数学一模提分卷（甘肃兰州专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 11[AJ[B][CIID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分） 12. 13 4. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(5分)先化简，再求值：(x-2y)2-(x+y)(x-y)-5y2,其中x=1,y=-支 17.(5分) 2x-3y=17 解方程和不等式组： 5x-2y=26 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(7分) E B 0一 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(7分) 学生竞赛成绩条形统计图 2人数 16 42 13 12 P B D等级 21.(7分) 180 150 120 平线 B 图(1) 图(2) 图(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) ◆L(cm) 25 20 FN) 15 10 x(cm) 0123 4 x(cm 图① 图② 图③ 23.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(9分) A A C D Bh A 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列有理数中，相反数大于5的数是（    ） A．10 B．5 C．0 D． 2．著名的数学家苏步青被誉为“数学之王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约千米的行星命名为“苏步青星”．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．估计的值应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 4．有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物画像的卡片，卡片正面人物如下图．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图像恰好属于同一部名著的概率是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B．2 C． D． 7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 8．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 9．已知一个二次函数，当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值是（） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，．若点E是边的中点，连接，过点B作交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．如图（1）是一款带毛刷的扫地机器人，图（2）是其示意图，机身的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，，设工作时毛刷绕点P 旋转形成的圆弧交于点A、B，且点A、P、B在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．若是方程的解，则_________． 13．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______n mile．    14．立华奏在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和为，则_____． 15．如图，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，均在反比例函数的图象上，则的值为____________________． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）先化简，再求值：，其中，． 17．（5分）解方程和不等式组： 18．（5分）解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标． 20．（7分）某中学开展“人工智能机器人知识”网上答题竞赛，对收集到的数据进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） 根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查____________名学生，____________，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为____________度； (3)小明查阅到某数据中心给出的年中国跨境电商出口规模及预测图，与前一年相比，哪一年增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条． 21．（7分）实践课上，某数学兴趣小组自制测角仪对校园内旗杆的高度进行测量，活动过程如下： (1)探究原理： 制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G，测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图（1）），绕点O转动量角器，使观测目标Q与直径两端点A，B共线（如图（2）），此时目标Q的仰角，请说明这两个角相等． (2)实地测量： ①如图（3），小红在教学楼二层走廊上的点P处，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，测得旗杆底部B处的俯角为，已知数学老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离为12米． 请用小红所测得的数据求旗杆的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） ②小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，则他由此计算出旗杆的高度为米，通过与（2）①中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了，请你帮小明分析一下原因． 22．（7分）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 23． （7分）阅读与思考 下面的文段是小红同学的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 没有直角尺也能作出直角 今天，在综合实践课上，老师和同学们讨论了一个数学问题：不用直角尺直接画直角，你还有其它方法作出直角吗？同学们给出了很多有趣的方法，现选择一些记录如下： 方法一：拿出一根细长的麻绳团，在这段麻绳上取12段相等的“绳段”，然后剪断，再把绳子的两端系在一起，形成一个环状，再通过多次折叠，每段端点用彩笔做好标记(如图①)； 如图②，把从B到C之间的5段绳子拉成直线，然后在A点处将段和段的绳子都拉紧，于是得到了直角； 方法二：在平面内过点A作直线，作射线，然后按照如图所示的尺规作图方法作出射线和射线， 于是得到了直角； 方法三：以点O为圆心画一个圆，在圆周上任取一点C (不与点A，B重合)，连接，，于是得到了直角； 方法四：画一条线段，分别以A，B为圆心，适当长为半径画圆，两圆相交于C，D，连接交于点E， 于是得到了直角． 任务： (1)填空：“方法一”依据的一个数学定理是 ； “方法二”中与互余的角有 ； “方法三”依据的一个数学定理是 ； (2)请根据证明方法四的作图方法， 证明． 24．（7分）综合与实践： 主题：制作一个无盖长方形盒子． 步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形． 步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． 【问题分析】 （1）如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别为______、______、______、______（请你用含a，b的代数式来表示）． 【实践探索】 （2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是下表数据，请求出m和n分别是多少？ 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 m n 500 384 252 128 36 0 【实践分析】 （3）观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？并分析猜想当剪去图形的边长为多少时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是多少？ 25．（9分）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 26．（9分）在平面直角坐标系中，对“横纵中点值”给出如下定义：点是函数图像上任意一点，横坐标与纵坐标的和的一半称为点的“横纵中点值”．函数图像上所有点的“横纵中点值”中的最大值称为函数的“完美横纵中点值”，最小值称为函数的“缺陷横纵中点值”．例如：点在函数的图像上，点的“横纵中点值”为 ，函数图像上所有点的“横纵中点值”可以表示为，当时，最大值为，最小值为，所以函数的“完美横纵中点值”为，“缺陷横纵中点值”为． (1)点的“横纵中点值”为 ． (2)已知二次函数，当时，求它的“完美横纵中点值”和“缺陷横纵中点值”． (3)若二次函数的图像顶点在“横纵中点值”为的函数图像上． ①二次函数的“完美横纵中点值”为，求该二次函数的表达式． ②当时，设二次函数的“完美横纵中点值”为，“缺陷横纵中点值”为，且，求的值． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列有理数中，相反数大于5的数是（    ） A．10 B．5 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义及有理数的大小比较，先求出各选项数的相反数，再判断是否大于5即可． 【详解】解： A选项10的相反数是，，不符合要求， B选项5的相反数是，，不符合要求， C选项0的相反数是0，，不符合要求， D选项的相反数是6，，符合要求， 故选D 2．著名的数学家苏步青被誉为“数学之王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约千米的行星命名为“苏步青星”．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3．估计的值应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 根据二次根式的乘法化简式子，然后再估算结果的范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在5到6之间． 故选：C． 4．有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物画像的卡片，卡片正面人物如下图．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图像恰好属于同一部名著的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画出树状图，然后根据概率公式求出两张图片的人物恰好属于同一部名著的概率． 【详解】解：将孙悟空记为，猪八戒记为，诸葛亮记为，关羽记为，张飞记为，画树状图如下： ∵一共有20种等可能的情况， 其中、、、、、、、共有8种可能的情况的两张图片的人物恰好属于同一部名著， （两张图片的人物恰好属于同一部名著）． 5．如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质．根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，平面展开-最短路径问题，简单组合体的三视图，关键是得到点M、N所在位置． 先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果． 【详解】解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的处，即处，如图， 所以所求的最短路径的长度为． 故选：D． 7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 8．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，先解分式方程，得到，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围即可． 【详解】解： 去分母，得：， 化简：， 解得 ∵解为非负数， ∴，即，解得 ∵ 分母， ∴，即，解得 ∴且； 故选A． 9．已知一个二次函数，当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数最值问题，首先由二次函数开口方向及最大值点求参数a，再求区间端点函数值的最小值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图像开口向下，顶点横坐标， ∴y的最大值在处，， 解得， ∴该函数解析式为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的最小值为． 故选：B． 10．如图，在矩形中，，．若点E是边的中点，连接，过点B作交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握解直角三角形的知识是解决此题的关键． 由矩形的性质和勾股定理可得，于是可得，由同角的余角相等可得，解求得即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点E是边CD的中点， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， 故选：B． 11．如图（1）是一款带毛刷的扫地机器人，图（2）是其示意图，机身的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，，设工作时毛刷绕点P 旋转形成的圆弧交于点A、B，且点A、P、B在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数等知识点，正确作出辅助线是作题的关键．连接，，，利用，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， 由题意可知，点是点，，所在圆的圆心． 点A、P、B在同一直线上， 是的直径． ∵， ∴． 的直径为， ， ， ∴是等边三角形， ∴， 故设边上的高为，（）， 则， 即， ， ， ． ∵ ， ∴． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．若是方程的解，则_________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，代数式求值，熟练掌握相关知识是关键． 将代入方程，得到与的关系式，再代入代数式求值即可． 【详解】解：将代入方程，得， 则． 故答案为：． 13．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______n mile．    【答案】40 【分析】根据题意可得：海里，海里，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图：    由题意得：海里，海里，， ， 在中， ， ∴此时“远航”号与“海天”号的距离为40n mile, 故答案为：40． 14．立华奏在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和为，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的实际应用，理解题意是解题的关键．设左边第一列第个方框内的数为，中间方框的数为，根据题意表示出其他方框内的数，进而列式求出的值即可求解． 【详解】解：设左边第一列第个方框内的数为，中间方框的数为，则其他方框内的数如下： ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 15．如图，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，均在反比例函数的图象上，则的值为____________________． 【答案】 【分析】先分析第一个等腰直角三角形，设直角顶点坐标，利用中点坐标公式得到斜边中点坐标，代入反比例函数求出第一个中点的纵坐标； 用相同方法求出第二个、第三个中点的纵坐标，观察并归纳出第个中点纵坐标的表达式；将代入表达式，计算最终结果． 【详解】解： 设的直角顶点的坐标为，则的坐标为， 的坐标为， 又在反比例函数的图象上， ，即，解得， ． 的坐标为，设的直角顶点的坐标为， 是等腰直角三角形， ，则的坐标为， 是斜边的中点， 的坐标为， 又在反比例函数的图象上， ，解得， ． 同理，可求得第三个中点的纵坐标， 由此归纳得出第个中点的纵坐标为：． 当时，． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法运算，合并同类项，根据完全平方公式，平方差公式进行化简，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ． 当 ， 时，原式 ． 17．（5分）解方程和不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． 用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 18．（5分）解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 【答案】，，数轴表示见解析，，、、0． 【分析】本题主要考查了解不等式、解不等式组、不等式组的整数解、在数轴上表示一元一次不等式组的解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解决本题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，然后写出整数解即可解答． 【详解】解：①， ， ， ， ； ②， ， ， ； 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如下： ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，，0． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求正切值． （1）先求得点的坐标，待定系数法求得，进而求得的坐标和点的坐标，根据正切的定义，即可求解； （2）先求得，则，进而根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中， 得， ， 将代入反比例函数中，得， 则反比例函数的表达式为：． 在中，令，则， 令，则． 在中，． （2）由（1）得，， ， ． ， 在中，当时，，此时； 当时，，此时． 故点的坐标为或． 20．（7分）某中学开展“人工智能机器人知识”网上答题竞赛，对收集到的数据进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） 根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查____________名学生，____________，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为____________度； (3)小明查阅到某数据中心给出的年中国跨境电商出口规模及预测图，与前一年相比，哪一年增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条． 【答案】(1)，，统计图见解析 (2) (3)2020年的同比增长率最高；从图中还能发现，年中国跨境电商出口规模逐步增长．（合理即可） 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图及用频数分布表．解题的关键是读懂统计图，能从条形统计图，扇形统计图中得到准确的信息． （1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用乘以D等级人数所占的百分比得出等级D所对应的扇形的圆心角度数；用总人数减去其他等级的人数，求出C等级的人数，从而补全统计图； （3）根据年中国跨境电商出口规模及预测图解答即可． 【详解】（1）解：本次共调查名学生， 故答案为：，． （2）解：扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为， 故答案为：； （3）从年中国跨境电商出口规模及预测图中发现，年的同比增长率最高；从图中还能发现，年中国跨境电商出口规模逐步增长． 21．（7分）实践课上，某数学兴趣小组自制测角仪对校园内旗杆的高度进行测量，活动过程如下： (1)探究原理： 制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G，测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图（1）），绕点O转动量角器，使观测目标Q与直径两端点A，B共线（如图（2）），此时目标Q的仰角，请说明这两个角相等． (2)实地测量： ①如图（3），小红在教学楼二层走廊上的点P处，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，测得旗杆底部B处的俯角为，已知数学老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离为12米． 请用小红所测得的数据求旗杆的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） ②小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，则他由此计算出旗杆的高度为米，通过与（2）①中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了，请你帮小明分析一下原因． 【答案】(1)见解析 (2)①旗杆的高度约为；②见解析 【分析】（1）根据并结合等式的性质即可得证； （2）①过点作交于点，解直角三角形求得即可解答； ②小明测得仰角是以测角仪为基准，计算出的，需要加上测角仪的高度才是正确的旗杆高度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即； （2）解：①如图，过点作交于点，则四边形是矩形， ， 在中，， 在中，， ， 答：小红所测得的数据求旗杆的高度约为； ②小明测得仰角是以测角仪为基准，计算出的，需要加上测角仪的高度才是正确的旗杆高度． 22．（7分）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 【答案】(1) (2)；图象见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据解答即可； （2）求出与的关系式，可得L关于x的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ， ∴与的关系式为， ， ， ∴， 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出图象如图所示： 23． （7分）阅读与思考 下面的文段是小红同学的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 没有直角尺也能作出直角 今天，在综合实践课上，老师和同学们讨论了一个数学问题：不用直角尺直接画直角，你还有其它方法作出直角吗？同学们给出了很多有趣的方法，现选择一些记录如下： 方法一：拿出一根细长的麻绳团，在这段麻绳上取12段相等的“绳段”，然后剪断，再把绳子的两端系在一起，形成一个环状，再通过多次折叠，每段端点用彩笔做好标记(如图①)； 如图②，把从B到C之间的5段绳子拉成直线，然后在A点处将段和段的绳子都拉紧，于是得到了直角； 方法二：在平面内过点A作直线，作射线，然后按照如图所示的尺规作图方法作出射线和射线， 于是得到了直角； 方法三：以点O为圆心画一个圆，在圆周上任取一点C (不与点A，B重合)，连接，，于是得到了直角； 方法四：画一条线段，分别以A，B为圆心，适当长为半径画圆，两圆相交于C，D，连接交于点E， 于是得到了直角． 任务： (1)填空：“方法一”依据的一个数学定理是 ； “方法二”中与互余的角有 ； “方法三”依据的一个数学定理是 ； (2)请根据证明方法四的作图方法， 证明． 【答案】(1)勾股定理的逆定理，，直径所对的圆周角是直角 (2)见详解 【分析】（1）“方法一”根据勾股定理的逆定理即可解答；“方法二”根据尺规作图和余角定义解答即可；“方法三”根据圆周角定理解答即可； （2）证明是的垂直平分线，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，则， 则是直角三角形， 故“方法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理； 根据作图可知平分，平分， ∴， 又∵， ∴， 故“方法二”中与互余的角有； ∵是的直径，点在上， ∴， 则是直角三角形， 故“方法三”依据的一个数学定理是直径所对的圆周角是直角； 故答案为：勾股定理的逆定理，，直径所对的圆周角是直角． （2）证明：根据题意可得， ∴是的垂直平分线， ∴， 即． 24．（7分）综合与实践： 主题：制作一个无盖长方形盒子． 步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形． 步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． 【问题分析】 （1）如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别为______、______、______、______（请你用含a，b的代数式来表示）． 【实践探索】 （2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是下表数据，请求出m和n分别是多少？ 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 m n 500 384 252 128 36 0 【实践分析】 （3）观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？并分析猜想当剪去图形的边长为多少时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是多少？ 【答案】（1）b，；；（2）；（3）当时，无盖长方体的容积最大，容积最大为 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体、列代数式，解题的关键是能够通过折叠得到折叠后长方体的长、宽、高． （1）由减去的正方形边长可得到盒子的高和盒子底面的边长，进而得到底面的面积，然后由“体积子底面积高”求得盒子的容积； （2）分别将和代入（1）中的容积公式求得对应的容积； （3）通过表中容积的变化可以直接得到结果；由表中容积的最大值得到结果； 【详解】（1）解：∵减去的小正方形的边长为 ， ∴折成的无盖长方体盒子的高为，底面正方形的边长为， ∴底面积为， ∴无盖长方体纸盒的容积为， 高、底面积、容积分别为：b，；． （2）当，时，， 当，时，， 故答案为：588，576． （3）答：由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小； 由表中数据可知，当时，容积最大为． 25．（9分）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据题意得为等边三角形，为直角三角形，继而求得； （2）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答； （3）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答． 【详解】解：（1）由旋转可知： 是等边三角形， ， 是直角三角形， （2） 理由如下：如图， 把绕点C顺时针旋转得到， 连接， 由旋转可知: ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， 即   （3）如图，将 绕点B顺时针旋转，得到 连接， 由旋转可知： 是等腰直角三角形， 点在线段上， 是直角三角形， 的长为 ． 26．（9分）在平面直角坐标系中，对“横纵中点值”给出如下定义：点是函数图像上任意一点，横坐标与纵坐标的和的一半称为点的“横纵中点值”．函数图像上所有点的“横纵中点值”中的最大值称为函数的“完美横纵中点值”，最小值称为函数的“缺陷横纵中点值”．例如：点在函数的图像上，点的“横纵中点值”为 ，函数图像上所有点的“横纵中点值”可以表示为，当时，最大值为，最小值为，所以函数的“完美横纵中点值”为，“缺陷横纵中点值”为． (1)点的“横纵中点值”为 ． (2)已知二次函数，当时，求它的“完美横纵中点值”和“缺陷横纵中点值”． (3)若二次函数的图像顶点在“横纵中点值”为的函数图像上． ①二次函数的“完美横纵中点值”为，求该二次函数的表达式． ②当时，设二次函数的“完美横纵中点值”为，“缺陷横纵中点值”为，且，求的值． 【答案】(1) (2)它的“完美横纵中点值”是，“缺陷横纵中点值”是 (3)①； ②或 【分析】（1）根据“横纵中点值”的定义求解即可； （2）设二次函数上任意一点的“横纵中点值”为，则 ，然后确定当时的函数最大值及最小值即可； （3）①先确定函数的顶点坐标为，得到，设该函数的“横纵中点值”为，则，继而得到，求解后可得答案； ②设二次函数的“横纵中点值”为，则，由函数自变量范围为，且，并结合，然后分四种情况：当即时；当即时；当即时；当即时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的 “横纵中点值”为， 故答案为：； （2）解：设二次函数上任意一点的“横纵中点值”为，则 ， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ∵， ∴的最小值为， ∴该函数的“完美横纵中点值”是，“缺陷横纵中点值”是； （3）解：①∵， ∴该函数的顶点坐标为， ∵二次函数的图像顶点在“横纵中点值”为的函数图像上， ∴， ∴， 设该函数的“横纵中点值”为，则 ， ∵， ∴， 则函数的图像开口向下，其最大值为 ∵二次函数的“完美横纵中点值”为， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， ∴， ∴该二次函数的表达式为； ②设二次函数的“横纵中点值”为，则 ， 由①知：， ∴， ∴该函数的图像开口向下，对称轴为， ∵该函数自变量范围为，且， 又∵， 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D B C C D D D A B B A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12． 13．40 14． 15． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（5分）【详解】解： ........................1分 ........................2分 ．........................3分 当 ， 时，原式 ．........................5分 17.（5分）【详解】解： 得：， 解得：，........................2分 把代入①得：， 解得：，........................4分 ∴原方程组的解为：．........................5分 18.（5分）【详解】解：①， ， ， ， ；........................1分 ②， ， ， ；........................2分 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如下： ........................3分 ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，，0．........................5分 19.（7分）【详解】（1）解：将点代入中， 得， ，........................1分 将代入反比例函数中，得， 则反比例函数的表达式为：．........................2分 在中，令，则， 令，则． 在中，．........................3分 （2）由（1）得，， ， ． ，........................5分 在中，当时，，此时； 当时，，此时． 故点的坐标为或．........................7分 20.（7分）【详解】（1）解：本次共调查名学生， 故答案为：，．........................1分 ........................3分 （2）解：扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为， 故答案为：；........................5分 （3）从年中国跨境电商出口规模及预测图中发现，年的同比增长率最高；从图中还能发现，年中国跨境电商出口规模逐步增长．.......................7分 21.（7分）【详解】（1）证明：∵， ∴， 即；........................2分 （2）解：①如图，过点作交于点，则四边形是矩形， ， 在中，， 在中，， ，........................5分 答：小红所测得的数据求旗杆的高度约为； ②小明测得仰角是以测角仪为基准，计算出的，需要加上测角仪的高度才是正确的旗杆高度．........................7分 22.（7分）【详解】（1）解：根据题意得：， ∴；........................1分 故答案为： （2）解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ，........................2分 ∴与的关系式为， ， ， ∴，........................3分 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为，........................4分 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出图象如图所示： ........................7分 23.（7分）【详解】（1）解：在中，，则， 则是直角三角形， 故“方法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；........................1分 根据作图可知平分，平分， ∴， 又∵， ∴， 故“方法二”中与互余的角有；........................2分 ∵是的直径，点在上， ∴， 则是直角三角形， 故“方法三”依据的一个数学定理是直径所对的圆周角是直角；.......................4分 故答案为：勾股定理的逆定理，，直径所对的圆周角是直角． （2）证明：根据题意可得， ∴是的垂直平分线， ∴， 即．........................7分 24.（7分）【详解】（1）解：∵减去的小正方形的边长为 ， ∴折成的无盖长方体盒子的高为，底面正方形的边长为， ∴底面积为，........................1分 ∴无盖长方体纸盒的容积为，........................2分 高、底面积、容积分别为：b，；．........................3分 （2）当，时，， 当，时，， 故答案为：588，576．........................5分 （3）答：由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小； 由表中数据可知，当时，容积最大为．........................7分 25.（9分）【详解】解：（1）由旋转可知： 是等边三角形， ， 是直角三角形，........................1分 ........................2分 （2） 理由如下：如图， 把绕点C顺时针旋转得到， 连接， 由旋转可知: ， ， ， 是等腰直角三角形，........................3分 ，， ， ， 在中， 即   ........................6分 （3）如图，将 绕点B顺时针旋转，得到 连接， 由旋转可知： 是等腰直角三角形， 点在线段上， 是直角三角形，.......................8分 的长为 ．........................9分 26.（9分）【详解】（1）解：∵， ∴点的 “横纵中点值”为， 故答案为：；........................1分 （2）解：设二次函数上任意一点的“横纵中点值”为，则 ， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为，........................2分 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ∵， ∴的最小值为，.......................3分 ∴该函数的“完美横纵中点值”是，“缺陷横纵中点值”是； （3）解：①∵， ∴该函数的顶点坐标为， ∵二次函数的图像顶点在“横纵中点值”为的函数图像上， ∴， ∴，........................4分 设该函数的“横纵中点值”为，则 ， ∵， ∴， 则函数的图像开口向下，其最大值为 ∵二次函数的“完美横纵中点值”为， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， ∴， ∴该二次函数的表达式为；........................5分 ②设二次函数的“横纵中点值”为，则 ， 由①知：， ∴， ∴该函数的图像开口向下，对称轴为， ∵该函数自变量范围为，且， 又∵， 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）；........................7分 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或．........................9分 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列有理数中，相反数大于5的数是（    ） A．10 B．5 C．0 D． 2．著名的数学家苏步青被誉为“数学之王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约千米的行星命名为“苏步青星”．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．估计的值应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 4．有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物画像的卡片，卡片正面人物如下图．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图像恰好属于同一部名著的概率是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B．2 C． D． 7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 8．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 9．已知一个二次函数，当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值是（） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，．若点E是边的中点，连接，过点B作交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．如图（1）是一款带毛刷的扫地机器人，图（2）是其示意图，机身的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，，设工作时毛刷绕点P 旋转形成的圆弧交于点A、B，且点A、P、B在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．若是方程的解，则_________． 13．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______n mile．    14．立华奏在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和为，则_____． 15．如图，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，均在反比例函数的图象上，则的值为____________________． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）先化简，再求值：，其中，． 17．（5分）解方程和不等式组： 18．（5分）解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标． 20．（7分）某中学开展“人工智能机器人知识”网上答题竞赛，对收集到的数据进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） 根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查____________名学生，____________，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为____________度； (3)小明查阅到某数据中心给出的年中国跨境电商出口规模及预测图，与前一年相比，哪一年增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条． 21．（7分）实践课上，某数学兴趣小组自制测角仪对校园内旗杆的高度进行测量，活动过程如下： (1)探究原理： 制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G，测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图（1）），绕点O转动量角器，使观测目标Q与直径两端点A，B共线（如图（2）），此时目标Q的仰角，请说明这两个角相等． (2)实地测量： ①如图（3），小红在教学楼二层走廊上的点P处，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，测得旗杆底部B处的俯角为，已知数学老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离为12米． 请用小红所测得的数据求旗杆的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） ②小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，则他由此计算出旗杆的高度为米，通过与（2）①中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了，请你帮小明分析一下原因． 22．（7分）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 23． （7分）阅读与思考 下面的文段是小红同学的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 没有直角尺也能作出直角 今天，在综合实践课上，老师和同学们讨论了一个数学问题：不用直角尺直接画直角，你还有其它方法作出直角吗？同学们给出了很多有趣的方法，现选择一些记录如下： 方法一：拿出一根细长的麻绳团，在这段麻绳上取12段相等的“绳段”，然后剪断，再把绳子的两端系在一起，形成一个环状，再通过多次折叠，每段端点用彩笔做好标记(如图①)； 如图②，把从B到C之间的5段绳子拉成直线，然后在A点处将段和段的绳子都拉紧，于是得到了直角； 方法二：在平面内过点A作直线，作射线，然后按照如图所示的尺规作图方法作出射线和射线， 于是得到了直角； 方法三：以点O为圆心画一个圆，在圆周上任取一点C (不与点A，B重合)，连接，，于是得到了直角； 方法四：画一条线段，分别以A，B为圆心，适当长为半径画圆，两圆相交于C，D，连接交于点E， 于是得到了直角． 任务： (1)填空：“方法一”依据的一个数学定理是 ； “方法二”中与互余的角有 ； “方法三”依据的一个数学定理是 ； (2)请根据证明方法四的作图方法， 证明． 24．（7分）综合与实践： 主题：制作一个无盖长方形盒子． 步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形． 步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． 【问题分析】 （1）如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别为______、______、______、______（请你用含a，b的代数式来表示）． 【实践探索】 （2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是下表数据，请求出m和n分别是多少？ 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 m n 500 384 252 128 36 0 【实践分析】 （3）观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？并分析猜想当剪去图形的边长为多少时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是多少？ 25．（9分）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 26．（9分）在平面直角坐标系中，对“横纵中点值”给出如下定义：点是函数图像上任意一点，横坐标与纵坐标的和的一半称为点的“横纵中点值”．函数图像上所有点的“横纵中点值”中的最大值称为函数的“完美横纵中点值”，最小值称为函数的“缺陷横纵中点值”．例如：点在函数的图像上，点的“横纵中点值”为 ，函数图像上所有点的“横纵中点值”可以表示为，当时，最大值为，最小值为，所以函数的“完美横纵中点值”为，“缺陷横纵中点值”为． (1)点的“横纵中点值”为 ． (2)已知二次函数，当时，求它的“完美横纵中点值”和“缺陷横纵中点值”． (3)若二次函数的图像顶点在“横纵中点值”为的函数图像上． ①二次函数的“完美横纵中点值”为，求该二次函数的表达式． ②当时，设二次函数的“完美横纵中点值”为，“缺陷横纵中点值”为，且，求的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B1[CJ[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][BJ[C1[D1 10.[A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 11.[A][B][C][D] 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][CJ[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分） 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(5分)先化简，再求值：x-2)2-(x+(x-y)-5y2,其中x=1,y=- 17.(5分) 解方程和不等式组： 2x-3y=17 5x-2y=26 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(7分) B E A 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(7分) 学生竞赛成绩条形统计图 个人数 20------------------- 16 -------15--- 13 12 D 等级 21.(7分) 180 150 120 C60 水平线 37 429 B 图(1) 图(2) 图(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) L(cm) 25 20 AF(N) 15 10 5 x(cm) 01234x(cm) 图① 图② 图③ 23.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(9分) A P Bh B 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！