数学一模突破卷（甘肃兰州专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D B A A C C A A A A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12． 13．200 14．3 15．14 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（5分）【详解】解：原式 ........................3分 ........................5分 17.（5分）【详解】解： ．........................3分 经检验：是方程的解， 故原方程的解为．........................5分 18.（5分）【详解】解： 解不等式①得：........................1分 解不等式②得：........................2分 ∴不等式组的解集为：，........................3分 在数轴上表示不等式的解集如图所示： ........................5分 19.（7分）【详解】（1）解： 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，．........................1分 反比例函数解析式为， 由条件可得， 解得，........................3分 一次函数解析式为； （2）解：如图所示： ∵，是两三角形的公共边， ∴以为底的两边的高相等， 又∵，，点E横坐标为n，且 ， ∴， 解得，........................5分 把代入，得， ．........................7分 20.（7分）【详解】解： 如图，过点作垂线，与交于点，设拱桥最高点到的高度为，则米， ，， ，........................2分 米， ， ，........................2分 米， 米， ， 解得米，........................5分 桥拱最高点C到水面的距离为米． 答：桥拱最高点C到水面的距离约为米．........................7分 21.（7分）【详解】（1）解：∵长方体形的盒子底面积为，高为， ∴长方体的容积为：，........................2分 故答案为：； （2）解：①当时，；........................3分 当时，，........................4分 补图如图： ②当h从1到3时，容积随小正方形边长x的增大而增大； 当h从3到9时，容积随小正方形边长x的增大而减小； 当时，容积最大，最大值为．........................7分 22.（7分）【详解】（1）解：如图，所示即为所求， ；........................2分 （2）证明： （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） （等量代换），........................4分 故答案为：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换； （3）解：如图所示，即为所求， ........................7分 23.（7分）【详解】（1）解：由题意知样本容量为； ；........................2分 ； ．........................3分 故答案为： 50，12，24，0.12 （2）一共50名同学，从小到大排列后，中位数为第25位和第26位数的平均数，，两组共有20人，且C组有24人， ∴所抽取学生成绩的中位数落在C组． 依据题意补全频数分布直方图如下图所示： ........................5分 （3）成绩不低于80分的学生有：（名）， 答：估计成绩不低于80分的学生有720名．........................7分 24.（7分）【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线；........................2分 （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴，........................3分 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，........................5分 在中，， ∴， ∴， ∴．........................7分 25.（9分）【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，........................2分 在和中， ， ∴． ∴；........................3分 （2）证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∴．........................4分 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴．........................5分 ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． ∴． ∴． ∵四边形为正方形，      ， ；........................6分 （3）解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接． ， ∴． ∴． 连接交于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度．........................7分 由（2）易得：． ∴，． ∵． ∴． ∴．........................8分 过N作于H． ∵， ∴． ∴， ， ．........................9分 26.（9分）【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴ ∵直线与抛物线交于两点， ∴， 解得：，，........................2分 当时，；当时，， ∴，． ∴........................3分 ∵， ∴当时，有最大值，最大为， ∵把代入点中， ∴点；........................4分 （2）由（1）得，当时，有最大值， ∴将代入点得：点， ∵，， 点的中点坐标为点，即点，........................5分 ∴点和点重合， ∴当面积最大时，点为线段的中点；........................6分 （3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大． 证明：设抛物线解析式为：，直线：， 直线与抛物线交于两点，设， ∴则方程的解为：，， ∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴，即为关于的二次函数， ∵当时，，， 由二次函数对称性知，当时，有最大值， ∵ ∴当时，有最大值， ∴，即点为线段中点． ∴当直线过线段中点时（或），最大．........................9分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B1[CJ[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][BJ[C1[D1 10.[A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 11.[A][B][C][D] 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][CJ[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分） 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(5分)计算：(V3-V21-2sim45°+N5-2-(1-m°. 17.(5分) 解分式方程：后。是=1. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(7分) B 21.(7分) V/cm 500 512 20 400 384 300 324 252 20 200 100 128 36 o123456789icm 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) M M W B FN B 图1 图2 图3 23.(7分) ◆频数 24 品 16 12 8 4 60708090100成绩/分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(7分) E A O B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(9分) M M M B B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) y=x2-4x+2 E -2-10 4 y=-x+2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．“负算”是中国古代数学中表示负数的术语，其概念及使用方法最早记载于《九章算术》，领先世界各国古人常用算筹颜色区分正负数：红为正．黑为负．例如．红色算筹“|||”表示的数是．则黑色算筹“≡|||||”表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．兰州志成中学在3月14日举办的第一届数学文化节中策划了“竞速华容道”“玩转魔方”和“巧解九连环”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（    ） A． B． C． D． 8．甘肃省定西市是“中国马铃薯之乡”．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯吨．今年采用新技术，甲基地增产，乙基地增产，两基地总产量达到吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形中，是边的中点，为边上一点，过点作于点，交于点．若，，则的值为(   ) A． B． C． D． 11．如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．分解因式：_________________ ． 13．某商品利润是32元，利润率为，则此商品的进价是_____________． 14．如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 _____ ． 15．如图，M、N分别是的边和的中点，D为上任意一点，连接，将沿方向平移到的位置，且在边上，已知的面积为7，则图中阴影部分的面积为_____________． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解分式方程：． 18．（5分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是反比例函数图象上的一点，且横坐标，过点作轴交于点，连接，当时，求点的坐标． 20．（7分）如图，兰州市黄河风情线上的“中山桥”是历史名桥．某数学兴趣小组用无人机测量桥拱最高点距水面的高度．如图，无人机在桥拱最高点上方米处水平飞行，并保持与水面平行．当无人机飞到点时，测得桥拱边缘点的俯角为，边缘点的俯角为．已知点、到水面的距离均为米，且桥拱底部的长度为米，求桥拱最高点到水面的距离．（参考数据：，，） 21．（7分）综合与实践：制作一个无盖的长方体形纸盒 在六年级第一学期要先后学习《丰富的图形世界》、《有理数及其运算》、《整式及其加减》、《数据的收集与整理》等内容，该年级“综合与实践”小组的同学在本学期系统学习了这些内容后，开展了“制作一个无盖的长方体形纸盒”的实践活动． 【问题情境】 “综合与实践”小组的同学计划利用一张边长为的正方形的纸板制成一个无盖的长方体形纸盒．他们经过讨论决定，按照如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体形纸盒，如图2． 【问题解决】 根据实践过程，请你帮助“综合与实践”小组的同学完成以下的问题（纸张厚度及接缝处忽略不计）： (1)制成的长方体形的纸盒中，长方体的高（即减掉正方形的边长）为，则长方体形纸盒的容积为_________．（用含有h的代数式表示，不需要化简） (2)如果剪去的小正方形的边长的值按整数值依次增大，制成的无盖的长方体形纸盒的容积则随之变化，其变化情况如表： 剪去的小正方形的边长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 长方体的容积 324 512 m 576 n 384 252 128 36 0 ①计算表中的m与n的值，并补全折线统计图（如图3）； ②观察表格和折线统计图，可以发现随着剪去的小正方形的边长的值的增大长方体容积的变化趋势，请你再进一步结合自己的深度思考，直接写出一个使得无盖长方体形纸盒容积最大的h的近似值． 22．（7分）【观察发现】折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以由作一对对应点连线段的垂直平分线得到，如图1，在中，，①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于两点，作直线，交于点，交于点；③连接． 【操作体验】（1）根据“观察发现”中的步骤，用尺规作图； 【推理论证】（2）在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与BC边交于点，连．小亮根据上面步骤得出，请你补全括号里的证明依据； 证明： （           依据1                  ） （             依据2                 ） 【拓展探究】（3）对称的性质在日常生活中也有重要的应用．如图3，某地有两个村庄和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库（在内），希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该仓库P．（保留作图痕迹，不写作法） 23．（7分）2025年横空出世的DeepSeek可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过与人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了DeepSeek的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对DeepSeek掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩x/分 频数 频率 A 8 0.16 B m 0.24 C n 0.48 D 6 p 调查结论 …… (1)上述表格中，样本容量为________，________，________，________； (2)所抽取学生成绩的中位数落在________组；补全频数分布直方图； (3)若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？ 24．（7分）如图，为的直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 25．（9分）综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． (1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 26．（9分）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．“负算”是中国古代数学中表示负数的术语，其概念及使用方法最早记载于《九章算术》，领先世界各国古人常用算筹颜色区分正负数：红为正．黑为负．例如．红色算筹“|||”表示的数是．则黑色算筹“≡|||||”表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．兰州志成中学在3月14日举办的第一届数学文化节中策划了“竞速华容道”“玩转魔方”和“巧解九连环”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（    ） A． B． C． D． 8．甘肃省定西市是“中国马铃薯之乡”．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯吨．今年采用新技术，甲基地增产，乙基地增产，两基地总产量达到吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形中，是边的中点，为边上一点，过点作于点，交于点．若，，则的值为(   ) A． B． C． D． 11．如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．分解因式：_________________ ． 13．某商品利润是32元，利润率为，则此商品的进价是_____________． 14．如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 _____ ． 15．如图，M、N分别是的边和的中点，D为上任意一点，连接，将沿方向平移到的位置，且在边上，已知的面积为7，则图中阴影部分的面积为_____________． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解分式方程：． 18．（5分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是反比例函数图象上的一点，且横坐标，过点作轴交于点，连接，当时，求点的坐标． 20．（7分）如图，兰州市黄河风情线上的“中山桥”是历史名桥．某数学兴趣小组用无人机测量桥拱最高点距水面的高度．如图，无人机在桥拱最高点上方米处水平飞行，并保持与水面平行．当无人机飞到点时，测得桥拱边缘点的俯角为，边缘点的俯角为．已知点、到水面的距离均为米，且桥拱底部的长度为米，求桥拱最高点到水面的距离．（参考数据：，，） 21．（7分）综合与实践：制作一个无盖的长方体形纸盒 在六年级第一学期要先后学习《丰富的图形世界》、《有理数及其运算》、《整式及其加减》、《数据的收集与整理》等内容，该年级“综合与实践”小组的同学在本学期系统学习了这些内容后，开展了“制作一个无盖的长方体形纸盒”的实践活动． 【问题情境】 “综合与实践”小组的同学计划利用一张边长为的正方形的纸板制成一个无盖的长方体形纸盒．他们经过讨论决定，按照如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体形纸盒，如图2． 【问题解决】 根据实践过程，请你帮助“综合与实践”小组的同学完成以下的问题（纸张厚度及接缝处忽略不计）： (1)制成的长方体形的纸盒中，长方体的高（即减掉正方形的边长）为，则长方体形纸盒的容积为_________．（用含有h的代数式表示，不需要化简） (2)如果剪去的小正方形的边长的值按整数值依次增大，制成的无盖的长方体形纸盒的容积则随之变化，其变化情况如表： 剪去的小正方形的边长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 长方体的容积 324 512 m 576 n 384 252 128 36 0 ①计算表中的m与n的值，并补全折线统计图（如图3）； ②观察表格和折线统计图，可以发现随着剪去的小正方形的边长的值的增大长方体容积的变化趋势，请你再进一步结合自己的深度思考，直接写出一个使得无盖长方体形纸盒容积最大的h的近似值． 22．（7分）【观察发现】折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以由作一对对应点连线段的垂直平分线得到，如图1，在中，，①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于两点，作直线，交于点，交于点；③连接． 【操作体验】（1）根据“观察发现”中的步骤，用尺规作图； 【推理论证】（2）在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与BC边交于点，连．小亮根据上面步骤得出，请你补全括号里的证明依据； 证明： （           依据1                  ） （             依据2                 ） 【拓展探究】（3）对称的性质在日常生活中也有重要的应用．如图3，某地有两个村庄和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库（在内），希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该仓库P．（保留作图痕迹，不写作法） 23．（7分）2025年横空出世的DeepSeek可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过与人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了DeepSeek的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对DeepSeek掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩x/分 频数 频率 A 8 0.16 B m 0.24 C n 0.48 D 6 p 调查结论 …… (1)上述表格中，样本容量为________，________，________，________； (2)所抽取学生成绩的中位数落在________组；补全频数分布直方图； (3)若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？ 24．（7分）如图，为的直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 25．（9分）综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． (1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 26．（9分）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．“负算”是中国古代数学中表示负数的术语，其概念及使用方法最早记载于《九章算术》，领先世界各国古人常用算筹颜色区分正负数：红为正．黑为负．例如．红色算筹“|||”表示的数是．则黑色算筹“≡|||||”表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数，根据算筹的颜色表示正负，红色为正，黑色为负，算筹的表示方法中，横式用于十位，纵式用于个位，数字由线条数量决定，即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵红色算筹“=|||”表示，“=”为两条横线，表示横式2（十位），“|||”为三条竖线，表示纵式3（个位），红色表示正数， ∴黑色算筹“≡|||||”中，“≡”为三条横线，表示横式3（十位），“|||||”为五条竖线，表示纵式5（个位），故数字为35， ∵黑色表示负数， ∴该数为， 故选：． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、积的乘方、完全平方公式和同底数幂的除法，需熟练掌握基本运算法则． 通过直接计算每个选项，利用整式的加法、幂的运算和完全平方公式等初中知识进行判断即可． 【详解】解：选项A：，错误，不符合题意； 选项B：，错误，不符合题意； 选项C：，错误，不符合题意； 选项D：，， ∴ ，与右边相等，正确，符合题意； 故选：D． 3．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，坐标的加减运算，掌握点的平移规律是解题关键． 根据点的平移规律：向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，依次计算即可． 【详解】解：∵点向左平移个单位长度， ∴横坐标变为，纵坐标不变， ∴平移后点为； 再向上平移个单位长度， ∴横坐标不变，纵坐标变为， ∴点的坐标为． 故选：． 5．若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的坐标性质，关键通过代入法计算横坐标后比较大小，注意负数的大小比较易错点．根据反比例函数的图象和性质，通过坐标代入计算各点横坐标的值，再比较大小关系． 【详解】解：点、、三点在反比例函数的图象上， 代入点，得，解得；   代入点，得，解得；   代入点，得，解得．   可知大小关系为，即．   故选：A． 6．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由旋转可得：，由垂直可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， 于点， ， ， 故选：C． 7．每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．兰州志成中学在3月14日举办的第一届数学文化节中策划了“竞速华容道”“玩转魔方”和“巧解九连环”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转魔方”和“巧解九连环”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故选：C． 8．甘肃省定西市是“中国马铃薯之乡”．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯吨．今年采用新技术，甲基地增产，乙基地增产，两基地总产量达到吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，增长率问题的列式，找到等量关系是解题关键． 根据去年总产量吨列第一方程，再由今年增产比例和总产量吨列第二方程，据此进行判断即可． 【详解】解：∵去年甲产量吨，乙产量吨，总产量吨， ∴， ∵今年甲增产，即产量为吨，乙增产，即产量为吨，总产量吨， ∴， ∴方程组为． 故选：A． 9．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 10．如图，菱形中，是边的中点，为边上一点，过点作于点，交于点．若，，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．延长，交于，可证明，得到，再证明，则可利用勾股定理得到，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长，交于， 四边形是菱形， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 11．如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与图形运动，二次函数的图象性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，分别列出与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积y的表达式，然后结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向下的二次函数， 如图所示： 依题意， 则 ∴ 故， 同理得出是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向上的二次函数， 观察四个选项，唯有A选项符合题意； 故选：A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．分解因式：_________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 13．某商品利润是32元，利润率为，则此商品的进价是_____________． 【答案】200 【分析】该题考查了分式方程，根据利润率的定义，利润率利润进价，已知利润为32元，利润率为，可通过公式变形求进价． 【详解】解：设进价为元， 由利润率公式得， 即． 解得：． 故答案为：200． 14．如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 _____ ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理以及角平分线的性质，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点D作于点E，由勾股定理得，再由角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，，， ∴，， ∵平分， ∴， 即点D到的距离为3， 故答案为：3． 15．如图，M、N分别是的边和的中点，D为上任意一点，连接，将沿方向平移到的位置，且在边上，已知的面积为7，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】14 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和相似三角形的性质以及平移的性质，属于中等难度题型．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 根据三角形中位线定理得到，得到，根据相似三角形的性质和平移的性质计算即可． 【详解】解：∵分别是的边和的中点， ， ， ∴，相似比为， ∵的面积为 7 ， ，则， 由平移的性质可知，的面积的面积， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：14． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简二次根式，化简绝对值，计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法． 【详解】解：原式 17．（5分）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，先将分式方程化为一元一次方程，再求解，最后检验即可． 【详解】解： ． 经检验：是方程的解， 故原方程的解为． 18．（5分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式的解集如图所示： 19．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是反比例函数图象上的一点，且横坐标，过点作轴交于点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求函数解析式，三角形面积，求出函数的表达式是关键． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据题意可得求出值即可得到点的坐标． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，． 反比例函数解析式为， 由条件可得， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：如图所示： ∵，是两三角形的公共边， ∴以为底的两边的高相等， 又∵，，点E横坐标为n，且 ， ∴， 解得， 把代入，得， ． 20．（7分）如图，兰州市黄河风情线上的“中山桥”是历史名桥．某数学兴趣小组用无人机测量桥拱最高点距水面的高度．如图，无人机在桥拱最高点上方米处水平飞行，并保持与水面平行．当无人机飞到点时，测得桥拱边缘点的俯角为，边缘点的俯角为．已知点、到水面的距离均为米，且桥拱底部的长度为米，求桥拱最高点到水面的距离．（参考数据：，，） 【答案】桥拱最高点到水面的距离约为米． 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的性质，线段的和差关系，掌握方程思想是解题关键． 过点作垂线，设桥拱最高点到的高度为，利用角的等腰性质和表示出与，再结合米列方程求出，最后加上到水面的米得到最终结果． 【详解】解： 如图，过点作垂线，与交于点，设拱桥最高点到的高度为，则米， ，， ， 米， ， ， 米， 米， ， 解得米， 桥拱最高点C到水面的距离为米． 答：桥拱最高点C到水面的距离约为米． 21．（7分）综合与实践：制作一个无盖的长方体形纸盒 在六年级第一学期要先后学习《丰富的图形世界》、《有理数及其运算》、《整式及其加减》、《数据的收集与整理》等内容，该年级“综合与实践”小组的同学在本学期系统学习了这些内容后，开展了“制作一个无盖的长方体形纸盒”的实践活动． 【问题情境】 “综合与实践”小组的同学计划利用一张边长为的正方形的纸板制成一个无盖的长方体形纸盒．他们经过讨论决定，按照如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体形纸盒，如图2． 【问题解决】 根据实践过程，请你帮助“综合与实践”小组的同学完成以下的问题（纸张厚度及接缝处忽略不计）： (1)制成的长方体形的纸盒中，长方体的高（即减掉正方形的边长）为，则长方体形纸盒的容积为_________．（用含有h的代数式表示，不需要化简） (2)如果剪去的小正方形的边长的值按整数值依次增大，制成的无盖的长方体形纸盒的容积则随之变化，其变化情况如表： 剪去的小正方形的边长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 长方体的容积 324 512 m 576 n 384 252 128 36 0 ①计算表中的m与n的值，并补全折线统计图（如图3）； ②观察表格和折线统计图，可以发现随着剪去的小正方形的边长的值的增大长方体容积的变化趋势，请你再进一步结合自己的深度思考，直接写出一个使得无盖长方体形纸盒容积最大的h的近似值． 【答案】(1) (2)①，； 见解析；②3 【分析】本题考查折线统计图，列代数式，理解题意，掌握折线统计图的意义，是解题的关键． （1）根据长方体的容积计算公式列式即可； （2）①将和代入（1）中的代数式，即可求出m，n的值；根据求得的m，n的值和表格数据补全折线统计图即可； ②根据折线统计图中的变化趋势，以及表格数据回答即可． 【详解】（1）解：∵长方体形的盒子底面积为，高为， ∴长方体的容积为：， 故答案为：； （2）解：①当时，； 当时，， 补图如图： ②当h从1到3时，容积随小正方形边长x的增大而增大； 当h从3到9时，容积随小正方形边长x的增大而减小； 当时，容积最大，最大值为． 22．（7分）【观察发现】折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以由作一对对应点连线段的垂直平分线得到，如图1，在中，，①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于两点，作直线，交于点，交于点；③连接． 【操作体验】（1）根据“观察发现”中的步骤，用尺规作图； 【推理论证】（2）在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与BC边交于点，连．小亮根据上面步骤得出，请你补全括号里的证明依据； 证明： （           依据1                  ） （             依据2                 ） 【拓展探究】（3）对称的性质在日常生活中也有重要的应用．如图3，某地有两个村庄和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库（在内），希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该仓库P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析；（2）垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换；（3）见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，性质，角平分线的作法，熟知相关性质是解题的关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出结果即可； （3）作的垂直平分线和的平分线交于点，即可解答． 【详解】（1）解：如图，所示即为所求， ； （2）证明： （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） （等量代换）， 故答案为：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换； （3）解：如图所示，即为所求， 23．（7分）2025年横空出世的DeepSeek可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过与人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了DeepSeek的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对DeepSeek掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩x/分 频数 频率 A 8 0.16 B m 0.24 C n 0.48 D 6 p 调查结论 …… (1)上述表格中，样本容量为________，________，________，________； (2)所抽取学生成绩的中位数落在________组；补全频数分布直方图； (3)若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？ 【答案】(1)50，12，24，0.12 (2)C，详见解析 (3)估计成绩不低于80分的学生有720名 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，求样本容量，频数统计表，中位数，用样本估计总体等相关知识，通过图表获取所需信息是解题关键． （1）A等级的人数除以所占的比例求出样本容量，进而求出BC等级的学生人数和D得频率即可； （2）根据中位数的确定方法，求出中位数所在等级； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意知样本容量为； ； ； ． 故答案为： 50，12，24，0.12 （2）一共50名同学，从小到大排列后，中位数为第25位和第26位数的平均数，，两组共有20人，且C组有24人， ∴所抽取学生成绩的中位数落在C组． 依据题意补全频数分布直方图如下图所示： （3）成绩不低于80分的学生有：（名）， 答：估计成绩不低于80分的学生有720名． 24．（7分）如图，为的直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定方法，解直角三角形是解决问题的关键． （1）连接，由圆周角定理结合已知得出，得出，由平行线的性质得出，即可证明为的切线； （2）连接，由圆周角定理得出，由，得出，由三角形内角和定理及，得出，利用解直角三角形求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 25．（9分）综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． (1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，正方形性质，矩形判定及性质，共线问题最值和勾股定理等． （1）根据题意证明，即可得到本题答案； （2）过点B分别作于点 F，于点 G，再证明出和，再证明出四边形为矩形，后得到为正方形，继而利用正方形性质即可得到结论； （3）连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接，当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （2）证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． ∴． ∴． ∵四边形为正方形，      ， ； （3）解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接． ， ∴． ∴． 连接交于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度． 由（2）易得：． ∴，． ∵． ∴． ∴． 过N作于H． ∵， ∴． ∴， ， ． 26．（9分）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 【答案】(1)； (2)点为线段中点 (3)直线过线段中点，证明见解析 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数有关面积的问题，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设点，结合题意求出点，得到的值，再联立二次函数和一次函数得到交点坐标，根据三角形面积公式，得到面积关于的二次函数，求解即可； （2）由（1）得出点的坐标，再求出点的中点坐标，比较即可得出关系； （3）设抛物线解析式为，直线，点，求出点，得到为关于的二次函数，再根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴ ∵直线与抛物线交于两点， ∴， 解得：，， 当时，；当时，， ∴，． ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大为， ∵把代入点中， ∴点； （2）由（1）得，当时，有最大值， ∴将代入点得：点， ∵，， 点的中点坐标为点，即点， ∴点和点重合， ∴当面积最大时，点为线段的中点； （3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大． 证明：设抛物线解析式为：，直线：， 直线与抛物线交于两点，设， ∴则方程的解为：，， ∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴，即为关于的二次函数， ∵当时，，， 由二次函数对称性知，当时，有最大值， ∵ ∴当时，有最大值， ∴，即点为线段中点． ∴当直线过线段中点时（或），最大． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 11[AJ[B][CIID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分） 12. 13 4. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(5分)计算：(5-V2)-2sn45°+V5-2-(1-π)°. 17.(5分) 解分式方程：名-=1. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(7分) C--- 21.(7分) V/cm 600 500 512 20 400 384 300 3p4 200 252 128 100 36 o123456789icm 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) M A M E N B FN B 图1 图2 图3 23.(7分) +频数 24 20 16 12 6 41 0入 60708090100成绩/分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(7分) C E 万 0 D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(9分) A D M B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) y=x2-4r+2 E -2-10 3 2 y=-x+2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！