2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第21课时： 圆的基本性质

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 21 课时 圆的基本性质 一、核心知识 圆的相关概念与性质 圆的定义：在同一平面内，到 定点 的距离等于 定长 的所有点组成的封闭图形叫做圆，记作 ⊙O（O为圆心） 。 核心要素 圆心：圆的中心，决定圆的______位置______； 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的______大小______，同圆或等圆的 半径 相等； 直径：经过圆心且两端都在圆上的线段，直径是圆中______最长______的弦，直径d=2r（r为半径）； 弦：连接圆上任意两点的线段（直径是 特殊弦 ）； 弧：圆上任意两点间的部分，分为______优弧______（大于半圆的弧，用三个字母表示，如ABC⌢）和______劣弧______（小于半圆的弧，用两个字母表示，如AB⌢），半圆是 圆的一半 ，既不是优弧也不是劣弧； 圆心角：顶点在 圆心 ，两边都与圆 相交 的角； 圆周角：顶点在______圆上______，两边都与圆 相交 的角； 弦心距：从圆心到 弦的垂直 距离； 圆内接四边形：四个顶点都在 圆 上的四边形。 关键性质 圆的对称性：中心对称图形：对称中心为______圆心______，绕圆心旋转任意角度都与自身重合； 轴对称图形：有无数条对称轴，对称轴为______过圆心的直线______（直径所在直线）。 垂径定理及推论（中考必考） 垂径定理：垂直于弦的直径______平分弦______，并且平分弦所对的两条弧； 推论：平分弦（不是直径）的直径______垂直于弦______，并且平分弦所对的两条弧；（核心：“过圆心”“垂直于弦”“平分弦”“平分弧” 四个条件中，任意两个成立，其余两个必成立，注意 “平分弦” 时弦不能是直径）。 圆心角定理及推论 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______相等______，所对的弦______相等______，所对的弦心距______相等______； 推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中 有 一组 量相等，则其余各组量都相等（“知一推三”）。 圆周角定理及推论（中考必考） 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______一半______； 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角______相等______； 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是______直角______（90∘）；反之，90∘的圆周角所对的弦是______直径______； 推论 3：圆内接四边形的对角______互补______（∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘），且任一外角等于它的内对角（∠ABE=∠D）。 二、核心能力 题型 1 垂径定理的应用（求弦长、半径、弦心距） 解题思路： 构造直角三角形：连接圆心与弦的一端，过圆心作弦的垂线，形成 “半径r、弦心距d、半弦长a” 的直角三角形（核心模型：； 结合已知条件：利用垂径定理得出 “垂直即平分” 或 “平分即垂直”，转化线段长度； 列方程求解：设未知量（如半径r），通过勾股定理建立方程，求解弦长、半径或弦心距。 题型 2 圆心角与圆周角的关系计算（角度求解） 解题思路： 找 “同弧 / 等弧”：明确待求角与已知角所对的弧是否相同或相等，这是应用定理的前提； 区分角的类型：判断是圆心角还是圆周角，牢记 “同弧所对圆周角 = 圆心角”； 结合推论转化：若出现直径，优先用 “直径所对圆周角为直角”；若出现圆内接四边形，利用 “对角互补” 转化角度； 复杂图形拆分：多个角交织时，标注相等的弧，逐步推导角的数量关系。 题型 3 圆内接四边形的性质应用 解题思路： 识别圆内接四边形：确认四边形四个顶点是否都在圆上（题目通常直接给出或隐含）； 核心性质应用： 求角：利用 “对角互补”计算未知角； 证角相等：利用 “外角等于内对角”转化角的关系，辅助证明全等或相似； 结合其他定理：与圆周角定理、三角形内角和定理结合，解决综合角度问题。 题型 4 圆的对称性应用（折叠、旋转问题） 解题思路： 折叠问题：折叠前后圆的部分重合，对应弧相等、对应弦相等、对应角相等，利用垂径定理或圆心角定理转化线段和角度； 旋转问题：圆绕圆心旋转任意角度后与自身重合，旋转后对应的圆心角、弧、弦都相等，结合旋转性质和圆的基本性质求解； 对称性质应用：利用圆的轴对称性找最短路径（如圆上一点到直线的最短距离），或利用中心对称性转化线段位置。 三、易错警示 垂径定理应用误区 错误：忽略垂径定理的前提条件，如 “平分弦的直径垂直于弦” 未强调 “弦不是直径”；应用时只考虑 “垂直于弦”，忘记 “过圆心” 的条件，导致结论错误。 提醒：垂径定理的四个核心条件（过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弧）必须满足 “任意两个”，且 “平分弦” 时弦不能是直径（直径互相平分但不一定垂直）；解题时务必画出图形，标注圆心、垂线，避免遗漏条件。 圆心角与圆周角关系混淆 错误：颠倒圆心角与圆周角的倍数关系（误记为 “同弧所对圆心角是圆周角的一半”）；不同弧所对的圆心角与圆周角盲目套用倍数关系。 提醒：牢记 “同弧或等弧所对的圆周角 =圆心角”，关键是 “同弧 / 等弧”，若弧不同，倍数关系不成立；计算时先确定角所对的弧，再判断角的类型（圆心角 / 圆周角）。 圆内接四边形性质误用 错误：将圆内接四边形的 “对角互补” 记为 “邻角互补”；忽略 “外角等于内对角” 的条件，错误转化角的关系。 提醒：圆内接四边形的对角之和为180∘，邻角之和不一定为180∘（除非是矩形）；外角是与内角相邻的角，其度数等于对角的度数，而非邻角的补角。 弧的表示与计算错误 错误：表示优弧时只用两个字母（如将优弧ABC⌢误写为AC⌢）；计算弧长时，将圆周角的度数当作圆心角代入公式。 提醒：优弧必须用三个字母表示（起点、中间点、终点），劣弧用两个字母表示；弧长公式中的n是 “圆心角” 的度数，若已知圆周角，需先乘以 2 转化为圆心角。 弦与弦心距关系混淆 错误：认为 “弦越长，弦心距越大”；忽略 “同圆或等圆” 的前提，比较不同圆中弦与弦心距的关系。 提醒：在同圆或等圆中，弦越长，弦心距越短（反之亦然）；不同圆中，弦的长度与弦心距无直接关系，需结合半径比较。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（23-24·广东中考）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A.点在上 B.点在内 C.点在外 D.无法确定 【答案】C 【解析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【解答】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为， ， 点在外， 故选：． 2.（24-25·浙江模拟）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【解答】解：，， ， 又， 在中，， 故选：． 3.（23-24·达州模拟）如图，是的直径，是弦，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到． 【解答】解：连接． 是的直径，是弦，， ， ， 故选：． 4.（22-23·山东中考）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解． 【解答】解：， ， ， 故选：． 5.（23-24·福建中考）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【解答】解：连接， 为的直径， ， ， ， ， 故选：． 6.（24-25·广东中考）如图，已知是的直径，是弦，若，则（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数． 【解答】解：是的直径， ， ， ． 故选：． 7.（24-25·江苏模拟）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【解答】解：连接，， 是半圆的直径，， ， 和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 8.（24-25·山东中考）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【解答】解：， ， 四边形内接于， 且， ， 故选：．  9.（23-24·四川中考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【解答】解：是线段的垂直平分线， 直线经过圆心，设圆心为，连接．    中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：． 10.（24-25·云南模拟）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：半径， ， ，， ， ， ， 故选：． 11.（24-25·四川模拟）如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接，设交于，由，得，根据，，得，故，从而． 【解答】解：连接，设交于，如图： ， ， ，， ， 在中，， ， ， ； 故选：． 12.（24-25·辽宁模拟）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，延长交于点，连接，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图，延长交于点，连接，，， 于点，交于点，为弧的中点， ， ， ， ， 点关于的对称点为点， ， 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ，， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， 的最小值． 故选：． 13.（23-24·湖南中考）如图，正方形边长为，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】建立平面直角坐标系，以点为原点，所以直线为轴，所在直线为轴，设的中点为，过点在上方作，使过点作于点，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点、、、在上，得，得，根据，得，得，得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【解答】解：以点为原点，所以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为，过点作，使，过点作于点，连接，则， 正方形边长为， ， ， ， ， ， ， 点、、、在上， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 点是在以点为圆心，为半径的圆上运动， ，， ， ， ， ， 当点在上时， 取得最小值， 为． 故选：． 14.（24-25·四川模拟）如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为…，、、、的圆心依次为、、、循环，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由观察规律可得的半径为，再用弧长公式列式计算即可． 【解答】解：由已知可得，的半径为为，的半径为，的半径为，的半径为...， 后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大， 的半径为，的半径为，的半径为， 的半径为， 的长为， 故选：． 15.（23-24·四川中考）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（    ） A.①③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可判断①；得出，根据三角形内角和定理即可判断②；在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，根据定弦定角得出在的上运动，进而根据当时，面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，勾股定理，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点作于点， 是等腰直角三角形，，， ， ， 又 ， ，故①正确； ， ， 即 在中， 即 是等腰直角三角形， 平分 ， ，故②正确， 如图所示， 在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且 ， 在的上运动， ， 连接交于点，则， 当时，结合垂径定理，最小， 是半径不变 此时最大 则面积的最大， ，故③正确； 如图所示，当在上时，最小，过点作交的延长线于点， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 的最小值是． 故选：．  （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·陕西中考）如图，为的直径，，，则的度数为____________． 【答案】 【解析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【解答】解：为的直径，， ， 即， ， ， 则， 故答案为：．  17.（24-25·四川中考）如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为____2____。 【答案】 【解析】连接，根据垂径定理，结合勾股定理求出的长，则长可求 【解答】解：如图，连接， 故答案为：  18.（24-25·江苏模拟）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点、，则_____90°___________． 【答案】 【解析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【解答】是圆的直径， 所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， 、、、所对的弧的和为半圆， ， 故答案为：． 19.（24-25·山东中考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢+矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为，“矢”为，则的值为______0.8______． 【答案】 【解析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【解答】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ， ，为半径， ， 在中， 由勾股定理得， ， 解得， ， ． 故答案为：． 20.（22-23·湖南中考）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以为圆心，为半径的圆弧，是弦的中点，在上，．“会圆术”给出长的近似值的计算公式：当，时，    0.1      ．（结果保留一位小数） 【答案】 【解析】由已知求得与的值，代入得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，进而即可得解． 【解答】，, 是弦的中点，在上，， 延长可得在上，， ， ，， ,故答案为． 21.（22-23·辽宁中考）如图，在中，以为圆心，长为半径作弧，交于，两点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交于点，若，，则  4    ． 【答案】 【解析】利用圆的性质得出垂直平分和，运用勾股定理便可解决问题. 【解答】解：根据题意可知，以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，垂直平分,即， ， 又在中，以为圆心，长为半径作弧，交于，两点，其中， ， 在中，， 故答案为：． 22.（22-23·山东中考）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则直径的长度为  26 寸． 【答案】 【解析】连接，设的半径是寸，由垂径定理得到寸，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的直径长． 【解答】解：连接， 设的半径是寸， 直径， 寸， 寸， 寸， ， ， ， 直径的长度为寸． 故答案为：． 23.（24-25·贵州模拟）如图，是的直径，点在上，连接．以为边作菱形，交于点，，垂足为．连接，交于点，连接．若，，则的长度为_______3_________，的长度为________________． 【答案】, 【解析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键． 由垂径定理以及勾股定理可得，即、，由菱形的性质可得，进而得到、、；如图：连接， 由圆周角定理可得、，再解直角三角形可得、；由菱形的性质以及平行线的性质可得，如图：过作于，解直角三角形可得、，易得，最后根据垂直平分线的性质求解即可． 【解答】解：，，， ，即， ， 菱形， ， ，； 如图：连接， 是的直径， ， ，即， 解得：； ，即， 解得：； 菱形， ， ， 如图：过作于， ， ， ， ，， ， ， 垂直平分， ． 故答案为：；． 24.（23-24·吉林中考）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有____①②③__________． 【答案】①②③ 【解析】如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定②；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④． 【解答】解：如图：连接， 是的中点， , ，即①正确； 是直径， ， ， , ， ， ， ，, ， ， ， ， ,即②正确； 在和, ， ， ,即, ，即, , ， ，即③正确； 如图：假设半圆的圆心为，连接， ，，是的中点， ， ， 是等边三角形， ，即是菱形， ， ， ，即，解得：, ， ，即④错误． 故答案为：①②③． 25.（23-24 四川中考）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是_______①③④_______．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④． 【解答】解：由旋转可知：， ，，， 在正方形中， ，， 又， ， ，即，故①结论正确， ，， ，故②结论错误； 如图： 在正方形中， ， ， 、、、、在以为直径的圆上， ， ，故结论③正确； 如图：过点作，交于， 平分，， ， ， ， ， ，， ，， ， 设， 在中，， ， ，（负根已舍去） ， ， ．故结论④正确； 综上所述：①③④结论正确， 故答案为：①③④． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·吉林中考）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于，且点，，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点（点不与点重合），画出，使． （2）在图②中找一个格点，画出，使． 【答案】见解答（答案不唯一） 见解答（答案不唯一） 【解析】（1）取格点，连接，根据得到； （2）取格点，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到． 【解答】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，即为所求： 27.（24-25·浙江模拟）如图，四边形的顶点都在半圆上，是半圆的直径，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】详见解答 【解析】（1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【解答】（1）解：证明：，， ， ． （2）解：连接，交于点．由题意知， 是的直径， ，即， ， ， 点为的中点， 又是的中点， 是的中位线， ． 设半圆的半径为，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ． 28.（23-24·河南中考）如图，过点作的两条切线，切点分别为，，连接，，，取的中点，连接并延长，交于点，连接． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点．若，，求的长． 【答案】见解答； 长为 【解析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【解答】（1）解：证明： ，分别切于点，点， 平分， ， 又 ， ， ． （2） 延长交于点，连接，则， （3） ，分别切于点，点， 为的中点， ， ， 又 ，， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ． 29.（22-23·江苏中考）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】详见解析 【解析】（1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【解答】 （1）解：证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 30.（24-25·湖北中考）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】证明过程见详解 的半径 【解析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【解答】（1）解：，是的切线，即， ， ， ，即是等腰直角三角形， ； （2）解：， ， ， ，即是等腰直角三角形， ， 由得， ， 如图所示，连接，设，则， 在中，， ， 解得，， ， 的半径． 31.（22-23·宁夏中考）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】见解答 的半径为 【解析】（1）连接，根据切线的性质可得，证明，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出即可； （2）连接，过点作于，证明，根据正切的定义列式求出，再根据勾股定理求出即可． 【解答】（1）证明：连接， 直线是的切线， ， ， ， ， ， ， ，即平分； （2）解：连接，过点作于，则， ，， ， ， ， ， ， 即的半径为．  32.（24-25·河南模拟）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为米．当时，某盛水筒恰好位于水面处，此时，经过秒后该盛水筒运动到点处． 问题解决： （1）求该盛水筒从处逆时针旋转到处时，的度数； （2）求该盛水筒旋转至处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，） 【答案】； （米）， 【解析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可； （2）根据直角三角形的边角关系分别求出、即可． 【解答】（1）解：由于筒车每旋转一周用时秒．所以每秒转过， ； （2）如图，过点、点分别作的垂线，垂足分别为点、， 在中，，米， （米）． 在中，，米， （米）， （米）， 即该盛水筒旋转至处时到水面的距离约为米． 33.（22-23·四川中考）已知与相切于点与相交于点，为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为，求和的长． 【答案】 【解析】（1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可． 【解答】（1）解：连接． 与相切于点， ．又， 平分． ． ， ． 在中，， ． （2）由知：． ， ． 为的一个外角， ． 由题意，为的直径， ． 又的半径为，则：． 在中，， ． 34.（23-24·江苏中考）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． （1）如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是___CE_____，____2____（写出符合条件的一种情况即可）； （2）如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 【答案】， 图见解析（答案不唯一） 或 【解析】（1）根据平移的性质，进行求解即可； 延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； 分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可． 【解答】（1）解：是线段的四等分点．， ， ， 线段的平移图形是，； 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求； 由作图可知：， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ， 即为所求； （3）点的坐标分别是、、， ， 对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且， ， 当在圆外，点在轴上，时， ，， ， 当在圆内，点在轴上，时， ，， ， 综上：或． 35.（23-24·江苏中考）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 【答案】探究发现：，；实践应用：；拓展延伸： 【解析】探究发现：图形面积分割法得出 ，根据得出； 实践应用：过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，，进而根据旋转的性质可得是等边三角形，同理求得的长，进而根据探究发现的结论，即可求解； 拓展延伸：延长交于点，过点作于点，设，根据圆周角定理，得出，在，中，根据勾股定理，求得，进而根据弧与圆周角的关系，得出，根据前面的结论，即可求解． 【解答】解：探究发现：，， ， ， ， ； 故答案为：，，；． 实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 是等边三角形，， ， ， ，， ， ，则， ， 在中，． 将线段绕点逆时针旋转得， 是等边三角形， ，则， 由探究发现可得：． 拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接， 设， 是半圆的直径， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ． 由探究发现可得：， ， ， ， ． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 21 课时 圆的基本性质 一、核心知识 圆的相关概念与性质 圆的定义：在同一平面内，到 的距离等于 的所有点组成的封闭图形叫做圆，记作 。 核心要素 圆心：圆的中心，决定圆的____________； 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的____________，同圆或等圆的 相等； 直径：经过圆心且两端都在圆上的线段，直径是圆中____________的弦，直径d=2r（r为半径）； 弦：连接圆上任意两点的线段（直径是 ）； 弧：圆上任意两点间的部分，分为____________（大于半圆的弧，用三个字母表示，如ABC⌢）和____________（小于半圆的弧，用两个字母表示，如AB⌢），半圆是 ，既不是优弧也不是劣弧； 圆心角：顶点在 ，两边都与圆 的角； 圆周角：顶点在______圆上______，两边都与圆 的角； 弦心距：从圆心到 距离； 圆内接四边形：四个顶点都在 上的四边形。 关键性质 圆的对称性：中心对称图形：对称中心为____________，绕圆心旋转任意角度都与自身重合； 轴对称图形：有无数条对称轴，对称轴为______过圆心的直线______（直径所在直线）。 垂径定理及推论（中考必考） 垂径定理：垂直于弦的直径____________，并且平分弦所对的两条弧； 推论：平分弦（不是直径）的直径____________，并且平分弦所对的两条弧；（核心：“过圆心”“垂直于弦”“平分弦”“平分弧” 四个条件中，任意两个成立，其余两个必成立，注意 “平分弦” 时弦不能是直径）。 圆心角定理及推论 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧____________，所对的弦____________，所对的弦心距____________； 推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中 有 量相等，则其余各组量都相等（“知一推三”）。 圆周角定理及推论（中考必考） 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的____________； 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角____________； 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是____________（90∘）；反之，90∘的圆周角所对的弦是____________； 推论 3：圆内接四边形的对角____________（∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘），且任一外角等于它的内对角（∠ABE=∠D）。 二、核心能力 题型 1 垂径定理的应用（求弦长、半径、弦心距） 解题思路： 构造直角三角形：连接圆心与弦的一端，过圆心作弦的垂线，形成 “半径r、弦心距d、半弦长a” 的直角三角形（核心模型：； 结合已知条件：利用垂径定理得出 “垂直即平分” 或 “平分即垂直”，转化线段长度； 列方程求解：设未知量（如半径r），通过勾股定理建立方程，求解弦长、半径或弦心距。 题型 2 圆心角与圆周角的关系计算（角度求解） 解题思路： 找 “同弧 / 等弧”：明确待求角与已知角所对的弧是否相同或相等，这是应用定理的前提； 区分角的类型：判断是圆心角还是圆周角，牢记 “同弧所对圆周角 = 圆心角”； 结合推论转化：若出现直径，优先用 “直径所对圆周角为直角”；若出现圆内接四边形，利用 “对角互补” 转化角度； 复杂图形拆分：多个角交织时，标注相等的弧，逐步推导角的数量关系。 题型 3 圆内接四边形的性质应用 解题思路： 识别圆内接四边形：确认四边形四个顶点是否都在圆上（题目通常直接给出或隐含）； 核心性质应用： 求角：利用 “对角互补”计算未知角； 证角相等：利用 “外角等于内对角”转化角的关系，辅助证明全等或相似； 结合其他定理：与圆周角定理、三角形内角和定理结合，解决综合角度问题。 题型 4 圆的对称性应用（折叠、旋转问题） 解题思路： 折叠问题：折叠前后圆的部分重合，对应弧相等、对应弦相等、对应角相等，利用垂径定理或圆心角定理转化线段和角度； 旋转问题：圆绕圆心旋转任意角度后与自身重合，旋转后对应的圆心角、弧、弦都相等，结合旋转性质和圆的基本性质求解； 对称性质应用：利用圆的轴对称性找最短路径（如圆上一点到直线的最短距离），或利用中心对称性转化线段位置。 三、易错警示 垂径定理应用误区 错误：忽略垂径定理的前提条件，如 “平分弦的直径垂直于弦” 未强调 “弦不是直径”；应用时只考虑 “垂直于弦”，忘记 “过圆心” 的条件，导致结论错误。 提醒：垂径定理的四个核心条件（过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弧）必须满足 “任意两个”，且 “平分弦” 时弦不能是直径（直径互相平分但不一定垂直）；解题时务必画出图形，标注圆心、垂线，避免遗漏条件。 圆心角与圆周角关系混淆 错误：颠倒圆心角与圆周角的倍数关系（误记为 “同弧所对圆心角是圆周角的一半”）；不同弧所对的圆心角与圆周角盲目套用倍数关系。 提醒：牢记 “同弧或等弧所对的圆周角 =圆心角”，关键是 “同弧 / 等弧”，若弧不同，倍数关系不成立；计算时先确定角所对的弧，再判断角的类型（圆心角 / 圆周角）。 圆内接四边形性质误用 错误：将圆内接四边形的 “对角互补” 记为 “邻角互补”；忽略 “外角等于内对角” 的条件，错误转化角的关系。 提醒：圆内接四边形的对角之和为180∘，邻角之和不一定为180∘（除非是矩形）；外角是与内角相邻的角，其度数等于对角的度数，而非邻角的补角。 弧的表示与计算错误 错误：表示优弧时只用两个字母（如将优弧ABC⌢误写为AC⌢）；计算弧长时，将圆周角的度数当作圆心角代入公式。 提醒：优弧必须用三个字母表示（起点、中间点、终点），劣弧用两个字母表示；弧长公式中的n是 “圆心角” 的度数，若已知圆周角，需先乘以 2 转化为圆心角。 弦与弦心距关系混淆 错误：认为 “弦越长，弦心距越大”；忽略 “同圆或等圆” 的前提，比较不同圆中弦与弦心距的关系。 提醒：在同圆或等圆中，弦越长，弦心距越短（反之亦然）；不同圆中，弦的长度与弦心距无直接关系，需结合半径比较。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（23-24·广东中考）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A.点在上 B.点在内 C.点在外 D.无法确定 2.（24-25·浙江模拟）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（    ） A. B. C. D. 3.（23-24·达州模拟）如图，是的直径，是弦，，，则（    ） A. B. C. D. 4.（22-23·山东中考）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 5.（23-24·福建中考）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 6.（24-25·广东中考）如图，已知是的直径，是弦，若，则（       ） A. B. C. D. 7.（24-25·江苏模拟）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于（    ） A. B. C. D. 8.（24-25·山东中考）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A. B. C. D. 9.（23-24·四川中考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A. B. C. D. 10.（24-25·云南模拟）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是（      ） A. B. C. D. 11.（24-25·四川模拟）如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 12.（24-25·辽宁模拟）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 13.（23-24·湖南中考）如图，正方形边长为，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A. B. C. D. 14.（24-25·四川模拟）如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为…，、、、的圆心依次为、、、循环，则的长是（ ） A. B. C. D. 15.（23-24·四川中考）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（    ） A.①③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④  （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·陕西中考）如图，为的直径，，，则的度数为___________．   17.（24-25·四川中考）如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为_______。 18.（24-25·江苏模拟）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点、，则_______________． 19.（24-25·山东中考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢+矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为，“矢”为，则的值为__________． 20.（22-23·湖南中考）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以为圆心，为半径的圆弧，是弦的中点，在上，．“会圆术”给出长的近似值的计算公式：当，时，         ．（结果保留一位小数） 21.（22-23·辽宁中考）如图，在中，以为圆心，长为半径作弧，交于，两点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交于点，若，，则      ． 22.（22-23·山东中考）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则直径的长度为  寸． 23.（24-25·贵州模拟）如图，是的直径，点在上，连接．以为边作菱形，交于点，，垂足为．连接，交于点，连接．若，，则的长度为______________，的长度为________________． 24.（23-24·吉林中考）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有______________． 25.（23-24 四川中考）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是______________．（填写序号） （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·吉林中考）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于，且点，，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点（点不与点重合），画出，使． （2）在图②中找一个格点，画出，使． 27.（24-25·浙江模拟）如图，四边形的顶点都在半圆上，是半圆的直径，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 28.（23-24·河南中考）如图，过点作的两条切线，切点分别为，，连接，，，取的中点，连接并延长，交于点，连接． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点．若，，求的长． 29.（22-23·江苏中考）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 30.（24-25·湖北中考）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 31.（22-23·宁夏中考）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径．  32.（24-25·河南模拟）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为米．当时，某盛水筒恰好位于水面处，此时，经过秒后该盛水筒运动到点处． 问题解决： （1）求该盛水筒从处逆时针旋转到处时，的度数； （2）求该盛水筒旋转至处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，） 33.（22-23·四川中考）已知与相切于点与相交于点，为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为，求和的长． 34.（23-24·江苏中考）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． （1）如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是______，________（写出符合条件的一种情况即可）； （2）如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 35.（23-24·江苏中考）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $