精品解析：四川内江市第一中学2025-2026学年高二下学期数学寒假自学效果检测试题

内江一中高2027届高二下期数学寒假自学效果检测 一、单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方程得出其斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系得出答案. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，, 则，则， 故选：A. 2. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数列的前5项分析其变化规律即可求解. 【详解】数列的前5项依次为，即，，，，， 所以的一个通项公式为． 故选：C 3. 若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出轴截面边长，再求出圆锥的底面半径和高，即可得体积． 【详解】设轴截面边长为，则，， 由题意圆锥底面半径为，母线长为国，∴高为， 体积为． 故选：B． 4. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆性质以及双曲线的性质即可求解. 【详解】由题知，椭圆焦点为， 设该双曲线方程为，半焦距为， 则，，即， 又，解得，， 所以双曲线方程为. 故选：A 5. 在正三棱柱 中，为的中点，设 ，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及正三棱柱的结构特征逐步转化，将用向量表示即可. 【详解】如图， 因为为的中点，所以， 根据正三棱柱的结构特征可知， 所以 ， 即. 故选：A. 6. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 7. 一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（   ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求. 【详解】 如图，在平面内过点作，分别交于点，则，. 在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，， ∴，故截面为平行四边形， ∴在木块表面画线的总长度为. 故选：B. 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得，点，，， ∴，∵，则点为的三等分点， 故，，， 由得：，化简得． 故选：B． 二、多选题 9. 设直线，则（   ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线：一定垂直 C. 直线过定点 D. 当点在直线的右下方时， 【答案】CD 【解析】 【分析】令计算直线在轴上的截距可得选项A错误；利用两直线垂直公式可得选项B错误；直线方程变形可得选项C正确；数形结合可得选项D正确. 【详解】A.令得，， 当时，直线在轴上无截距，当时，，直线在轴上的截距为，A错误. B.，当时，直线与直线不垂直，B错误. C.直线可化为， 由得，，故直线过定点，C正确. D.由点在直线的右下方得，. 由得， ∴，解得，D正确. 故选：CD. 10. 已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积最小值为 B. M为圆C上一动点，则最小值为 C. 最短时，弦直线方程为 D. 最短时，弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解. 【详解】对于A，由切线长定理可得，又因为，所以， 所以四边形的面积， 因为，当时，取最小值，且， 所以四边形的面积的最小值为，故A正确； 对于B，因为，所以最小值为，故B错误； 对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，当最短时，，则， 解得，故直线的方程为，故C正确； 对于D，当最短时，圆心C到直线的距离， 所以弦长为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB方程，然后利用垂径定理求出弦长. 11. 在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是正方形内一动点（包含边界），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则点的轨迹的长度是 C. 点在直线上运动时，的最小值是 D. 若点是棱的中点，平面截正方体所得的截面的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：由平面平行可得点到平面的距离为定值，结合体积公式即可得；对于B：借助线面平行的判定定理与性质定理与面面平行的性质定理可得平面平面，计算即可得点的轨迹长度；对于C：把沿翻折到与在同一个平面，连接，借助两点之间线段最短计算即可得；对于D：画出截面图形后计算即可得. 【详解】对于A：平面平面，则点到平面的距离为定值2， 则，故A正确； 对于B：如图，分别取中点，连接， 则，且，又，， 故且，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 同理，有平面， 因为且都在面内，所以平面平面， 因为平面平面，所以点的轨迹是线段，其长度为，故B正确； 对于C，把沿翻折到与在同一个平面，连接， 则是的最小值，其中是腰长为2的等腰直角三角形， 是直角边分别为的直角三角形， 由余弦定理可得： ， 即的最小值是，故C错误； 对于D：如图，由B选项知，四边形就是平面截正方体所得截面的图形， 其周长为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：求线段长度和的最小值，常常通过翻拆展开在同一平面内，利用两点间线段长最短求得长度和的最小值. 三、填空题 12. 抛物线的焦点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标. 【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题. 13. 已知圆台的上下底面直径分别为，，且其轴截面的两腰所在直线互相垂直，则该圆台的体积为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据轴截面两腰垂直求出高，再代入体积公式计算. 【详解】圆台的上下底面直径分别为，，则上下底面半径分别为，. 圆台的轴截面是等腰梯形，设圆台的高为，因为轴截面的两腰所在直线互相垂直，根据等腰梯形的性质，从圆台轴截面等腰梯形上底的两个端点向下底作垂线，得到两个直角三角形和一个矩形. 则由等腰直角三角形的性质可知，圆台的高等于上下底面半径之差，即. 根据圆台体积公式，将，，代入可得： . 故答案为：. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.书中介绍到：平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.现已知点为圆上一动点，为圆上一动点，点，点，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】 根据数量关系 可得 ，即 ，又 ，进而由 可得答案. 【详解】 由为圆上一动点，得，， 由为圆上一动点，得，， 又，. 因为，，所以，于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以，当共线时等号成立. 故答案为：9. 四、解答题 15. 已知直线经过点，圆. （1）若直线经过圆的圆心，求直线的一般式方程； （2）若直线与圆相切，求直线的一般式方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用圆心和点可求直线的方程； （2）讨论斜率存在与不存在两种情况，由相切可得圆心到直线的距离等于半径求解. 【小问1详解】 将圆化为标准方程为， 所以圆的圆心坐标为，半径为2， 所以直线经过点， 则直线的斜率， 整理得直线的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时直线满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 16. 已知双曲线的离心率为，实轴长为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）是否存在过点的直线与双曲线交于两点，且满足（其中为坐标原点）若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆的几何性质和离心率公式即可求解； （2）设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由实轴长为2可得，得； 再由离心率，得， 所以，可得双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 如下图所示：显然直线斜率存在，设直线方程为，设， 联立，整理可得， 显然，且，解得； 可得，， 所以 ，即，解得. 不满足且，不合题意； 因此不存在满足. 17. 已知六面体的底面是矩形，，，且. （1）求证：平面； （2）若平面，求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接. ∵且，∴，， ∴四边形是平行四边形，∴，， ∵四边形是矩形，∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，利用平行四边形和矩形的性质可得，根据线线平行可得线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，∴， ∵四边形是矩形，∴， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ∴，，. 设平面一个法向量为， 则，即， 令，则，即， 设直线与平面所成角为，则， ∴直线与平面夹角的正弦值为. 18. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，. （1）证明：： （2）求平面和平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题设中的边的关系可证明，再结合线面垂直的判定和性质可得； （2）结合（1）中结果可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面法向量后可求夹角的正弦值； （2）设，利用点到平面的距离公式可求的值. 【小问1详解】 因为为中点，故，而，故， 而，平面， 故平面，而平面，故. 【小问2详解】 因为，结合（1）中可得， 而，故，故， 结合（1）中及可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故平面的法向量为， 设平面的法向量为，而， 则即，取，则， 故，而，故. 【小问3详解】 设，其中， 由（2）可得平面的法向量为， 故到平面的距离为，由题设有， 故，故. 19. 已知椭圆的左，右焦点为，点是椭圆上任意一点，的最小值是． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的上，下顶点，为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）设直线与直线交于点，直线的斜率为，试探究满足的关系式． 【答案】（1） （2） （ⅰ）若直线斜率不存在，则，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理可得，， 所以， 又因为， 所以， 又因为，所以，解得， 即直线方程为， 故直线过定点； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）将转化为，由求出即可； （2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程得，由韦达定理及化简求解即可得出直线过定点；写出直线方程，作比化简得出，解得，即点在直线上，记与轴的交点为，借助表达出即可. 【小问1详解】 由椭圆知，， ， 所以，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可知，直线方程为，直线方程为， 所以，解得，即点在直线上， 记与轴的交点为， 则， ， 又因为同号，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中高2027届高二下期数学寒假自学效果检测 一、单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在正三棱柱 中，为的中点，设 ，，，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 7. 一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（   ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题 9. 设直线，则（   ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线：一定垂直 C. 直线过定点 D. 当点在直线的右下方时， 10. 已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积最小值为 B. M为圆C上一动点，则最小值为 C. 最短时，弦直线方程为 D. 最短时，弦长为 11. 在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是正方形内一动点（包含边界），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则点的轨迹的长度是 C. 点在直线上运动时，的最小值是 D. 若点是棱的中点，平面截正方体所得的截面的周长为 三、填空题 12. 抛物线的焦点坐标是_______． 13. 已知圆台的上下底面直径分别为，，且其轴截面的两腰所在直线互相垂直，则该圆台的体积为_________. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.书中介绍到：平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.现已知点为圆上一动点，为圆上一动点，点，点，则的最小值为__________. 四、解答题 15. 已知直线经过点，圆. （1）若直线经过圆的圆心，求直线的一般式方程； （2）若直线与圆相切，求直线的一般式方程. 16. 已知双曲线的离心率为，实轴长为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）是否存在过点的直线与双曲线交于两点，且满足（其中为坐标原点）若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由. 17. 已知六面体的底面是矩形，，，且. （1）求证：平面； （2）若平面，求直线与平面夹角的正弦值. 18. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，. （1）证明：： （2）求平面和平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的左，右焦点为，点是椭圆上任意一点，的最小值是． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的上，下顶点，为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）设直线与直线交于点，直线的斜率为，试探究满足的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $