7.1 条件概率与相关公式（题型专练）数学沪教版选择性必修第二册

7.1条件概率与相关公式 题型1 条件概率的理解 1．下面几种概率是条件概率的是（    ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 C．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 2．判断下列哪些是条件概率？ (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率； (2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率． 题型2 条件概率的计算 3．一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为__________． 4．从装有5个红球和4个蓝球（球的大小和质地均相同）的盒子中随机取2个球，则在取到的2个球颜色相同的条件下，所取球都是红球的概率为__________． 5．为增强学生的体质，某校开展了丰富多彩的课间活动，最受欢迎的为羽毛球和乒乓球.经学生会调查，学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学两者都爱好.在校园随机调查一位同学，若该同学爱好乒乓球，则该同学也爱好羽毛球的概率为______. 6．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制．若各局比赛相互独立，甲每局获胜的概率为，没有平局．若已知甲最终获得比赛胜利，那么甲是以获胜的概率为___________． 题型3 概率的乘法公式 7．某厂的产品中有的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为______. 8．盒中有个质地，形状完全相同的小球，其中个红球，个绿球，个黄球；现从盒中随机取球，每次取个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为___________. 9．气象资料表明，某地区每年4月份吹东风的概率为 ，在吹东风的条件下，下雨的概率为 ，则该地区4月份既吹东风又下雨的概率为____________． 10.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（    ） A． B． C． D． 题型4 条件概率性质的应用 11．已知，，，则_______. 12．已知，，则_________． 13．对于随机事件，若，，，则_________. 14．某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，已知下雨的条件下，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为__________． 题型5全概率公式 15．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 16．学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为________． 17．班主任安排班干部在暑假给教室的绿植浇一次水，若不浇水，绿植枯萎的概率为0.7；若浇水，绿植枯萎的概率为0.15，而班干部浇水的概率为0.9，则开学返校时绿植枯萎的概率为_____. 18．已知编号为1，2的两个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球；2号盒子内装有两个1号球，一个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到2号球的概率为___________. 19．某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为，，．现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________． 题型6 贝叶斯公式 20．甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____． 21．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，若从100个男人和100个女人中任选一人，则此人患色盲的概率为___________，若此人是色盲，则此人是男人的概率为___________． 22．假设小红口袋中有3个白球和3个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现小红从自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为_____________. 题型1条件概率中的证明问题 23．当时，求证：的充要条件是． 24．从有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，，2，…，6. (1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； (2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求. 25．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 题型2条件概率与统计问题 26．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计样本成绩的第80百分位数； (3)已知样本中成绩低于70分的试卷为不合格，现从样本中随机抽取1份试卷，发现其不合格，求这份试卷恰好来自的概率. 27．自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列．某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人．    (1)求； (2)根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数和中位数；（结果保留2位小数） (3)公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率． 28．某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志． 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率． 29．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________． 30．在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 31．已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为______. 32．袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为_____；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是____. 33．有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为______；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为______. 34．2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 35．质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（    ） A． B． C． D． 36．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（   ） A． B． C． D． 37．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 38．某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 39．小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为，，，每天上述三条路不拥堵的概率分别为，，． 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路的概率是多少？ 40．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为“良好”和“不够良好”两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100例（称对照组），得到如下表数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 从该地的人群中任选一人，事件A表示“选到的人卫生习惯不够良好”，事件B表示“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．求证：． 41．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 42．（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）（i）对于事件，，，当时，求证：； （ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1条件概率与相关公式 题型1 条件概率的理解 1.【答案】C 2.【解】（1）由于高一的女生获得冠军的概率，是在一名女生获得冠军的条件求的概率， 所以所求概率是条件概率. （2）掷一个骰子出现有1，2，3，4，5，6的6个不同结果，求掷出的点数为3的概率是古典概率， 所以掷出的点数为3的概率不是条件概率. （3）由于求抽到梅花5的概率，是在抽到梅花的条件下求出的概率， 所以求抽到的是梅花5的概率是条件概率. 题型2 条件概率的计算 3.【答案】 4.【答案】/ 【解析】记事件为“取到的2个球都是红球”，事件为“取到的2个球颜色相同”． . 5.【答案】/ 【解析】记“爱好乒乓球”为事件，“爱好羽毛球”为事件， 由题可知，，则. 6.【答案】 【解析】由题意可知若甲获得比赛胜利，比赛的结果可为3：0，3：1和3：2． 若甲以获胜，则概率为， 若甲以获胜，则概率为， 若甲以3：2获胜，则概率为， 所以甲获得比赛胜利的概率为， 则在已知甲最终获得比赛胜利的条件下，甲是以3：1获胜的概率为． 题型3 概率的乘法公式 7.【答案】0.72 【解析】设A为“任取的一件是合格品”，为“任取的一件是一等品”， 某厂的产品中有的废品，，又因为， 因为在100件合格品中有75件一等品，所以， 且事件发生时事件A一定发生， 所以. 8.【答案】 【解析】没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球” 记事件表示第一次取到红球，表示第二次取到红球，表示第一次取到绿球， 则，， ∴没有取到黄球的概率为. 9.【答案】 【解析】记“4月份吹东风”为事件，“4月份下雨”为事件， 由题意，，由条件概率公式可知. 10.【答案】A 【解析】记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功， 则， 所以. 故选：A. 题型4 条件概率性质的应用 11.【答案】/ 12.【答案】/0.125 13.【答案】 【解析】，又，所以， 因为，所以. 14.【答案】 【解析】设事件为下雨，事件为刮风， 由题意得，，，又， 所以． 题型5全概率公式 15.【答案】 【解析】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”， ，，， 由全概率公式可得. 16.【答案】/ 【解析】学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐， 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为； 如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为. 刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为． 17.【答案】/ 【解析】设事件为“绿植枯萎”，事件为“班干部浇水”， 则，， 则. 18.【答案】 【解析】记事件“第一次从1号盒子内取出号球”，其中,事件“第二次抽到2号球”； . 19.【答案】0.285 【解析】设该学生考上硕士研究生，该学生来自理学院，该学生来自工学院，该学生来自商学院}，则两两互不相容， 故由全概率公式知所求概率为 题型6 贝叶斯公式 20.【答案】 0.1/ 0.3/ 【解析】记为事件“零件为第台车床加工”， 则，，， B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得： ， 由贝叶斯公式得：. 21.【答案】 【解析】设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C，此人患色盲的概率． 则． 22.【答案】/ 【解析】设小红取出个球，其中红球的个数为个的事件为，从小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件为，由题意可得：，； ，； ，； 则， 所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为. 题型1条件概率中的证明问题 23.【解】若，则，所以， 所以， 所以； 反之，若，则，即， 所以， 所以. 所以的充要条件是． 24.【解】（1）， 所以第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； （2）（ⅰ）因为， 又因为， 所以， 即. （ⅱ） ++ 25.【解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为， ，，，， 由全概率公式，得． （2）由已知得，， ，， ． （3）由（2）可得，即， 可猜想： 证明如下：由条件概率及，， 得，， 所以． 题型2条件概率与统计问题 26.【解】（1）每组小矩形的面积之和为1， ， ． （2）成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 第80百分位数落在内， 设第80百分位数为，则， 解得， 即第80百分位数为86分． （3）设从样本中随机抽取1份试卷成绩不合格为事件，这份成绩不合格试卷来自区间为事件, 由题意，， , 所以， 即这份试卷恰好来自的概率为. 27.【解】（1）因为组距为2，由频率分布直方图的数据可得，解得． 因为运动时长在小时的员工有48人， 所以. 故． （2）由（1）可知，则该公司员工一周运动时长的平均数为小时， 设中位数为，由频率分布直方图可得前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为，则， 则，解得， 所以该公司员工一周运动时长的中位数约为小时． （3）由频率分布直方图可得运动时长在小时的员工人数为人， 运动时长在小时的员工人数为人， 记“选中的员工一周运动时长不少于4小时”，“选中的员工一周运动时长在区间内”， 则， 所以在选中的员工一周运动时长不小于4小时的前提下， 此人一周运动时长在区间内的概率为． 故此人一周运动时长在区间内的概率. 28.【解】（1）设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的元件是由甲制造厂提供的”， 表示“所取到的元件是由乙制造厂提供的”，表示“所取到的元件是由丙制造厂提供的”， 则，，， ，，． 由全概率公式得 ． （2）该元件出自甲工厂的概率为 ． 29.【答案】 【解析】将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，即抽出的2张钞票中至少有1张假钞， 设事件表示“抽到2张都是假钞”，事件为“2张中至少有一张假钞”， 而，． 所以． 30.【答案】0.8/ 【解析】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 则，，，. 设发送信号为1的概率为， 则接收信号为的概率 ， 解得，即发送信号为的概率为. 31.【答案】 【解析】设事件为“取出的小球来自号箱”，事件为“取出的球为红球”， 则构成了总的样本空间，且，，两两互斥， 由题意有，，， ，，， 则由全概率公式得， 则在取出的球为红球的条件下， 该球取自3号箱的概率为. 32.【答案】 【解析】记事件A为“全是红球”，则， 记事件B 为“至少有1个是白球”，则， 记事件C为“至少有1个红球”，则 则事件AC为“全是红球”，则 所以“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 33.【答案】 / 【解析】设事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：取到的芯片是第台光刻机生产的， 事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品， 由题知，， 所以. 则，所以， 则取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为. 34.【答案】B 【解析】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 35.【答案】B 【解析】设分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，：是优质品， 则，，，且，，， 所以，由全概率公式可知， ． 故选：B 36.【答案】D 【解析】用表示生产线初始状态良好，表示第一件产品是合格品， 则，，，从而， 可知； 因此，故选D 37.【解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 38.【解】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，， 由全概率公式得， 该操作员第二次降落成功的概率为. （2）由题意得， 当时， 即， 整理得， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 即， 易知单调递增 所以. 39.【解】（1）由题意知不迟到就意味着不拥堵， 设事件表示到公司不迟到，则 ； （2）易知； 所以已知到达公司未迟到，选择道路的概率约为0.28． 40.【解】由贝叶斯公式得，，， 则． 同理，可得． 所以 . 41.【解】（1）平均年龄 （岁）． （2）由频率分布直方图可得该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率为； （3）设“任选一人年龄位于区间”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：，，， 则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间， 此人患这种疾病的概率为． 42.【解】（1）丙投篮水平较高，理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、. 依题意，得， 解得， 因为，所以，丙投篮水平较高. （2）（ⅰ）因为，， 所以，得证. （ⅱ）记事件“第次摸到白球”为. 由题意可知，，. 由结论， 可得. 故三次都摸到白球的概率为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1条件概率与相关公式 题型1 条件概率的理解 1．下面几种概率是条件概率的是（    ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 C．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 【答案】C 【解析】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率． 选项A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率； 选项B：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率； 选项C：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率； 选项D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率．故选C 2．判断下列哪些是条件概率？ (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率； (2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率． 【解】（1）由于高一的女生获得冠军的概率，是在一名女生获得冠军的条件求的概率， 所以所求概率是条件概率. （2）掷一个骰子出现有1，2，3，4，5，6的6个不同结果，求掷出的点数为3的概率是古典概率， 所以掷出的点数为3的概率不是条件概率. （3）由于求抽到梅花5的概率，是在抽到梅花的条件下求出的概率， 所以求抽到的是梅花5的概率是条件概率. 题型2 条件概率的计算 3．一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为__________． 【答案】 【解析】第一次取出1个白球后，袋子里还有2个白球和2个红球， 所以第二次取出红球的概率为. 4．从装有5个红球和4个蓝球（球的大小和质地均相同）的盒子中随机取2个球，则在取到的2个球颜色相同的条件下，所取球都是红球的概率为__________． 【答案】/ 【解析】记事件为“取到的2个球都是红球”，事件为“取到的2个球颜色相同”． . 5．为增强学生的体质，某校开展了丰富多彩的课间活动，最受欢迎的为羽毛球和乒乓球.经学生会调查，学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学两者都爱好.在校园随机调查一位同学，若该同学爱好乒乓球，则该同学也爱好羽毛球的概率为______. 【答案】/ 【解析】记“爱好乒乓球”为事件，“爱好羽毛球”为事件， 由题可知，，则. 6．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制．若各局比赛相互独立，甲每局获胜的概率为，没有平局．若已知甲最终获得比赛胜利，那么甲是以获胜的概率为___________． 【答案】 【解析】由题意可知若甲获得比赛胜利，比赛的结果可为3：0，3：1和3：2． 若甲以获胜，则概率为， 若甲以获胜，则概率为， 若甲以3：2获胜，则概率为， 所以甲获得比赛胜利的概率为， 则在已知甲最终获得比赛胜利的条件下，甲是以3：1获胜的概率为． 题型3 概率的乘法公式 7．某厂的产品中有的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为______. 【答案】0.72 【解析】设A为“任取的一件是合格品”，为“任取的一件是一等品”， 某厂的产品中有的废品，，又因为， 因为在100件合格品中有75件一等品，所以， 且事件发生时事件A一定发生， 所以. 8．盒中有个质地，形状完全相同的小球，其中个红球，个绿球，个黄球；现从盒中随机取球，每次取个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为___________. 【答案】 【解析】没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球” 记事件表示第一次取到红球，表示第二次取到红球，表示第一次取到绿球， 则，， ∴没有取到黄球的概率为. 9．气象资料表明，某地区每年4月份吹东风的概率为 ，在吹东风的条件下，下雨的概率为 ，则该地区4月份既吹东风又下雨的概率为____________． 【答案】 【解析】记“4月份吹东风”为事件，“4月份下雨”为事件， 由题意，，由条件概率公式可知. 10.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功， 则， 所以. 故选：A. 题型4 条件概率性质的应用 11．已知，，，则_______. 【答案】/ 【解析】由概率的乘法公式可得， 由条件概率公式可得. 12．已知，，则_________． 【答案】/0.125 【解析】， 13．对于随机事件，若，，，则_________. 【答案】 【解析】，又，所以， 因为，所以. 14．某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，已知下雨的条件下，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为__________． 【答案】 【解析】设事件为下雨，事件为刮风， 由题意得，，，又， 所以． 题型5全概率公式 15．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 【答案】 【解析】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”， ，，， 由全概率公式可得. 16．学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为________． 【答案】/ 【解析】学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐， 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为； 如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为. 刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为． 17．班主任安排班干部在暑假给教室的绿植浇一次水，若不浇水，绿植枯萎的概率为0.7；若浇水，绿植枯萎的概率为0.15，而班干部浇水的概率为0.9，则开学返校时绿植枯萎的概率为_____. 【答案】/ 【解析】设事件为“绿植枯萎”，事件为“班干部浇水”， 则，， 则. 18．已知编号为1，2的两个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球；2号盒子内装有两个1号球，一个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到2号球的概率为___________. 【答案】 【解析】记事件“第一次从1号盒子内取出号球”，其中,事件“第二次抽到2号球”； . 19．某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为，，．现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________． 【答案】0.285 【解析】设该学生考上硕士研究生，该学生来自理学院，该学生来自工学院，该学生来自商学院}，则两两互不相容， 故由全概率公式知所求概率为 题型6 贝叶斯公式 20．甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____． 【答案】 0.1/ 0.3/ 【解析】记为事件“零件为第台车床加工”， 则，，， B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得： ， 由贝叶斯公式得：. 21．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，若从100个男人和100个女人中任选一人，则此人患色盲的概率为___________，若此人是色盲，则此人是男人的概率为___________． 【答案】 【解析】设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C，此人患色盲的概率． 则． 22．假设小红口袋中有3个白球和3个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现小红从自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为_____________. 【答案】/ 【解析】设小红取出个球，其中红球的个数为个的事件为，从小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件为，由题意可得：，； ，； ，； 则， 所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为. 题型1条件概率中的证明问题 23．当时，求证：的充要条件是． 【解】若，则，所以， 所以， 所以； 反之，若，则，即， 所以， 所以. 所以的充要条件是． 24．从有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，，2，…，6. (1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； (2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求. 【解】（1）， 所以第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； （2）（ⅰ）因为， 又因为， 所以， 即. （ⅱ） ++ 25．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 【解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为， ，，，， 由全概率公式，得． （2）由已知得，， ，， ． （3）由（2）可得，即， 可猜想： 证明如下：由条件概率及，， 得，， 所以． 题型2条件概率与统计问题 26．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计样本成绩的第80百分位数； (3)已知样本中成绩低于70分的试卷为不合格，现从样本中随机抽取1份试卷，发现其不合格，求这份试卷恰好来自的概率. 【解】（1）每组小矩形的面积之和为1， ， ． （2）成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 第80百分位数落在内， 设第80百分位数为，则， 解得， 即第80百分位数为86分． （3）设从样本中随机抽取1份试卷成绩不合格为事件，这份成绩不合格试卷来自区间为事件, 由题意，， , 所以， 即这份试卷恰好来自的概率为. 27．自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列．某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人．    (1)求； (2)根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数和中位数；（结果保留2位小数） (3)公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率． 【解】（1）因为组距为2，由频率分布直方图的数据可得，解得． 因为运动时长在小时的员工有48人， 所以. 故． （2）由（1）可知，则该公司员工一周运动时长的平均数为小时， 设中位数为，由频率分布直方图可得前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为，则， 则，解得， 所以该公司员工一周运动时长的中位数约为小时． （3）由频率分布直方图可得运动时长在小时的员工人数为人， 运动时长在小时的员工人数为人， 记“选中的员工一周运动时长不少于4小时”，“选中的员工一周运动时长在区间内”， 则， 所以在选中的员工一周运动时长不小于4小时的前提下， 此人一周运动时长在区间内的概率为． 故此人一周运动时长在区间内的概率. 28．某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志． 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率． 【解】（1）设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的元件是由甲制造厂提供的”， 表示“所取到的元件是由乙制造厂提供的”，表示“所取到的元件是由丙制造厂提供的”， 则，，， ，，． 由全概率公式得 ． （2）该元件出自甲工厂的概率为 ． 29．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________． 【答案】 【解析】将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，即抽出的2张钞票中至少有1张假钞， 设事件表示“抽到2张都是假钞”，事件为“2张中至少有一张假钞”， 而，． 所以． 30．在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 【答案】0.8/ 【解析】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 则，，，. 设发送信号为1的概率为， 则接收信号为的概率 ， 解得，即发送信号为的概率为. 31．已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为______. 【答案】 【解析】设事件为“取出的小球来自号箱”，事件为“取出的球为红球”， 则构成了总的样本空间，且，，两两互斥， 由题意有，，， ，，， 则由全概率公式得， 则在取出的球为红球的条件下， 该球取自3号箱的概率为. 32．袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为_____；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是____. 【答案】 【解析】记事件A为“全是红球”，则， 记事件B 为“至少有1个是白球”，则， 记事件C为“至少有1个红球”，则 则事件AC为“全是红球”，则 所以“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 33．有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为______；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为______. 【答案】 / 【解析】设事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：取到的芯片是第台光刻机生产的， 事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品， 由题知，， 所以. 则，所以， 则取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为. 34．2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 35．质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，：是优质品， 则，，，且，，， 所以，由全概率公式可知， ． 故选：B 36．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用表示生产线初始状态良好，表示第一件产品是合格品， 则，，，从而， 可知； 因此，故选D 37．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 【解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 38．某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【解】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，， 由全概率公式得， 该操作员第二次降落成功的概率为. （2）由题意得， 当时， 即， 整理得， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 即， 易知单调递增 所以. 39．小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为，，，每天上述三条路不拥堵的概率分别为，，． 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路的概率是多少？ 【解】（1）由题意知不迟到就意味着不拥堵， 设事件表示到公司不迟到，则 ； （2）易知； 所以已知到达公司未迟到，选择道路的概率约为0.28． 40．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为“良好”和“不够良好”两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100例（称对照组），得到如下表数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 从该地的人群中任选一人，事件A表示“选到的人卫生习惯不够良好”，事件B表示“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．求证：． 【解】由贝叶斯公式得，，， 则． 同理，可得． 所以 . 41．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【解】（1）平均年龄 （岁）． （2）由频率分布直方图可得该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率为； （3）设“任选一人年龄位于区间”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：，，， 则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间， 此人患这种疾病的概率为． 42．（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）（i）对于事件，，，当时，求证：； （ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率. 【解】（1）丙投篮水平较高，理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、. 依题意，得， 解得， 因为，所以，丙投篮水平较高. （2）（ⅰ）因为，， 所以，得证. （ⅱ）记事件“第次摸到白球”为. 由题意可知，，. 由结论， 可得. 故三次都摸到白球的概率为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $