1.1锐角三角函数同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.1锐角三角函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在中，，，，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 2．如图，若点 A 的坐标为(1，2)，则tan∠1＝（    ） A． B． C． D． 3．当锐角A>45°时，sinA的值(       ) A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 5．若，则的正切值的范围是（     ） A． B． C． D． 6．如图，方格纸中小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 7．在△中，∠=90°，，则sin 的值是（ ） A． B． C．1 D． 8．在△中，∠＝90°，，，则sin( ) A． B． C． D． 9．计算·tan 60°的值等于（　　） A． B． C． D． 10．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，则sinA的值为（    ） A． B． C． D． 12．如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ）米． A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在菱形中，点是的中点，连接，交于点．，，则的长是 ． 14．一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进，则此时小球距离地面的高度为 15．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 ． 16．已知是锐角，化简： ． 17．如图，中，的垂直平分线分别交于两点，连接，如果，那么 ． 三、解答题 18．如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数和的图象上，轴于点A，轴于点C，O是线段的中点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，，，求的值． 19．如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 20．如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 21．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD，根据此图求tan15°的值． 22．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H. (1)求sin∠EAC的值； (2)求线段AH的长． 23．在中，，，，求AC的长. 24．在中，的对边分别是a，b，c，且a，b，c满足等式，求的值． 《1.1锐角三角函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D D C B D D A 题号 11 12 答案 C D 1．A 【分析】本题考查了解直角三角形，熟知余弦的定义：邻边比斜边，是解本题的关键．根据三角函数的知识进行解答即可． 【详解】解：在中，，，， ， 解得：， 故选：A． 2．A 【分析】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，根据点A的坐标，得到OB=1，AB=2，根据正切的定义计算选择即可． 【详解】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，根据点A的坐标(1，2)， ∴OB=1，AB=2， ∴ tan∠1＝， 故选A． 【点睛】本题考查了坐标的意义，正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 3．B 【详解】试题解析：在范围内的值会随着的增大而增大. 时， 故选B. 4．D 【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解. 【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B， ∵A的坐标为(4,3) ∴OB=4，AB=3， 在Rt△AOB中， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键． 5．D 【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可． 【详解】解：∵，且一个角的正切值随角的增大而增大， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 6．C 【分析】本题考查解直角三角形．过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 7．B 【详解】因为∠=90°，， 所以. 8．D 【详解】由勾股定理知， 又所以所以sin 9．D 【详解】试题解析：原式 故选D. 10．A 【分析】由余弦可知，进而问题可求解． 【详解】解：由余弦可知， 把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则， ∴锐角A的余弦值不变； 故选A． 【点睛】本题主要考查余弦，熟练掌握余弦的求法是解题的关键． 11．C 【解析】略 12．D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 13． 【分析】连接AC交BD于点O，根据菱形的性质和已知条件，得出△BCE为直角三角形，求出，得出为等边三角形，求出AC的长，再根据勾股定理求出BO的长，即可求出BD． 【详解】解：连接AC交BD于点O，如图所示： 四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，， ∵点E为AB的中点， ∴， ∵， ∴， ∴△BCE为直角三角形， ， ∴， 为等边三角形， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，特殊角的三角函数值，等边三角形的性质和判定，勾股定理及逆定理，根据题意判断出△BCE为直角三角形，求出，是解题的关键． 14． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，过点B作，根据，则设，，由勾股定理得，，即，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，斜坡的坡度为，，过点B作，    在，， ∴设，， 由勾股定理得，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即此时小球距离地面的高度为， 故答案为：． 15．/ 【分析】可得是等腰直角三角形，设，由勾股定理得，则，故． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，由勾股定理得 ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求角的正切值，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型． 16．1 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后合并即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：1． 17． 【分析】先证明△BCD为直角三角形，再运用三角函数定义求解． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=DC=2，∠AED=90°， ∵∠A=45°, ∴∠ACD=45°， ∴∠BDC=∠A+∠ACD=90°， ∴∠ADC=90°， ∴， ∴AB=， ∴tan∠BCD=， 故答案为：．　 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质、三角形的外角性质和正切函数的定义是解题关键．　 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理的逆定理以及锐角三角形函数． （1）先求出B的坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式； （2）分别算出的值，利用勾股定理的逆定理结合锐角三角函数的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点D在反比例函数的图象上，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴点B的坐标为， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由（1）可知， ∴， ， ， ∵， ∴，即， ∴． 19．(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了三角函数的定义； （1）根据三角函数的定义进行证明即可； （2）根据（1）中的结论得出，即，然后代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个中，，则，，． 【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定： （1）过作于，得出四边形为矩形，得到，，再根据勾股定理得出，进而可求梯形的面积； （2）连接，过点作于点，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据正切的定义计算即可．． 【详解】（1）解：过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积； （2）解：如图，连接，过点作于点， 则， 在中，，， 则， ， ， ， ，即， 解得：， 由勾股定理得：， ． 21．2－ 【分析】设AB＝BD＝2，由∠DBC＝30°，可知CD＝1，CD＝，最后求出的值即可． 【详解】设AB＝BD＝2， ∴∠A＝（180°－∠ABD）＝∠DBC＝15∘， ∵∠DBC＝30∘， ∴CD＝1， ∴由勾股定理可求出：BC＝＝， ∴AC＝AB＋BC＝2＋， ∴tan15∘＝＝2−. 【点睛】本题主要考查了角的正弦值的计算，解题的关键是知道∠A＝15°并求出AC的长. 22．（1） ；（2） 【详解】试题分析： （1）如图，过点E作EM⊥AC于点M，则∠EMA=∠EMC=90°，△EMC为等腰直角三角形，在Rt△ADE中易得AE=，在Rt△EMC中易得EM=，∴sin∠EAM=； （2）由已知易证△ADE≌△CDG，从而可得GC=AE=，∠DAE=∠DCG，由此可证得AH⊥CG，最后利用S△AGC=可解得AH的长. 试题解析： (1)作EM⊥AC于M. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，AD＝DC＝3，∠DCA＝45°. 在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，AD＝3，DE＝1， ∴AE＝. 在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，∠ECM＝45°，EC＝2， ∴EM＝CM＝. ∴在Rt△AEM中，sin∠EAM＝； (2)在△GDC和△EDA中，  ， ∴△GDC≌△EDA， ∴∠GCD＝∠EAD，GC＝AE＝. 又∵∠AED＝∠CEH， ∴∠EHC＝∠EDA＝90°， ∴AH⊥GC. ∵S△AGC＝AG·DC＝GC·AH， ∴×4×3＝×AH， ∴AH＝. 考点：（1）正方形的性质；（2）勾股定理的应用；（3）锐角三角形函数；（4）全等三角形的判定和性质； 23． 【分析】根据正切函数的定义求解即可. 【详解】解：在中，∵， ∴. 又∵， ∴. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边， ∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边 24． 【分析】本题考查锐角的正弦，关键是掌握锐角的正弦定义．由，令，，由勾股定理得到，于是得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴令， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $