精品解析：广东省茂名市茂南区茂名市愉园中学等校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025-2026 学年度初三期末质量监测 数学科试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、是中心对称图形而不是轴对称图形； B、是轴对称图形而不是中心对称图形； C、是中心对称图形而不是轴对称图形； D、既是轴对称图形也是中心对称图形． 2. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键． 根据正切的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：B． 3. 方程配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键．先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可． 【详解】， ， ， 故选：B 4. 中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图的相关知识；观察哪个几何体的三视图中有正方形，三角形及长方形即可． 【详解】解：A、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故本选项不符合题意； B、三视图分别为正方形，三角形及长方形，故本选项符合题意； C、三视图分别为长方形，长方形及圆，故本选项不符合题意； D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，通过根与系数的关系求出和的值，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：A 6. 将抛物线向左平移3单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据二次函数的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3单位，再向下平移2个单位， 得到的抛物线是． 故选：C． 7. 如图，点A，B，C，D都在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，根据垂径定理的即可求得：，然后由圆周角定理，即可求得的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理，解题的关键是掌握数形结合思想的应用． 8. 在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（ ） A. 80个 B. 75个 C. 70个 D. 60个 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，然后估计白棋子的个数即可． 【详解】解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子， ∴摸到黑色棋子的概率约为， ∴摸到白色棋子的概率约为， ∵共有10可黑色棋子， ∴设有个白色棋子，则， 解得：，经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率，难度不大． 9. 如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，，，得到，可证，得到，计算即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的顶点在正方形的边上， ∴，，，， ，， ， ， ， ， 故选：D ． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④（为实数）；⑤若，，是该抛物线上的三点，则．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质、二次函数与系数之间的关系，根据二次函数的对称轴即可判断①；根据抛物线与x轴的两个交点的位置可判断抛物线与y轴交点的位置判断的符号，根据开口方向以及对称轴判断的符号，即可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点的位置可得点的位置，即可判断③；根据抛物线的对称轴求出顶点坐标为，由此可得为抛物线的最大值，即可判断④；根据抛物线开口向下，且对称轴为，可得抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，顶点在第二象限，与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴ ∵ ∴ 故②错误； 对于，当时，， ∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间，顶点在第二象限，开口向下， ∴点在第二象限， ∴， 由①得，，即， ∴， 即，故③正确； 对于，当时，，当（t为实数）时，， ∵抛物线对称轴为， ∴点为抛物线的顶点， 又∵抛物线开口向下， ∴为抛物线的最大值， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下，且对称轴为， 观察图象可得，在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大， ∴，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共4个， 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知反比例函数的图象经过点（2，﹣3），则此函数的关系式是________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：利用待定系数法，直接把已知点代入函数的解析式即可求得k=-6，所以函数的解析式为：. 12. 如图，在中，，，点D为的中点，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记直角三角形斜边中线性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵，点为的中点， ， 故答案为：7． 13. 已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．设的周长为，根据相似三角形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：设的周长为， ∵且相似比为，若的周长为20， ， 解得：， 所以的周长是15， 故答案为：15． 14. 如图，有一个底部呈球体的烧瓶，球的半径为5cm．若瓶内液体的深度，则截面圆中AB的长为________cm． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意知，，利用勾股定理求长即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，且，．连接与相交于F．则图中四边形的面积为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由题意可证四边形是菱形，由菱形的性质首先求得的面积，然后证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ∴， 连接交于点M， ∴四边形是平行四边形，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 为落实国家“双减”政策，某中学开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有_______人； （2）条形统计图中m的值为________，扇形统计图中a的度数为_______； （3）现从“文学社团”里表现优秀甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）300 （2）55， （3） 【解析】 【分析】（1）的人数除以所占的比例求出总人数； （2）总数减去其他组的人数求出的值， 360 度乘以组人数所占的比例求出圆心角的度数； （3）画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴参加问卷调查的学生共有 300 人． 【小问2详解】 解：由题意得：． 【小问3详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用表示， 根据题意可画树状图如下： 由上图可知，共有 12 种等可能的结果，符合条件的结果有 2 种， 故恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 18. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，此时太阳光线与地面的夹角为．（参考数据：，，） （1）据研究，当一个人从遮阳篷进出时，如果遮阳篷外端（即图中）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳篷时是否有安全感； （2）求阴影的长．（结果精确到0.1米） 【答案】（1）人进出此遮阳篷时有安全感 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点A作于点F，通过解直角三角形，求得；比较解答即可． （2）过点A作于点F，过点D作于点G，解直角三角形求解即可． 本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． 【小问1详解】 解：过点A作于点F， 则， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴， 故人进出此遮阳篷时有安全感． 【小问2详解】 解：过点A作于点F，过点D作于点G， 根据（1）的解答，得，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， 答：阴影的长米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2． （1）求反比例函数的解析式； （2）设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 【答案】（1）； （2）4或． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质等知识．关键在于结合图形找点的坐标． （1）根据的面积为2，可求出点的坐标，即可求解． （2）分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：的面积为2，反比例函数的图象经过第一象限， ， ， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设正方形为， 当顶点在反比例函数的图象上时，点与点重合，即． 把代入，得， 点的坐标为， ， ； 当顶点在反比例函数的图象上时，， 点的坐标为， ． 整理，得， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为4或． 20. 如图，为的直径，点在上，为弧的中点，过点作直线于，连接． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）解：相切，证明如下： 连接， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 直线与相切； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，再得到，进而得到，问题得证； （2）证明，得到，即可求出AB． 【详解】（1）略 （2）为直径， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理，添加适当辅助线是解题关键． 21. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，请写出x与y之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）请画出上述函数的大致图象； （3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小丽解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ， 即. ∵降价要确保盈利， ∴.解得． （2）上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图1： （3）∵， ∴当时，y有最大值，. 所以，当降价2.5元时，每星期的利润 最大，最大利润为6125． 老师看了小丽的解题过程，说小马第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）（3）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）（3）中正确的答案，或说明错误原因． 【答案】（1）自变量x的取值范围是，且x为整数 （2） 如图: （3）当降价元或3元时，利润最大为元 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）． （1）根据题意即可得到结论； （2）根据函数解析式得到相关数据，画出图象即可； （3）根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：， 即， ∵降价要确保盈利， ∴． 解得，且x为整数； 【小问2详解】 解：函数不能为实线，是图象中，当时，对应的20个有限点 【小问3详解】 解：若x只取正整数，则x就不能取2.5，结果就不是6125元， 显然，只有当或3时， y有最大值，y最大值元， 答：当降价元或3元时，利润最大为元． 五、解答题（三）∶本大题共2小题，第22题13分，第24题14分，共27分． 22. 如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接、，当的面积为时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入求解即可； （2）当时，求出，得出，利用，即可求出直线解析式； （3）设，则 ， 得出，利用，列式求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线与轴交于点， 当时，， ， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ， 解得：， 直线的解析式为； 【小问3详解】 解：设，则， ， 的面积为， ， 解得：，， ∵轴于点， 当的面积为时，点的横坐标为或． 23. 如图，在中，，如果，为的三等分线，交底边于点，，且，那么我们把叫做型等腰三角形，若，则就叫做型等腰三角形． （1）在型等腰三角形中， 求证：； 若，求的值； （2），在中，和为半径，，为的三等分线，分别交于点，若为型等腰三角形，求的值． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得；先根据等边对等角，三角形内角和定理证明，再证，由对应边成比例得，由此得出的值即可； （2）连接、、、．由得，进而证明，再证，根据对应边成比例列式求解． 【小问1详解】 解：证明：如图中， ， ， ， 在和中， ， ． 解：由可知，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 或舍弃， ， ． 【小问2详解】 解：如图中，连接、、、． 为型等腰三角形， ， 设，则， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 设， ， ， ， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年度初三期末质量监测 数学科试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 方程配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 6. 将抛物线向左平移3单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C，D都在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（ ） A. 80个 B. 75个 C. 70个 D. 60个 9. 如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④（为实数）；⑤若，，是该抛物线上的三点，则．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知反比例函数的图象经过点（2，﹣3），则此函数的关系式是________． 12. 如图，在中，，，点D为的中点，则_____． 13. 已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是__________． 14. 如图，有一个底部呈球体的烧瓶，球的半径为5cm．若瓶内液体的深度，则截面圆中AB的长为________cm． 15. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，且，．连接与相交于F．则图中四边形的面积为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 为落实国家“双减”政策，某中学开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有_______人； （2）条形统计图中m的值为________，扇形统计图中a的度数为_______； （3）现从“文学社团”里表现优秀甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 18. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，此时太阳光线与地面的夹角为．（参考数据：，，） （1）据研究，当一个人从遮阳篷进出时，如果遮阳篷外端（即图中）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳篷时是否有安全感； （2）求阴影的长．（结果精确到0.1米） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2． （1）求反比例函数的解析式； （2）设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 20. 如图，为的直径，点在上，为弧的中点，过点作直线于，连接． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 21. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，请写出x与y之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）请画出上述函数的大致图象； （3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小丽解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ， 即. ∵降价要确保盈利， ∴.解得． （2）上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图1： （3）∵， ∴当时，y有最大值，. 所以，当降价2.5元时，每星期的利润 最大，最大利润为6125． 老师看了小丽的解题过程，说小马第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）（3）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）（3）中正确的答案，或说明错误原因． 五、解答题（三）∶本大题共2小题，第22题13分，第24题14分，共27分． 22. 如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接、，当的面积为时，求点的横坐标． 23. 如图，在中，，如果，为的三等分线，交底边于点，，且，那么我们把叫做型等腰三角形，若，则就叫做型等腰三角形． （1）在型等腰三角形中， 求证：； 若，求的值； （2），在中，和为半径，，为的三等分线，分别交于点，若为型等腰三角形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $