1.1锐角三角函数课时训练2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.1锐角三角函数 第1课时 C层提升 一、选择题 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，若AB=V13,tanB=号，则BC=0 A.1B.2C.3 D 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BD=8,日nABD=星，则线段 AB的长为() A.5B.25C.5D.10 3.如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D在CB延长线上，且 BD=AB,连接AD,则tanzDAC的值为() A.1+V3B.2+5C.3D.35 4.如图，在△ABC中，AB=5,tan∠A=专，tan∠B=寺，则BC的长为() A.25B.3C.2D.V10 5.如图是人行天桥的示意图，高BC=10米，斜坡AC=20米，则斜坡AC的坡度为() A.3 1 B.1:2 C.1:3 D.LACB=60 6.如图，点AB,C,D均在正方形网格的格点上，且AB,CD交于点O,则tan∠AOC的 值为() A.2B.3 C.号D. 7.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=是上，第二象限的点B在反比例函 数y=奈上，且OA L OB,,tanB=号，则k的值为() A.-6B.-1C.-3D.-4 8.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC,垂足为点E,连接DE,已知 tanABE=,EC=5,则△CDE的面积为() A号B号C9D. 9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点G为△ABC的重心，若AC=6, tan/ABG=专，那么AG的长为(). B G A.3 B.号C13D.2W5 10.如图，AC与BD是四边形ABCD的对角线，∠ACB=90°，己知 CD=8,AD=2W5,tanBAC=寺，则BD的最大值为0 A.5v5B.4V5C.5V5D.4y3 二、填空题 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90?CD是AB边上的中线，sinB=是，则 tanD CA=_ 12.如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，求tan∠BAC=, 13.如图，在正方形纸片ABCD中，E是边AB的中点，将正方形纸片沿EC折叠， 点B落在点P处，延长CP交AD于点Q,则tanDCQ的值为一 R 14.如图，己知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC 于点E,M,N为垂足，若BD=6,DE=8,EC=10,则tanB+tanC的值是一 15.如图，己知△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、BC上， F、G在边AB上，如果AG=4,BF=9,那么tanB=一 E G 16.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边BC上一点，连接AE,延长EC 到点F,使EF=AE,连接AF交CD于点G· (1)当BE=2时，tanFAB=一： 2)连接EG,，当EG⊥AF时，tanAFB= 三、解答题 17.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AD=BC=26,tanA=号 D B (1)求CD的长； (2)求△ABC的面积. 18.如图，在△ACB中，AC=2,AB=4,D为边AB上一点，连接CD,满足 LACD=∠B. (1)求AD的长； (2)若∠BCD=90°，求tanzACD的值. 19.如图，在Rt△BCD中，∠BDC=30°，BC=a(a为常数且a≠0)，延长CD到点A, 使AD=BD· E 30 (1)求∠A的度数及tanA的值； (2)作DE⊥AB,求DE的长. 20.在Rt△ABC中∠ACB=90?BC=2,在AB上取一点D,使得AD:DB=1:3,连 接CD,过点D作CD的垂线交AC于点E,若AD=AE·AC,tanACD=克. (1)求证：△ADE∽△ACD; (2)求AD的值. 21.如图，在口ABCD中，E,F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧，且 ∠AEB=∠CFD=90°. (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)当AB=5,tanzABE=,∠CBE=∠EAPF时，求EF的长. 22.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.例如：如图，在 Rt△ACB中，∠C=90°∠ABC=30°，设AC=x(x>0),延长CB至点D,使得 BD=AB,连接AD.易知∠D=15°，CD=BD+BC=AB+BC=2x+V3x,所 以tan15°=tanD=… 任务： 30 15> D (1)根据上面的步骤，可知tan15°=__； (2)请类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5°的值； (3)在RtAABC中，∠C=90°，∠A=a,tana=青，请直接写出tan2ax的值. 23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,动点P 从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C 出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0<t<2), 连接PQ. B (1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值. (2)当tanPQB=青时，求CQ的长 1.c 【分析】本题考查了正切函数的定义及勾股定理，熟练掌握和运用解直角三角形的 方法是解决本题的关键. 设AC=2x,根据正切的定义得出BC=3x,再根据勾股定理即可得出x的值，进而可 得出BC的值 【详解】解：设AC=2x, :tanB=能=， ·BC=3x, 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2, 即(V3)=(2x)2+(3x)2, 解得：x=±1（负值舍去），即x=1, BC=3x=3, 故选：C 2.C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平 分可得OB=BD=4,AC⊥BD,结合tan∠ABD=求出OA,再利用勾股定理 解Rt△AOB可得答案， 【详解】解：：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BD=8, :OB=BD=4,AC⊥BD, :tanABD=器=， 0A=×4=3, ÷AB=V0A2+0B2=V32+42=5, 故选C. 3.A 【分析】本题主要考查正切值的计算，掌握正切值的计算方法是关键 根据题意设AC=x,由含30度角的直角三角形的性质得到CD=(√5+1)x,结合 正切值的计算即可求解 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°， ·AB=2AC, 设AC=x,则AB=2x,BC=VAB2-AC=V5x, :BD=AB, ÷BD=x,则CD=BC+BD=3x+x=(V3+1)x, ta2DAC=器=s+坐=5+1， 故选：A. 4.D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作CD⊥AB于点D,设AD=x, 则BD=5-x,根据tanA=克，tanB=青，得到CD=x=(5-x),求出x=2, 进而得到CD=1,BD=3,利用勾股定理即可求解， 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D, 设AD=x,则BD=5-X, :tanA=克，tanB=青， 器=，品=青， CD=x=青(5-x), ·X=2, ÷CD=1,BD=3, BC=VBD2+CD2=10, 故选：D. 5.C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题.根据坡度的定义直接求 解即可. 【详解】解：：坡高BC=10,斜坡AC=20, :水平距离AB=VAC2-BC=10W5,Cos4ACB=%=支， :斜坡AC的坡度为anA=照=0-与，∠ACB=60, 10W3 故选：C 6.A 【分析】本题考查了勾股定理与网格，求一个角的正切值，全等三角形的判定与性质， 正确掌握相关性质内容是解题的关键.先理解题意，得AB=√1+32=√10， AT=√2+12=V2,再证明△CA0兰△DB0(ASA)，然后把数值代入 tan∠A0C=号计算，即可作答. 【详解】解：依题意，正方形网格的小正方形的边长为1， 依题意，AB=V12+32=V10, 取格点T,连接AT, 依题意， A7=2+12=2, 结合网格特征得AC//BD, 则∠CA0=∠DBO,∠AC0=∠BD0, AC=BD=2, ·△CAO兰△DBO(ASA), .AO=BO=AB, :AB=V10, A0=9, 结合网格特征，∠AT0=45°+45°=90°， 则T0=A02-Ar2=9-2=号，“tanA0C=帑-= =2 故选：A. 7.A1.1锐角三角函数 第1课时 A层基础 一、选择题 1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90,AD⊥BC于点D,下列不能表示tanB的是() A.部B.品C指D.0 2.在△ABC中，若∠C=90°AC=2BC,则tanB=() A.0.5B.1C.1.5D.2 3.在Rt△ABC中，LC=90tanA=,AB=10,则BC的长为() A.3B.4C.6D.8 4.在Rt△ABC中，∠C=90:,AC=6,tanB=2,则BC的长为() A.3B.6C.9D.12 5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2,BC=4,则tanC的值为0 A .B.2 c号 D. 6.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，△ABC的顶点 均在格点上，则tan∠ACB的值为() A5B支C5D.2 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90?CD⊥AB,垂足为D,若AC=2,BC=1,则 tan∠BCD的值为() A写B29C2D. 5 8.一辆小车沿着斜坡向上行驶了50米（坡度i=1:3),则此时该小车的竖直高度 上升() A.号米B.25米C.5V10米D.10W5米 9.在Rt△ABC中，∠C=90?tanB=3tanA,且AB=4,则AC的长为() A.克B.2W2C.2V3D.3V3 10.如图，在等腰RtAABC中，∠C=90,AC=6,D是AC上一点，若tanDBA=言， 则AD的长为() A.1B.2C.5D.2 二、填空题 11.某河堤横断面如图所示，堤高BC=10米，迎水坡AB的坡度为i=1:V3(坡度是 坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长为米. B 12.在Rt△ABC中，∠C=90°AC=8,tanA=,则AB= 13.如图，△ABc的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，棱长为1的立方体展开图有两边分别在 ACBC上，有两个顶点在斜边AB上，则tanB的值等于一 15.如图，在6×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则 tanBAC的值为一 16.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点AB,C在坐标轴上，若点A 的坐标为(0，V3),tan∠AB0=3,则菱形ABCD的周长为 三、解答题 17.如图，矩形ABCD中，BC=4,tanACB=专，求AC的长， 18.如图，在△ABC中，AB=6,∠B=30°，tan∠ACB=.求边AC的长 19.如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=32,D是BC中点，tanC=言， (1)求Bc的长 2)求tan∠ADB的值. 20.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,AD=8,BD=4, D (1)求CD; (2)求tanA. 21.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，且 AB=AD,AE L BC,AB=13,AE=12,CD=11. (1)求BE的长. (2)求tan∠ACE的值， 22.如图，在口ABCD中0是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC,DF⊥AC,垂 足分别为点E、F.若BE=5,OF=2,求tan∠0BE的值. 23.如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20米，背水坡BC的坡度为i1=1:1.为 了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡 度改为2=1：V3,求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.（结果保留根号） C i=:3 =1:1 D 1.B 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中 的应用是解题关键， 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高， :△ABC~ADB~ADC均为直角三角形， 又：∠C+∠B=90°∠C+∠DAC=90°， :∠B=∠DAC, 在RtAABD中，tanzB=器，故A可以表示，不符合题意； 在RtAABC中，tanB=指，故C可以表示，不符合题意； 在RtAADC中，tanzB=tanDAC=器，故D可以表示，不符合题意； 器不能表示tan∠B,故B符合题意. 故选：B. 2.D 【分析】本题考查了求角的正切值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用 其来求解根据正切的定义求解即可！ 【详解】解：在RtAABC中，∠C=90°， :根据锐角正切的定义，tanB=能， 又：AC=2BC, tanB-能-2， 故选：D. 3.C 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题 的关键.在Rt△ABC中，根据tanA的定义和勾股定理，设BC=3x,AC=4x,通过方 程求解x,再求BC, 【详解】解：如图， B LC=90 tanA== :设BC=3x,AC=4x, :AB=10,由勾股定理，AC2+BC2=AB2, ÷(3x)2+(4x)2=102, 解得x=-2(舍)或x=2, ·BC=3x=6. 故选：C 4.A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键 利用锐角三角函数求解， 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， :tanB=能， BC=品=号=3， 故选：A. 5.D 【分析】本题考查了求正切值. 根据正切值的定义计算即可. 【详解】解：：∠B=90°， .tanc=提=子=支. 故选：D. 6.D 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，锐角三角函数.由勾股定理及逆定理可得 △BDC是直角三角形，且∠ABC=90°，进而根据正切的定义即可求解。 【详解】解：由网格可得，AB=22+6=210,AC=52+52=52, BC=V12+32=V10 :BC2+AB2=AC2=50, ·△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°， tanLAC8=器= 210=2, 10 故选：D. 7.D 【分析】本题考查了求正切值，等角的余角相等.。 根据等角的余角相等得到∠BCD=∠BAC,求出tan∠BAC的值即可. 【详解】解：：∠ACB=90',CD⊥AB, ·∠BCD+∠ACD=∠BAC+∠ACD=90°， 即∠BCD=∠BAC, :∠ACB=90°，AC=2,BC=1, tanBCD=tanBAC==支. 故选：D. 8.C 【分析】本题考查坡度的概念及勾股定理的应用.先根据坡度定义设出竖直高度与 水平宽度，再利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：设小车竖直高度上升了x米， :坡度i=1:3 ·水平宽度为3x米， :小车沿斜坡行驶的距离为斜边，长度为50米， 根据勾股定理得：x2+(3x)2=502, 解得x=5V10(舍去负根)， 即此时该小车的竖直高度上升为5√10米. 故选：C 9.C 【分析】本题考查了解直角三角形.利用正切函数的定义和勾股定理即可求解， 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a,AC=b,AB=c=4, :tanB=号，tanA=号，tanB=3tanA, :贵=3号，整理得b2=3a2, 由勾股定理，a2+b2=c2=16, ÷4a2=16, 解得a=2(负值已舍)， ·b2=3a2=12,解得b=2V3(负值已舍)， 故选：C. 10.D 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程 就是解直角三角形.也考查了等腰直角三角形的性质.作DE⊥AB于E,先根据等腰 直角三角形的性质得到AB=6V2,∠A=45°，设AE=x,则DE=X,AD=V2x,在 Rt△BED中，利用∠DBE的正切得到BE=5x,然后由AE+BE=AB可计算出 x=V2,再利用AD=V2x进行计算.【详解】解：作DE⊥AB于E如图， :△ABC是等腰直角三角形，AC=6=BC DAE=45 AB=AC2+BC2=62, ·△ADE是等腰直角三角形， 设AB=x,则DE=x,AD=NAE2+DE=V2x, :在Rt△BED中，tanDBE=噩=青， ·BE=5x, :AB=AB+BE=x+5x=62,解得x=V2, :AD=2×V2=2. 故选：D. 11.10V3 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直 高度与水平宽度之比是解题的关键， 根据坡度的定义，得器=言，由堤高BC=10米，计算即可求得Ac的长。 【详解】解：：迎水坡AB的坡度为i=1:3, 器=有， :BC=10, ÷AC=10W3 故答案为：10W3 12.10 【分析】本题主要考查勾股定理，正切值的计算，利用正切定义求出BC,再应用勾股 定理求AB, 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90:tanA=器=，AC=8, :BC=8×=6, :AB=VAC2+BC=V82+62=10, 故答案为：10. 13.3 【分析】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余 弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，1.1锐角三角函数 第2课时 A层基础 一、选择题 1.在Rt△ABC中，∠C=90?,BC=12,AC=5,则下列三角函数表示正确的是() A.sinA=3B.cosA=号C.tanA=最D.tanB=号 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=17,则cosB的值为() B A号B.号C是D.品 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AB=5,BC=4,则sinA的值为() B A.B.号C.D.是 4.在Rt△ABC中，∠C=90?BC=6,sinA=,则AB=〔) A.10B.8C.6D.5 5.在贺州市遭遇大暴雨时，龟石水库的水位持续上涨，工作人员在水库岸边的直角三 角形观测台ABC处监测水位.如图，龟石水库堤坝横断面迎水坡的坡角为 &,sin&=号，提坝高BC=15m,则迎水坡面AB的长度为() A.20mB.25mC.30mD.35m 6.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网 格的顶点上，则cos∠ABC的值为() A吉B.CD 7.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90?,CD⊥AB于D,BC=3,AC=4,则sinzBCD的 值为() A.B.青CD. 8.如图，在△ABC中，AB=AC=1,∠ABC=35°，AD为角平分线，则BC的 长为() A.cos35°B.sin35°C.2cos35°D.2sin35° 9.如图，正方形ABCD是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的 对角线与长边的夹角为a,则sina的值为() D B A誓B5C支D. 10.如图，在△ABC中，AE、CD分别为BCAB边上的高，AB=8,AE=6,则 sin∠DCB的值为() AB誓C是D.29 二、填空题 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=号，则sinA=一 12.如图，在Rt△ABC中，LACB=90,BC=4,cosB=号，点M是AB的中点，则CM 的长为 13.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点AB,C都在 小正方形的顶点上，则sinzABC的值为一 14.在平面直角坐标系x0y中，己知点A(-3,0)、B(2,12),则∠BA0正弦值 是一 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上的一点，BD=2CD,AB=9, sinB=号.则AD=— A D 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=15,过点C作CD⊥AB于点D, 则cos∠ACD的值为一， 三、解答题 17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12,BC=9.求sinA和tanB的值. B 18.在RtAABC中，∠C=90°∠A∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且a,b,c满足等式 5a-3c=0,求sinB的值. 19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°BC=3,AC=V15,AB的垂直平分线ED交 BC的延长线于点D,垂足为E,求sin∠CAD. B D 20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90:AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针 旋转得到△ABC,使点C落在AB边上，连接BB',求sinLBB'C的值. 21.如图，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上的一点，AC=4, tan∠ADC=2. (1)求DC的长. (2)若BD-CD=2,求sinB的值. 22.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC,垂足为点E,设∠ADE=C,且 cosC=,AB=9.求AD的长. 23.如图，CD是△ABC中AB边上的高，点E是BC边上一点，CE=吉BE,若 CD=9,sinBAE= (1)求AE的长： (2)若AE=BE,求tan∠ACD的值. 1.A 【分析】本题考查了解直角三角形.本题先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再根 据锐角三角函数的定义，分别判断每个选项的三角函数值是否正确. 【详解】解：：在RtAABC中，∠C=90，°BC=12,AC=5 :由勾股定理得，AB=VAC2+BC2=V52+122=V169=13 根据锐角三角函数定义： sinA=脂=号，故A选项正确， cosA=指=，故B选项错误。 tanA==号，故C选项错误。 tanB=骺=是，故D选项错误. 故选：A. 2.B 【分析】此题考查了勾股定理和求角的余弦值.先用勾股定理求出BC,再根据余弦 的定义求解即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=17, BC=VAB2-AC2=V172-g2=15, “cosB=脂=号， 故选：B 3.C 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握正弦的定义. 根据一个锐角的正弦值等于这个锐角的对边与斜边的比值求解即可. 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠C=90?AB=5,BC=4 ∴sinA=脂=号， 故选：C 4.A 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用正弦的定义建立等式即 可求出斜边AB的长度. 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠C=90°， “sinA=脂， 又：BC=6,sinA=胃 :A8=器=6÷是=10， 故选：A. 5.B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦函数的定义是解题的 关键.先明确题目中的直角三角形模型，已知角：的正弦值和对边BC的长度，利用正 弦函数的定义对边斜边sin:=量来计算斜边AB的长度 对边 【详解】解：：在RtAABC中，LC=90?sina=寻，BC=15m, 又：sina=骆， …品=， AB=5=25m, 故选：B. 6.D 【分析】本题考查了求一个角的余弦值，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键 过点C作CD上AB于点D,则CD=3,BD=4,由勾股定理求出BC,再由余弦的定 义即可求解. 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D, 则CD=3,BD=4,∠BDC=90°. :由勾股定理得BC=VBD2+CD2=V42+32=5. :COSLABC=哭=青. 故选：D. 7.C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理 先利用勾股定理计算出AB=5,再利用等角的余角得到∠A=∠BCD,然后根据 正弦的定义求出sinA即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=VAC2+BC=V42+32=5, :CD⊥AB, ∠BCD+∠B=90°， 而∠A+∠B=90°， ·∠A=∠BCD, 而sinA=脂=， ∴sinzBCD=. 故选：C. 8.C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，掌握锐角三角 函数的定义是解题关键.根据等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC,BC=2BD, 在RtAABD中，利用余弦求出BD=cos35°，即可得解. 【详解】解：：AB=AC=1,AD为角平分线， ·AD⊥BC,BC=2BD, 在Rt△ABD中，∠ABC=35°， ·BD=AB·coS∠ABC=cos35°， ·BC=2BD=2cos35°， 故选：C 9.A 【分析】此题考查了勾股定理、矩形的性质、求正弦等知识.设矩形的长为a,宽为 b,则正方形的边长为b根据正方形的边长求出a=2b,用勾股定理求出矩形的对角 线长，根据正弦的定义进行求解即可. 【详解】解：设矩形的长为a,宽为b,则正方形的边长为b, 由题意可知，a十b=3b, a=2b, :矩形的对角线长为Va2+b2=V(2b)2+b=5b, sina = 故选：A 10.B 【分析】本题考查了同（等）角的余（补）角相等的应用，用勾股定理解三角形，求角的 正弦值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解 先利用同角的余角相等证明∠DCB=∠BAE,再利用勾股定理求得BE,然后利用正 弦定义式求解， 【详解】解：因为在△ABC中，AE、CD分别为BCAB边上的高， 所以∠B+∠BAE=90°，∠B+∠DCB=90°， 所以∠DCB=∠BAE, 在Rt△ABE,AB=8,AE=6, 所以BE=VAB2-AE2=V82-6=27, 所以sn∠DcB=sn∠BAE=器=29=号， 故选：B. 11.号##0.6 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握余弦和正弦的定义， 先由余弦的定义得到脂=，再根据siA=脂，求解即可. 【详解】解：如图， A B 在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=号， …脂=， sinA=脂=寻， 故答案为：· 12.3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的 关系.掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出AB的长，再根据直角三角形的斜边中线与 斜边的关系得结论， 【详解】解：在RtABC中， :CosB=号=6，BC=4, AB=6. :M是AB的中点， CM=克AB=3, 故答案为3 13.91.1锐角三角函数 第1课时 B层巩固 一、选择题 1.如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点， 则∠ABC的正切值为() AB要C生D.4 2.人行天桥的示意图如图所示，若高BC长为10米，斜坡AC长为30米，则 tanA的值为() B A青B.渠C .D.3 3.如图是一张直角三角形纸片，其中∠ACB=90°，BC=6,AC=8.现将该直角三角 形纸片沿DE折叠，使点A与点B重合，则tanDBE=() A.B.C.号D. 4,如图，∠M0N=60°，以0为圆心，2为半径画弧，分别交0M,0N于A, B两点，再分别以AB为圆心，V6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C,作射 线OC,连接ACBC,则tanzBC0的值为() M ®W A吉B便CD. 5.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，AB,C都在格点上，则 tanA的值是(). B A号B.青C3 n 6.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形 5Lne=（) EFGH都是正方形.若tanGBC=支，则sn4c。 A京B专CD 7.如图，把一个长方形卡片ABCD放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在 横格线上，若tana=,则边BC的长为() A.9 B.5C.4 D. 8.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE,过A作AG⊥BE于点 G,延长AG交BC的延长线于点F,若AB=6,tanABE=,则CF等于() A.2 B.C.D. 9.如图，AD是△ABC的中线，AD=5,tan∠BAD=,S△4Dc=15,则BC的长 为() A.35B.65C.2W10D.4y10 10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，点E、F分别在线段OA、OD 上，连接AF、BE,AF=BE,若tanFA0=,OD=6,则E0的长为() A.1B.1.5C.2D.2.5 二、填空题 11.在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB于D,且AC=3,BC=1,则tan∠ACD= 一 12.已知在Rt△ABC中，∠C=90tanA=号，BC=E,则AB的长为一 13.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在 格点上，则tanC的值是 14如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A,B，,C都在格 点上，则tanc的值为一 15.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,D为AC边上一动点， 且tan∠ABD=青，则BD的长度为 A C 16.如图，菱形0BAC的边OB在x轴上，点A(8,4),tanzC0B=专，若反比例函数 y=奈(k≠0)的图象经过点C,则k的值为一 三、解答题 17.如图，已知△ABC中，AB=V13,BC=2,tanABC=号，求边AC的长. 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90:BC=V5,D是AC上一点，连接BD.若 tanA=克，tanABD=青，求CD的长. C D B 19.如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=8,E为AD边上一点，沿CE将 △CDE折叠，使点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值. 20.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算tan15° 时，可构造如图1所示的图形.在Rt△ACB中，∠C=90?∠ABC=30°，设 AC=x(x>0),延长CB至点D,使得BD=AB,连接AD,易知LD=15°， CD=BD+BC=AB+BC=2x+V3x,所以tan15°=tanD= 30 B 图1 h45 22.5 D 图2 任务： (1)请根据上面的步骤，完成tan15°的计算； (2)请类比这种方法，计算图2中tan22.5°的值. 21.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E、F分别为AB、AC的中点，G 为边BC上一点，∠EGB=∠FDC,连接EF.若tanB=号，tanC=2,BC=14, (1)求证：四边形EFCG是平行四边形； (2)求DG的长 22.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,点0为对角线BD的中点，过点0作 EF⊥BD分别交DA的延长线、BC边于点E、F,连接BE、DF. E (1)求证：四边形EBFD为菱形： (2)EF交AB边于点M,若OM=2,tanMB0=青，求BD的长. 23.如图，E是正方形ABCD中边BC上的一点，将射线AE绕点A逆时针旋转 90°，交CD的延长线于点F,连接EF, (1)补全图形，并证明线段AE=AF; (2)若tanBAE=,求器的值. 1.D 【分析】本题考查网格中求角的三角函数值，根据网格特点，结合正切值的定义进行 求解即可. 【详解】解：由图可知：AE⊥BC,AE=4,BE=1, ∴tanABC=能=4； 故选D. 2.C 【分析】本题考查了正切的定义以及勾股定理，理解正切的定义是解题关键， 先用勾股定理求出AB,再利用正切的定义求解即可. 【详解】解：：BC长为10米，斜坡AC长为30米， :AB=VAC2-BC2=20y2米， 根据题意得：tanA=器=”=誓， 20W2 故选：C 3.A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，折叠的性质.求出tanA==,再由折叠 的性质得：∠DBE=∠A,即可求解. 【详解】解：：∠ACB=90°，BC=6,AC=8, tanA==号=， 由折叠的性质得：∠DBE=∠A, .tanDBE=tanA=. 故选：A 4.D 【分析】本题考查了求角的正切值、垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定、 勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键， 连接AB交0C于点D,由作图可得，0A=0B=2,AC=BC=V6,则0C是 AB的垂直平分线，通过证明△AOB是等边三角形，得到AB=OB=2,进而得到 BD=AB=1,再利用勾股定理求出CD的长，在Rt△BCD中利用正切的定义即可 求解 【详解】解：如图，连接AB交OC于点D, B -N 由作图可得，0A=0B=2,AC=BC=V6, :OC是AB的垂直平分线， ·AD=BD,OC⊥AB, ·∠BDC=90°， :0A=0B=2,∠M0N=60°， ·△AOB是等边三角形， ·AB=0B=2, :BD=克AB=1, :CD=VBC2-BD2=6-1=5, :在t△8CD中，aBCD=器=吉=誓， 即aBc0-专. 故选：D. 5.B 【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理及其逆定理.利用格点构造直角三角形， 再利用正切函数的定义求解， 【详解】解：如图，标记格点D,连接BD, 由勾股定理得BD=√2+12=2，AD=32+32=32,AB=42+2=25, :BD2+AD2=2+18=20=AB2, ÷△ADB是直角三角形，∠ADB=90°， aA=骆==， 32 故选：B. 6.D 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质，正方形面积，熟练 掌握相关知识点是解题的关键， 根据全等三角形的性质得到AF=BG=CH=DE,AE=BF=CG=DH推出 GF=BF=CG,设GF=BF=CG=x,则BG=2x,得到BC=VBG2+CG2=5x,求 和=器=盖=青，即可得到答案 出S正n老AEco 【详解】解：根据题意得AF=BG=CH=DE,AE=BF=CG=DH,∠BGC=90°， tanLGBC=器=方， ·BG=2CG, ·GF=BF=CG, 设GF=BF=CG=x,则BG=2x :BC=BG2+CG2=5x, -器=景=青， :S正A表AECD 故选：D. 7.B