2.1 两条直线的位置关系（题型专练，11基础&2提升题型+培优）数学新教材北师大版七年级下册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 2.1两条直线的位置关系 A 基础达标题 题型一、平面内两条之间的位置关系 1.A. 2.C. 3.C. 4.A. 题型二、立体图形中平行的棱 5.D. 6.C. 7.3,不是. 8.【详解】(1)解：AB∥CD,它们之间的距离是AD; AD∥BC,它们之间的距离是AB; AA,∥BB,它们之间的距离是AB; (2)解：在正方形ABCD中，互相垂直的边有AB⊥BC,BC⊥CD, 题型三、相交线 9.D. 10.B. 11.B. 12.C. 题型四、对顶角定义 13.A. 14.A 15.A. 1/18 上好每一堂课 (答案版) CD⊥AD,AD⊥AB,共4对. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.【详解】解：图中对顶角有：∠A0C与∠BOD;∠A0E与LBOF;∠DOE与LC0F;LAOD与 ∠BOC;LEOB与LAOF;∠DOF与LCOE; 共6对. 题型五、对顶角相等 17.B. 18.B. 19.45. 20.【详解】解：：∠2=∠B0C=120°，∠1+∠C0M=∠B0C,∠1=40°， ∴.∠C0M=∠B0C-∠1=120°-40°=80°. 题型六、垂直定义的理解 21.B. 22.C. 23.C. 24.60或120. 题型七、画垂线 25.【详解】解：三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线1重合，沿重合的直线平移三角板，使三 角板的另一条直角边过点A(或点B),过点A(或点B)沿直角边向己知直线画直线即可，这条直线就是 1的垂线，在同一平面内，过一点只能画一条直线的垂线： 量角器画法：将量角器的0°刻度线与己知直线重合，沿已知直线移动量角器，使90°刻度线经过己知点，作 出90°刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线； 故经过直线1上一点A,能用三角板或量角器画1的垂线，这样的垂线能画出1条；经过直线1外一点B,能 用三角板或量角器画1的垂线，这样的垂线能画出1条. 26.PC=PB. 27.【详解】(1)解：如图，直线PH即为所求； 2/18 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H -11A (2)解：如图，直线PC即为所求； (3)解：由(1)和(2)的图像可得，线段PH的长度是点P到OA的距离， 根据垂线段最短可得：PH<PC<OC, 故答案为：OA;PH<PC<OC;垂线段最短. 28.【详解】解：(1)由题意，画图如下： B (2)由题意，画图如下： 、D 题型八、点到直线的距离 29.B. 30.CD 31.D. 32.4；2.4;3 3/18 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型九、垂线段最短 33.【详解】解：若四位投壶者分别站在直线1上的点A,B,C,D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站 在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 34.①，垂线段最短. 35.7. 36.【详解】(1)解：如图所示即为所求； B H (2)线段PH的长度是点P到直线OA的距离， 故答案为：OA; (3)如图：PC>PH, 、B D H C 故答案为：>. 题型十、求一个角的余角 37.A. 38.【详解】(1)解：：OE⊥CD, .∠D0E=90°， ∴∠B0D+∠B0E=90°， .∠A0C=∠BOD, .∠A0C+∠B0E=90°， ∠AOC的余角是LBOE, 故答案为：∠BOE. (2)解：：OE⊥CD, .LC0E=90°， 4/18 学科网·上好课 www zxxk.com :∠A0E=110°， .∠B0D=∠A0C=∠A0E-∠C0E=20°， :OD平分LB0F, .∠D0F=∠B0D=20°， .∠B0F=40°. 39.【详解】(1)解：：∠B0C与∠A0C互余，∠A0C=60°， .LB0C=LA0B-LA0C=30°， :OB平分∠C0D, .∠C0D=2∠B0C=60°， .∠D0E=180°-∠C0D=120°： (2)解：LD0E=2LA0C,理由如下： :∠A0B=90°， ∠B0C=LA0B-∠A0C=90°-LA0C, :OB平分∠C0D, .∠C0D=2∠B0C=180°-2∠A0C, ∠DOE=180°-∠COD=180°-(180°-2∠AOC)=2∠A0C 40.【详解】(1)解：①：∠A0B=∠C0D=90°， ∴.A0CB0C90,∠B0D+∠B0C=90°， .与∠BOC互余的角有∠AOC,∠BOD, 故答案为：∠AOC,∠BOD; ②.∠B0C=a, .∠A0C=90°-∠B0C=90°-a, :∠AOD=∠AOC+∠COD=(90°-a)+90°=180°-a. 故答案为：180°-a. (2)解：设∠C0E=5a, :LA0C:∠C0E=8:5, .∠A0C=8a, :OE平分∠B0C, .LB0C=10a, 5/18 系一每丁 学科网·上好课 www.zxxk com :∠A0B=90°， ·.A0CB0C90, .8a+10a=90°，解得：a=5°， .LA0C=8a=40°， .∠A0D=∠A0C+∠D0C=40°+90°=130°. 题型十一、求一个角的补角 41.C. 42.159°45'. 43.【详解】(1)解：：0E⊥CD于点O,∠1=50°， .LA0D=90°-∠1=40° :∠COB与∠A0D是对顶角， ∠C0B=∠A0D=40°. :0D平分∠A0F, ∠D0F=∠A0D=40°. ∠B0F=180°-∠B0C-∠D0F=180°-40°-40°=100. .∠C0B、∠B0F的度数分别为40°、100°： (2)解：如图为各个角的度数： D 1009/40 B 40 ALA0D=40°，则其补角为140°， 90° 故其补角有：∠BOD,∠AOC,∠COF, 故答案为：∠BOD,∠AOC,∠COF. 44.【详解】(1)解：：∠A0C是∠B0C的3倍互余角”， .∠B0C+3∠A0C=90°， .:∠A0B=50°， .LB0C+LA0C=50°， 6/18 命学科网·上好课 www zxxk.com .∠BOC+3∠AOC-∠BOC+∠AOC)=90°-50°=40°， .2LA0C=40°， ∠A0C=20°. 故答案为：20. (2)解：：∠AOC是∠BOD的3倍互余角”， .LB0D+3∠A0C=90°， .∠B0D=90°-3∠A0C, :射线OD平分∠B0C, .∠B0C=2∠B0D, :LA0B=50°， ∴.∠A0C+2∠B0D=50°， .∠AOC+(90°-3∠AOC)×2=50°， .∠A0C=26°. (3)解：：∠AOC是∠B0C的3倍互余角”， .∠B0C+3LA0C=90°， ∠BOC与∠BOD互补， .∠B0C+∠B0D=180°， 当0C在∠A0B的内部时，由(1)得∠A0C=20°， :∠A0B=50°， .LB0C=50°-20°=30°， .∠30°+∠B0D=180°， .∠B0D=180°-30°=150°， :OD在直线OB上方， .∠A0D=150°-50°=100°， A D B 当0C在OA上方时，∠B0C=50°+∠A0C, .50°+LA0C+3∠A0C=90°， 7/18 系一每丁 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠A0C=10°， ∠B0C=50°+10°=60°， .∠B0D=180°-60°=120°， :OD在直线OB上方， ∠A0D=120°-50°=70°， D B 当0C在OB下方时，LA0C>50°，∠B0C=LA0C-50°， .LA0C-50°+3∠A0C=90°， .∠A0C=35°<50°，舍去. 故答案为：100或70. B 能力提升题 题型一、与余角、补角有关的计算 45.④. 46.45°. 47.【详解】(1)解：：∠A0B=90°，∠B0C=50°， .LA0C=LA0B-LB0C=40°， :∠C0D=90°， .∠A0D=∠A0C+∠D0C=40°+90°=130°， 故答案为：130°； (2)解：：∠A0B=90°，∠B0C=a, .∠A0C=∠A0B-∠B0C=90°-a, :∠C0D=90°， .LA0D=LA0C+∠D0C=90°-a+90°=180°-a; (3)解：：∠AOB=∠C0D=90°，∠BOC=B, .∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-B,∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-B, :OE平分∠AOC,OF平分∠BOD, 8/18 列学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CoE=40c=45-B,∠B0F=B0D=45-B, 2 ∠B0F=∠B0F+∠B0C+∠C0E=45-B+B+45°-号B=90 故答案为：90°. 48.【详解】(1)解：：∠D0E=20°， .∠C0E=90°-20°=70°， OE平分∠BOC, .∠B0E=LC0E=70°， .∠A0C=180°-70°×2=40°， 故答案为：40°； (2)解：：∠D0E=70°， .∠C0E=90°-70°=20°， :OE平分∠B0C, .∠C0B=2LC0E=40°， .∠A0C=180°-40°=140°， (3)解：：∠D0E=110°， .∠C0E=110°-90°=20°， :OE平分∠B0C, .∠C0B=2∠C0E=40°， .∠A0C=180°-40°=140°； (4)解：：OE平分∠B0C, ∠c0E-0c, :∠D0E=90°+∠COE=90°+1∠B0C, 2 :∠A0C=180°-∠B0C, .2∠D0E+∠A0C=360°. 题型二、同（等）角的余（补）角相等 49.C. 50.【详解】解：：∠A0C=∠B0D=90°， 9/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠1+∠2=∠2+∠3=90°. ∠1与∠2互余，∠2与∠3互余. 故图中有两对互余的角 故①正确， :∠1+∠2=∠2+∠3=90°， .∠1=∠3. 故②正确. :∠A0C=∠B0D=90°， ∠A0C+∠B0D=180°. :LAOC与∠BOD互补. .∠A0C+∠B0D=∠1+∠2+∠3+∠2=180°， 即∠A0D+∠2=180°. :∠A0D与∠2互补. 故③正确. 当∠1=2∠2时， :∠1+∠2=90°， .2∠2+∠2=90°. .∠2=30°. ∠3=∠1=60°， ∠A0D=∠1+∠2+∠3=150°. 故④不正确 故选：C. 51.【详解】(1)解：：LA0C=∠A0E+∠E0C=90°，LB0E=∠B0C+LC0E=90°， .∠A0E=∠BOC. 故答案为：∠BOC; (2)解：：0D平分∠C0E, ∠C0D=∠E0D=∠C0E :∠B0C=∠B0E-∠C0E=90°-2∠D0E,∠A0D=∠A0C-∠D0C=90°-∠D0E,∠B0C:∠A0D=3:4 .(90°-2∠D0E):(90°-∠DOE)=3:4, 10/18 2.1 两条直线的位置关系 题型一、平面内两条之间的位置关系 1．将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 2．同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线互相平行，则这三条直线交点的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．两条平行直线无交点，第三条直线与这两条平行直线均相交，故有两个交点 【详解】解：设三条直线为a、b、c，其中，c不平行于a或b ∵ ， ∴ a与b无交点 ∵ c与a相交， ∴有一个交点 ∵ c与b相交， ∴有一个交点 ∴ 三条直线共有两个交点． 故选：C． 3．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系． 同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行． 【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况． 只有平行的直线无公共点； 故选：C． 4．有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角、平行线、垂线、距离和直线位置关系等概念的正确理解． 对照对顶角、平行线、垂线、两点间距离、直线位置关系的概念，逐一判断每个说法的正确性，统计正确说法的个数． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意； ②过一点不一定有平行线，正确表述需指定过直线外一点，错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； ④两点之间的距离是两点间线段的长度，不是线段本身，错误，不符合题意； ⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有平行和相交，错误，不符合题意． ∴只有③正确，共1个． 故选：A． 题型二、立体图形中平行的棱 5．一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据五棱柱的性质，确定互相平行的棱最多的情形，即可求解． 【详解】解：五棱柱的侧棱互相平行，侧面均为平行四边形，当同一底面上有两对棱互相平行时，平行的棱的对数最多， 如图，在五棱柱中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有对， ∴ 一个五棱柱中，互相平行的棱最多有对． 故选：D． 6．一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 【答案】C 【分析】本题考查了四棱柱的认识，熟知四棱柱的特征是解决此题的关键；该几何体有8个顶点、12条棱、6个面，且每个面都是平行四边形，符合四棱柱的特征．四棱柱的棱可分为三组，每组4条互相平行的棱，因此平行的棱有18对． 【详解】解：∵几何体有8个顶点、12条棱，每个面都是平行四边形， ∴这个几何体是四棱柱， 在四棱柱的12条棱分为3组，每组有4条互相平行的棱． 对于每组4条平行棱，其中平行棱的对数为：每条棱与组内另外3条棱平行，共形成组关系，但每对棱会重复计算1次， ∴每组实际有对平行棱． ∴在常见的四棱柱中总平行棱对数为对． 故选C． 7．在正方体的一个顶点处，有 条棱相交，这些棱中任意两条都 （填“是”或“不是”）平行． 【答案】 3 不是 【分析】本题主要考查了正方体的特点，解题的关键在于能够熟练掌握正方体的特点． 正方体每个顶点处有三条棱相交，且这些棱两两互相垂直，不平行． 【详解】解：正方体有8个顶点，每个顶点处有3条棱相交；这三条棱分别沿正方体的长、宽、高方向，两两之间的夹角均为，因此任意两条棱都不平行． 故答案为：3，不是． 8．如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【答案】(1)，它们之间的距离是；，它们之间的距离是；，它们之间的距离是（答案不唯一） (2)4对 【分析】本题考查了认识立体图形，平行线，掌握正方体的特征是解题的关键． （1）根据正方体的特征求解即可； （2）根据正方形的特征求解即可． 【详解】（1）解：，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； （2）解：在正方形中，互相垂直的边有，，，，共4对． 题型三、相交线 9．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线与相交线，做到不重不漏是解题关键．根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【详解】解：当平面内三条直线平行时，交点个数为0个； 当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个； 当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个； 当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个； 即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3， 故选：D． 10．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】B 【分析】本题主要考查点和线的位置关系，角的表示以及相关的数学语言，根据点和线的位置关系以及数学语言判断即可． 【详解】解：A．点P在直线m外，该选项错误； B．直线m和n相交于点O，该选项正确； C．可以表示成，该选项错误； D．射线和射线表示不同射线，该选项错误． 故选：B． 11．“直线与射线相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，熟练掌握直线、射线的定义以及相交线的定义是解题的关键．根据直线、射线相交的定义判断即可． 【详解】解：如图，直线与射线相交于点O， 故选：B． 12．如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线与相交线，根据平行线与相交线的定义并结合图形判断即可． 【详解】解：如图， 由题意，知，， ∴与、各有一个交点，与、各有一个交点，与没有交点，与没有交点， ∴四条直线的交点个数为4， 故选：C． 题型四、对顶角定义 13．下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的知识，掌握对顶角的定义是解题关键．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据此定义进行判断即可. 【详解】解：A、和是对顶角，故本选项符合题意； B、和不是对顶角，故本选项不符合题意； C、和不是对顶角，故本选项不符合题意； D、和不是对顶角，故本选项不符合题意； 故选：A． 14．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉对顶角定义是解题关键. 【详解】解：根据对顶角性质，两个角只有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线； 故选：A. 15．下面四个图形中，与是对顶角的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角的定义，解决本题的关键是熟记对顶角的定义． 根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，即可解答． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有第3个图中的是对顶角，其余的图中的角都不是． 故选：A． 16．如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【答案】6对，分别是与；与；与；与；与；与 【分析】此题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义找出对顶角即可． 【详解】解：图中对顶角有：与；与；与；与；与；与； 共6对． 题型五、对顶角相等 17．如图，这是一把剪刀的示意图．当剪刀口增加时，的度数变化情况为（   ） A．不变 B．增加 C．减少 D．增加 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ∴当剪刀口增加时，的度数也增加． 故选：B． 18．如图，直线，被直线所截，且，则的对顶角与的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查补角、对顶角，解题的关键是掌握：对顶角相等、如果两个角的和等于，则这两个角互为补角．据此解答即可． 【详解】解：如图，设的对顶角为， ∴， ∵， ∴， ∴与的关系是互补， 即的对顶角与的关系是互补． 故选：B． 19．如图，直线、相交于点，，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质．根据对顶角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 20．如图，直线，相交于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，理解对顶角的性质是正确解答的关键．根据对顶角相等以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 题型六、垂直定义的理解 21．给出下列说法：①相等的角是对顶角；②等角的补角相等；③两点之间所有连线中，线段最短；④四棱锥有8个顶点，12条棱，6个面；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义、补角的性质、线段的性质、四棱锥的特征及垂线的性质．根据以上知识点逐一分析每个说法是否正确，进而确定正确说法的个数． 【详解】解：①：对顶角是有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如，两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角，所以说法①错误； ②：如果两个角相等，那么它们的补角也相等，设这两个角分别为和，且，的补角为，的补角为，因为，所以，即等角的补角相等，所以说法②正确； ③：两点之间所有连线中，线段最短，这是线段的性质，所以说法③正确； ④：四棱锥有5个顶点，8条棱，5个面，所以说法④错误； ⑤：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的性质，所以说法⑤正确， 综上所述，说法②、③、⑤正确，共3个， 故选：B． 22．如图所示，直线相交于点O，于O，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，角的和差计算，解题的关键是掌握以上知识点． 根据垂直的定义与角的和差计算即可． 【详解】解：于点O， ， ， ， 故选：C． 23．如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查垂线的定义，角的概念，对顶角、邻补角的定义，准确识图，理解垂线的定义，对顶角、邻补角的定义是解决问题的关键． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①∵直线，相交于点，， ∴， 故条件①能说明； ②∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故条件②能说明； ③∵直线，相交于点， ∴， 根据已知条件，不能得到， 故条件③不能说明； ④∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， 故条件④能说明， 综上所述：能说明的条件有①②④，共3个． 故选：C． 24．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则 ． 【答案】60或120 【分析】本题主要考查了对顶角、垂直的意义，角的和差计算，解题的关键是注意分类讨论的思想． 由垂直得到，由对顶角得到，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：由题意，需讨论以下两种情况： ①如图1 ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∴． ②如图2 ∵， ∴； ∵与是对顶角， ∴， ∴． 综上：或． 故答案为：或． 题型七、画垂线 25．经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢 【答案】经过直线上一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条；经过直线外一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条． 【分析】本题主要考查了画已知直线的垂线，熟练掌握同一平面内，过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边过点A（或点B），过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可 ，这条直线就是的垂线；量角器画法：将量角器的刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使刻度线经过已知点，作出刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线． 【详解】解：三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边过点A（或点B），过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可 ，这条直线就是的垂线，在同一平面内，过一点只能画一条直线的垂线； 量角器画法：将量角器的刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使刻度线经过已知点，作出刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线； 故经过直线上一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条；经过直线外一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条． 26．按照下列语句画图： ①画线段；     ②延长到C，使； ③经过的中点A画的垂线； ④在上截取； ⑤分别过点C，B画的垂线段； ⑥线段的关系是________． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查画线段，作垂线，线段的度量，根据作图语言，借助直尺和三角板画图，并测量线段的长度即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 经测量：． 27．如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；垂线段最短 【分析】本题考查垂线的定义，熟练掌握其定义是解题的关键 （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）利用点到直线的距离的定义，利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：由（1）和（2）的图像可得，线段的长度是点P到的距离， 根据垂线段最短可得：， 故答案为：；；垂线段最短． 28．（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查画垂线，借助三角板画出垂线即可，熟练掌握画垂线的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意，画图如下：    （2）由题意，画图如下：    题型八、点到直线的距离 29．如图，在三角形中，，则点A到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题关键是理解点A到直线的距离为垂线段的长度． 根据点到直线的距离的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴点A到直线的距离为． 故选：B． 30．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 31．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 32．如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 题型九、垂线段最短 33．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 34．如图，从书店到公路最近的是 号路线，理由是 ． 【答案】 ① 垂线段最短 【分析】本题主要考查了距离垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键；因此此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：由图可知：从书店到公路最近的是①号路线，理由是垂线段最短； 故答案为：①，垂线段最短． 35．如图，，垂足是点D，，点E是线段上的一个动点（包括端点），连接，那么的长为整数值的线段有 条． 【答案】 【分析】此题考查垂线段最短，关键是根据垂线段最短解答．根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：∵，垂足是点D，， ∴长的范围是， 当点E由A向B运动时，所得的整数值线段长度分别为：8、7、6、5、4、5、6， ∴符合题意的共有7条， 故答案为：． 36．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．格点P是的边上的一点，仅用无刻度的直尺完成下列各题： (1)过点P画边的垂线，垂足为H； (2)在图中，线段的长度是点P到直线______的距离； (3)在边上任取一点C（不与点H重合），连接，则______（填“”“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离的定义即可求解； （3）根据垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）线段的长度是点P到直线的距离， 故答案为：； （3）如图：， 故答案为：． 题型十、求一个角的余角 37．若，则它的余角的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个角的余角． 根据余角的定义，计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 38．如图．直线相交于点O，分别在、的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的定义，余角，对顶角，以及角的和差计算等知识点． （1）根据垂直的意义得到，而，再由余角的定义即可求解； （2）由垂直的意义得到，根据角的和差结合对顶角得到，再由角平分线的意义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 39．如图，是直线上的一点，以为顶点作，使与互余，且、位于直线的两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 40．如图，，射线平分． (1)①图中与互余的角有______； ②若，则______；（用含的代数式表示） (2)若，求的度数． 【答案】(1)①，；②． (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角的定义、角的和差、一元一次方程的应用等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． （1）①根据已知条件，结合图形可得到与互余的角有，；②由题意得到，再根据角之间的关系即可解答； （2）设，根据已知得到，进而求出，则，即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∴与互余的角有，， 故答案为：，； ②∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 题型十一、求一个角的补角 41．互为补角的两个角的比是，则这两个角中较小角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了补角的定义，根据比例设出这两个角可以使求解更加简便．补角之和为，根据比例设角为和，求解，再求较小角． 【详解】解：∵两角互为补角， ∴两角之和为， ∵两角之比为，设两角分别为和， ∴， 即， ∴， ∴ 较小角为． 故选：C． 42．如图，小明手持手电筒照向水平地面，手电筒发出的光线与水平地面形成了两个角，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角的计算，解题的关键是掌握邻补角．根据补角的定义直接求解即可． 【详解】解：的度数是， 故答案为：． 43．如图，直线、相交于，平分，于点，． (1)求、的度数； (2)写出的补角有________． 【答案】(1)、 (2) 【分析】本题考查余角，补角及角平分线的定义： （1）利用余角和对顶角的性质，即可求出的度数，利用角平分线及补角的性质又可求出的度数． （2）根据补角的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵于点， ∵与是对顶角， ∵平分， ∴、的度数分别为、； （2）解：如图为各个角的度数： ，则其补角为， 故其补角有：． 故答案为：． 44．新定义：若，则称是的“3倍互余角”．例如：若，，则是的“3倍互余角”，请注意：此时不是的“3倍互余角”． (1)如图1，已知，在的内部存在一条射线，使得是的“3倍互余角”，此时________； (2)如图2，已知，在的内部存在一条射线，射线平分，若是的“3倍互余角”，求出； (3)如图3，已知，若在平面内存在射线、（在直线上方）使得是的“3倍互余角”，且与互补，则________． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，求一个角的补角． （1）由“3倍互余角”的定义，可得，由，可得，即可得； （2）由“3倍互余角”的定义，可得，由射线平分，可得，结合，可得，即可得； （3）由“3倍互余角”的定义，可得，由与互补，，按照与的位置关系进行分类讨论，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵是的“3倍互余角”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵是的“3倍互余角”， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵是的“3倍互余角”， ∴， ∵ 与互补， ∴， 当在的内部时，由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上方， ∴， 当在上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上方， ∴， 当在下方时，，， ∴， ∴，舍去． 故答案为：或． 题型一、与余角、补角有关的计算 45．如图，是直线上的一点，平分，．给出以下结论：①与互为补角；②；③；④若，则．其中，正确的是 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查角平分线、余角，角的和差计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义以及余角的定义．据此对各结论进行分析即可作出判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∴与互为余角，故结论①错误； ②∵平分， ∴， 无法推出，故结论②错误； ③设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③错误； ④∵， ∴， ∵平分， ∴，故结论④正确； 综上所述，正确的是④． 故答案为：④． 46．若一个角的补角是它的余角的倍，则这个角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的3倍”作为相等关系列方程求解，即可得出结果． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为，余角为， 根据题意，得， 解得． 故答案为：． 47．数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． (1)若，则的度数为_____； (2)若，求的度数； (3)在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2．若，则的度数为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴； 故答案为：． 48．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图1，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图放置，直角顶点与点重合，是直角，平分．    【问题探究】 (1)若，则的度数为______； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，若，求的度数； (4)将这一直角三角尺如图4放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的数量关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角和补角的定义、平角的定义及三角尺角度等知识： （1）根据得到，结合平分即可得到，即可得到答案； （2）根据得到，结合平分即可得到，即可得到答案； （3）根据得到，结合平分即可得到，即可得到答案； （4）根据平分得到，即可得到，结合即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （4）解：∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型二、同（等）角的余（补）角相等 49．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，根据直角三角板可得第一个图形，进而可得；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中，第三个图形和互补． 【详解】解：根据角的和差关系可得第一个图形， 根据等角的补角相等可得第二个图形， 第三个图形，不相等， 根据同角的余角相等可得第四个图形， 因此的图形个数共有3个， 故选：C． 50．如图，，下列说法正确的有（   ） 图中有两对互余的角；②，依据是同角的余角相等；③图中有两对互补的角；④当时，． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了余角、补角，关键是掌握余角、补角的性质． 由余角、补角的定义及性质，逐一判断即可． 【详解】解：， ． ∴与互余，与互余． 故图中有两对互余的角． 故①正确． ， ． 故②正确． ， ． 与互补． ， 即． 与互补． 故③正确． 当时， ， ． ． ， ． 故④不正确． 故选：C． 51．如图，和都是． (1)与相等的角是________； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了同角的余角相等，角平分线的定义，解一元一次方程． （1）根据同角的余角相等作答即可； （2）根据平分得到，根据得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得：． 52．综合探究：如图，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图1，_____________°； (2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分?请说明理由； (3)如图2，设，，试猜想与的数量关系，直接写出结果． 【答案】(1)135 (2)平分，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角的和与差、角平分线的定义、三角板中角度的计算，解决本题的关键是根据角的位置关系找到角度之间的关系． (1)根据角之间的位置关系和三角板中角的度数，可得； (2)根据可知，，根据角平分线的定义可证，根据同角的余角相等可证结论成立； (3)根据，，可知，根据角之间的位置关系可得，从而可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：平分， 理由如下： ， ，， 平分， ， ， 平分； （3）解：，， ， ， ， ， 即． 53．定义：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”． (1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为_____； (2)①如图2，已知，射线是的三等分线，且将分成的两个角中，有一个角与互余，求的度数； ②在①的条件下，当时，射线从开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与重合时，两条射线同时停止运动．在两条射线运动过程中，当恰好是的“3等分线”时，求运动时间的值． 【答案】(1)或 (2)①或；②的值分别为，，， 【分析】（1）根据的“3等分线”，分别求出； （2）①分、两种情况，分别求出； ②分、两种情况，运动时间的值． 【详解】（1）解：，射线为的“3等分线”， 所以，或， 故答案为：或． （2）①解：设将分成的两个角中较小的角为，则另一个角为， 则， 当时，， ∴， ∴． 当时， ， ， ∴． 综上所述，或； ②解：如图， ∵的度数小于， ∴． 根据题意，，， 有两条三等分线， ∴或． 当时，（秒）， ∴运动9秒与重合， 若， ∴， 解得：． 若， ∴． 解得：． 当时，（秒）， ∴运动18秒与重合， 若 ∴ 解得：． 若 ∴ 解得： 综上所述，的值分别为，，，． 【点睛】本题考查了几何图形中角度计算问题，与余角、补角有关的计算，几何问题(一元一次方程的应用)，角n等分线的有关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 54．设，（，），，分别是，的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，．______°，，_____一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)若，，有两种情况，如图、图所示，且，是一对“分补角”，求的值； (3)若，当在外部时，和是一对“分补角”，直接写出的度数． 【答案】(1)，不是 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． ()利用角平分线的定义可求出，再分别作求出与即可判断是否是“分补角”； ()分在内部（含与重合）、在内部和在外部三种情况，分别画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解； ()分在内部和外部情况，画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不是一对“分补角”， 故答案为：，不是； （2）∵是一对“分补角”，且平分，平分， ∴， 分三种情况讨论： ①当在内部（含与重合）时，如下图， 此时，即， 则有， ∴， 若，互补，即有， ∴，解得，不合题意，舍去； 若，互补，即有， ∴，解得，不合题意，舍去； ②当在内部时，如下图， 此时，即， 则有， ∴， 若，互补，即有， ∴，解得，符合题意； 若，互补，即有， ∴，解得，不合题意，舍去； ③当在外部时，如图， 则， ∵是一对“分补角”， 若，互补，即有， ∴，解得，不合题意，舍去； 若，互补，即有， ∴，解得，符合题意． 综上所述，的值为或； （3）当在外部时； ①当为钝角时，如图， 设，则， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ②当为锐角时，如图， 设，则， ∴， ， ∴， ∵， ∴； 综上，的可能值为或． 55．在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、、，一块含、、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与互余的摆法是_________；与互补的摆法是_________．（请填写图1下面对应的序号） 【深入探究】 （2）将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数； ②把绕着点C转动，使得边在内部（如图3所示），分别作∠ACD的平分线CF，∠ACE的平分线CG和的平分线，求的值． 【答案】（1）①；④；（2）①；② 【分析】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． （1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，，进而得出，，即可解答． 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与互余的摆法是①；与互补的摆法是④； 故答案为：①，④； （2）①如图2，∵平分， ∴， ∴． ②如图3，∵的平分线，的平分线和的平分线， ∴，，， ∴， ， ∴． 56．如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据补角的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义得出 （3）根据对顶角的性质以及角平分线的定义解答即可； （4）根据，可得，根据角平分线的定义可得，由平角为可求出的度数，最后根据角平分线的定义与角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：图中的补角是， 故答案为：； （2）解：∵OD平分，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． （4）解：∵， ∴， 即． ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 又∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，补角的概念，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 57．已知点B，O，C在同一条直线上，． (1)如图1，若，平分，求的度数； (2)如图2，若且与互余，请在图2中画出射线ON，并求出的度数（用含的式子表示）． (3)如图3和备用图，当时，若且，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为：或． (3)的度数为或 【分析】（1）先求解，再表示，进一步可得答案． （2）分两种情况画图：当射线在直线的下方时，当射线在直线的上方时，再进一步求解即可． （3）如图，当在的左边时，当在的右边时，如图，进一步结合角的和差运算与一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． （2）解：如图，射线即为所求， 当射线在直线的下方时， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， 当射线在直线的上方时， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， 综上：的度数为：或． （3）解：如图，当在的左边时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当在的右边时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上：的度数为或． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，余角、补角的含义，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 试卷第4页，共48页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 两条直线的位置关系 题型一、平面内两条之间的位置关系 1．将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 2．同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线互相平行，则这三条直线交点的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 4．有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二、立体图形中平行的棱 5．一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 6．一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 7．在正方体的一个顶点处，有 条棱相交，这些棱中任意两条都 （填“是”或“不是”）平行． 8．如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 题型三、相交线 9．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 10．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 11．“直线与射线相交于点O”，画图正确的是（　　） A．B．C． D． 12．如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型四、对顶角定义 13．下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 14．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 15．下面四个图形中，与是对顶角的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 题型五、对顶角相等 17．如图，这是一把剪刀的示意图．当剪刀口增加时，的度数变化情况为（   ） A．不变 B．增加 C．减少 D．增加 18．如图，直线，被直线所截，且，则的对顶角与的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 19．如图，直线、相交于点，，．则 ． 20．如图，直线，相交于点．若，，求的度数． 题型六、垂直定义的理解 21．给出下列说法：①相等的角是对顶角；②等角的补角相等；③两点之间所有连线中，线段最短；④四棱锥有8个顶点，12条棱，6个面；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．如图所示，直线相交于点O，于O，若，则（    ） A． B． C． D． 23．如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则 ． 题型七、画垂线 25．经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢 26．按照下列语句画图： ①画线段；     ②延长到C，使； ③经过的中点A画的垂线； ④在上截取； ⑤分别过点C，B画的垂线段； ⑥线段的关系是________． 27．如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 28．（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    题型八、点到直线的距离 29．如图，在三角形中，，则点A到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 30．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 31．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 32．如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 题型九、垂线段最短 33．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 34．如图，从书店到公路最近的是 号路线，理由是 ． 35．如图，，垂足是点D，，点E是线段上的一个动点（包括端点），连接，那么的长为整数值的线段有 条． 36．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．格点P是的边上的一点，仅用无刻度的直尺完成下列各题： (1)过点P画边的垂线，垂足为H； (2)在图中，线段的长度是点P到直线______的距离； (3)在边上任取一点C（不与点H重合），连接，则______（填“”“”或“”）． 题型十、求一个角的余角 37．若，则它的余角的度数是（ ） A． B． C． D． 38．如图．直线相交于点O，分别在、的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：___________； (2)若，求的度数． 39．如图，是直线上的一点，以为顶点作，使与互余，且、位于直线的两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 40．如图，，射线平分． (1)①图中与互余的角有______； ②若，则______；（用含的代数式表示） (2)若，求的度数． 题型十一、求一个角的补角 41．互为补角的两个角的比是，则这两个角中较小角的大小是（   ） A． B． C． D． 42．如图，小明手持手电筒照向水平地面，手电筒发出的光线与水平地面形成了两个角，，则的度数是 ． 43．如图，直线、相交于，平分，于点，． (1)求、的度数； (2)写出的补角有________． 44．新定义：若，则称是的“3倍互余角”．例如：若，，则是的“3倍互余角”，请注意：此时不是的“3倍互余角”． (1)如图1，已知，在的内部存在一条射线，使得是的“3倍互余角”，此时________； (2)如图2，已知，在的内部存在一条射线，射线平分，若是的“3倍互余角”，求出； (3)如图3，已知，若在平面内存在射线、（在直线上方）使得是的“3倍互余角”，且与互补，则________． 题型一、与余角、补角有关的计算 45．如图，是直线上的一点，平分，．给出以下结论：①与互为补角；②；③；④若，则．其中，正确的是 ．（填序号） 46．若一个角的补角是它的余角的倍，则这个角的度数为 ． 47．数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． (1)若，则的度数为_____； (2)若，求的度数； (3)在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2．若，则的度数为_____． 48．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图1，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图放置，直角顶点与点重合，是直角，平分．    【问题探究】 (1)若，则的度数为______； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，若，求的度数； (4)将这一直角三角尺如图4放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的数量关系，请直接写出结论． 题型二、同（等）角的余（补）角相等 49．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．如图，，下列说法正确的有（   ） 图中有两对互余的角；②，依据是同角的余角相等；③图中有两对互补的角；④当时，． A．个 B．个 C．个 D．个 51．如图，和都是． (1)与相等的角是________； (2)若平分，，求的度数． 52．综合探究：如图，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图1，_____________°； (2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分?请说明理由； (3)如图2，设，，试猜想与的数量关系，直接写出结果． 53．定义：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”． (1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为_____； (2)①如图2，已知，射线是的三等分线，且将分成的两个角中，有一个角与互余，求的度数； ②在①的条件下，当时，射线从开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与重合时，两条射线同时停止运动．在两条射线运动过程中，当恰好是的“3等分线”时，求运动时间的值． 54．设，（，），，分别是，的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，．______°，，_____一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)若，，有两种情况，如图、图所示，且，是一对“分补角”，求的值； (3)若，当在外部时，和是一对“分补角”，直接写出的度数． 55．在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、、，一块含、、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与互余的摆法是_________；与互补的摆法是_________．（请填写图1下面对应的序号） 【深入探究】 （2）将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数； ②把绕着点C转动，使得边在内部（如图3所示），分别作∠ACD的平分线CF，∠ACE的平分线CG和的平分线，求的值． 56．如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 57．已知点B，O，C在同一条直线上，． (1)如图1，若，平分，求的度数； (2)如图2，若且与互余，请在图2中画出射线ON，并求出的度数（用含的式子表示）． (3)如图3和备用图，当时，若且，求的度数． 试卷第4页，共48页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $