专题02 数列求通项（专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题02 数列求通项（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、观察法求通项公式 1 题型二、由n项和递推式求通项公式 2 题型三、由an与Sn关系求通项公式 4 题型四、累加法求通项公式 5 题型五、累乘法求通项公式 8 题型六、一次性/二次型/常数构造法求通项公式 9 题型七、指数型构造法求通项公式 10 题型八、不动点法构造分式型求通项公式 12 题型九、由连续三项的关系式求通项公式 13 题型十、倒数型关系式求通项公式 15 题型十一、周期性数列求通项公式 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、观察法求通项公式 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数列各项的符号、分子、分母的规律，即可得到该数列的通项公式. 【详解】根据数列的规律，可知该数列的一个通项公式可以为． 故选：D 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别观察各项的整数部分和分数部分，找出规律后即得. 【详解】． 故选：B. 3．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列前三项分别为，下列各式中，能作为数列的通项公式的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】取分别代入验证即可求解. 【详解】取分别代入验证可知A，C，D正确，B不正确． 故选：ACD 题型二、由n项和递推式求通项公式 1．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证； 【详解】由， 当时，， 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 所以， 所以， 由于时，不满足上式， 所以. 故答案为：. 2．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用已知等式作差计算得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】因为①， 当时， ②， 由①-②得到，得到， 又时，，满足， 所以，则， 所以 ， 则数列的前2026项和为. 故选：C. 3．（多选）（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列满足，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】ABD 【分析】根据前n项和与通项公式之间的关系求，，即可判断BD；根据等比中项判断C；利用等差数列求和公式求，即可判断A. 【详解】因为， 当时，则，故B正确； 当时，则， 两式相减可得，则； 且符合上式，所以，故D正确； 因为，，，则， 所以数列不是等比数列，故C错误； 又因为，可知数列是等差数列， 所以，故A正确. 故选：ABD. 题型三、由an与Sn关系求通项公式 1．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用与的关系求出数列的通项公式. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，则，而， 因此当时，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，， 所以数列的通项公式. 故答案为： 2．（多选）（2026·山东泰安·一模）已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，，得到方程，求出，A正确；B选项，根据时，，得到为公差为1的等差数列，首项为，得到；C选项，分和两种情况，得到；D选项，分和两种情况，得到. 【详解】A选项，中，得，即，解得，A正确； B选项，因为时，， 由得，即， 所以为公差为1的等差数列，首项为， 所以，故，B错误； C选项，当时，当时，， 时，， 当时，当时，， 时，， 综上，C正确； D选项，若，时，，显然此时满足上式， 故， 此时， 若，时，，显然此时满足上式， 故， 此时， 综上，D正确. 故选：ACD 3．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知正项数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系化简给定等式，利用等差数列定义求出即可. 【详解】正项数列中，当时，， 整理得，则数列是首项，公差为1的等差数列， ，当时，，因此，而不满足上式， 所以. 故答案为： 题型四、累加法求通项公式 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】将题目所给递推式变形为，利用累加法和裂项相消法求出，进而求出，最后利用不等式组法求出数列的最大项. 【详解】由可得，当时， ， 当时，，，也满足，所以，，， 由， 即， 解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项. 故选：C 2．（25-26高二上·江西·月考）已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将整理成，利用累加法求出，从而得到， 对，恒成立，即，将整理为，利用基本不等式即可求出实数m的取值范围. 【详解】，， 当时，， 即， 当时也满足，， 对，恒成立，， ， 当且仅当时，等号成立，，即， 实数m的取值范围是. 故选：B. 3．（多选）（25-26高二上·河南郑州·期末）数列满足，且对任意的都有，则（    ） A． B． C．数列的前100项和为 D．数列的前100项和为 【答案】ABD 【分析】根据题意，得到，结合和叠加法，求得，可判定AB，由，利用裂项法求和，可得判定CD，即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，当时，所以 ， 其中也满足，故对任意的，， 所以，故A正确，B正确； 又由， 所以数列的前项和为： ，故C错误，D正确． 故选：ABD . 题型五、累乘法求通项公式 1．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，依题意可得对恒成立，再分为奇数、为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得. 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则； 故的取值范围为. 故选：A 2．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 【答案】/ 【分析】根据累乘法得，再结合裂项求和法求解即可. 【详解】在数列中，，因为当时，， 即，所以，，，…，， 上述等式两边分别相乘， 得， 所以，又也满足， 所以 所以， 所以 故答案为： 题型六、一次性/二次型/常数构造法求通项公式 1．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 【答案】 【分析】由构造法可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到结果. 【详解】 又 是以2为首项，2为公比的等比数列 ， . 故答案为：. 2．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【分析】由，构造等比数列，求得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以. 所以数列的通项公式为． 故答案为:． 3．（25-26高二上·天津滨海新区·月考）已知数列的前项和为，且，则________ 【答案】57 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，进而求出. 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 故答案为：57 题型七、指数型构造法求通项公式 1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】根据数列的递推式构造等比数列，求出其通项，进而求得的通项公式. 【详解】由两边同除以，可得， 令，则， 设，对照上式可得， 即得，因， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即，故. 故答案为：. 2．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，则_____． 【答案】 【分析】先对递推式取倒数，构造出可累加的差分式子，求出数列通项，再用裂项相消法求出前 2023 项和。 【详解】由，得， 则有 所以 所以． 故答案为：. 题型八、不动点法构造分式型求通项公式 1．（2025高三·全国·专题练习）数列中，，那么_____． 【答案】 【分析】用不动点法求出数列递推式的不动点，构造等比数列，求其通项后反解出. 【详解】，不动点方程为． 则， 于是，所以． 故答案为： 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，则=______ 【答案】 【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，再利用“不动点法”求数列的通项公式. 【详解】令，解得该方程的唯一不动点， 所以. 所以数列是公差为的等差数列， 从而，解得. 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 【答案】 【分析】通过递推关系寻找规律，然后构造新数列转化成等差数列形式，即可求得. 【详解】， 所以， 又，则是首项为公差为的等差数列， 得，故． 题型九、由连续三项的关系式求通项公式 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，则的通项公式为_____． 【答案】 【分析】首先构造新数列，然后利用累加法即可求解. 【详解】 令，可得 又． 所以是首项为2，公比为2的等比数列，故 即 所以． 故答案为：. 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为______. 【答案】 【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【详解】由, 得，且， 故数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 故， 所以， 设，则，又， 所以数列的所有项均为0，即， 所以. 故答案为：. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】将条件变为，根据等比数列的定义，可证是以3为首项，3为公比的等比数列，可得，变形可得，根据等比数列的定义，可证是以为首项，为公比的等比数列，整理计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以，即， 又， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 左右同除得：， 所以，即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则，所以. 题型十、倒数型关系式求通项公式 1．（25-26高二上·全国·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，构造等比数列求出的通项公式，再分、、三种情况讨论数列，结合给出判断. 【详解】因为，，所以， 设，则，所以 若，则，则，与矛盾，所以， 故， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 则数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故，所以数列为递减数列， 解不等式，得，可得， 因为，所以当，且时，， 当，且时，，与条件矛盾， 且若时有无意义， 所以的取值范围是， 故选：A. 2．（多选）（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【分析】根据等差数列的定义即可判断A；根据等差数列的通项公式即可判断B；根据等差数列的前项和公式即可判断C；根据等差数列的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. 题型十一、周期性数列求通项公式 1．（2026·陕西榆林·二模）已知数列满足，则（    ） A．-1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用递推公式先判断周期，利用周期数列即可求解. 【详解】解法1：由数列满足， 可取，则； 取，则； 取，则， 猜想数列是周期为3的周期数列，. 解法2：由得，，逐项代换可得， 数列是周期为3的周期数列，. 故选：C 2．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知数列中，，则数列前2026项的和为（   ） A．0 B．2026 C．2027 D．4054 【答案】C 【分析】利用数列的周期性可得答案. 【详解】因为， 所以，，，，， 所以数列是周期为4的周期数列，且， 所以． 故选：C． 3．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知数列满足，若，则__________. 【答案】 【分析】根据数列的递推公式可得数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性即可得解. 【详解】， ，，， 则是周期为3的周期数列， 又， . 故答案为：. 1．（25-26高二上·河南洛阳·期末）已知数列满足，设，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用降标作差求出，再利用裂项相消求出，再分类讨论，结合数列的增减性可求. 【详解】由， 得， 两式作差得，得， 令，则，符合上式，故， 则， 则， 若为偶数，则可化为 又数列为递增数列，所以； 若为奇数，则可化为， 又数列为递增数列，所以， 则实数的取值范围为. 故选：C 2．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）在正项数列中，，记，整数满足，则数列的前项和为___________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质可以求得的值，由题意结合等差数列定义求出，化简后列项求数列的前项和. 【详解】在正项数列中，， 所以数列是以、公差d为1的等差数列， 所以，即， 所以 ， 因为整数满足， 所以， 又，所以， 所以数列的前项和为 . 故答案为： 3．（25-26高二上·湖北十堰·期末）数列中，，，前项和为，则下面正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D． 【答案】C 【分析】利用递推公式求出的值，可判断A选项；分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，可判断C选项；利用数列的单调性可判断B选项；利用分组求和法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可得，解得，A错； 对于C选项，由可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以，C对； 对于B选项，对任意的，，所以数列单调递增，故无最大值，B错； 对于D选项， ，D错. 故选：C. 4．（多选）（2025高二·全国·专题练习）记数列的前n项和为，且满足，．则（    ） A． B．是递增数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】先赋值求出，再利用累乘法求出数列的通项公式，即可判断A选项；通过的正负性判断B选项；举反例判断C选项；设，根据求出，或令，，先求出，再根据累加法求出，最后通过作差法判断D选项. 【详解】令，则由可得，则， 又，则， 因，则， 则当时， ， 上式对成立，所以，， 则，故A正确； 又，即，故B正确； 当时，不等式左边，而不等式右边， 因不成立，可知不恒成立，故C错误； 对于D，解法一：设，则 所以时，， 所以， 代入，得， 故， 解法二：令，， 则 ， 所以，，，则， 则当时， ， 当时，符合上式，故，， 则， 当时，， 因时，，，所以， 故恒成立，故D正确． 故选：ABD． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，则的通项公式_____． 【答案】 【分析】通过对递推公式相加、相减，分别构造出和为等比数列， 求出这两个数列的通项，再联立解出. 【详解】 ，则； 同理可得 ， 所以． 6．（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则__________. 【答案】 【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列的通项公式. 【详解】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 7．（25-26高二下·全国·课后作业）数列中，已知，依次计算出后，归纳、猜测得出的表达式为________. 【答案】 【分析】计算出数列的前几项，然后归纳猜想出表达式. 【详解】因为， 所以，猜测. 故答案为：. 8．（25-26高二下·全国·课堂例题）设数列满足．设，若数列的前n项和为，求n的最小值． 【答案】 【分析】由题意根据等差数列通项公式求法可得，进而可得，根据裂项相消法可得，结合题意列不等式计算即可求解. 【详解】由，得， 所以数列是公差为2，首项为的等差数列， 即．所以， 故，， 所以． 由，得，解得． 又，故的最小值为． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，则_____． 【答案】33552 【分析】利用斐波那契数列递推关系，推导平方项的裂项公式，累加抵消中间项，代入数列项计算得结果. 【详解】，则 ． 而，， 所以． 故答案为： 10．（25-26高二上·宁夏·期末）已知数列满足，且，则________________ 【答案】 【分析】用数列递推式推出数列是周期为3的周期数列，即可求解. 【详解】由题意得：，，， 所以数列是周期为3的周期数列，所以. 故答案为：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列求通项（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、观察法求通项公式 1 题型二、由n项和递推式求通项公式 2 题型三、由an与Sn关系求通项公式 4 题型四、累加法求通项公式 5 题型五、累乘法求通项公式 8 题型六、一次性/二次型/常数构造法求通项公式 9 题型七、指数型构造法求通项公式 10 题型八、不动点法构造分式型求通项公式 12 题型九、由连续三项的关系式求通项公式 13 题型十、倒数型关系式求通项公式 15 题型十一、周期性数列求通项公式 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、观察法求通项公式 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列前三项分别为，下列各式中，能作为数列的通项公式的有（   ） A． B． C． D． 题型二、由n项和递推式求通项公式 1．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 2．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列满足，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 题型三、由an与Sn关系求通项公式 1．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式_____. 2．（多选）（2026·山东泰安·一模）已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知正项数列的前项和为，且，则__________. 题型四、累加法求通项公式 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26高二上·江西·月考）已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二上·河南郑州·期末）数列满足，且对任意的都有，则（    ） A． B． C．数列的前100项和为 D．数列的前100项和为 题型五、累乘法求通项公式 1．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 2．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 题型六、一次性/二次型/常数构造法求通项公式 1．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 2．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 3．（25-26高二上·天津滨海新区·月考）已知数列的前项和为，且，则________ 题型七、指数型构造法求通项公式 1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 2．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，则_____． 题型八、不动点法构造分式型求通项公式 1．（2025高三·全国·专题练习）数列中，，那么_____． 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，则=______ 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 题型九、由连续三项的关系式求通项公式 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，则的通项公式为_____． 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为______. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 题型十、倒数型关系式求通项公式 1．（25-26高二上·全国·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 题型十一、周期性数列求通项公式 1．（2026·陕西榆林·二模）已知数列满足，则（    ） A．-1 B． C．2 D．3 2．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知数列中，，则数列前2026项的和为（   ） A．0 B．2026 C．2027 D．4054 3．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知数列满足，若，则__________. 1．（25-26高二上·河南洛阳·期末）已知数列满足，设，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）在正项数列中，，记，整数满足，则数列的前项和为___________． 3．（25-26高二上·湖北十堰·期末）数列中，，，前项和为，则下面正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D． 4．（多选）（2025高二·全国·专题练习）记数列的前n项和为，且满足，．则（    ） A． B．是递增数列 C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，则的通项公式_____． 6．（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则__________. 7．（25-26高二下·全国·课后作业）数列中，已知，依次计算出后，归纳、猜测得出的表达式为________. 8．（25-26高二下·全国·课堂例题）设数列满足．设，若数列的前n项和为，求n的最小值． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，则_____． 10．（25-26高二上·宁夏·期末）已知数列满足，且，则________________ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $