专题16.2二次根式的乘除（高效培优讲义，5知识&8题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题16.2二次根式的乘除 教学目标 1.理解二次根式乘法法则和除法法则的推导过程，明确法则成立的条件 2.熟练运用乘除法则进行二次根式的简单运算，包括含系数的二次根式乘除运算 3.掌握积的算术平方根、商的算术平方根的性质，并能逆向运用性质化简二次根式，能判断最简二次根式，确保运算结果化为最简形式。 4.初步掌握分母有理化的基础方法，能解决简单的分母含根号的化简问题。 教学重难点 教学重点 1.二次根式乘除法则的理解和熟练运用。 2.运用积的算术平方根、商的算术平方根的性质化简二次根式，掌握最简二次根式的判断标准。 3.规范进行二次根式乘除运算，确保运算步骤清晰、结果最简。 教学难点 1.二次根式乘除法则成立条件（被开方数非负、除数不为0）的理解和应用，避免忽略条件导致运算错误。 2.逆向运用积、商的算术平方根性质化简二次根式，尤其是含字母的二次根式化简，确保化简彻底。 3.分母有理化方法的掌握和应用，突破分母含根号的化简难点。 4.含系数的二次根式乘除运算中，系数运算与根式运算的衔接，避免混淆运算顺序。 知识点01 二次根式的乘法 1.性质 3;如果 a ≥ 0， b ≥ 0，那么有 · = ，即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负 数的积的算术平方根 . 2. 性质3的推广 (1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为 积的根号外因数(式)，被开方数(式)之积作为积的被开方数(式) ，即： a · c =ac ( b ≥ 0， d ≥ 0) . (2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即 · · = ( a ≥ 0， b ≥ 0， c ≥ 0 ) . 注意：几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律使运算简便 . 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1） （2） （3） （4） 知识点02 积的算术平方根 1.积的算术平方根的性质  由等式对称性，性质 3 也可以写成= · ( a ≥ 0， b ≥ 0 ) ，即积的算术平方根等于乘积中各个因式的算术平方根的积 . 2. 积的算术平方根的性质的拓展 该性质可以推广到多个非负数的积的算术平方根的情况，如 = · · (a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0)，利用这个等式可以进行二次根式的化简. 【即学即练】计算： （1）________． （2）________． 【详解】解：（1） ． 故答案为：． （2） ， 故答案为：． 知识点03 二次根式的除法 1.性质 4  如果 a ≥ 0， b>0，那么有= 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 . 2. 性质4的推广 (1)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即 ÷ ÷ = ( a ≥ 0， b ＞ 0， c ＞ 0) . (2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商的根号外因数(式)，被开方数(式)之商作为商的被开方数(式)，即a ÷ c =(a÷ c) ( b ≥ 0，d ＞ 0， c ≠ 0) . 【即学即练】计算下列各式： (1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 知识点04 商的算术平方根 1. 商的算术平方根的性质 由等式对称性，性质 4 也可以写成= ( a ≥ 0， b ＞ 0 ) .即商的算术平方根等于商中被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 2.分母有理化:把分母中的根号去掉的过程，就是分母有理化. 3. 分母有理化的方法:当分母是 或b 的形式时，分子与分母同乘 . 【即学即练】化简： （1）__________． （2）__________． （3）__________． 【答案】 【详解】解：（1）∵ = ，而 ，， ∴原式 = . 故答案为： . （2）， . 故答案为：． （3）， . 故答案为：． 知识点05 最简二次根式 1.定义:满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. 把二次根式化简成最简二次根式的步骤 (1) “一分”，即利用因数 (式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式； (2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上； (3) “三化”，即化去被开方数中的分母 . 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，二次根式的化简． 根据最简二次根式的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、无法化简，是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选B． 题型01 性质3及性质4的运用 【例1-1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 选项A：和在实数范围内无意义，原运算错误，不符合题意； 选项B：，原运算错误，不符合题意， 选项C：，原运算正确，符合题意； 选项D：，原运算错误，不符合题意， 故选：C． 【例1-2】（23-24八年级下·安徽合肥·月考）若在实数范围内成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的除法法则，根据直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， 解得：， 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）计算的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算、无理数估算大小等知识，熟练掌握二次根式运算法则是解题关键．首先计算，然后估算的大小，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，即的值在3和4之间． 故选：C． 【变式1-2】如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则分析即可求出答案．本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 【详解】解：当，时，，故选项不正确； 当时，，故选项不正确； 当，时，，故选项不正确； ∵， ∴，故选项D正确， 故选：D． 题型02 利用二次根式的性质把根号外的因数（式）移到根号内 【例2】对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：由题意可得：，∴ ∴ 故选：C 【变式2-1】化简的结果为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移到根号内，进而化简式子. 【详解】解：由二次根式的被开方数为非负数且分母不为0，得， ∴ ∴原式. 【变式2-2】求把根号外数放到根号内的值______ 【答案】 【分析】由题意可知a＜0，再利用根式的性质即可算出结果． 【详解】解：要使根式有意义，则−≥0，解得a＜0， ∴=−(−a) =−=． 故答案为： 题型03 二次根式乘除混合运算 【例3-1】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 故选：C． 【例3-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算_____． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【例3-3】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算：． 【详解】解： ． 【变式3-1】（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）化简： 【详解】解： ． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型04 二次根式的大小比较 【例4-1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）比较大小：______（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，由于两个二次根式都大于0，因为只需要比较出两个二次根式平方后的结果的大小即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 【例4-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）比较大小：______（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握二次根式的性质是解题关键．由二次根式的性质可得，再根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 【例4-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）比较大小：________（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据，可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小：_______（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）比较大小：______（填“或或”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ∴． 故答案为：． 题型05 化二次根式为最简二次根式 【例5-1】化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【例5-2】阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式5-1】已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 【变式5-2】（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）计算的结果是_________． 【答案】 【详解】解： ； 故答案为：． 题型06 分母有理化 【例6】（24-25八年级下·安徽黄山·期中）式子的倒数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的倒数是 ， 故选：． 【变式6-1】（22-23八年级下·安徽蚌埠·月考）已知，，，那么，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， ， ，，都是正数， ， 故选：A． 【变式6-2】化简的结果是___________． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【变式6-3】二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：， ， 故． 题型07 利用二次根式的乘除解决实际问题 【例7】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，求肇事汽车的车速．（结果化为最简二次根式） 【详解】解：将代入， 得， 答：肇事汽车的车速是． 【变式7】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：s），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为多少？（结果保留整数；参考数据：） 【详解】解：一个周期 在内该摆钟发出滴答声的次数约为159． 题型08 有关二次根式乘除的规律探究 【例8】（23-24八年级下·安徽合肥·月考）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 【变式8-1】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 【答案】C 【详解】∵ ∴用含的等式表示为 ∴． 故选C． 【变式8-2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知按规律排列的一列二次根式如下：，，，， (1)根据你发现的规律猜想第个式子是多少 (2)当时，求它与前面所有的二次根式的积． 【详解】（1）解：，，，， 第个式子是； （2）当时，，它与前面所有的二次根式的积为： ． 【变式8-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：观察以上规律，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ，即， 一、选择题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、是最简二次根式，本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 2.计算的结果为（    ） A．11 B． C．30 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键． 利用二次根式的乘法运算法则，将被开方数分别开方后相乘即可． 【详解】解： ， 故选：C． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若（为连续整数），则的值分别为（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴的值分别为5和6． 故选：C． 二、填空题 4.（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）计算的结果是______． 【答案】2 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知一直角三角形的两条直角边长分别为，，则这个直角三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的意义，三角形的面积公式，根据直角三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个直角三角形的面积为 故答案为：． 6．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：，___________（在横线上写出第50个数）． 【答案】 【详解】解：第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第四个数为：， ∴若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：， ∴第50个数为：， 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 8．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 【答案】2 【详解】解： ． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 10．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）计算：． 【答案】28 【详解】解： 11．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 12．（23-24八年级下·安徽六安·月考）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 13．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式      ． 15．（22-23八年级下·安徽亳州·月考）若，求的值 【答案】 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知 ， 解得， ∴， ∴． 16．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中） 若x、y为实数， 且，求 的值． 【答案】 【详解】解：由题意可知， 解得， ∴， ． 17．阅读下面材料： 老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面一道题： 已知，用含的代数式表示． 小明，小黑两名同学跑上讲台，写了如下两种解法． 小明：． 小黑：． 请按上述两种方法解答：已知，用含的式子表示． 【答案】小明：；小黑： 【分析】仔细阅读两同学的解题过程，然后仿照其过程分别计算． 【详解】解：小明：======； 小黑：====== 18．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）知识链接：我们利用平方差公式可以计算形如的运算． 例：． 请仿照例子计算：． 【答案】 【详解】原式 ． 19．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为5，6，7，即，，． ∴． 根据海伦公式，得该三角形的面积． （2）∵三角形的三边长分别为，，，即，，， ∴，，． 根据秦九韶公式，得该三角形的面积． 20．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． 已知：，求： (1)①求代数式中的取值范围 ②求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 【详解】（1）解：① 由二根式有意义的条件得到：， 解得， 即的取值范围是； ②∵ ， 而， ∴； （2）解：由（1）得， 而， 两式相加得到， 即， 则， 解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.2二次根式的乘除 教学目标 1.理解二次根式乘法法则和除法法则的推导过程，明确法则成立的条件 2.熟练运用乘除法则进行二次根式的简单运算，包括含系数的二次根式乘除运算 3.掌握积的算术平方根、商的算术平方根的性质，并能逆向运用性质化简二次根式，能判断最简二次根式，确保运算结果化为最简形式。 4.初步掌握分母有理化的基础方法，能解决简单的分母含根号的化简问题。 教学重难点 教学重点 1.二次根式乘除法则的理解和熟练运用。 2.运用积的算术平方根、商的算术平方根的性质化简二次根式，掌握最简二次根式的判断标准。 3.规范进行二次根式乘除运算，确保运算步骤清晰、结果最简。 教学难点 1.二次根式乘除法则成立条件（被开方数非负、除数不为0）的理解和应用，避免忽略条件导致运算错误。 2.逆向运用积、商的算术平方根性质化简二次根式，尤其是含字母的二次根式化简，确保化简彻底。 3.分母有理化方法的掌握和应用，突破分母含根号的化简难点。 4.含系数的二次根式乘除运算中，系数运算与根式运算的衔接，避免混淆运算顺序。 知识点01 二次根式的乘法 1.性质 3;如果 a ≥ 0， b ≥ 0，那么有 · = ，即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负 数的积的算术平方根 . 2. 性质3的推广 (1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为 积的根号外因数(式)，被开方数(式)之积作为积的被开方数(式) ，即： a · c =ac ( b ≥ 0， d ≥ 0) . (2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即 · · = ( a ≥ 0， b ≥ 0， c ≥ 0 ) . 注意：几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律使运算简便 . 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点02 积的算术平方根 1.积的算术平方根的性质  由等式对称性，性质 3 也可以写成= · ( a ≥ 0， b ≥ 0 ) ，即积的算术平方根等于乘积中各个因式的算术平方根的积 . 2. 积的算术平方根的性质的拓展 该性质可以推广到多个非负数的积的算术平方根的情况，如 = · · (a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0)，利用这个等式可以进行二次根式的化简. 【即学即练】计算： （1）________． （2）________． 知识点03 二次根式的除法 1.性质 4  如果 a ≥ 0， b>0，那么有= 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 . 2. 性质4的推广 (1)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即 ÷ ÷ = ( a ≥ 0， b ＞ 0， c ＞ 0) . (2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商的根号外因数(式)，被开方数(式)之商作为商的被开方数(式)，即a ÷ c =(a÷ c) ( b ≥ 0，d ＞ 0， c ≠ 0) . 【即学即练】计算下列各式： (1) (2) (3) 知识点04 商的算术平方根 1. 商的算术平方根的性质 由等式对称性，性质 4 也可以写成= ( a ≥ 0， b ＞ 0 ) .即商的算术平方根等于商中被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 2.分母有理化:把分母中的根号去掉的过程，就是分母有理化. 3. 分母有理化的方法:当分母是 或b 的形式时，分子与分母同乘 . 【即学即练】化简： （1）__________． （2）__________．（3）__________． 知识点05 最简二次根式 1.定义:满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. 把二次根式化简成最简二次根式的步骤 (1) “一分”，即利用因数 (式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式； (2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上； (3) “三化”，即化去被开方数中的分母 . 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型01 性质3及性质4的运用 【例1-1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24八年级下·安徽合肥·月考）若在实数范围内成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）计算的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式1-2】如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【变式1-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 题型02 利用二次根式的性质把根号外的因数（式）移到根号内 【例2】对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】化简的结果为______． 【变式2-2】求把根号外数放到根号内的值______ 题型03 二次根式乘除混合运算 【例3-1】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算_____． 【例3-3】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算：． 【变式3-1】（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）化简： 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【变式3-3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型04 二次根式的大小比较 【例4-1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）比较大小：______（填“”或“”）． 【例4-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）比较大小：______（填“”或“”或“”） 【例4-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）比较大小：________（填“”或“”或“”） 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小：_______（填“”、“”或“”） 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）比较大小：______（填“或或”）． 题型05 化二次根式为最简二次根式 【例5-1】化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【例5-2】阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【变式5-1】已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【变式5-2】（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）计算的结果是_________． 题型06 分母有理化 【例6】（24-25八年级下·安徽黄山·期中）式子的倒数是（      ） A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23八年级下·安徽蚌埠·月考）已知，，，那么，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】化简的结果是___________． 【变式6-3】二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 题型07 利用二次根式的乘除解决实际问题 【例7】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，求肇事汽车的车速．（结果化为最简二次根式） 【变式7】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：s），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为多少？（结果保留整数；参考数据：） 题型08 有关二次根式乘除的规律探究 【例8】（23-24八年级下·安徽合肥·月考）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【变式8-1】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 【变式8-2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知按规律排列的一列二次根式如下：，，，， (1)根据你发现的规律猜想第个式子是多少 (2)当时，求它与前面所有的二次根式的积． 【变式8-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 一、选择题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2.计算的结果为（    ） A．11 B． C．30 D． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若（为连续整数），则的值分别为（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 二、填空题 4.（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）计算的结果是______． 5．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知一直角三角形的两条直角边长分别为，，则这个直角三角形的面积为______． 6．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：，___________（在横线上写出第50个数）． 三、解答题 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 8．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算：． 10．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）计算：． 11．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）计算： 12．（23-24八年级下·安徽六安·月考）计算：． 13．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 15．（22-23八年级下·安徽亳州·月考）若，求的值 16．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中） 若x、y为实数， 且，求 的值． 17．阅读下面材料： 老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面一道题： 已知，用含的代数式表示． 小明，小黑两名同学跑上讲台，写了如下两种解法． 小明：． 小黑：． 请按上述两种方法解答：已知，用含的式子表示． 18．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）知识链接：我们利用平方差公式可以计算形如的运算． 例：． 请仿照例子计算：． 19．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 20．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． 已知：，求： (1)①求代数式中的取值范围 ②求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $