精品解析：四川绵阳市北川县永昌中学等四校联考2025-2026学年八年级下学期阶段数学试卷

2025－2026学年八年级下学期开学 （八年级数学） 一、选择题（每小题3分，本题满分36分） 1. 在下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（ ） A. 已知两个锐角 B. 已知一条直角边和一个锐角 C. 已知两条直角边 D. 已知一条直角边和斜边 2. 下列大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 下列算式的运算结果为的是（　 　） A. B. C. D. 4. 要使分式有意义，字母，须满足（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是（ ） A. 40度 B. 70度 C. 40度或70度 D. 40度或110度 6. 三个全等三角形按下图的形式摆放，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的方程，下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 当时，原方程无解 C. 为正数时， D. 为负整数时，有4个整数值 8. 已知，则（ ） A B. 2 C. 3 D. 9 9. 壮锦与云锦、蜀锦、宋锦并称为中国四大名锦，它以棉线或丝线为原料，采用“通经断纬”工艺编织而成．已知棉线的直径约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 10 某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下： 工程队 每天施工面积（单位：） 施工总面积（单位：） 施工时间（单位：天） 甲 两个工程队同时完成工作任务 乙 x 根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在等边中，，连接、交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，本题满分18分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________． 14. 如图，是的一个外角，若，，则________． 15. 等腰三角形的周长为20cm，且一边长为6cm，则它的腰长为______. 16. 如图，在中，平分，，垂足为E．若的面积为12．，则的长为 ____． 17. 如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 18. 如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为_________． 三、解答题（共46分） 19. 因式分解 （1）； （2）． 20. 解方程： （1） （2） 21. 计算： （1） （2） 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴对称图形； （2）请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； （3）在x轴上找一点P，使得周长最小，请在图中标出点P，并直接写出点P的坐标．（保留作图痕迹） 23. 烟花三月的重庆天气变得非常暖和，正当春装上市之时，某商家2月初购进一批衬衣一共花费1000元，购进一批Ｔ恤一共花费3000元，每件Ｔ恤的进价比每件衬衣进价高50元，且Ｔ恤数量刚好是衬衣数量的2倍. （1）求2月初衬衣和Ｔ恤的进价各是多少元？ （2）由于2月份Ｔ恤畅销，3月初商家按照2月初的进价购进件恤进行销售，且进货的总价不超过6750元，在实际销售过程中Ｔ恤先按照标价400元卖了10件，剩余的按照标价打7折促进销售，为保证总利润不低于6790元，求满足条件的的最小值. 24. 如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． （1）求的度数； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年八年级下学期开学 （八年级数学） 一、选择题（每小题3分，本题满分36分） 1. 在下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（ ） A. 已知两个锐角 B. 已知一条直角边和一个锐角 C. 已知两条直角边 D. 已知一条直角边和斜边 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查全等三角形判定，注意：全等三角形的判定定理有．根据判定方法依次进行判断即可． 【详解】解：A、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意； B、一个锐角和一条直角对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意； C、两条直角边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意； D、一条直角边和斜边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意； 故选：A． 2. 下列大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，所以不是轴对称图形， 故选：A． 3. 下列算式的运算结果为的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则分别计算，即可获得答案． 【详解】解：A．，该选项不符合题意； B．，该选项符合题意； C．，该选项不符合题意； D．，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 4. 要使分式有意义，字母，须满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 5. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是（ ） A. 40度 B. 70度 C. 40度或70度 D. 40度或110度 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解答问题的关键．分是等腰三角形的顶角和底角两种情况，根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：①当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是； ②当是等腰三角形的底角时，则顶角是． 故选：C． 6. 三个全等三角形按下图的形式摆放，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，由平角的定义可得，由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图： ， 由图可得：，，， ∴， 由三角形内角和定理可得：， 由全等三角形的性质可得：， ∴， 故选：D． 7. 已知关于的方程，下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 当时，原方程无解 C. 为正数时， D. 为负整数时，有4个整数值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，掌握“解分式方程的方法与步骤，理解分式方程的解的含义”是解本题的关键．先解分式方程，再检验，再逐一分析各选项即可． 【详解】解： ， 去分母，得 化简得， 当时，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故选项A正确，但不符合题意； 当时， ∴方程无解， 故选项B正确，但不符合题意； 当为正数时，，且 ∴且， 故选项C错误，符合题意； 当为负整数时，则或或或， ∴或或或， ∴或0或1或2， ∴有4个整数值， 故选项D正确，但不符合题意， 故选：C． 8. 已知，则（ ） A B. 2 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．先利用多项式乘多项式法则化简多项式，再代入求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 故选：D． 9. 壮锦与云锦、蜀锦、宋锦并称为中国四大名锦，它以棉线或丝线为原料，采用“通经断纬”工艺编织而成．已知棉线的直径约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：． 故选：A． 10. 某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下： 工程队 每天施工面积（单位：） 施工总面积（单位：） 施工时间（单位：天） 甲 两个工程队同时完成工作任务 乙 x 根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．根据两个工程队用时相同，可列方程，然后作答即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：A． 11. 如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一．连接，过点作，中垂线的性质，得到，得到，再根据垂线段最短，得到重合时，的值最小，即可得出结果． 【详解】解：连接，过点作， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∵垂线段最短， ∴当与点重合时，最小， ∵， ∴， ∴的最小值为8，即：的最小值为8； 故选C． 12. 如图，在等边中，，连接、交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质得，通过证明，则，运用外角性质得，再结合，得，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， 故①正确的； ∴ 故③正确的； ∴， ∵，， ∴， 故②正确的； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④错误的； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，本题满分18分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可. 【详解】点关于轴对称的点的坐标是. 故答案为. 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 14. 如图，是的一个外角，若，，则________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 15. 等腰三角形的周长为20cm，且一边长为6cm，则它的腰长为______. 【答案】6cm或7cm 【解析】 【分析】当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，根据三角形的三边关系，验证即可. 【详解】解：∵等腰三角形的周长为20cm， ∴当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，符合三角形三边关系， ∴当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，符合三角形三边关系， 故答案为6cm或7cm. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长． 16. 如图，在中，平分，，垂足为E．若的面积为12．，则的长为 ____． 【答案】4 【解析】 【分析】过点D作，垂足为F，先利用三角形的面积公式求出，然后再利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：过点D作，垂足F， 的面积为12，， ， ， 平分，，， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17. 如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 18. 如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短． 连接，过点作于，利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的最小值为． 三、解答题（共46分） 19. 因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）原式先提取公因式2，再运用平方差公式分解即可； （2）原式先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）方程无解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，根据题意可知分式方程的解法步骤：去分母（同乘以最简公分母），化为整式方程，解方程，检验，得到原方程的解 【小问1详解】 解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，原式， 所以原方程无解； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据乘方的意义，绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义计算即可； （2）根据分式的乘除运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； （3）在x轴上找一点P，使得周长最小，请在图中标出点P，并直接写出点P的坐标．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2） （3）图见解析，点P坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，两点之间，线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，根据轴对称的性质分别找出点，依次连接，即可得； （2）根据关于y轴的对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可作答． （3）由（1）得点关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点，连接，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：∵ ∴点C关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：点P如图所示： ∴． 23. 烟花三月的重庆天气变得非常暖和，正当春装上市之时，某商家2月初购进一批衬衣一共花费1000元，购进一批Ｔ恤一共花费3000元，每件Ｔ恤的进价比每件衬衣进价高50元，且Ｔ恤数量刚好是衬衣数量的2倍. （1）求2月初衬衣和Ｔ恤的进价各是多少元？ （2）由于2月份Ｔ恤畅销，3月初商家按照2月初的进价购进件恤进行销售，且进货的总价不超过6750元，在实际销售过程中Ｔ恤先按照标价400元卖了10件，剩余的按照标价打7折促进销售，为保证总利润不低于6790元，求满足条件的的最小值. 【答案】（1）衬衣的进价为100元，恤的进价为150元 （2）43 【解析】 【分析】（1）设2月初衬衣的进阶为元，则恤的进价为元，由题意：购进一批衬衣一共花费1000元，购进一批恤一共花费3000元，且恤数量刚好是衬衣数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）根据3月初商家按照2月初的进价购进件恤进行销售，且进货的总价不超过6750元，保证总利润不低于6790元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：设2月初衬衣的进价为元，则恤的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：2月初衬衣的进价为100元，恤的进价为150元； 小问2详解】 由题意得：， 解得：， 答：满足条件的的最小值为43． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 24. 如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得，再根据平角定义求得，再根据角平分线的定义推导，进而根据三角形的内角和定理求解即可； （2）在上截取，连接，先证明得到，，再证明，，进而证明得到，然后由可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：在上截取，连接， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】线段的和差证明问题，添加辅助线构造全等三角形是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $