微专题 对条件概率与全概率公式的理解及其应用 讲义-2022-2023学年高二下学期数学沪教版（2020)选择性必修第二册

微专题 对条件概率与全概率公式的理解及其应用 【学生版】 学习笔记 知识梳理 1、两个事件A与B的交(或积) 把由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与的交(或积)， 记做D＝A∩B(或D＝AB)； 【注：事件是可以运算的；“两个事件A、B至少有一个发生”，这本身也是一个事件， 是指在两个事件所包含的基本事件中至少有一个发生，其对应的子集是A∪B； 同样地，“两个事件A、B同时发生”也是一个事件，是指两个事件的某个共同的 基本事件发生，其对应的子集是A∩B；．因此，“两个事件至少有一个发生” 对应于相应集合的并，而“两个事件同时发生”则对应于相应集合的交；】 2、条件概率 ①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0， 我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率； ②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0， 则P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)． 3、条件概率的性质：设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)； 4、全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． 5、常用结论与知识拓展 （1）两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生 与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥； （2）P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下 事件A发生的概率； （3）计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(A∩B)；学习笔记 典题例析 例1、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1；（ ） ②若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B) ；（ ） ③ P(B|A)≠P(A∩B) ；（ ） ④全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率；（ ） ⑤若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ；（ ） 【答案】； 【解析】； 例2、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求： （1）第一次取到新球的概率； （2）第二次取到新球的概率； （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率． 【提示】； 【解析】； 【说明】本题考查了利用定义求条件概率 1、用定义法求条件概率P(B|A)的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算P(A)，P(A∩B)；（3）代入公式求P(B|A)＝. 2．在（2）题中，首先结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系； 例3、一个盒子中有6只好手机充电器，4只坏手机充电器，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率； 【说明】本题也考查了利用基本事件个数求条件概率；本题给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法． 计算条件概率的方法 (1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)． (2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．学习笔记 (3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件A∩B发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件A∩B发生的概率， 即P(B|A)＝＝＝.； 例4、甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也有2支蓝色笔和3支黑色笔．现从甲文具盒中任取两支放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取两支，则最后取出的两支笔都为黑色笔的概率为 方法归纳 1、计算条件概率需要注意的问题： （1）公式P(B|A)＝仅限于P(A)>0的情况．当P(A＝0)时，我们不定义条件概率． （2）计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(A∩B)． （3）条件概率是指在一定条件下发生的概率，是概率的一种，具有概率的一般性质． （4）P(B|A)与P(A|B)不一定相等． （5）利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下