2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第28课时：《统计初步与概率初步》

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 28 课时 统计初步与概率初步 一、核心知识 （一）统计初步 1. 数据的收集与整理 收集方法：普查（对全体对象调查，如人口普查）、抽样调查（抽取部分对象调查，如调查一批灯泡的使用寿命）； 总体：所要考察的______全体对象______； 个体：总体中的______每一个考察对象______； 样本：从总体中抽取的______部分个体______； 样本容量：样本中个体的______数量______（不带单位）； 整理方法：分类、排序、分组. 常用统计图表: 条形图、折线图、扇形图、频数分布直方图 。 2. 数据的描述 频数：某个数据出现的______次数______； 频率：频数与总次数的比值，频率之和为______1______； 常见统计量： 平均数： 算术平均数： ​​； 加权平均数： （为权重） ； 中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，处于______中间位置______的数（数据个数为奇数时）或 中间两个数 的平均数（数据个数为偶数时）； 众数：一组数据中出现______次数最多______的数据（可能有多个）； 极差：一组数据中______最大值______与______最小值______的差； 方差： （衡量数据波动大小，方差越大，波动越______大______）； 标准差：方差的算术平方根， 。 3. 统计图表的应用 条形图：直观展示数据的______具体数量______； 折线图：清晰反映数据的______变化趋势______； 扇形图：表示各部分占总体的______比例关系______（各部分百分比之和为 100%）； 频数分布直方图：显示数据的______分布范围和集中趋势______（横轴为分组区间，纵轴为频数）。 （二）概率初步 1. 概率的基本概念 随机事件：在一定条件下，______可能发生也可能不发生______的事件（概率 0 < P < 1）； 必然事件：在一定条件下，______必然发生______的事件（概率 P = 1）； 不可能事件：在一定条件下，______必然不发生______的事件（概率 P = 0）； 概率定义：一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记作 P (A)。 2. 概率的计算方法 古典概型（等可能事件概率）： 适用条件：①所有可能结果是______有限个______；②每个结果发生的可能性______相等______； 计算公式： ； 几何概型： 适用条件：所有可能结果是______无限个______，且结果落在某一区域内的概率与该区域的______面积（或长度、体积）______成正比； 计算公式： ； 用频率估计概率：当试验次数很大时，随机事件 A 发生的______频率______稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 A 的概率。 3. 概率的应用 用列举法求概率（列表法、树状图法）： 列表法：适用于______两步______试验（如摸球、掷骰子两次）； 树状图法：适用于______两步及以上______试验（如摸球三次、不放回抽样）； 不放回抽样与放回抽样：不放回抽样中，每次抽取的结果相互影响；放回抽样中，每次抽取的结果相互独立。 二、核心能力 题型 1 统计量的计算与应用 解题思路 明确统计量类型：根据题目要求，确定计算平均数、中位数、众数、方差等统计量； 数据预处理：先对数据进行排序（求中位数、极差必备），剔除错误数据（若有）； 准确代入公式： 加权平均数注意权重对应，避免数据与权重混淆； 方差计算先求平均数，再算每个数据与平均数的差的平方和，最后除以数据个数； 统计量意义解读：根据统计量判断数据特征（如中位数反映中间水平，方差反映波动大小）。 题型 2 统计图表的分析与转换 解题思路 读取图表信息： 条形图 / 折线图：提取横纵轴含义、数据具体数值； 扇形图：通过百分比计算各部分数量（总数量 × 百分比）； 频数分布直方图：确定组距、组数、频数，计算频率（频数 ÷ 总数）； 图表转换：根据题目要求，将一种图表转换为另一种图表（如扇形图转条形图），注意数据一致性； 结合统计量分析：通过图表数据计算统计量，进而解读数据规律（如集中趋势、变化趋势）。 题型 3 概率的计算（古典概型） 解题思路 判断事件类型：确认是否为等可能事件，明确所有可能结果和事件 A 的结果； 选择计算方法： 两步试验：优先用列表法，避免重复或遗漏结果； 三步及以上试验：用树状图法，清晰呈现所有可能路径； 计算结果：严格按照公式计算，注意 “不放回” 与 “放回” 的区别（不放回时，每次结果总数减少；放回时，结果总数不变）； 验证合理性：概率值需在 0~1 之间，若结果超出范围，需检查结果列举是否错误。 题型 4 概率的实际应用 解题思路 建模转化：将实际问题转化为概率模型（如摸球、抽卡片、掷骰子模型）； 确定样本空间：明确所有可能的结果，确保不重复、不遗漏； 计算目标事件概率：根据古典概型或频率估计概率的方法求解； 解释实际意义：结合题目情境，说明概率的实际含义（如中奖概率、合格概率）。 题型 5 统计与概率的综合应用 解题思路 分离统计与概率部分：先通过统计图表或数据计算统计量，再根据统计结果计算概率； 结合实际情境：如通过样本统计量估计总体情况，再计算总体中某事件的概率； 逻辑关联：确保统计数据与概率计算的关联性，避免数据误用（如用样本频率作为概率估计值）。 三、易错警示 统计概念混淆 错误：混淆总体、个体、样本、样本容量（如样本容量带单位）；误将加权平均数当作算术平均数计算；中位数未排序直接取中间数。 提醒：样本容量是数量，无单位；计算加权平均数时，权重与对应数据相乘后求和再除以权重和；求中位数前必须对数据排序。 方差计算错误 错误：方差计算时，忘记除以数据个数 n；或未先求平均数，直接用数据平方和计算。 提醒：方差公式的核心是 “偏差平方的平均数”，步骤为：先求平均数→算偏差→平方→求和→除以 n。 统计图表解读错误 错误：扇形图中，误将百分比当作具体数量；频数分布直方图中，混淆频数与频率；折线图中，误读数据变化趋势（如将上升趋势当作下降趋势）。 提醒：扇形图需结合总数量计算具体值；直方图纵轴为频数，频率 = 频数 ÷ 总数；折线图需关注横轴刻度和纵轴数据变化幅度。 概率计算中结果列举错误 错误：列表法或树状图法中，重复或遗漏可能结果；不放回抽样与放回抽样混淆（如不放回时仍按放回计算结果总数）。 提醒：列举结果时，按一定顺序（如从小到大、从左到右），避免重复；不放回抽样中，每次抽取的结果总数递减，放回抽样中总数不变。 概率与频率混淆 错误：将一次试验的频率当作概率；或认为试验次数越多，频率一定越接近概率（忽略 “大量重复试验” 前提）。 提醒：频率是具体试验的结果，概率是理论值；只有在大量重复试验中，频率才会稳定在概率附近，少数几次试验的频率可能偏离概率。 实际应用中模型转化错误 错误：将非等可能事件当作等可能事件计算（如不均匀的骰子、不透明袋子中不同数量的球）；或误解实际问题中的 “条件”（如 “随机抽取 2 人” 与 “依次抽取 2 人” 的区别）。 提醒：计算概率前，确认每个结果发生的可能性是否相等；明确问题中的抽取方式、条件限制，准确转化为概率模型。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·江苏中考）下列说法不正确的是（   ） A.明天下雨是随机事件 B.调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C.描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D.若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】B 【解析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点进行判断即可． 【解答】：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意； ：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意； ：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意； ：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意． 故选：．  2.（24-25·江苏模拟）已知一组数据3，5，3，5，如果增加一个4，得到的这组新数据与原来的数据相比(     ) A.极差和众数改变了 B.中位数和众数改变了 C.极差和中位数改变了 D.极差、中位数和众数都没改变 【答案】D 【解析】依据定义和公式分别计算新旧两组数据的中位数、众数、极差求解即可. 【解答】解：原数据3，5，3，5，极差是 ，众数是3和5，中位数是 如果增加一个4，新数据为3，3，4，5，5，极差是 ，众数是3和5，中位数是4所以极差、中位数和众数都没改变 故选：D. 3.（23-24·河南中考）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A.的值是 B.该组数据的平均数是 C.该组数据的众数是 D.若该组数据加入两个数，，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【解答】解：选项、算式中平方差项数为，对应数据个数，正确． 选项、平均数，正确． 选项、数据中和均出现次，次数最多，故众数为和，而非仅，错误． 选项、加入两个后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是． 故选 4.（2020·山东模拟）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成“强国”的概率是    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】列表得出所有等可能的情况数，找出能组成“强国”的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：列表得： 学 习 强 国 学 学习 学强 学国 习 习学 习强 习国 强 强学 强习 强国 国 学国 习国 强国 共有种可能的结果中，能组成“强国”有种可能，两次摸出的球上的汉字能组成“强国”的概率为 故选：． 5.（23-24·广西中考）一个不透明的袋子中装有个红球、个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出个球．两人都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：列表如下： （红，红）（黄，红）（黄，黄）（黄，黄） 红 红 黄 黄 黄 红 （红，红） （黄，红） （黄，红） （黄，红） 红 （红，红） （黄，红） （黄，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） （黄，黄） 由表知，共有种等可能结果，其中两人都摸到红球的有种结果， 所以两人都摸到红球的概率为， 故选：． 6.（24-25·浙江中考）某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（   ） A.科技类图书销售了册 B.文艺类图书销售了册 C.文艺类图书销售占比 D.其他类图书销售占比 【答案】D 【解析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可． 【解答】解：总销售量为：（册）， 科技类图书销售了（册）， 文艺类图书销售了（册）， 文艺类图书销售占比为：， 其他类图书销售占比：； 综上：只有选项错误，符合题意； 故选．  7.（22-23·黑龙江中考）绥化市举办了年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（      ） 组别 参赛者成绩 A.该组数据的样本容量是人 B.该组数据的中位数落在这一组 C.这组数据的组中值是 D.这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 【答案】B 【解析】根据组的人数除以占比求得样本的容量，结合统计图求得的人数为，进而根据中位数的定义，即可判断选项，根据组中值为，即可判断选项，根据的占比乘以，即可判断选项． 【解答】解：、 该组数据的样本容量是，故该选项不正确，不符合题意；、的人数为：，， 该组数据的中位数落在这一组，故该选项正确，符合题意； 、这组数据的组中值是，故该选项不正确，不符合题意； 、这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为，故该选项不正确，不符合题意； 故选：． 8.（22-23·山东中考）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．月日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A.甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 B.甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 C.甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差 D.甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 【答案】D 【解析】根据平均数、中位数、极差及方差的定义列式计算即可． 【解答】解：．甲班视力值的平均数为：， 乙班视力值的平均数为：， 所以甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，故选项说法错误，不符合题意； ．甲班视力值的中位数为，乙班视力值的中位数为， 所以甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，故选项说法错误，不符合题意； ．甲班视力值的极差为，乙班视力值的极差为， 所以甲班视力值的极差等于乙班视力值的极差，故选项说法错误，不符合题意； ．甲班视力值的方差为， 乙班视力值的方差为， 所以甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故选项说法正确，符合题意； 故选：． 9. （24-25·全国模拟）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约位数学家的《数学家传略辞典》中部分岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（      ） 年龄范围（岁） 人数（人） A.该小组共统计了名数学家的年龄 B.统计表中的值为 C.长寿数学家年龄在岁的人数最多 D.《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数估计有人 【答案】D 【解析】利用年龄范围为的人数为人，对应的百分比为，即可判断选项；由选项可知该小组共统计了名数学家的年龄，根据即可判断选项；由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在岁的占的百分比最大，即可判断选项；用乘以小组共统计了名数学家的年龄中在岁的百分比，即可判断选项． 【解答】 解：．年龄范围为的人数为人，对应的百分比为，则可得（人），即该小组共统计了名数学家的年龄，故选项正确，不符合题意；．由选项可知该小组共统计了名数学家的年龄，则，故选项正确，不符合题意； ．由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在岁的占的百分比最大，即长寿数学家年龄在岁的人数最多，故选项正确，不符合题意； ．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数估计有人，故选项错误，符合题意． 故选：． 10.（24-25·山西模拟）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市名初中学生中，视力不低于的人数是（      ） 视力 以下 以上 人数 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 本题考查的是统计表，用样本估计总体，求出不低于的人数所占的百分比是解决此题的关键．求出不低于的人数所占的百分比再乘即可求出结论． 【解答】解：， 视力不低于的人数是， 故选：． 11.（24-25·山西中考）下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（    ） 月日 月日 月日 月日 月日 最高 最低 A.日最高气温的波动大 B.日最低气温的波动大 C.一样大 D.无法比较 【答案】A 【解析】本题考查的是方差的计算与含义，比较两组数据的波动情况，需计算它们的方差或极差，根据方差越大，波动越大判断即可. 【解答】解：最高气温数据：，，， ， 平均数： 各数据与平均数的差的平方：，， ， ， ， 方差： 最低气温数据：，，， ， 平均数： 各数据与平均数的差的平方：， ， ， ， ， 方差：， 最高气温方差为，最低气温方差为，因此日最高气温的波动更大，选项正确； 故选： 12.（23-24达州模拟）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为，，，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有种， 卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：． 13.（24-25·云南模拟）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示，过点作于点，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【解答】如图所示，过点作于点 是直径 是等腰直角三角形 ， ， 该粒米落在扇形内的概率为． 故选：． 14.（22-23·山东中考）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D.无法判断 【答案】B 【解析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解． 【解答】解：如图所示，连接，交于， 由题意得，，，，分别是正方形四条边的中点， 点为正方形的中心，  ， 根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积， 阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半， 故选：． 15.（24-25·贵州中考）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 “正面朝上”的次数 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在附近，即可得出答案． 【解答】解：当抛掷次数较小时（如次、次等），频率波动较大（、等），当次数增加到次及以上时，频率稳定在，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为． 故选：． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·浙江模拟）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是______________． 【答案】 【解析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：画树状图为： 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有种， 甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为： 17.（24-25·四川中考）甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差，乙运动员训练成绩的方差，你认为应该选择______乙______参加比赛．（填甲或者乙） 【答案】乙 【解析】此题考查了平均数和方差，根据平均数相同时方差越小的成绩越稳定即可解答，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键． 【解答】解：他们射击训练成绩的平均数相同，，， ， 应该选择乙参加比赛， 故答案为：乙． 18.（22-23·辽宁中考）某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛，这两名运动员次测试成绩（单位：）的平均数是，，方差是，，那么应选    甲    去参加比赛．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】根据方差的大小判断即可． 【解答】解：由题意知，，，因此甲的成绩比乙的成绩稳定，应选甲去参加比赛. 故答案为甲． 19.（24-25·北京中考）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给，，，四家经销商销售．当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下： … … … 如果企业将台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到台设备，为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_____________分配台设备（填“”“”“”或“”）； 如果企业将台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 【答案】, 【解析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． 分别计算各经销商销售完第台比第台的利润的增长量，比较即可得答案； 分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案． 【解答】解：当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ， 应向经销商分配台设备． 当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 20.（24-25·四川模拟）在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为____3________． 【答案】 【解析】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用．设黄球的个数为个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案． 【解答】解：设黄球的个数为个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 黄球的个数为个． 故答案为：． 21.（22-23·辽宁中考）某班名同学一周课外阅读时间统计如表所示 时间/小时 人数 则该班名同学一周课外阅读时间的众数是  9    小时． 【答案】 【解析】一组数据中出现次数最多的数据即为众数，根据定义解答． 【解答】解：个数据中出现次，出现次，出现次，出现次，出现的次数最多， 众数为小时， 故答案为：． 22.（24-25·四川中考）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 经验 能力 态度 公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则_____乙_______将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 【答案】乙 【解析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可得出答案，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【解答】解：甲的最终得分是分， 乙的最终得分是分， 丙的最终得分是分， ， 乙将被择优录用， 故答案为：乙． 23.（23-24·黑龙江模拟）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让两盏灯泡，同时发光的概率为______________. 【答案】 【解析】本题考查了列表法与树状图法，找出随机闭合开关中的两个的情况数以及能让两盏灯泡同时发光的情况数，即可求出所求概率，弄清题中的电路图是解本题的关键． 【解答】画树状图，如图所示： 由图知，随机闭合开关中的两个有六种情况：闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，闭合， 能让两盏灯泡同时发光的有两种情况：闭合，闭合， 则（能让两盏灯泡同时发光）， 故答案为：． 24.（24-25·云南模拟）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到）． 【答案】 【解析】当试验次数足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于某一个值，这个值作为概率的估计值． 【解答】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是． 故答案为：． 25.（24-25·山西中考）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“ ”位于格子时，小明连续点击两次按钮，“ ”回到格子的概率是______________． 【答案】 【解析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【解答】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为，其中回到回到格子的可能结果数为， 则回到格子的概率为； 故答案为：．  （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（22-23·湖南中考）某花店每天购进支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了天该种花的日需求量（为正整数，单位：支），统计如下表： 日需求量 天数 （1）求该花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数； （2）当时，日利润（单位：元）关于的函数表达式为：；当时，日利润为元． ①当时，问该花店这天的利润为多少元？ ②求该花店这天中日利润为元的日需求量的频率． 【答案】天； ①元； ②． 答：该花店这天中日利润为元的日需求量的频率为． 【解析】（1）根据表格求解； （2）把代入求解； 【解答】（1）解：， 答：花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数为天； （2）①当时，， 答：当时，该花店这天的利润为元； ②当时，，解得：， 当时，有天， ． 答：该花店这天中日利润为元的日需求量的频率为．  27.（23-24·江苏中考）年月日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校名学生中随机抽取了名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩（分） 百分比 组 组 组 组 组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中___20_____，并补全条形统计图； （2）这名学生成绩的中位数会落在__D______组（填、、、或）； （3）试估计该校名学生中成绩在分以上（包括分）的人数． 【答案】，条形统计图见详解 人 【解析】（1）用减去其余各组人数所占的百分数即可得的值，进而可求出组人数，补全条形统计图即可． （2）按照中位数的定义解答即可． （3）用总人数乘以组人数所占百分比即可． 【解答】（1）解：， 组人数为：， 补全条形统计图如图所示： 故答案为： （2）， ， 名学生成绩的中位数会落在组． （3）（人） 估计该校名学生中成绩在分以上（包括分）的人数为人． 28.（23-24·吉林中考）中华人民共和国年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示． 根据以上信息回答下列问题： （1）年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？ （2）直接写出年全国居民人均可支配收入的中位数． （3）下列判断合理的是____①__（填序号）． ①年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势． ②年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是年．因此这年中，年全国居民人均可支配收入最低． 【答案】元 元 ① 【解析】（1）用年的全国居民人均可支配收入减去年全国居民人均可支配收入即可得到答案； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据统计图的数据即可得到答案． 【解答】（1）解：元， 答：年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多元． （2）解：年这五年的全国居民人均可支配收入分别为元，元，元，元，元， 年全国居民人均可支配收入的中位数为元； （3）解：由统计图可知年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确； 由统计图可知年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是年．但这年中，年全国居民人均可支配收入最低，故②错误； 故答案为：①． 29.（25-26·江西模拟）某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中为“非常了解”，为“了解较多”，为“基本了解”，为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了__50____名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题． 【答案】 ，图形见详解 名 【解析】（1）用的总人数除以所占比例即可求解 （2）先用“了解较少”的占比，用总人数减去、、的人数即可得的人数，据此即可补全条形统计图； （3）用样本估算总体即可． 【解答】（1）解：这次被调查的学生人数为：（名）； （2）“了解较少”所对应的圆心角度数为：， （人） 补全图形如下： （3）（名）， 估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题有名． 30.（24-25·北京中考）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加米比赛．对这四名运动员最近次米跑测试成绩（单位：）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲、乙两名运动员次测试成绩的折线图： ．丙运动员次测试成绩：                ．四名运动员次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 （1）表中的值为___12.5____； （2）表中_______（填“”“”或“”）； （3）根据这次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为__乙、丁、甲、丙_____． 【答案】 乙、丁、甲、丙 【解析】（1）根据中位数定义即可求解； （2）根据方差计算公式求解，再比较即可； （3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可． 【解答】 （1）解：甲的次测试成绩排列为：， 中位数， 故答案为：； （2）解：乙的次测试成绩平均数为：， 方差为： ， 故答案为：； （3）解：丙的平均数， 丙的平均数最大，则实力最弱， 方差， 乙实力最强， 丁的测试成绩中位数为， 第次成绩和为， 前次测试成绩小于平均数， 甲测试成绩小于平均数的次数有次， 丁比甲强， 这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 31.（22-23·江苏中考）盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的年间，将濒临灭绝的头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的头． 某校生物兴趣小组去实地调查，绘制出如下统计图． （注：麋鹿总头数人工驯养头数+野生头数） 解答下列问题： （1）①在扇形统计图中，哺乳类所在扇形的圆心角度数为_________； ②在折线统计图中，近年野生麋鹿头数的中位数为___1585______头． （2）填表： 年份 人工驯养麋鹿头数 ______ （3）结合以上的统计和计算，谈谈你对该保护区的建议或想法． 【答案】， 见解答 【解析】（1）先计算哺乳类所占百分比，再计算该部分扇形圆心角的度数； （2）先排序，再计算中间的两个数的平均数； （3）从人工驯养和野生保护两个方面表述即可． 【解答】（1）解：①在扇形统计图中，哺乳类所占的百分比为：， 哺乳类所在扇形的圆心角度数为：； ②在折线统计图中，近年野生麋鹿头数按从小到大顺序排序为： ， 近年野生麋鹿头数的中位数为， 故答案为：，； （2）解：， 故答案为：； （3）加强对野生麋鹿的保护的同时，提高人工驯养的技术． 32.（23-24·达州模拟））蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ．配送速度得分（满分分）： 甲：                             乙：                           ．服务质量得分统计图（满分分）： ．配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 7.5 ； （填“”“”或“”）； （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由； （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 【答案】, 小丽应选择甲公司（答案不唯一），理由如下： 配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 甲更稳定， 小丽应选择甲公司； 还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】（1）根据中位数与方差的定义即可求解； （2）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （3）根据题意求解即可． 【解答】（1）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：                              一共个数据，其中第个与第个数据分别为、， 所以中位数． ， ， ； （2）小丽应选择甲公司（答案不唯一），理由如下： 配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 甲更稳定， 小丽应选择甲公司； （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 33.（24-25·安徽模拟）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为分、分、分、分（满分为分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 分 分 分 分 人数 请根据图表信息解答下列问题： （1）填空：  126°    ，  12    ； （2）补齐乙队成绩条形统计图； （3）①甲队成绩的中位数为   分      ，乙队成绩的中位数为     分      ； ②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 【答案】;; 见解答; ①分，分②，，中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好. 【解析】 （1）根据样本容量频数所占百分比，结合圆心角的计算解答即可; （2）根据样本容量，求得分的人数补图即可; （3）①根据有序数据的中间数据或中间两个数据的平均数为中位数计算即可;②根据加权平均数公式计算即可． 【解答】（1）本次抽样调查的样本容量是（人），（人），. 故答案为；． （2）（人），补图如下：    （3）①甲队的第个、第个数据都是分，中位数是（分）； 乙队的第个、第个数据都是分， 中位数是（分）. 故答案为分，分． ②（分）， （分）， 故从中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好． 34.（22-23·湖北中考）为庆祝建党周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从．“北斗卫星”；．“时代”；．“东风快递”；．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）九班共有  50     名学生； （2）补全折线统计图； （3）所对应扇形圆心角的大小为        ； （4）小明和小丽从四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率． 【答案】； 见解答； ； 【解析】（1）用组频数除以所占百分比即可求解； （2）用减去组频数，求出组频数，即可补全折线统计图； （3）用乘以组所占百分比即可求解； （4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解． 【解答】（1）（人）. 故答案为； （2）（人）， 补全折线统计图如图： ； （3）. 故答案为； （4）列表如下： （小明） （小明） （小明） （小明） （小丽） （小丽） （小丽） （小丽） 由列表可知，一共有种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有种， 所以（相同主题）． 35.（24-25·山东模拟）横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： 本次共抽取了__50___名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； 请补全频数分布直方图； 请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； 学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】，，；补图见解析；人； 【解析】由组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出组学生人数，再根据中位数的定义和频数直方图即可求解； 根据所得组学生人数补全频数分布直方图即可； 用乘以成绩不低于分的人数占比即可； 画出树状图，根据树状图解答即可； 本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【解答】解：， 本次共抽取了名学生的模具设计成绩， 组学生人数为人， 成绩由低到高排列，中位数为第和第个数据的平均数， 中位数分， 组对应圆心角的度数为， 故答案为：，，； 补全频数分布直方图如下： ， 答：估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数为人； 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有种， 所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 第 1 页 共 56 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 28 课时 统计初步与概率初步 一、核心知识 （一）统计初步 1. 数据的收集与整理 收集方法：普查（对全体对象调查，如人口普查）、抽样调查（抽取部分对象调查，如调查一批灯泡的使用寿命）； 总体：所要考察的____________； 个体：总体中的____________； 样本：从总体中抽取的____________； 样本容量：样本中个体的____________（不带单位）； 整理方法：分类、排序、分组. 常用统计图表: 。 2. 数据的描述 频数：某个数据出现的____________； 频率：频数与总次数的比值，频率之和为__________； 常见统计量： 平均数： 算术平均数： ； 加权平均数： ； 中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，处于____________的数（数据个数为奇数时）或 的平均数（数据个数为偶数时）； 众数：一组数据中出现___________的数据（可能有多个）； 极差：一组数据中___________与____________的差； 方差： （衡量数据波动大小，方差越大，波动越____________）； 标准差：方差的算术平方根， 。 3. 统计图表的应用 条形图：直观展示数据的____________； 折线图：清晰反映数据的____________； 扇形图：表示各部分占总体的____________（各部分百分比之和为 100%）； 频数分布直方图：显示数据的____________（横轴为分组区间，纵轴为频数）。 （二）概率初步 1. 概率的基本概念 随机事件：在一定条件下，____________的事件（概率 0 < P < 1）； 必然事件：在一定条件下，____________的事件（概率 P = 1）； 不可能事件：在一定条件下，____________的事件（概率 P = 0）； 概率定义：一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记作 P (A)。 2. 概率的计算方法 古典概型（等可能事件概率）： 适用条件：①所有可能结果是____________；②每个结果发生的可能性____________； 计算公式： ； 几何概型： 适用条件：所有可能结果是____________，且结果落在某一区域内的概率与该区域的____________成正比； 计算公式： ； 用频率估计概率：当试验次数很大时，随机事件 A 发生的____________稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 A 的概率。 3. 概率的应用 用列举法求概率（列表法、树状图法）： 列表法：适用于____________试验（如摸球、掷骰子两次）； 树状图法：适用于____________试验（如摸球三次、不放回抽样）； 不放回抽样与放回抽样：不放回抽样中，每次抽取的结果相互影响；放回抽样中，每次抽取的结果相互独立。 二、核心能力 题型 1 统计量的计算与应用 解题思路 明确统计量类型：根据题目要求，确定计算平均数、中位数、众数、方差等统计量； 数据预处理：先对数据进行排序（求中位数、极差必备），剔除错误数据（若有）； 准确代入公式： 加权平均数注意权重对应，避免数据与权重混淆； 方差计算先求平均数，再算每个数据与平均数的差的平方和，最后除以数据个数； 统计量意义解读：根据统计量判断数据特征（如中位数反映中间水平，方差反映波动大小）。 题型 2 统计图表的分析与转换 解题思路 读取图表信息： 条形图 / 折线图：提取横纵轴含义、数据具体数值； 扇形图：通过百分比计算各部分数量（总数量 × 百分比）； 频数分布直方图：确定组距、组数、频数，计算频率（频数 ÷ 总数）； 图表转换：根据题目要求，将一种图表转换为另一种图表（如扇形图转条形图），注意数据一致性； 结合统计量分析：通过图表数据计算统计量，进而解读数据规律（如集中趋势、变化趋势）。 题型 3 概率的计算（古典概型） 解题思路 判断事件类型：确认是否为等可能事件，明确所有可能结果和事件 A 的结果； 选择计算方法： 两步试验：优先用列表法，避免重复或遗漏结果； 三步及以上试验：用树状图法，清晰呈现所有可能路径； 计算结果：严格按照公式计算，注意 “不放回” 与 “放回” 的区别（不放回时，每次结果总数减少；放回时，结果总数不变）； 验证合理性：概率值需在 0~1 之间，若结果超出范围，需检查结果列举是否错误。 题型 4 概率的实际应用 解题思路 建模转化：将实际问题转化为概率模型（如摸球、抽卡片、掷骰子模型）； 确定样本空间：明确所有可能的结果，确保不重复、不遗漏； 计算目标事件概率：根据古典概型或频率估计概率的方法求解； 解释实际意义：结合题目情境，说明概率的实际含义（如中奖概率、合格概率）。 题型 5 统计与概率的综合应用 解题思路 分离统计与概率部分：先通过统计图表或数据计算统计量，再根据统计结果计算概率； 结合实际情境：如通过样本统计量估计总体情况，再计算总体中某事件的概率； 逻辑关联：确保统计数据与概率计算的关联性，避免数据误用（如用样本频率作为概率估计值）。 三、易错警示 统计概念混淆 错误：混淆总体、个体、样本、样本容量（如样本容量带单位）；误将加权平均数当作算术平均数计算；中位数未排序直接取中间数。 提醒：样本容量是数量，无单位；计算加权平均数时，权重与对应数据相乘后求和再除以权重和；求中位数前必须对数据排序。 方差计算错误 错误：方差计算时，忘记除以数据个数 n；或未先求平均数，直接用数据平方和计算。 提醒：方差公式的核心是 “偏差平方的平均数”，步骤为：先求平均数→算偏差→平方→求和→除以 n。 统计图表解读错误 错误：扇形图中，误将百分比当作具体数量；频数分布直方图中，混淆频数与频率；折线图中，误读数据变化趋势（如将上升趋势当作下降趋势）。 提醒：扇形图需结合总数量计算具体值；直方图纵轴为频数，频率 = 频数 ÷ 总数；折线图需关注横轴刻度和纵轴数据变化幅度。 概率计算中结果列举错误 错误：列表法或树状图法中，重复或遗漏可能结果；不放回抽样与放回抽样混淆（如不放回时仍按放回计算结果总数）。 提醒：列举结果时，按一定顺序（如从小到大、从左到右），避免重复；不放回抽样中，每次抽取的结果总数递减，放回抽样中总数不变。 概率与频率混淆 错误：将一次试验的频率当作概率；或认为试验次数越多，频率一定越接近概率（忽略 “大量重复试验” 前提）。 提醒：频率是具体试验的结果，概率是理论值；只有在大量重复试验中，频率才会稳定在概率附近，少数几次试验的频率可能偏离概率。 实际应用中模型转化错误 错误：将非等可能事件当作等可能事件计算（如不均匀的骰子、不透明袋子中不同数量的球）；或误解实际问题中的 “条件”（如 “随机抽取 2 人” 与 “依次抽取 2 人” 的区别）。 提醒：计算概率前，确认每个结果发生的可能性是否相等；明确问题中的抽取方式、条件限制，准确转化为概率模型。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·江苏中考）下列说法不正确的是（   ） A.明天下雨是随机事件 B.调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C.描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D.若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 2.（24-25·江苏模拟）已知一组数据3，5，3，5，如果增加一个4，得到的这组新数据与原来的数据相比(     ) A.极差和众数改变了 B.中位数和众数改变了 C.极差和中位数改变了 D.极差、中位数和众数都没改变 3.（23-24·河南中考）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A.的值是 B.该组数据的平均数是 C.该组数据的众数是 D.若该组数据加入两个数，，则这组新数据的方差变小 4.（2020·山东模拟）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成“强国”的概率是    A. B. C. D. 5.（23-24·广西中考）一个不透明的袋子中装有个红球、个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出个球．两人都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6.（24-25·浙江中考）某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（   ） A.科技类图书销售了册 B.文艺类图书销售了册 C.文艺类图书销售占比 D.其他类图书销售占比 7.（22-23·黑龙江中考）绥化市举办了年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（      ） 组别 参赛者成绩 A.该组数据的样本容量是人 B.该组数据的中位数落在这一组 C.这组数据的组中值是 D.这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 8.（22-23·山东中考）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．月日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A.甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 B.甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 C.甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差 D.甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 9. （24-25·全国模拟）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约位数学家的《数学家传略辞典》中部分岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（      ） 年龄范围（岁） 人数（人） A.该小组共统计了名数学家的年龄 B.统计表中的值为 C.长寿数学家年龄在岁的人数最多 D.《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数估计有人 10.（24-25·山西模拟）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市名初中学生中，视力不低于的人数是（      ） 视力 以下 以上 人数 A. B. C. D. 11.（24-25·山西中考）下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（    ） 月日 月日 月日 月日 月日 最高 最低 A.日最高气温的波动大 B.日最低气温的波动大 C.一样大 D.无法比较 12.（23-24达州模拟）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A. B. C. D. 13.（24-25·云南模拟）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A. B. C. D. 14.（22-23·山东中考）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D.无法判断 15.（24-25·贵州中考）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 “正面朝上”的次数 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A. B. C. D. （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·浙江模拟）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是____________． 17.（24-25·四川中考）甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差，乙运动员训练成绩的方差，你认为应该选择___________参加比赛．（填甲或者乙） 18.（22-23·辽宁中考）某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛，这两名运动员次测试成绩（单位：）的平均数是，，方差是，，那么应选       去参加比赛．（填“甲”或“乙”） 19.（24-25·北京中考）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给，，，四家经销商销售．当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下： … … … 如果企业将台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到台设备，为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配台设备（填“”“”“”或“”）； 如果企业将台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为__________万元． 20.（24-25·四川模拟）在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为____________． 21.（22-23·辽宁中考）某班名同学一周课外阅读时间统计如表所示 时间/小时 人数 则该班名同学一周课外阅读时间的众数是      小时． 22.（24-25·四川中考）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 经验 能力 态度 公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则___________将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 23.（23-24·黑龙江模拟）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让两盏灯泡，同时发光的概率为____________. 24.（24-25·云南模拟）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到）． 25.（24-25·山西中考）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“ ”位于格子时，小明连续点击两次按钮，“ ”回到格子的概率是____________．  （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（22-23·湖南中考）某花店每天购进支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了天该种花的日需求量（为正整数，单位：支），统计如下表： 日需求量 天数 （1）求该花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数； （2）当时，日利润（单位：元）关于的函数表达式为：；当时，日利润为元． ①当时，问该花店这天的利润为多少元？ ②求该花店这天中日利润为元的日需求量的频率．  27.（23-24·江苏中考）年月日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校名学生中随机抽取了名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩（分） 百分比 组 组 组 组 组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中________，并补全条形统计图； （2）这名学生成绩的中位数会落在________组（填、、、或）； （3）试估计该校名学生中成绩在分以上（包括分）的人数． 28.（23-24·吉林中考）中华人民共和国年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示． 根据以上信息回答下列问题： （1）年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？ （2）直接写出年全国居民人均可支配收入的中位数． （3）下列判断合理的是______（填序号）． ①年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势． ②年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是年．因此这年中，年全国居民人均可支配收入最低． 29.（25-26·江西模拟）某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中为“非常了解”，为“了解较多”，为“基本了解”，为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题． 30.（24-25·北京中考）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加米比赛．对这四名运动员最近次米跑测试成绩（单位：）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲、乙两名运动员次测试成绩的折线图： ．丙运动员次测试成绩：                ．四名运动员次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 （1）表中的值为_______； （2）表中_______（填“”“”或“”）； （3）根据这次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为______． 31.（22-23·江苏中考）盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的年间，将濒临灭绝的头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的头． 某校生物兴趣小组去实地调查，绘制出如下统计图． （注：麋鹿总头数人工驯养头数+野生头数） 解答下列问题： （1）①在扇形统计图中，哺乳类所在扇形的圆心角度数为_________； ②在折线统计图中，近年野生麋鹿头数的中位数为_________头． （2）填表： 年份 人工驯养麋鹿头数 _________ （3）结合以上的统计和计算，谈谈你对该保护区的建议或想法． 32.（23-24·达州模拟））蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ．配送速度得分（满分分）： 甲：                             乙：                           ．服务质量得分统计图（满分分）： ．配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的  ； （填“”“”或“”）； （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由； （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 33.（24-25·安徽模拟）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为分、分、分、分（满分为分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 分 分 分 分 人数 请根据图表信息解答下列问题： （1）填空：      ，      ； （2）补齐乙队成绩条形统计图； （3）①甲队成绩的中位数为         ，乙队成绩的中位数为           ； ②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 34.（22-23·湖北中考）为庆祝建党周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从．“北斗卫星”；．“时代”；．“东风快递”；．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）九班共有       名学生； （2）补全折线统计图； （3）所对应扇形圆心角的大小为        ； （4）小明和小丽从四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率． 35.（24-25·山东模拟）横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： 本次共抽取了_____名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； 请补全频数分布直方图； 请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； 学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 第 1 页 共 56 页 学科网（北京）股份有限公司 $