数学二模模拟卷02（浙江专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解指数不等式求出集合，然后根据集合的交运算即可求解. 【解】由得，所以， 又，所以. 故选：A. 2．已知复数，，则复数的模等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出，再求出其模作答. 【解】复数，，则， 所以. 故选：B 3．已知向量满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量模的公式得，再求模即可. 【解】：因为，，， 所以，， 所以，. 又， 所以. 故选：C 4．函数的图象是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】根据函数零点及函数在时函数值的符号，利用排除法求解. 【解】令， 解得或，即函数有2个大于0的零点，排除BD选项； 又当时，，故可排除A选项. 故选：C 5．如图，已知二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，结合数量积运算可得，即可得面面夹角. 【解】由题意可知：，， 因为， 则， 即，解得， 且，则， 所以平面与平面的夹角为. 故选：C. 6．甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（    ） A．54 B．81 C．135 D．162 【答案】C 【分析】先选出选择菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两种情况讨论求解即可. 【解】菜有2人选用有种，比如甲、乙选用了菜， ①甲、乙之中有1人选用了B菜，有种，比如甲用了B菜，则乙从中任意选用1种，有种，丙从C，D，E中任意选用2种，有种，故共有 ②丙选用了B菜，丙再从中任意选用1种，有种，甲、乙再从中各任 意选用1种，有种，故共有 由①②可知所有情形是. 故选：C 7．已知数列、、的通项公式为．若对任意的；、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系列出不等式，结合数列的单调性求解不等式，确定满足条件的正整数的个数. 【解】因为，，则介于和之间，即， 因为、、的值均能构成三角形，所以需满足， 即， 当时，，所以，不满足； 当时，，所以，不满足； 当时，，所以，不满足； 当时，，所以，不满足； 当时，，所以，满足； 当时，，所以，满足； 当时，，所以，满足； 当时，，所以，不满足； 当时，增长速度比快，所以不满足， 综上，满足条件的正整数为，共个， 故选：B 8．若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】A 【分析】根据函数的周期性和对称性求解. 【解】由，，知函数关于，点对称， 结合当时，，作出函数图象如图， 为向上攀爬的类周期函数，由图象可得， 由可得， ， 由可得， ， 所以，则有， 因为，所以， 所以， 故选:A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于统计的知识，说法正确的是（    ） A．若数据的方差为0，则所有的都相等 B．已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C．数据的第70百分位数是8.5 D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为-1 【答案】AD 【分析】由方差、中位数、百分位数和相关系数的概念逐项判断即可. 【解】A项：由方差知识得，A项正确； B项：去掉其中的一个最小数和一个最大数后，中位数不变，B项错误； C项：，则70百分位数为第6个数9，C项错误； D项：样本点都在直线，则完全负相关，所以相关系数为，D项正确. 故选：AD 10．已知直线，直线，则（   ） A．直线过定点 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据直线过定点、两条直线平行与垂直以及三角形面积公式逐一分析即可. 【解】可将直线化为，令，解得，故直线过定点，故A正确. 若，则，解得，当时，直线，直线，符合题意； 当时，直线，直线，符合题意；故B正确， 若，则，解得，当时，直线，直线，符合题意；故C正确, 令直线中，则，令， 坐标轴围成的三角形面积为， ，，，当且仅当，即时等号成立， 此时，故D错误. 故选：ABC. 11．设曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上的点到坐标原点的距离的最大值为2 C．曲线上点的纵坐标的取值范围是 D．曲线的内部有9个整点（横纵坐标均为整数） 【答案】ACD 【分析】讨论与的大小关系，化简即可得到曲线关于轴对称，曲线上点的纵坐标的取值范围，由纵坐标的取值范围得到曲线上的点到坐标原点的距离最大值，列举可得曲线的内部的整点. 【解】， 当时，，平方整理得，， 当时，，平方整理得，， 曲线关于轴对称，A正确； 则曲线上点的纵坐标的取值范围是，C正确， ，当时取等号，则曲线上的点到坐标原点的距离的最大值为3，B错误； 由C知，曲线的内部的整点纵坐标可能为， 当时，令，得， 当时，令得， 当时，令得， 结合图像可得曲线内部的整点为：共9个，D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中项的系数为 . 【答案】 【分析】把二项展开，只有与相乘得到项，由此即可得到本题答案. 【解】因为 所以展开式中项的系数为. 故答案为： 13．已知抛物线，直线过点，且与交于两点，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由向量关系可得出，代入韦达定理求出的值，即可得出直线的斜率. 【解】由于过点的直线与抛物线相交于、两点，故直线斜率不为， 设直线的方程为，设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， 因为，所以，可得， 则，解得，， 解得，所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 14．在四边形ABCD中，已知，，，，若C，D两点关于y轴对称，则 ． 【答案】 【分析】设，依题意可得，即，整理即可得到的顶点C的轨迹方程，由，设，求出的轨迹方程，再将D的轨迹方程沿y轴翻折得到，与双曲线求交点坐标，即可得解； 【解】：设，，由得， 当点C在x轴上方时，，故有 当点C在x轴下方时，，故有 两者都有，所以 则，化简得 的顶点C的轨迹方程为 由，设，得点D的轨迹方程为 ，把圆沿y轴翻折得到，与联立消元，得到 解得或（舍去），所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角的对边分别为，已知 (1)求证：；(2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由正弦定理将角化边，再结合余弦定理得到，再利用正弦定理将边化角得到，即可得到，从而得证； （2）解法1：由（1）可知，再根据三角形为锐角三角形，得到角的取值范围，则，即可求出的取值范围；解法二： 利用，边化角可求其范围. 【解】（1）由余弦定理， 代入得，则， 由正弦定理得 所以， 所以,得 由知，故， 所以或（舍去）所以 （2）解法1：，由得，所以， . ， 由，得，， 所以，所以，即； 解法2：由得， 因为，所以，得， 所以，即，所以. 16．（15分）已知数列的前项和为，若数列满足，且． (1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据的关系得到数列的递推关系，再根据求出的通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【解】（1）当时，， 整理得，即，又，所以， 所以，从而．（累乘法也可） （2）因为， 所以 ． 17．（15分）如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，．    (1)证明：；(2)当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而得，进而根据菱形的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解， （2）根据体积公式可求解长度，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角即可得解. 【解】（1）证明：取中点，连接．由得，． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 又，所以四边形是菱形，从而． 又，所以平面． 又平面，所以． （2）取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 所以三棱台的高． 设，则，， 从而，解得． 以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则 ， 设平面的法向量， 则即令，则， 设直线与平面所成角为， 则． 故直线与平面所成角的正弦值为．    18．（17分）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)为椭圆上顶点，过点作直线交椭圆于两点，在第一象限，直线的斜率为，直线的斜率为. （i）证明为定值；（ii）过作垂直于轴的直线与交于点，为的中点，延长交直线于点，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析，（ii） 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和椭圆中的关系列出方程即可求解； （2）（i）联立直线方程与椭圆的方程，根据根与系数的关系和斜率公式即可求解； （ii）利用直线与的方程求出直线的方程，然后与直线的方程联立，可求得点的坐标，最后将转化为，结合的范围即可求解. 【解】（1）因为椭圆过点，且离心率为； 所以，，即；解得， 所以椭圆的方程为； （2）（i）依题意，直线的斜率存在，设，， 由，得， 所以，所以，即， ， ，解得， 又在第一象限，所以； 由（1）知，，所以， 所以； （ii） 因为直线的方程为，令，则； 又为的中点，所以，所以；所以直线的斜率； 又，所以，所以直线的方程为； 由，得； 又，所以， 当时，，此时，所以， 所以，，所以，即， 即的取值范围. 19．（17分）设，，.已知函数在处的切线方程为. (1)求的值； (2)当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例. (3)证明：若正实数满足，，则必有． 【答案】(1)(2)恒成立，证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义导数值等于切线的斜率即可求解. （2）时，将不等式恒成立，转化为恒成立，构造函数和分别证明不等式两侧恒成立即可. （3）利用（2）的结论当时，不等式恒成立，则当时，由可证明，再由可证明所以即可求解. 【解】（1）设， ，， 则函数在处的切线方程为，即 与对照，知且，所以 （2）由（1）知 结论：当时，不等式恒成立 证明：由 推得，. 设，则， 令，当时， 所以在上单调递增，又 故， 所以. 所以在上单调递增，又 所以，而 设， 则，令， 所以在上递增，又，即， 所以在上递增，又 所以，即，所以， （3）方法1：因为上递增， 故当时，必有 由（2）知当时，，所以 当时，有，即 设，对称轴 欲证，只需证，即证， 即证，即证，成立，所以 又由（2）知，所以 当时，有，即 设，在递增 欲证，只需证即证， 即证 即证，即证 即证，即证 成立，所以. 综上，， . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C C C C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【解】（1）由余弦定理， 代入得，则，······2分 由正弦定理得 所以， 所以,得 由知，故， 所以或（舍去）所以·····3分 （2）解法1：，由 得，所以，·····3分 .·····3分 ， 由，得，， 所以，所以，即；·····2分 16．（15分）【解】（1）当时，，·····3分 整理得，即，又，所以，·····3分 所以，从而．（累乘法也可）·····2分 （2）因为，·····2分 所以·····2分 ．·····3分 17．（15分）【解】（1）证明：取中点，连接．由得，． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 又，所以四边形是菱形，从而． 又，所以平面． 又平面，所以．·····5分 （2）取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 所以三棱台的高．·····2分 设，则，， 从而，解得． 以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则 ，·····3分 设平面的法向量， 则即令，则， 设直线与平面所成角为， 则． 故直线与平面所成角的正弦值为．·····5分    18．（17分）【解】（1）因为椭圆过点，且离心率为； 所以，，即；解得， 所以椭圆的方程为；·····3分 （2）（i）依题意，直线的斜率存在，设，， 由，得， 所以，所以，即， ，·····2分 ，解得，·····2分 又在第一象限，所以； 由（1）知，，所以， 所以；·····2分 （ii） 因为直线的方程为，令，则； 又为的中点，所以，·····2分 所以；所以直线的斜率；·····2分 又，所以，所以直线的方程为； 由，得；·····2分 又，所以， 当时，，此时，所以， 所以，，所以，即， 即的取值范围.·····2分 19．（17分）【解】（1）设， ，， 则函数在处的切线方程为，即 与对照，知且，所以·····3分 （2）由（1）知 结论：当时，不等式恒成立 证明：由 推得，. 设，则， 令，当时， 所以在上单调递增，又 故， 所以. 所以在上单调递增，又 所以，而·····4分 设， 则，令， 所以在上递增，又，即， 所以在上递增，又 所以，即，所以，····4分 （3）方法1：因为上递增， 故当时，必有 由（2）知当时，，所以 当时，有，即 设，对称轴 欲证，只需证，即证， 即证，即证，成立，所以····分 又由（2）知，所以 当时，有，即····3分 设，在递增 欲证，只需证即证， 即证 即证，即证 即证，即证 成立，所以.····3分 综上，， . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 口 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][CD] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，，则复数的模等于（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，，，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象是（    ） A．  B．  C．  D．   5．如图，已知二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（    ） A．54 B．81 C．135 D．162 7．已知数列、、的通项公式为．若对任意的；、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于统计的知识，说法正确的是（    ） A．若数据的方差为0，则所有的都相等 B．已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C．数据的第70百分位数是8.5 D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为-1 10．已知直线，直线，则（   ） A．直线过定点 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 11．设曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上的点到坐标原点的距离的最大值为2 C．曲线上点的纵坐标的取值范围是 D．曲线的内部有9个整点（横纵坐标均为整数） 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中项的系数为 . 13．已知抛物线，直线过点，且与交于两点，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为 ． 14．在四边形ABCD中，已知，，，，若C，D两点关于y轴对称，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角的对边分别为，已知 (1)求证：；(2)若是锐角三角形，求的取值范围． 16．（15分）已知数列的前项和为，若数列满足，且． (1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和． 17．（15分）如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，．    (1)证明：；(2)当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)为椭圆上顶点，过点作直线交椭圆于两点，在第一象限，直线的斜率为，直线的斜率为. （i）证明为定值；（ii）过作垂直于轴的直线与交于点，为的中点，延长交直线于点，求的取值范围. 19．（17分）设，，.已知函数在处的切线方程为. (1)求的值； (2)当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例. (3)证明：若正实数满足，，则必有． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，，则复数的模等于（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，，，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象是（    ） A．  B．  C．  D．   5．如图，已知二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（    ） A．54 B．81 C．135 D．162 7．已知数列、、的通项公式为．若对任意的；、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于统计的知识，说法正确的是（    ） A．若数据的方差为0，则所有的都相等 B．已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C．数据的第70百分位数是8.5 D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为-1 10．已知直线，直线，则（   ） A．直线过定点 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 11．设曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上的点到坐标原点的距离的最大值为2 C．曲线上点的纵坐标的取值范围是 D．曲线的内部有9个整点（横纵坐标均为整数） 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中项的系数为 . 13．已知抛物线，直线过点，且与交于两点，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为 ． 14．在四边形ABCD中，已知，，，，若C，D两点关于y轴对称，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角的对边分别为，已知 (1)求证：；(2)若是锐角三角形，求的取值范围． 16．（15分）已知数列的前项和为，若数列满足，且． (1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和． 17．（15分）如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，．    (1)证明：；(2)当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)为椭圆上顶点，过点作直线交椭圆于两点，在第一象限，直线的斜率为，直线的斜率为. （i）证明为定值；（ii）过作垂直于轴的直线与交于点，为的中点，延长交直线于点，求的取值范围. 19．（17分）设，，.已知函数在处的切线方程为. (1)求的值； (2)当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例. (3)证明：若正实数满足，，则必有． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $