6.4.1平面几何中的向量方法巩固练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法巩固练习 一、单选题 1．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2．已知点，，，则下列结论正确的是（    ） A．三点共线 B． C．是锐角三角形的顶点 D．是钝角三角形的顶点 3．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 4．在四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知的三个顶点及平面内一点满足，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 7．四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 8．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 三、填空题 9．在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 10．如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为 .    四、解答题 11．如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 12．如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 13．在中，，，，分别为边、上的点，且，. (1)用向量方法求证：； (2)求. 14．如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.1平面几何中的向量方法巩固练习 一、单选题 1．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 2．已知点，，，则下列结论正确的是（    ） A．三点共线 B． C．是锐角三角形的顶点 D．是钝角三角形的顶点 【答案】D 【解析】由题意，求得，得到是钝角，即可得到答案. 【详解】由题意，点，，，所以， 显然,即A,B,C三点不共线；因为，所以是钝角. 故选：D. 3．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，，设， 则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：A 4．在四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】推出四边形为平行四边形，且，且平分，得到四边形为菱形，且，为等边三角形，，利用，两边平方得到. 【详解】因为，所以且， 故四边形为平行四边形， 设都是单位向量，且， 两边平方得，即， 所以，解得，故， 又均为单位向量，且，故， 即，且平分，故四边形为菱形，且， 故为等边三角形，，，两边平方得 ，故. 故选：A 5．已知的三个顶点及平面内一点满足，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】根据给定的向量等式，化简得出，可得是的重心. 【详解】在中，因，设为的中点， 而，，所以是靠近的三等分点， 则是的重心； 故选：C.    6．直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，分类讨论在边上运动时的取值范围，从而得解. 【详解】依题意，建立直角坐标系，如图，    则， 当在边上运动时，记， 则， 所以，则； 当在边上运动时，记， 则，所以，则； 当在边上运动时，记， 则， 所以，则； 综上：. 故选：A. 二、多选题 7．四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可. 【详解】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系,    因为四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、） 则，，，，设， 对于A，，，所以，故A选项正确； 对于B，，，， 由于，所以，解得，则为中点，故B选项正确； 对于C，，，则， 所以，则当时，的最小值为2，故C选项不正确； 对于D，当或时，的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 8．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】ABC 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出，把表示为，利用辅助角公式、三角函数求最值. 【详解】 如图示，建立平面直角坐标系. 设，可得：. 由可得：， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为， 结合选项可知，A，B，C中的数值符合， 故选：ABC 三、填空题 9．在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题建系，，分别求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式化简计算得到，结合，即可求得其最小值. 【详解】 如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 依题意，，设， 则， ， 由， 因，则当时，取得最小值为. 故答案为：. 10．如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为 .    【答案】 【分析】由A，P，D和B，P，E三点共线及平面向量基本定理即可得出. 【详解】由A，P，D三点共线，设，由得， 故， 由得，故，——① 再由B，P，E三点共线，设， 所以，即——② 由①②及向量与不共线，由平面向量基本定理，得，解得. 故得, 又，故，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 11．如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【分析】设，，根据平面向量共线定理证明即可． 【详解】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 12．如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为，所以， 所以， 所以，即，所以． 13．在中，，，，分别为边、上的点，且，. (1)用向量方法求证：； (2)求. 【分析】（1）要证，只需证. （2）由向量数量积的变形公式即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以， 因为，，所以， 所以， 即，所以. （2）由题意， ， 由勾股定理可得， 所以. 14．如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得:  ①， 又 即：  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2），由（1）可设点坐标为，则，，, 所以，，得，即． 又， 所以，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $