第2章 实数（复习讲义）数学新教材湘教版七年级下册

第二章 实数（复习讲义） 本讲义聚焦实数这一核心知识点，从有理数概念延伸，系统梳理无理数的定义及常见形式，实数的分类标准，实数与数轴的一一对应关系，以及实数的相反数、倒数、绝对值等性质，还有实数的运算规则和大小比较方法，为学生构建从有理数到实数的完整知识支架。资料亮点在于设计典型题型，含例及变式训练，覆盖概念理解、估算、实际应用及规律探究等。通过无理数估算培养抽象能力，实数与数轴结合提升几何直观，新定义运算发展推理意识。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺，助力分层教学与学生自主提升。 一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 三、平方根的性质 四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 题型一 平方根与算术平方根 【例1】下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 【变式1-1】下列说法不正确的是（    ） A．8是64的算术平方根 B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【变式1-2】若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 题型二 无理数及其估算 【例1】下列四个实数9、、、中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】若a，b均为整数，且，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-2】已知，则 ． 题型三 利用平方根解方程 【例1】若，则 ． 【变式3-1】方程的解是 ． 【变式3-2】求下列各式中的值． (1)； (2)． 题型四 算术平方根的实际应用 【例1】一个正方形的面积是5，估计它的边长大小在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【变式4-1】面积是23平方米的正方形，估算它的边长约是 米（精确到1米）． 【变式4-2】已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 题型五 立方根及其应用 【例1】式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【变式5-1】若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【变式5-2】解方程： (1)； (2)． 题型六 实数的分类与性质 【例1】下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 【变式6-1】的相反数是 ． 【变式6-2】如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 题型七 实数的混合运算 【例1】计算： (1)； (2)． 【变式7-1】计算： (1) (2)先化简，再求值：，其中， 【变式7-2】计算： 题型八 实数的应用与规律性问题 【例1】已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【变式8-1】对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则 ． 【变式8-2】则 ． 基础巩固通关测 1．若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 2． 4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．实数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 5．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 6．已知为相邻整数，且，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 7．给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．的值是（   ） A． B． C． D． 9．若的算术平方根是5，则 ． 10．在数，，，，，， 中，无理数共有 个． 11．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 12．已知n是正整数，且，则n的值为 13．若有意义，则x的取值范围是 ． 14．立方根等于的实数是 ． 15．解方程： (1)． (2)． 16．把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 17．如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 18．已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 19．计算： (1)． (2)． 20．已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 能力提升进阶练 1．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．3 2．估计的值应在（    ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 3．若a，b均为整数，且，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知一个边长为的正方形，面积是，则a的大小在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 5．已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 6．若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 7．写出一个比大，比小的有理数 ． 8．如果和互为相反数，那么的立方根是 ． 9．（1）在中，被开方数是非负数，即 0； （2）本身是非负数，即 0． 10．已知表示不大于的最大整数，例如．现对69进行如下操作： （1）对28进行一次操作后变为 ． （2）若正整数进行3次操作后变为2，的最大值为 ． 11．如果，，那么 ． 12．（1）求下列式中x的值：．   （2）计算：． 13．解方程：． 14．阅读材料： 对于任意正整数n，因为，所以．两边同时开平方，可得． 根据以上材料，解答下列问题： (1)①______3，______4，_____5；（填“”，“”，“”） ②的整数部分是______；的整数部分是______． (2)比较与2025的大小，并说明理由； (3)若（为正整数），求x的值． 15． （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 16．如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为． (1)实数的值为______； (2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根． 17．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 18．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中， 19．阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数（复习讲义） 本讲义聚焦实数这一核心知识点，从有理数概念延伸，系统梳理无理数的定义及常见形式，实数的分类标准，实数与数轴的一一对应关系，以及实数的相反数、倒数、绝对值等性质，还有实数的运算规则和大小比较方法，为学生构建从有理数到实数的完整知识支架。资料亮点在于设计典型题型，含例及变式训练，覆盖概念理解、估算、实际应用及规律探究等。通过无理数估算培养抽象能力，实数与数轴结合提升几何直观，新定义运算发展推理意识。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺，助力分层教学与学生自主提升。 一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 三、平方根的性质 四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 题型一 平方根与算术平方根 【例1】下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方根和算术平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，正数有两个平方根，的平方根是，负数没有实数平方根，逐一判断即可. 【详解】解：A、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； B、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； C、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； D、负数在实数范围内无平方根，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列说法不正确的是（    ） A．8是64的算术平方根 B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念，理解相关概念是解题的关键． 根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断各选项的正确性． 【详解】解：A、的算术平方根是，正确，不符合题意； B、的平方根是，是其中一个平方根，正确，不符合题意； C、，36的平方根是，选项说平方根是不全面，错误，符合题意； D、，的平方根是，正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根的性质，利用正数的两个平方根互为相反数列方程求解是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解，即可得这个正数的平方根，将其中一个平方根平方，即可得出． 【详解】解：由题意，得 ， 化简得 ， 解得 ， 则一个平方根为 ，另一个平方根为 ， 故这个正数为 ． 故答案为：． 题型二 无理数及其估算 【例1】下列四个实数9、、、中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，掌握其定义是解题的关键． 根据无理数的定义解题即可． 【详解】解： 9是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ∴ 无理数有2个． 故选：B． 【变式2-1】若a，b均为整数，且，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了开平方和开立方，熟练掌握开平方和开立方是解题的关键． 根据条件，a 是大于 的最小整数，b 是大于 的最小整数，分别求出 a 和 b 后相加即可． 【详解】解：，， ，即 又∵ a 为整数， ∴ 的最小值为． ∵ ， ∴ ， 又∵为整数， ∴的最小值为． ∴ 的最小值为 ． 故选：C． 【变式2-2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算、绝对值的性质以及整式的加减运算．根据绝对值的几何意义，由和，可知在和之间，因此，，求和后化简为常数即可解答． 【详解】因为，且由和，所以， 故，， 于是， 故答案为：． 题型三 利用平方根解方程 【例1】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个且互为相反数是解题的关键． 本题需要根据平方根的定义求解． 【详解】解：方程 两边开平方，得 ，即 ． 故答案为：． 【变式3-1】方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键． 直接运用平方根解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，解得：， 当时，解得：． 综上，，． 故答案为：， 【变式3-2】求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答； （2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答． 【详解】（1）解：移项，得． 两边都除以，得． 由平方根的定义，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 由平方根的定义，得， 即或． 题型四 算术平方根的实际应用 【例1】一个正方形的面积是5，估计它的边长大小在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，无理数的估算，根据正方形的面积公式求出边长，夹逼法求出无理数的范围即可． 【详解】解：∵正方形的面积是5， ∴它的边长为， ∵， ∴； ∴它的边长大小在2与3之间； 故选A． 【变式4-1】面积是23平方米的正方形，估算它的边长约是 米（精确到1米）． 【答案】5 【分析】本题考查算术平方根的应用，无理数的估算． 根据题意，得到正方形边长为，然后进行估算即可． 【详解】解：∵ ∴ 即边长约是5米． 故答案为：5． 【变式4-2】已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、算术平方根的定义及求法，熟记平方根相关定义及求法是解决问题的关键． 由题意，通过平方根、算术平方根定义列方程得到的值，代入代数式求值，再求平方根即可得到答案． 【详解】解：已知的平方根是， ， 则； 的算术平方根是， ， 则； ， 则的平方根为． 题型五 立方根及其应用 【例1】式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 【变式5-1】若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式5-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查根据平方根和立方根解方程； （1）先得到，再根据平方根的性质求解即可； （2）先得到，再根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， 开平方得：， 解得：，． （2）解：， 方程两边同除以8得：， 移项，合并同类项得： ∴． 题型六 实数的分类与性质 【例1】下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的定义性质，根据实数的定义和性质，判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A、0没有倒数，故A错误； B、实数由有理数和无理数组成，故B正确； C、负数没有平方根，故C错误； D、0既不是正实数也不是负实数，故D错误， 故选：B． 【变式6-1】的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 【变式6-2】如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是能估算无理数的大小． 分别估算三个数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，， 被墨迹覆盖的数是， 故答案为：． 题型七 实数的混合运算 【例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、立方根，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先根据有理数的乘方、算术平方根、立方根的性质化简，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-1】计算： (1) (2)先化简，再求值：，其中， 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了含乘方的实数混合运算，包括绝对值的化简，求一个数的算术平方根和立方根，整式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用乘方运算，绝对值的化简，求一个数的算术平方根和立方根的运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式先对整式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当，时， 原式． 【变式7-2】计算： 【答案】1 【分析】本题考查乘方运算，算术平方根，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算乘方运算，算术平方根和绝对值里面的运算，然后化简绝对值，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 题型八 实数的应用与规律性问题 【例1】已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 【变式8-1】对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据新定义的运算规则，先计算内层运算 ，再计算外层运算即可． 【详解】解：首先计算 ， 然后计算 ， 故答案为：． 【变式8-2】则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先把每一项利用平方差公式因式分解，进一步约分化简再计算.此题重点考查学生对数字类规律的探索能力，会化简寻找规律是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴, ∴, 则． 故答案为：． 基础巩固通关测 1．若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根是解题的关键． 由 可得 x 的值，代入 求值，再求其平方根. 【详解】解：∵ ， ∴ . 当时，，的平方根为； 当时，，的平方根为. ∴的平方根是或. 故选：C． 2． 4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数求解即可；本题主要考查了求一个数的平方根，熟练掌握“一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴4的平方根是； 故选：D． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 根据算术平方根的定义和性质，直接计算每个等式的值，判断是否正确即可． 【详解】解：A、∵ ， ∴ ，故该选项说法正确，符合题意； B、∵，， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵， ∴在实数范围内无意义，故该选项说法错误，不符合题意； D、∵，， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 4．实数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 根据相反数的含义以及求法，在实数的前边加上“”，求出实数的相反数即可． 【详解】解： 的相反数为，   故选： A． 5．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 6．已知为相邻整数，且，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为相邻整数，且， ∴， 故选：A． 7．给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义与计算，掌握通过计算立方值来验证立方根的正确性是解题的关键． 逐一验证每个立方根表达式是否正确． 【详解】解：对于第一个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第二个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第三个：∵ ，∴ ，错误； 对于第四个：∵ ，∴ ，∴ 错误； 综上，正确的个数为． 故选：B． 8．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解决此题的关键．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 9．若的算术平方根是5，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义，由的算术平方根是，可得，解方程即可求出． 【详解】解：∵ 的算术平方根是， ∴ ， 解得． 故答案为：． 10．在数，，，，，， 中，无理数共有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：在数，，，，，， 中， 无理数有：，，共2个， 故答案为：2． 11．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 12．已知n是正整数，且，则n的值为 【答案】9 【分析】本题考查了无理数的估算． 估算数值，即可估算的值，然后根据，确定正整数的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：9． 13．若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 14．立方根等于的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据立方根的定义，若一个实数的立方根为 ，则该实数为 ，计算可得结果． 【详解】解：∵， ∴立方根等于的实数是． 故答案为 ． 15．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）（2）根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由得， ∴， 解得，． （2）解：由得， ∴， 解得，． 16．把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、正实数、负实数的定义是解题的关键． 先化简表达式如和，再根据数的特性分类：有理数包括整数、有限小数和循环小数；无理数包括无限不循环小数和不能表示为分数的数；正实数为大于的实数；负实数为小于的实数。既不是正数也不是负数，可得答案． 【详解】解：首先化简：，；是无理数，因为不是完全立方数；是循环小数，属于有理数；（相邻的两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数； 有理数集合：{，，，，，}； 无理数集合：{，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 正实数集合：{，，，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 负实数集合：{，，}． 17．如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的算术平方根是3． 【分析】（1）根据A点表示的数及平移的方向与距离，列出算式求出B点表示的数； （2）先根据绝对值、算术平方根的非负性，求出c、d，再代入，求出的算术平方根． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根是， 即的算术平方根是3． 【点睛】本题考查了绝对值非负性，求一个数的算术平方根，利用算术平方根的非负性解题，实数与数轴，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 18．已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的平方根是，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3． ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 19．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）根据立方根、幂的运算、绝对值的意义逐项化简，再按运算顺序进行计算即可； （2）根据算术平方根、绝对值、立方根、幂的运算逐项化简，再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．利用算术平方根和立方根的定义列出方程，求出a和b的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意，∵的算术平方根为， ∴， 解得． 又∵的立方根为， ∴， 解得． ∴， ∴的立方根为． 能力提升进阶练 1．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据绝对值、平方及算术平方根的非负性可得，求出的值再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 2．估计的值应在（    ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数取值范围的估计，判断无理数在有理数之间的范围是解题的关键．首先通过估算的近似值，再确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴估计的值应在6到7之间． 故选：C． 3．若a，b均为整数，且，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了开平方和开立方，熟练掌握开平方和开立方是解题的关键． 根据条件，a 是大于 的最小整数，b 是大于 的最小整数，分别求出 a 和 b 后相加即可． 【详解】解：，， ，即 又∵ a 为整数， ∴ 的最小值为． ∵ ， ∴ ， 又∵为整数， ∴的最小值为． ∴ 的最小值为 ． 故选：C． 4．已知一个边长为的正方形，面积是，则a的大小在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先根据正方形的面积公式计算边长，再利用夹逼法估算无理数的大小即可． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， 故选：D． 5．已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．利用立方根的性质，得，代入已知近似值计算． 【详解】解：∵， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 6．若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念理解，算术平方根的性质，实数的性质等知识点． 根据无理数和有理数的性质，有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定无理数（如乘以0）；无理数的平方不一定有理数；无理数的平方根不一定有意义或不一定无理数（如a为负数时无意义）． 【详解】解：∵ a 是无理数，b 是有理数， A：假设是有理数，则，由于有理数减有理数仍为有理数，故a为有理数，与已知矛盾，∴一定是无理数，A 正确； B：若，则为有理数，∴ B 错误； C：例如（无理数），则为无理数，∴ C 错误； D：若，则无实数意义；若，且为有理数，则为有理数，与已知矛盾，故为无理数，但由于 a 可能为负数，∴不一定是无理数，D 错误； 因此，正确答案为 A， 故选：A． 7．写出一个比大，比小的有理数 ． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的大小估算，通过估算和的近似值，选择一个介于两者之间的有理数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴2符合题意， 故答案为：2． 8．如果和互为相反数，那么的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查实数的性质，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据互为相反数的两个数和为0，结合算术平方根的非负性求出的值，进而求出的立方根即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：2． 9．（1）在中，被开方数是非负数，即 0； （2）本身是非负数，即 0． 【答案】 ≥ ≥ 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义，注意算术平方根的被开方数是非负数，算术平方根的值是非负数． （1）根据算术平方根的定义，被开方数必须是非负数进行求解即可； （2）根据算术平方根的性质，算术平方根的结果也是非负数进行求解即可． 【详解】解：（1）在实数范围内，算术平方根有意义的条件是被开方数为非负数，即； （2）表示的算术平方根，即非负平方根，因此． 故答案为：≥；≥． 10．已知表示不大于的最大整数，例如．现对69进行如下操作： （1）对28进行一次操作后变为 ． （2）若正整数进行3次操作后变为2，的最大值为 ． 【答案】 5 6560 【分析】本题主要考查了新定义运算以及无理数的估算，熟练掌握新定义的含义和“由结果反向推导取值范围”的方法是解题的关键． （1）根据定义，对28进行一次操作即计算，估算的值并取整． （2）设三次操作依次结果为、、，由第三次操作推出的取值范围，再反推和的取值范围，进而求的最大值． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：． （2）设三次操作依次结果为、、，其中， ，  (b为整数)， 取时，， ， ， 取时，， ， ， 为整数，故最大值为．验证：当时，，，，符合要求；若，则，，，故不能为． 故答案为：． 11．如果，，那么 ． 【答案】                                                                                                                                【分析】本题主要考查立方根的性质，通过观察0.0237与23.7的关系，利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：由已知条件，，且，根据立方根的性质得： 故答案为：0.2872． 12．（1）求下列式中x的值：．   （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查立方根和算术平方根，正确进行计算是解答本题的关键． （1）移项、合并后直接开立方运算即可； （2）原式分别计算立方根和算术平方根，然后再进行加减运算即可． 【详解】解：（1）， ， ， 解得：； （2） ． 13．解方程：． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 14．阅读材料： 对于任意正整数n，因为，所以．两边同时开平方，可得． 根据以上材料，解答下列问题： (1)①______3，______4，_____5；（填“”，“”，“”） ②的整数部分是______；的整数部分是______． (2)比较与2025的大小，并说明理由； (3)若（为正整数），求x的值． 【答案】(1)①，，；②2，3； (2)，理由见解析； (3)x的值为1，2，． 【分析】本题考查了无理数的估算，完全平方公式的应用． （1）①根据作答即可； ②根据无理数的估算方法作答即可； （2）根据作答即可； （3）两边平方得到，求出，进而作答即可． 【详解】（1）解：①由任意正整数n，有， 所以，，， 故答案为：，，； ②，而，所以的整数部分是2； ，而，所以的整数部分是3； 故答案为：2，3； （2）解：由任意正整数n，有，而， ， 即； 故答案为：； （3）解：， ， ， 解得， 可取的正整数值为：1，2，． 15． （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． 16．如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为． (1)实数的值为______； (2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题综合考查数轴上点的移动规律、绝对值与算术平方根的非负性、相反数的定义及算术平方根的计算．解题关键是利用“非负数和为0则各非负数均为0”求出和，再逐步完成后续计算． （1）利用数轴上点向右移动时数值的变化规律（原数加移动单位长度）来确定的值； （2）先依据绝对值与算术平方根的非负性及相反数的性质求出和，再代入计算并求其算术平方根． 【详解】（1）解：因为瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 即， 解得． 所以， 故的算术平方根为2． 17．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ． 18．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了实数的运算，整式的乘除运算， （1）先计算乘方，算术平方根、立方根、绝对值，再合并即可． （2）先计算多项式乘以多项式，多项式除以单项式，得到化简的结果，再代值计算． 【详解】（1）计算： 解：原式 （2）先化简，再求值：，其中， 解：原式 当，时，原式. 19．阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)2   (2)4   (3) 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的分离方法，掌握通过平方数比较确定无理数的取值范围是解题的关键． （1）通过平方数比较确定​的取值范围，从而得到其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先分别确定​和​的取值范围，相加后得到的范围，进而确定整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （3）先确定的取值范围，从而得到的范围，分离出整数部分和小数部分，再代入代数式计算． 【详解】（1）解：且 ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：，，且， ， ，，且， ， ， 的整数部分是，小数部分：． （3）解：， ， ，， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $