专题02 实数（专项训练，8大题型）数学新教材湘教版七年级下册

专题02 实数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求一个数的平方根及算术平方根 1 题型二、与算术平方根有关的规律性探索 2 题型三、无理数及其大小估算 2 题型四、求代数式的平方根及利用平方根解方程（常考点） 3 题型五、立方根及求立方根 3 题型六、算术平方根及立方根的综合应用（重点） 4 题型七、实数的分类与性质 4 题型八、新定义下的实数运算及实际应用（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求一个数的平方根及算术平方根 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）的平方根是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根的定义，掌握平方根、算术平方根的定义并认真审题是解题关键，先计算的值，再根据平方根的定义求解该结果的平方根即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴9的平方根是，即的平方根是． 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北沧州·期末）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根、相反数等知识点，理解相关定义是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义及相反数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：∵正数的平方根有两个，且互为相反数，10是正数， ∴10的平方根是，①说法正确； ∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴“负数和零没有立方根”的说法错误，②说法错误； ∵互为相反数的两个数和为0，， ∴的相反数是，③说法正确． ∵算术平方根是一个非负数的正的平方根，， ∴16的算术平方根是4，④说法正确． ∵， ∴0.008的立方根是0.2，⑤说法正确． 综上，正确的说法有①③④⑤，共4个． 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若9的两个平方根是m和n，则的值是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，正数的平方根互为相反数即可求解． 【详解】解：∵9的两个平方根是m和n， ∴，， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则的平方根是___． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性．算术平方根和绝对值都大于等于零，它们的和为零则每个都为零，从而求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 则， 其平方根为±． 5．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若正数a的一个平方根是5，则它的另一个平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的知识．根据正数的平方根有两个，它们互为相反数进行解答即可． 【详解】解：若一个正数的一个平方根是5，则它的另一个平方根是． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若是关于的一元一次方程． (1)求________； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，平方根，熟练掌握相关定义，准确计算为解题关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，，即可得出答案； （2）将代入式子求出结果，再求平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 又， ， ； （2）解：， ， ． 题型二、与算术平方根有关的规律性探索 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算，通过寻找与30相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定其范围. 【详解】解：∵， ∴数据30的算术平方根在5~6之间. 8．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知一些数的平方如下表所示，则无理数的大小在（   ）         6.8121 6.8644 6.9169 6.9696 7.0225 7.0756 7.1289 A．2.61与2.64之间 B．2.64与2.65之间 C．2.65与2.66之间 D．2.65与2.67之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据表格中的数据找到7在哪2个数的平方之间即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴ 即的大小在2.64与2.65之间， 故选：B． 9．（24-25七年级下·重庆·月考）估算的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题主要考查学生对无理数估算的能力，需要结合平方运算与平方根的关系进行判断． 估算的范围，再计算的值． 【详解】解：，， ， ， ， 的值在3和4之间． 故答案选：A． 10．（24-25七年级下·北京·开学考试）若与互为相反数，则的值是________． 【答案】5 【分析】根据非负数的性质结合相反数的定义求出a、b的值，再代入代数式计算即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴． 11．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）若m为正整数，且满足，的值是_____ 【答案】16 【分析】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键． 通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答． 【详解】解：∵ ， ，且， ∴， ∵ ∴，即． 故答案为：16． 12．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知，则___________ 【答案】 【分析】将转化为的形式，利用算术平方根的乘积运算性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）观察表格： 按表中规律，已知，则_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵， ∴； 故答案为：． 14．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如果，，那么的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质．根据被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点就移动一位，即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为： 题型三、无理数及其大小估算 15．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下列实数：，，，（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，无理数是无限不循环小数，据此对每个实数逐一判断即可． 【详解】是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数， 是有限小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， ∵是无理数， ∴是无限不循环小数，属于无理数， ，2是整数，属于有理数 0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）是无限不循环小数，属于无理数， ∴无理数共有3个． 故选：C． 16．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列实数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的判断，根据无理数是无限不循环小数，依据定义判断各选项即可，掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键。 【详解】解：∵有理数包含整数、有限小数、无限循环小数（分数）， ∴、是整数，属于有理数，不符合题意； 、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 、是有限小数，属于有理数，不符合题意； 、是分数，属于有理数，不符合题意； 故选：． 17．（24-25七年级下·山东威海·期末）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【分析】先估算和的取值范围，确定符合条件的正整数的最小值与的取值，再计算的最小值． 【详解】解：∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴的最小值为3， ∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴， ∴的最小值为． 18．（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列实数中，大于3且小于4的无理数是（    ） A． B．3.5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟知有理数和无理数的定义．本题需先明确无理数的定义，再逐一判断各选项是否满足“大于3且小于4”的条件． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， 又∵，，满足大于3且小于4的无理数要求， ∵3.5是有限小数，属于有理数，不符合无理数条件， ∵，不满足小于4的条件， ∵是负数，小于3，不满足大于3的条件， ∴符合要求的是选项A， 故选：A 19．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）实数x满足，则下列整数中与x最接近的是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算．先估算x介于哪两个相邻的整数之间，再进一步地估算x最接近哪一个整数即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 又∵，且， ∴， ∴与x最接近的整数是5， 故选：B． 20．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则正整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定的取值范围，再得到的取值范围，进而求出正整数的值即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 又∵，且为正整数， ∴， 故选：． 21．（24-25七年级下·江苏南京·月考）的值介于（   ） A．30与35之间 B．35与40之间 C．40与45之间 D．45与50之间 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算．利用夹逼法进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故的值介于45与50之间； 故选D． 22．（24-25七年级下·广东深圳·月考）有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______． 【答案】，， 【分析】根据无理数的定义：无限不循环的小数是无理数即可判断． 【详解】解：， 、、、、、0、中，无理数有，，． 23．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若有理数a满足，则a的值可为__________．（写出一个即可） 【答案】1.5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查无理数的估算，根据题意可得，得到可以为2.25，即，进而求出a的值． 【详解】解：∵a为有理数， ∴为有理数， ， ∴， ∴可以为2.25，即， ∴， ∴a的值可为1.5． 故答案为：1.5（答案不唯一）． 题型四、求代数式的平方根及利用平方根解方程（常考点） 24．（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的计算，利用正数的两个不同的平方根互为相反数的性质，先求出a的值，再计算m的值． 【详解】解：正数的两个不同的平方根是与， ∴， 解得， 将代入，得， ∵是该平方根的平方， ∴． 故选：D． 25．（24-25七年级下·河南周口·期中）若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 26．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 27．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 28．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为_____ ． 【答案】1 【分析】根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列式计算． 【详解】解：由题意得：， ∴． 29．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义及性质，关键是掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”这一核心知识点．先利用两个平方根互为相反数的性质列出关于的方程，求解得到的值；再代入平方根的表达式求出正的平方根，即为该正数的算术平方根． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数的算术平方根是7； 故答案为：． 30．（24-25七年级下·山东聊城·期末）一个正数的平方根是与，则这个正数等于_____． 【答案】 【分析】本题考查平方根，解题的关键是理解平方根的概念：一个正数的平方根有两个且互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．据此列出方程求出的值，可得答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴和互为相反数， ∴， 解得：， ∴，， ∴这个正数为：． 故答案为：． 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 32．（24-25七年级下·江苏南京·月考）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了平方根解方程． （1）先移项合并同类项，再两边同时除以2，开平方求解即可； （2）先计算算术平方根，再开平方求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：或； （2）解：， ， ， ， ， 解得：或． 题型五、立方根及求立方根 33．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在下列结论中，正确的是（    ） A． B．是的一个平方根 C．一定没有平方根 D．的立方根是4 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，需根据算术平方根的定义（非负性）、立方根的定义和平方根的性质判断每个选项． 【详解】解：选项A，∵，算术平方根结果非负，∴A错误； 选项B，∵，∴是的一个平方根，∴B正确； 选项C，∵当时，，有平方根，∴C错误； 选项D，∵，而的立方根为，∴D错误； 故选：B． 34．（24-25七年级下·河南周口·月考）立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，需根据立方根的定义找出立方根等于自身的数． 【详解】解：∵， ∴0的立方根是0，即0的立方根等于它本身． ∵， ∴1的立方根是1，即1的立方根等于它本身． ∵， ∴的立方根是，即的立方根等于它本身． 综上，立方根等于它本身的数是0或， 故选：D． 35．（24-25七年级下·山东淄博·期末）下列说法错误的是（   ） A．是有理数 B．是无理数 C．不是分数 D．的平方根是 【答案】D 【分析】本题考查了有理数、无理数、平方根和立方根的概念．通过计算和定义判断各选项正误，即可作答． 【详解】解：A、，是整数，是有理数，故该选项不符合题意； B、是无理数，故该选项不符合题意； C、是无理数，不是分数，故该选项不符合题意； D、的平方根是，不是，故该选项符合题意； 故选：D 36．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 37．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下列实数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，有理数包含整数与分数，无理数是无限不循环小数，据此对各选项判断即可． 【详解】解：是无理数，和是开方开不尽的数，属于无理数， 是分数，属于有理数，只有选项B符合题意． 38．（24-25七年级下·海南海口·期末）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故不符合题意； B．是整数，属于有理数，故不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故不符合题意； D．是无理数，故符合题意． 故选：D． 39．（24-25七年级下·山东淄博·期末）的立方根是_____，的平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的求解，算术平方根、平方根的求解．根据立方根，平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， 则的平方根是， 故答案为：，． 40．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）（1）若，，求的值； （2）a是的立方根，b是的算术平方根，求的立方根． 【答案】（1）4或，（2） 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的相关概念及运算． （1）先计算的值，再由得出n的值，确定m和n的可能取值，再枚举所有m和n的组合，分别计算的结果； （2）先根据立方根的定义求出a的值，再计算的值，求其算术平方根得到b的值，进而计算的值，最后求得的立方根． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 当，时，； 当，时，， ∴的值为4或； （2）∵a是的立方根，b是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴． 题型六、算术平方根及立方根的综合应用（重点） 41．（24-25七年级下·浙江温州·期末）体积为立方分米的正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：体积为27立方分米的正方体的棱长为． 故选：A． 42．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根定义与性质，熟记平方根、立方根定义与性质是解决问题的关键．由平方根、立方根定义与性质逐一分析各选项的等式是否成立，即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 43．（24-25七年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 44．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根以及立方根的性质．根据算术平方根以及立方根的性质，先求出a和b的值，再计算的值，最后求其平方根，即可． 【详解】解：∵的算术方根是2，的立方根是0， ∴，， ∴， ∴的平方根为0． 故选：B 45．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 46．（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 47．（24-25七年级下·河北沧州·期末）一个正方体水槽的体积为，则该正方体水槽的棱长是______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据正方体体积公式，棱长的立方等于体积，求体积的立方根即可得到棱长． 【详解】解：∵正方体水槽的体积为， ∴该正方体水槽的棱长是． 故答案为：4． 48．（24-25七年级下·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用．根据题意求作的这个正方体的体积为2，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵已知正方体的棱长是1， ∴已知正方体的体积是， ∵求作的正方体的体积等于已知正方体的体积的2倍， ∴求作的这个正方体的体积为， ∴求作的这个正方体的棱长为． 故答案为：． 49．（24-25七年级下·北京·月考）正整数、分别满足、，则___________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算、代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，正确得到值是解答的关键．根据立方根和算术平方根的概念进行估算，从而代入求解． 【详解】解：∵，，，， 又∵，是正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 50．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 题型七、实数的分类与性质 51．（24-25七年级下·四川眉山·期末）下列各数：，，，，，．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，需先排除实数范围内无意义的数，再根据无理数（无限不循环小数）的定义逐一判断即可． 识别无理数时，需先排除非实数，再紧扣“无限不循环小数”的定义判断，注意分数和有限小数都属于有理数． 【详解】解：∵的被开方数为负数，在实数范围内无意义，不属于实数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是分数、是有限小数，均为有理数； ∴无理数共有3个， 故选：C． 52．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列各数中，不是无理数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数是无限不循环小数这一核心概念． 逐一分析各选项，判断其是否为无限不循环小数；、、均为无限不循环小数，是无理数；是有限小数，属于有理数，不是无理数． 【详解】解：A、是无限不循环小数，是无理数，此选项不符合题意； B、是无限不循环小数，故也是无限不循环小数，是无理数，此选项不符合题意； C、，是有限小数，属于有理数，不是无理数，此选项符合题意； D、是无限不循环小数，是无理数，此选项不符合题意． 故选：． 53．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，数轴上点N表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得点N表示的数大于3且小于4，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，点N表示的数大于3且小于4， ∵， ∴， ∴点N表示的数可能是． 54．（24-25七年级下·安徽六安·期末）数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数，即可解答． 【详解】解：∵数轴上表示1，的点分别为A，B， ∴线段的长为． 55．（24-25七年级下·山东临沂·期末）数轴上、两点所对应的实数分别为2，5，点是线段的中点，则点所对应的实数为________． 【答案】 【分析】数轴上，若点是线段的中点，则对应的实数等于、对应实数的平均数．先设出点对应的实数，再根据中点性质列出方程，最后解方程求出点对应的实数． 【详解】解：设点所对应的实数为． ∵点是线段的中点，且、对应的实数分别为、， ∴根据中点性质可得：． 解得． 即点所对应的实数为． 56．（24-25七年级下·陕西西安·月考）设实数满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加减．根据题意可得，，从而得到，，可求出a的值，即可求解． 【详解】解：∵，且任意两数之和中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为： 57．（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用乘法分配律简便运算即可； （2）先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，再进行加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型八、新定义下的实数运算及实际应用（难点） 58．（24-25七年级下·河南郑州·期末）实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值. 【详解】解：∵ ∴ 即不等式两边同时加3，得，即 ∵在整数与之间 ∴ 故选：A. 59．（24-25七年级下·山西临汾·期末）有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． 60．（24-25七年级下·浙江台州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 61．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是_________．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为_________． 【答案】 或或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数． 【详解】（1）当值为时，取算术平方根得，取立方根得，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为； （2）因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值， 因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 62．（24-25七年级下·江苏南通·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先根据二次根式乘法法则计算第一项，化简第二项的二次根式，再根据零指数幂的定义计算第三项，最后合并同类二次根式并计算常数项． （2）分别利用完全平方公式和平方差公式展开多项式，去括号后合并同类项得到最终结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 63．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据立方根和算术平方根的意义计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 64．（24-25七年级下·河南许昌·期末）对于任意实数，我们规定：，．例如：，． (1)填空：①________；②若，则________；③若，则________0．（填“>”，“<”或“=”） (2)若，且，求与的值． 【答案】(1)①13②4③= (2)； 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义，结合完全平方公式求解即可． 【详解】（1）①解：； ②解：，，解得； ③解：，，，，则． （2）解： ， 即， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正数的平方根有两个且互为相反数，根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．（24-25七年级下·山东烟台·期末）下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根以及算术平方根的定义．分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项． 【详解】解：A、是25的平方根，说法正确，该选项不符合题意； B．，则的算术平方根是2，说法正确，该选项不符合题意； C、的平方根是，故原说法错误，该选项符合题意； D、，说法正确，该选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26七年级下·山东泰安·期末）估计的值在（    ） A．3与4之间 B．1与3之间 C．1与2之间 D．2与3之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，通过找到与13相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再利用不等式的性质计算出的取值范围即可． 【详解】解：∵ ∴ 即 不等式两边同时减2，得 ∴ 故的值在1与2之间， 故选C． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）公元前五世纪，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现新数无法表示为整数之比，打破了“万物皆数(有理数)”的学派信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在(   ) A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，利用算术平方根的性质，通过计算选项中各小数的平方，与2比较大小，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵， 又∵ ∴ 故的值在和之间， 故选：C． 5．（24-25七年级下·河北邢台·月考）图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的应用、无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求出图1和图2中大正方形和小正方形的边长，进而得到的范围，根据，逐项判断即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 根据图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4， 则图1中大正方形的边长为，小正方形的边长为， 此时， 根据图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1， 则图2中大正方形的边长为，小正方形的边长为1， 此时， 取交集得：， 由于，则， 选项A、，则，不符合题意； 选项B、，则，符合题意； 选项C、，则取不到，不符合题意； 选项D、，不符合题意； 故选：B． 6．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）小红开发一种实数数值转换器，原理如图所示，当输出的值为1时，输入x、y的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解及题中所给新定义运算是解题的关键；根据题中所给数值转换器可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴当时，则； 故选B． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据无理数的取值范围判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示实数的点可能是点B． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在数轴上，点A表示实数a，则下列各式中结果小于1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，相反数的含义，绝对值的含义，实数的加减运算，掌握以上基础知识是解本题的关键．由题意得：再利用相反数与绝对值的含义，实数的加减运算逐一分析判断即可． 【详解】解：由题意得：， ，，，， ∴结果小于1的是，故C符合题意，A，B，D不符合题意． 故选：C． 二、填空题 9．（24-25七年级下·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 10．（24-25七年级下·江苏·期末）若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 【答案】± 【分析】本题考查了算术平方根和平方根． 根据“算术平方根是指一个正数的正的平方根”即可求解． 【详解】解：∵一个正数的算术平方根是， ∴这个正数是， 故这个正数的平方根是． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·河南南阳·期末）的平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方，再求平方根即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）已知多项式是五次三项式，则a的平方根为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的相关概念，求一个数的平方根，解题的关键是掌握多项式和平方根． 根据多项式的次数求出的值，然后再求平方根即可． 【详解】解：多项式的三项分别为：，次数为； ，次数为； ，次数为； 由于多项式是五次式，最高次项的次数必须为5，因此第二项的次数， 解得， ∴a的平方根为， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·广东深圳·期末）若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，解二元一次方程组，根据绝对值和算术平方根的非负性，列出方程组并求解． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ， ， 即 ， 得：， 即 ， ∴ ． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·山西长治·期中）规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，涉及算术平方根和取整运算，根据定义，逐步计算2025的算术平方根并取整，直到结果为1． 【详解】解：对2025进行操作： 第一次操作，； 第二次操作，； 第三次操作，； 第四次操作，， 故进行了4次操作后变为1， 故答案为：4． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）任意写出两个大于 6 小于 7 的无理数 __________ ． 【答案】 ，（答案不唯一） 【分析】本题考查的是无理数的概念、实数的大小比较，掌握实数的大小比较法则、无理数的概念是解题的关键． 根据算术平方根的性质，把6和7表示成带根号的数，只需在介于这两个被开方数之间写出两个即可． 【详解】解：，， 且，， 和都是大于6小于7的无理数． 故答案为，（答案不唯一）． 16．（24-25七年级下·四川成都·月考）若，则的立方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，得到，进而得到的值，求出的值，再求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． ∴， ∴， ∴的立方根为：． 故答案为： ． 17．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）的平方根是，的立方根是2，则_______． 【答案】13 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义． 根据平方根和立方根的定义，求出a和b的值，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 解得， 则． 故答案为：13． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）的倒数是 ； 故答案为：； （2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于， ∴； 故答案为：； （3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为； 故答案为：，，． 三、解答题 19．（24-25七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 20．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知，则可得出，，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出，，或，．的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解： （2）解：因为，则，， 所以 （3）解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，，或，． ①当，时，， 所以无平方根． ③当，时，， 所以的平方根为． 综上，的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，平方根，解题的关键是能够正确得到、的值． （1）根据，可得，即可得出整数部分，从而得出其小数部分． （2）根据，可得，，即可得出两者的整数部分和小数部分，结合题意可得，，最后代入中，直接开平方即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是，的整数部分是，小数部分是． ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ． ∵， ∴， 解得，． 故满足条件的的值为或． 22．（24-25七年级下·河北衡水·期末）已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的概念，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． （1）正数的两个平方根互为相反数，构造方程并求解即可； （2）使用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得； （2）解：将代入方程，得， ， 两边开方，得， 解得，． 23．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）求下列各式中的 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】平方根的定义：若，则；立方根的定义:若，则． 【详解】（1）解： ， ∴或 ； （2）解：， ， ， ∴． 24．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了立方根和平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根的求法是关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先求出代数式的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， 解得：； （2）解：， ∴的平方根是． 25．（24-25七年级下·山东青岛·月考）对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规律请你计算______； (2)按照这个规定请你计算，当时，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（）按照给出的方法进行计算即可； （）按照给的方法进行整理后，再整体代入进行求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：, ∵, ∴原式， 故的值为． 26．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 27．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值； （2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】（1）10或26（2） 【分析】本题考查的是相反数，倒数，平方根的含义，无理数的整数部分与小数部分的含义． （1）先求解，，，再进一步代入计算即可． （2）先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1） 由题意可得：，，， 原式 当时，原式； 当时，原式． （2）∵， ∴整数部分为4， ∴； ∵， ∴整数部分为3， ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求一个数的平方根及算术平方根 1 题型二、与算术平方根有关的规律性探索 2 题型三、无理数及其大小估算 2 题型四、求代数式的平方根及利用平方根解方程（常考点） 3 题型五、立方根及求立方根 3 题型六、算术平方根及立方根的综合应用（重点） 4 题型七、实数的分类与性质 4 题型八、新定义下的实数运算及实际应用（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求一个数的平方根及算术平方根 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）的平方根是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北沧州·期末）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若9的两个平方根是m和n，则的值是______ ． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则的平方根是___． 5．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若正数a的一个平方根是5，则它的另一个平方根是______． 6．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若是关于的一元一次方程． (1)求________； (2)求的平方根． 题型二、与算术平方根有关的规律性探索 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 8．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知一些数的平方如下表所示，则无理数的大小在（   ）         6.8121 6.8644 6.9169 6.9696 7.0225 7.0756 7.1289 A．2.61与2.64之间 B．2.64与2.65之间 C．2.65与2.66之间 D．2.65与2.67之间 9．（24-25七年级下·重庆·月考）估算的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 10．（24-25七年级下·北京·开学考试）若与互为相反数，则的值是________． 11．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）若m为正整数，且满足，的值是_____ 12．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知，则___________ 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）观察表格： 按表中规律，已知，则_____． 14．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如果，，那么的值是__________． 题型三、无理数及其大小估算 15．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下列实数：，，，（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列实数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·山东威海·期末）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 18．（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列实数中，大于3且小于4的无理数是（    ） A． B．3.5 C． D． 19．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）实数x满足，则下列整数中与x最接近的是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 20．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则正整数的值为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·江苏南京·月考）的值介于（   ） A．30与35之间 B．35与40之间 C．40与45之间 D．45与50之间 22．（24-25七年级下·广东深圳·月考）有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______． 23．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若有理数a满足，则a的值可为__________．（写出一个即可） 题型四、求代数式的平方根及利用平方根解方程（常考点） 24．（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 25．（24-25七年级下·河南周口·期中）若，则__________． 26．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 27．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 28．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为_____ ． 29．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______． 30．（24-25七年级下·山东聊城·期末）一个正数的平方根是与，则这个正数等于_____． 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 32．（24-25七年级下·江苏南京·月考）解方程 (1)； (2)． 题型五、立方根及求立方根 33．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在下列结论中，正确的是（    ） A． B．是的一个平方根 C．一定没有平方根 D．的立方根是4 34．（24-25七年级下·河南周口·月考）立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 35．（24-25七年级下·山东淄博·期末）下列说法错误的是（   ） A．是有理数 B．是无理数 C．不是分数 D．的平方根是 36．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 37．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下列实数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·海南海口·期末）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C． D． 39．（24-25七年级下·山东淄博·期末）的立方根是_____，的平方根是______． 40．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）（1）若，，求的值； （2）a是的立方根，b是的算术平方根，求的立方根． 题型六、算术平方根及立方根的综合应用（重点） 41．（24-25七年级下·浙江温州·期末）体积为立方分米的正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 42．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25七年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 44．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 45．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 46．（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·河北沧州·期末）一个正方体水槽的体积为，则该正方体水槽的棱长是______． 48．（24-25七年级下·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 49．（24-25七年级下·北京·月考）正整数、分别满足、，则___________． 50．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 题型七、实数的分类与性质 51．（24-25七年级下·四川眉山·期末）下列各数：，，，，，．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 52．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列各数中，不是无理数的是（  ） A． B． C． D． 53．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，数轴上点N表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 54．（24-25七年级下·安徽六安·期末）数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 55．（24-25七年级下·山东临沂·期末）数轴上、两点所对应的实数分别为2，5，点是线段的中点，则点所对应的实数为________． 56．（24-25七年级下·陕西西安·月考）设实数满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则______． 57．（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算 (1)； (2)． 题型八、新定义下的实数运算及实际应用（难点） 58．（24-25七年级下·河南郑州·期末）实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 59．（24-25七年级下·山西临汾·期末）有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 60．（24-25七年级下·浙江台州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 61．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是_________．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为_________． 62．（24-25七年级下·江苏南通·期末）计算： (1)； (2)． 63．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）计算： (1) (2) 64．（24-25七年级下·河南许昌·期末）对于任意实数，我们规定：，．例如：，． (1)填空：①________；②若，则________；③若，则________0．（填“>”，“<”或“=”） (2)若，且，求与的值． 一、单选题 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）的平方根是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东烟台·期末）下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 3．（25-26七年级下·山东泰安·期末）估计的值在（    ） A．3与4之间 B．1与3之间 C．1与2之间 D．2与3之间 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）公元前五世纪，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现新数无法表示为整数之比，打破了“万物皆数(有理数)”的学派信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在(   ) A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．（24-25七年级下·河北邢台·月考）图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）小红开发一种实数数值转换器，原理如图所示，当输出的值为1时，输入x、y的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在数轴上，点A表示实数a，则下列各式中结果小于1的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 10．（24-25七年级下·江苏·期末）若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 11．（24-25七年级下·河南南阳·期末）的平方根是________． 12．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）已知多项式是五次三项式，则a的平方根为______． 13．（24-25七年级下·广东深圳·期末）若，则的值为________． 14．（24-25七年级下·山西长治·期中）规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）任意写出两个大于 6 小于 7 的无理数 __________ ． 16．（24-25七年级下·四川成都·月考）若，则的立方根是__________． 17．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）的平方根是，的立方根是2，则_______． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 三、解答题 19．（24-25七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 20．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 22．（24-25七年级下·河北衡水·期末）已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 23．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）求下列各式中的 (1)； (2)． 24．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 25．（24-25七年级下·山东青岛·月考）对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规律请你计算______； (2)按照这个规定请你计算，当时，求的值． 26．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 27．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值； （2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $