情况： 某个未知数的系数相同或互为相反数 某个未知数的系数成倍数关系，容易通过变形使系数相同 考点三、解二元一次方程组 考点串讲 1.列方程组解应用题的一般步骤 第一步：审题——弄清题意，找出题目中的已知条件和所求问题 第二步：设未知数——设出两个未知数，用字母表示（通常设直接未知数，必要时设间接未知数） 第三步：找等量关系——找出题目中的两个等量关系 第四步：列方程组——根据等量关系列出两个方程，组成方程组 第五步：解方程组——用代入法或加减法解方程组 第六步：检验——检验解是否符合实际意义 第七步：作答——写出完整的答案 考点四、二元一次方程实际应用 考点串讲 2.常见的应用题型 和差倍分问题： 关键词：和、差、倍、几分之几 等量关系：根据关键词建立两个量的和、差、倍关系 行程问题： 基本关系：路程 = 速度 × 时间 相遇问题：两人路程之和 = 总路程 追及问题：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离 工程问题： 基本关系：工作量 = 工作效率 × 工作时间 通常把总工作量看作1 考点四、二元一次方程实际应用 考点串讲 注意事项： 设未知数时，单位要统一，如果题目中单位不一致，要先换算 找等量关系是关键，要善于从题目中的关键词（共、比、是、等于等）发现等量关系 一般需要找两个独立的等量关系，才能列出两个方程 解完后一定要检验，不仅检验是否满足方程，还要检验是否符合实际（如人数不能为负、时间不能为负等） 作答时要写完整，包括单位，直接回答题目所问 如果设的是间接未知数，最后要转换成题目要求的量 利润问题： 基本关系：利润 = 售价 - 进价，利润率 = × 100% 打折问题：售价 = 标价 × 折扣 配套问题： 关键：找出两种物品之间的配套比例关系 几何问题： 利用几何图形的周长、面积公式建立等量关系 注意单位统一 考点四、二元一次方程实际应用 考点串讲 注意事项： 消元是逐步进行的，不能一步到位，先消去一个未知数变成二元，再消去一个变成一元 选择消去哪个未知数很关键，要选择系数简单、容易消去的那个 消元过程中，原方程组中的三个方程都要用到，通常用两个方程消元，第三个方程备用或后续使用 考点五 、三元一次方程组 1.三元一次方程组的定义 含有三个未知数的一次方程组，叫做三元一次方程组. 2.三元一次方程组的解 三元一次方程组的解是使方程组中所有方程都成立的一组未知数的值，即三个未知数的具体数值. 3.解三元一次方程组的基本思想 核心思想：消元，即把"三元"转化为"二元"，再把"二元"转化为"一元". 考点串讲 题型一、二元一次方程（组）的概念辨析 例1.下列选项是二元一次方程的是( ) A. B. C. D. D 解：A. ：不是等式，仅为代数式，不构成方程，排除。 B. ：含未知数的项的次数为，是二次项，不满足 “一次”，排除。 C.：含三个未知数，不满足 “二元”，排除。 D. 符合定义。 综上，答案为D​ 题型剖析 题型一、二元一次方程（组）的概念辨析 解决方法和注意事项 解决方法： 1.判断二元一次方程：需同时满足三个条件： (1)整式方程：方程两边都是整式，分母中不含未知数。 (2)两个未知数：方程中只含有两个不同的未知数。 (3)次数为 1：含有未知数的项的次数都是 1。 2.判断二元一次方程组：需同时满足三个条件： 方程组中共有两个未知数。 每个方程都是二元一次方程（满足上述方程的三个条件）。 由两个或两个以上的方程组成。 注意事项： 注意 “项的次数”，例如 和 都不是二元一次方程。 方程组中未知数的总数必须是两个，不能多也不能少 题型剖析 题型一、二元一次方程（组）的概念辨析 变式1.下列方程组中，属于二元一次方程组的是( ) B A. B. C. D. 解：A项含有分式，不是整式方程，不满足条件，排除。 B项两个方程均为整式方程，只含、两个未知数，未知数项次数均为 1，符合定义。 C项第一个方程中，的次数为，是二次项，不满足 “一次”，排除。 D.项第二个方程x的次数为 2，不满足 “一次”，排除。 故选B项 题型剖析 题型二、二元一次方程的解的问题 例2.若方程 的一组解是则 的值是( ) A A. B. 13 C. 7 D. 解：把代入方程中得： 解得 所以的值是，对应选项A 题型剖析 题型二、二元一次方程的解的问题 解决方法和注意事项 解决方法： 代入检验法。将数值代入方程组中的每一个方程进行验证。 注意事项： 必须代入所有方程进行检验，不能只代一个。只有同时满足所有方程的解才是方程组的解。 注意代入时的计算准确性，特别是符号问题。 题型剖析 题型二、二元一次方程的解的问题 变式2.已知是方程组 的解，则 的 值是( ) A A. 5 B. C. 25 D. 解：把代入方程组得： 所以 答案是5​，对应选项A 题型剖析 题型三、解二元一次方程组 例3.选用合适的方法解下列方程组： （1） 解：把②代入①，得， 解得 . 把代入②，得， 解得 . 原方程组的解为 （2） 解：，得 . 把代入①，得， 解得 . 原方程组的解为 题型剖析 题型三、解二元一次方程组 解决方法和注意事项 代入消元法步骤 变：将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来（如用含 x 的式子表示 y）。 代：将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 回代：将求得的未知数的值代入第一步变形得到的代数式中，求出另一个未知数的值。 写解：用大括号联立写出方程组的解。 加减消元法步骤 变形：选择一个未知数，将两个方程分别乘以适当的数，使未知数的系数相等或互为相反数。 加减：将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。 写解：用大括号联立写出方程组的解。 题型剖析 题型三、解二元一次方程组 变式3.选用合适的方法解下列方程组： （1） 解：，得 .③ ,得 . 把代入③,得 , 解得 . 原方程组的解为 （2） 解：设, . 方程组变形为解得 解得 题型剖析 题型四、解三元一次方程组 例4.三元一次方程组 .消去未知数 后，所得二元一次方程组是( ) A A. . B. . C. . D. . 解： 得： 即 +3×得：，故选A项 题型剖析 题型四、解三元一次方程组 解决方法和注意事项 解决方法： 第一步消元（三元→二元）： 从方程组中选择一个系数较简单的方程作为 “桥梁”，或者直接观察三个方程，选择其中两个方程，通过加减消元法消去同一个未知数，得到一个二元一次方程（记为方程④）。 再从这三个方程中选择另外两个方程，同样通过加减消元法消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程（记为方程⑤）。 第二步消元（二元→一元）： 将第一步得到的两个二元一次方程（方程④和方程⑤）组成一个新的二元一次方程组。 用代入消元法或加减消元法解这个新的二元一次方程组，求出两个未知数的值。 回代求解：将求出未知数的值，代入原方程组中一个较简单的方程里，求出第三个未知数的值。 写解：将求得的三个未知数的值用大括号联立，写出三元一次方程组的解。 注意事项： 消元目标明确：每次消元都要目标明确地消去同一个未知数，避免混乱。 选择合适的消元对象：优先选择消去系数为 1 或 - 1 的未知数，或者系数绝对值较小的未知数，以简化计算。 计算准确性：每一步的计算都要格外仔细，避免因一步算错导致后续全部错误。 检验：解完后，可以将三个未知数的值代入原方程组的每一个方程中进行检验，确保解的正确性。 题型剖析 题型四、解三元一次方程组 变式4.解三元一次方程组： （1） . （2） . 解：把①代入②，得 . 把代入③，得 . 把代入①，得 . 方程组的解为 . 解：把①代入②，得 ， 整理，得 .④ ，得，解得 . 把代入①，得 . 把，代入②，得 . 方程组的解为 . 题型剖析 题型五、含参数的二元一次方程组 例5.佳佳、音音两人共同解方程组 由于佳佳看错了方程①中的，得 到方程组的解为音音看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 则____, ___. 6 解：将代入方程组中，得 解得 将代入方程组中，得 解得 根据题意可得， 题型剖析 题型五、含参数的二元一次方程组 解决方法和注意事项 解决方法： 将参数视为常数，用代入法或加减法解方程组，得到用参数表示的 x 和 y 的表达式 将上述表达式代入题目给出的条件，得到一个关于参数的一元一次方程。 解这个一元一次方程，求出参数的值。 注意事项 区分未知数与参数：明确哪个是要求解的未知数，哪个是作为已知数处理的参数。 计算严谨：在解用参数表示的方程组时，计算过程要非常仔细，注意符号和运算顺序，避免出错。 理解解的判定条件：要深刻理解系数比例关系与解的情况之间的内在联系. 检验：求出参数值后，可以将其代回原方程组，检验所得的解是否符合题目的所有条件。 题型剖析 题型五、含参数的二元一次方程组 变式5.嘉淇准备解关于,的二元一次方程组时，发现系数“ ”印刷不清楚. （1）他把“”猜成2，则二元一次方程组 的解为_ _______. （2）张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案中, 是一对相反数.”请通过计算 说明原题中的系数“ ”是多少. 解：因为,是一对相反数，所以 . 联立解得 设“”为，则有,解得 . 所以原题中的系数“ ”是5. 题型剖析 题型六、同解方程组 例6.已知关于， 的方程组 与 有相同的解. （1）求这个相同的解. 解：由题意，得 ，得，解得 . 把代入①，得，解得 . 所以方程组相同的解为 （2）____， ___. 3 解：把分别代入到和中，得 解得： 题型剖析 题型六、同解方程组 解决方法和注意事项 解决方法： 重组方程组： 从原方程组中，分别挑选出不含有参数的两个方程，将它们重新组合成一个新的二元一次方程组。 求解公共解： 解这个新的二元一次方程组，得到的解 就是两个原方程组的公共解。 求参数值（若有）： 将第一步求得的公共解 ，分别代入到原方程组中含有参数的方程里， 得到关于参数的一元一次方程（或方程组）。 解这个关于参数的方程（或方程组），即可求出参数的值。 注意事项： 正确重组方程：这是解题的关键第一步。 必须确保重组的两个方程都不含有参数，否则无法直接解出公共解。 计算准确性：无论是求解公共解，还是将公共解代入求参数， 每一步的计算都要仔细，避免因计算错误导致整个解题过程失败。 检验：求出参数值后，可以将公共解和参数值一起代回原方程组的四个方程中进行检验， 确保每个方程都成立。 理解题意：明确题目最终要求的是什么。有时题目只要求求出相同的解， 有时则要求求出参数的值，需看清问题再作答。 题型剖析 题型六、同解方程组 变式6.已知关于，的二元一次方程组 .的解也是二元一次方程 的解，求 的值. 解：解二元一次方程组.得 . 将.代入二元一次方程中，得 ， 解得 . 题型剖析 题型七、和差倍分问题 例7.明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个 头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪 吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有 个，则根据条件所列方程组为( ) D A. B. C. D. 解：设哪吒有x个，夜叉有y个。 头的总数：每个哪吒有3个头，每个夜叉有1个头，总头数为36，可得方程： 手的总数：每个哪吒有6只手，每个夜叉有8只手，总手数为108，可得方程： 故选D项 题型剖析 题型七、和差倍分问题 解决方法和注意事项 解决方法： 审：找出题目中的两个等量关系（和差关系、倍数关系）。 设：设两个未知数，通常直接设要求的两个量。 列：根据两个等量关系列出二元一次方程组。 解：用代入法或加减法解方程组。 验：检验解是否符合实际意义。 答：写出答案。 注意事项： 题目中出现 “和”、“差”、“几倍”、“几分之几” 等关键词 题型剖析 题型七、和差倍分问题 变式7.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手 机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机 中能提炼出黄金与白银各多少克. 解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银 克.根据题意， 得 解得 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克. 题型剖析 题型八、行程问题 例8.一辆汽车从A地出发，向东行驶，途中要经过十字路口B，在规定的某一段时间内， 若车速为60千米/时，就能驶过B处2千米；若每小时行驶50千米，就差3千米才能到达B处. 设A,B间的距离为 千米，规定的时间为 小时，则可列出方程组是( ) C A. B. C. D. 解：设 A、B 间的距离为x千米，规定的时间为y小时。 当车速为 60 千米 / 时，能驶过 B 处 2 千米，说明行驶的路程比 A、B 距离多 2 千米： . 当车速为 50 千米 / 时，差 3 千米才能到 B 处，说明行驶的路程比 A、B 距离少 3 千米： . 故选C项 题型剖析 题型八、行程问题 解决方法和注意事项 解决方法： 核心公式是 路程 = 速度 × 时间。 相遇问题：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程。 追及问题：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 两者初始的距离。 航行问题： 顺水（风）速度 = 静水（风）速度 + 水流（风）速度。 逆水（风）速度 = 静水（风）速度 - 水流（风）速度。 根据题意找出两个等量关系，设未知数（通常设速度或时间），列出方程组求解。 注意事项： 明确运动类型（相遇、追及、航行），并选择对应的路程关系公式。 航行问题中，要区分顺水（风）速度和逆水（风）速度 题型剖析 题型八、行程问题 变式8.张强和李毅二人分别从相距20千米的A，B两地出发，相向而行，如果张强比李毅 早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后 两人还相距11千米.张强、李毅每小时各走多少千米？ 解：设张强每小时走千米，李毅每小时走 千米. 根据题意，得 解得 答：张强每小时走4千米，李毅每小时走5千米. 题型剖析 题型九、工程问题 例9.某车间有甲、乙两个生产小组，甲组每人每天可加工零件 20 个，乙组每人每天可加工零件 15 个。已知该车间共有工人 30 人，且每天加工的零件总数为 520 个。问甲、乙两组各有多少人？ 解：甲组有人，乙组有 人. 根据题意，得 解得 答：甲组有14人，乙组有16人. 题型剖析 题型九、工程问题 解决方法和注意事项 解决方法： 核心公式是 工作量 = 工作效率 × 工作时间。 通常将总工作量设为单位 “1”。 工作效率 = 1 ÷ 完成工作的总时间。 甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量（或合作工作量）。 根据题意找出两个等量关系，设未知数（通常设工作效率或工作时间），列出方程组求解。 注意事项： 通常将总工作量设为 “1”，工作效率为单位时间完成的工作量。 注意 “合作” 与 “单独做” 的区别，合作效率等于各效率之和。 题型剖析 题型九、工程问题 变式9.一项工程，若由甲、乙两队合作，6 天可以完成；若由甲队先做 4 天，剩下的由乙队单独做，再做 9 天也恰好完成。求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？ 解：甲队每天工作效率为，乙队每天工作效率为 . 根据题意，得 解得 可得甲单独完成需要10天，乙单独完成需要15天 答：甲单独完成需要10天，乙单独完成需要15天. 题型剖析 题型十、销售及增长率问题 例10.某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40% 作为标价. 适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售. 某顾客购买甲、乙两种商品各1 件，共付款538 元，已知商场共盈利88 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元. 解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据题意，得 解得 答：甲商品的进价为250元，乙商品的进价为200元. 题型剖析 解决方法和注意事项 解决方法： 核心公式： 利润 = 售价 - 进价。 利润率 = 利润 / 进价 × 100%。 售价 = 标价 × 折扣。增长问题：增长后的量 = 增长前的量 × (1 + 增长率) 下降问题：下降后的量 = 下降前的量 × (1 - 下降率) 根据题意找出两个等量关系，设未知数，列出方程组求解。 注意事项： 清晰区分进价、售价、标价、利润、利润率等概念，避免混淆公式。 折扣是指按标价的百分之几十销售（如八折即售价 = 标价 ×0.8） 区分 “增长率” 和 “增长的量” 题型十、销售及增长率问题 题型剖析 变式10.在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜获丰收，去年大棚油桃的 利润为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了，支出减少了 ，预计今年的利 润比去年多11400元. （1）今年的利润是________元. 23400 （2）列方程组计算小明家去年种植大棚油桃的收入和支出. 解：设小明家去年种植大棚油桃的收入为万元，支出为 万元.根据题意,得 解得 答：小明家去年种植大棚油桃的收入为42000元，支出为30000元. 题型十、销售及增长率问题 题型剖析 题型十一、配套问题 例11.某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成.每名工人每天可以加工A部件100个或者 加工B部件60个，现有16名工人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配 套？设安排名工人生产A部件， 名工人生产B部件，则列出二元一次方程组为( ) A A. B. C. D. 解：设安排x名工人生产 A 部件，y名工人生产 B 部件。 总人数条件：共有 16 名工人，因此： . 配套条件：仪器由 1 个 A 部件和 1 个 B 部件配套，所以每天生产的 A、B 部件数量必须相等。 x名工人每天生产 A 部件100x个，y名工人每天生产 B 部件60y个，因此： . 题型剖析 题型十一、配套问题 解决方法和注意事项 解决方法： 找出配套比例（这是关键），例如一个甲部件配两个乙部件， 则甲的数量 × 2 = 乙的数量。 另一个等量关系通常是生产这些部件的总人数或总工时。 设未知数（通常设生产不同部件的人数或数量）， 根据上述两个关系列出方程组求解。 题型剖析 题型十一、配套问题 变式11.在某款纪念品制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章.已知一共有69名工人参与 制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖. 设安排名工人制作手办， 名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组 正确的是( ) C A. B. C. D. 解：设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章。 总人数条件：共有 69 名工人，因此： . 配套条件：每 1 个手办要搭配 3 个徽章，所以徽章的总数是手办总数的 3 倍。 x名工人每天制作手办5x个，y名工人每天制作徽章8y个，因此： . 故选C项 题型剖析 题型十二、几何问题 例12.小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如左图所示. 小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如右图所示的正方形，不过中间留下一个空白，恰好是一个边长为2 cm 的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？ 解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm. 依题意，得整理，得 ① - ② ×3 ，得， 将 代入②，得，解得 . 所以这个方程组的解是 答：每个小长方形的长为10cm，宽为6cm. 题型剖析 题型十二、几何问题 解决方法和注意事项 解决方法： 长方形 / 正方形问题： 等量关系 1：周长公式。 等量关系 2：长与宽的和、差、倍关系，或面积公式。 三角形问题： 等量关系 1：三角形内角和为 180°（用于角度计算）。 等量关系 2：边长的和、差、倍关系，或勾股定理（直角三角形），或面积公式。 其他多边形问题： 等量关系 1：周长公式或内角和公式。 等量关系 2：各边或各角之间的特定关系。 注意事项： 熟练掌握几何公式必须牢记常见图形的周长、面积、内角和等公式。 准确理解几何语言，能够将文字描述的几何关系准确地转化为数学等式。 在列方程时，确保所有相关量的单位是统一的。 解出的边长、角度等必须符合实际情况和几何图形的基本性质 题型剖析 题型十二、几何问题 变式12.如图，这是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖 比一块竖放的墙砖高 ，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低 ，则每块墙砖的 截面面积是( ) B A. B. C. D. 解：设墙砖长为，宽为 根据图可得 解得 墙砖面积为 题型剖析 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( ) B A. B. C. D. 解：A 选项：方程组中出现了三个未知数，不满足 “二元”，排除。 B 选项：方程组由两个整式方程组成，只含两个未知数，且未知数项的次数均为 1，符合定义。 C 选项：方程中，项的次数为1+1=2，是二次项，不满足 “一次”，排除。 D 选项：方程出现分式，不是整式方程，排除。 针对训练 2.如果，那么用含的式子表示 正确的是( ) B A. B. C. D. 解：根据原方程可得，故选B项 针对训练 3.下列方程组中，解为 的是( ) B A. B. C. D. 解：将依次代入各方程组，可知两个方程都成立，故选B项 针对训练 4.已知方程组则 的值是( ) B A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 解：，两式相减可得，选B项 针对训练 5.已知是方程的一个解，那么 的值是( ) A. 1 B. 3 C. D. D 解：将代入到方程中，得：， 解得 选D项 针对训练 6.《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每 人出7钱，还差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为 钱，则可列 方程组为( ) C A. B. C. D. 解：设合伙人数为x人，羊价为y钱。 每人出 5 钱，还差 45 钱，说明总钱数5x比羊价y少 45，因此： . 每人出 7 钱，还差 3 钱，说明总钱数7x比羊价y少 3，因此： . 故选C项 针对训练 7.小明说为方程的解，小惠说 为方程 的解.两人谁也不能说服对方，如果你想让他们的解都正 确，那么需要添加的条件是( ) D A. ， B. ， C. ， D. ， 解：根据题意可得方程组 解得： 故选D项 针对训练 8.已知关于，的方程组的解互为相反数，则 的值 为( ) C A. 63 B. 7 C. D. 解：根据题意可得 把代入到 得 . 所以 . 针对训练 9.已知二元一次方程组 的解是 则在；； ； 中，“*”表示的方程可以是______.（填序号） ③④ 解：根据题意得 所以方程组的解为 方程可以是③④ 针对训练 10.数学活动实践课上，嘉嘉先画了一个长为，宽为 的长 方形 ，然后又在该长方形中画了5个相同大小的小长方形 （阴影部分），如图所示，则图中空白部分的面积为_____ . 223 解：设小长方形长为x，宽为y 根据图可得 解得 空白部分面积为 针对训练 11.解下列方程组： （1） 解：由①，得 .③ 把③代入②，得, 解得 . 把代入③,得 . 所以原方程组的解是 （2） 解：由②，得 .③ ，得，解得 . 将代入①，得， 解得 . 则原方程组的解是 针对训练 12.关于，的二元一次方程均可以变形为 的形式，其中，， 均为常数且，.规定：方程 的“关联系数”记为 . （1）二元一次方程 的“关联系数”为__________. （2）已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为 ，若 为该方程的一组解，且，均为正整数，求， 的值. 解： 关于，的二元一次方程的“关联系数”为 ， 该方程为 . 为该方程的一组解， ，整理，得 . ， 均为正整数， ，或， . 针对训练 13.某展览中心周六和周日举办了艺术展，周六参观的总人数有300人，周日上午参观的 人数比周六上午增加 ，周日下午参观的人数比周六下午增加 ，周日参观的总人 数比周六参观的总人数多100人（参观人数只包括成人和中学生）. （1）求周日上午和下午参观艺术展的各有多少人. 解：设周六上午参观艺术展的有人，周六下午参观艺术展的有 人， 则周日上午参观艺术展的有 人，周日下午参观艺术展的有 人.根据题意，得 解得 ， . 答：周日上午参观艺术展的有140人，周日下午参观艺术展的有260人. 针对训练 （2）已知该艺术展参观票分为成人票和中学生票，周日上午售票总收入为4200元，下午 的售票总收入为7 200元，且周日上午参观的成人有70人，下午参观的成人有100人. ①求每张成人票和中学生票各多少元. 周日上午参观的成人有70人，学生有 （人）， 下午参观的成人有100人，学生有 （人）. 设每张成人票为元，每张中学生票为 元.根据题意，得 解得 答：每张成人票为40元，每张中学生票为20元. 针对训练 ②嘉嘉说：“周六的售票总收入不可能为8 390元.”请你说明理由. 理由如下： 假设周六的售票总收入为8 390元，设周六有成人 人，则有中学生 人.根据题意，得 ，解得 . 为整数， 周六的售票总收入不可能为8390元. 针对训练 ✅ 知识构建：函数 二元一次方程 → 二元一次方程组 → 消元解法 → 实际应用 ✅ 思想方法： 消元转化、数学建模、方程思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $