9.4向量应用（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

9.4 向量应用 第九章 平面向量 学 习 目 标 1 2 3 掌握用、等向量工具解决力学受力分析、平面几何垂直/共线证明、解析几何直线方程推导的方法. 能熟练运用向量的线性运算、数量积性质解决三类典型问题，熟记向量共线、垂直的坐标表示及几何意义. 经历将实际问题转化为向量问题的过程，提升数学建模 能力和数形结合转化能力. 新课导入 如图，三根细绳都受到拉力，如何分析三根绳子拉力的大小关系？用我们之前学的向量知识能解决吗？ 向量既有大小又有方向，有代数(坐标、运算)和几何(有向线段)双重特征，可以结合向量的相关知识解决以上的受力问题. 除了力学问题，向量还能解决哪些数学问题？ 本节课我们就来探究向量的应用，利用向量的特征实现代数与几何的转化，解决数学和物理中的实际问题。 新知探究 探究一：向量在力学中的应用 —— 受力分析 例1 如图,无弹性的细绳 OA,OB 的一端分别固定在 处，同样的细绳 下端系着一个称盘，且使得, 试分析 OA ,OB ,OC 三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大。 解：设、、三根绳子所受的力分别为、、，则 【分析】将三根绳的拉力抽象为向量、、, 与的合力,其大小与相等、方向相反 在由、、 构成的直角平行四边形中 斜边(对应 )长度大于直角边(对应、). 因为、的合力为，所以 新知探究 如图，在平行四边形中，因为 所以 即 故细绳 OA 受力最大. 解题思路 知识小结 向量在力学中的应用 —— 受力分析 ①将力抽象为向量（方向为受力方向，大小为力的大小）； ②由受力平衡得到向量等式； ③利用向量的合成（平行四边形法则）或分解. 即时训练 1.如图所示，把一个物体放在倾斜角为37°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知 那么 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为轴，垂直于斜坡方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系 则，设， 所以，， 由题意可得 所以 即 解得 即时训练 新知探究 探究二：向量在平面几何中的应用 —— 垂直证明 证明： 因为 ，， 所以 即 例2 已知：，。 求证： 【分析】将垂直条件 、 转化为向量点积为 0 的方程，把 、 用 、、 表示，展开得到两个方程，解方程即可. ② - ①，得 即 所以 方法总结 知识小结 向量在平面几何中的应用 —— 垂直证明 几何中用向量证明垂直的核心： ①将几何中的线段抽象为向量 ②将向量转化为同一组起点的向量(如共起点O); ③利用数量积的运算性质推导数量积为 0。 即时训练 2.已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知 可得 即，且 所以可得的形状是直角三角形 B 新知探究 探究三：向量在解析几何中的应用 —— 直线方程推导 例3已知直线 经过点 和 ，用向量的方法求直线 上任意一点 的坐标 满足的条件。 解：依题意，得 因为 三点都在直线 上，所以 与 是共线向量，从而 这就是点 的坐标 满足的条件。 【分析】由 与 共线的条件可推得点 的坐标满足的条件。 方法总结 知识小结 向量在解析几何中的应用 解析几何中用向量解决共线问题的核心：平面向量共线的坐标表示； ①将点转化为向量坐标； ②由共线得到向量共线关系； ③利用坐标运算推导代数条件。 即时训练 3.如图，在△ABC中，＝4，. 求证：B，T，E三点共线． 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量共线定理进行证明即可. 【详解】设， ， ， 显然， 所以B，T，E三点共线. 巩固提升 题型1 力的合成问题 1.平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为，则与夹角余弦值. 【分析】根据，先求得，再由，即可求解． 【详解】三个力平衡，， 巩固提升 设与的夹角为 则 即 解得． 巩固提升 题型2 用向量证明线段垂直 2.若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形. 【详解】，, 所以四边形ABCD为平行四边形， , ， 所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形. B 巩固提升 题型3 用向量证明平行 3.如图，在平行四边形ABCD中，，，设，． (1)用、表示，； (2)用平面向量证明：三点共线． 【分析】（1）结合和，即可求解； 【详解】（1）由题意知，向量可得 又由，可得 所以 巩固提升 （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. （2）因为，可得 所以 且，可得，所以三点共线. 巩固提升 题型4 利用向量求夹角 4.在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，求的值. 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以 则 即 巩固提升 由 所以， 所以， 可得或（舍），故 所以. 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 向量应用 苏教版 · 必修二 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 © 飞象老师 · 交互式课件 核心知识梳理 点击蓝色色块查看关键术语 平面几何中的应用 01 三点共线： 若 A, B, C 三点共线，则存在实数 λ 使得 AB = λAC。 02 垂直与平行： a ⊥ b ⇔ a · b = 0 a // b ⇔ a = λb ( b ≠ 0 ) 03 夹角公式： cosθ = a · b |a| |b| 物理中的应用 力与速度 力、速度、位移等物理量都是向量，求合力或合速度即求向量的和。 功的计算 力 F 作用于物体产生位移 s，则功 W = F · s。 易错点警示 避开这些常见的逻辑陷阱 ! 忽略零向量的特殊性 在判断共线或垂直时，常忽略 0。例如：a · b = 0 不能推出 a ⊥ b，因为 a 或 b 可能为 0。 ! 数量积运算律误用 向量数量积不满足结合律和消去律。 (a · b)c ≠ a(b · c) a · b = a · c 且 a ≠ 0，推不出 b = c。 ! 投影是数量不是向量 a 在 b 方向上的投影是 |a|cosθ，这是一个实数，不是向量。 解题技巧 掌握这些方法，事半功倍 📐 基底法 选择两个不共线的向量作为基底，将其他向量用基底表示。 适用场景： 几何图形中，已知边长和角度，求向量关系或长度。 📈 坐标法 建立平面直角坐标系，将向量问题转化为代数运算。 适用场景： 图形具有垂直关系（如矩形、正方形、直角三角形），便于建系。 🔄 数形结合思想 将代数问题（如求最值、范围）转化为几何问题（如距离、斜率）。 示例： |a + b| 表示以 a, b 为邻边的平行四边形的对角线长度。 $