第22课时 直线与圆的位置关系 2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 22 课时 直线与圆的位置关系 一、核心知识 （一）直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，其判定与性质如下表所示： 位置关系 定义 数量关系 公共点个数 性质 备注 相离 直线与圆没有公共点 d r 个 无公共点，直线上所有点都在 圆心到直线的距离d与圆的半径r 相切 直线与圆有唯一公共点（该公共点为切点） d r 个 圆的切线垂直于 半径；反之，过半径外端且 半径的直线是圆的切线 相交 直线与圆有两个公共点 d r 个 直线被圆截得的线段为弦，过圆心垂直于弦的直线平分弦（垂径定理）​ 圆心到直线的距离d：从圆心向直线作垂线，______ ______的长度（计算时常用勾股定理、面积法）就是圆心到直线的距离； 切线的关键特征：“唯一公共点”“d=r”“垂直于过切点的半径” 三者等价，是判定与性质的核心。 （二）切线的判定与性质 1. 切线的判定定理 定义判定：直线与圆有 公共点，则直线是圆的切线（较少直接使用）； 数量关系判定：圆心到直线的距离____________，则直线是圆的切线（计算型判定，需先求距离）； 判定定理：经过__________且____________的直线是圆的切线（几何型判定，需证明 “垂直” 和 “过半径外端” 两个条件）。 2. 切线的性质定理 基本性质：圆的切线____________（核心性质，常用来构造直角三角形）； 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线____________； 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线____________。 3. 切线长定理 定义：从圆外一点引圆的两条切线，这点到每条切线的长度叫做____________； 定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这点和圆心的连线____________（常用来证明线段相等、角相等）。 （三）切线与三角形的综合（切线长、内心） 1. 三角形的内切圆与内心 内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的____________，其圆心叫做三角形的____________； 内心性质：内心是三角形三条____________的交点，到三角形三边的距离相等（距离等于内切圆半径r）； 常见结论： 设三角形三边长为a、b、c，周长为p，面积为S，则S = （海伦公式）; S = pr（r为内切圆半径）； 直角三角形的内切圆半径r = （a、b为直角三角形两直角边，c为斜边）。 2. 切线长与三角形的结合 从三角形一个顶点引内切圆的两条切线，切线长相等； 切线长可用来求三角形边长、角度，或证明线段、角的等量关系。 二、核心能力 题型 1 直线与圆的位置关系判定 解题思路 直接计算法：求出圆心到直线的距离d和圆的半径r，比较d与r的大小： d>r→相离；d=r→相切；d<r→相交； 几何判定法：根据直线与圆的公共点个数或切线的判定条件间接判断； 注意：计算d时，若直线与坐标轴平行 / 垂直，可直接用坐标差求距离；若为一般直线，可利用点到直线的距离公式d= ​（直线Ax+By+C=0，圆心(x0​,y0​)）。 题型 2 切线的判定与性质应用 解题思路 1. 切线判定（重点） 当直线与圆有明确公共点时：连接圆心与该公共点（构造半径），证明直线与这条半径垂直（“连半径，证垂直”）； 当直线与圆无明确公共点时：过圆心向直线作垂线（构造距离d），证明垂线段长度等于半径（“作垂线，证半径”）； 辅助线技巧：无论哪种情况，都需围绕 “半径” 和 “垂直” 构造图形，常用全等三角形、勾股定理、平行线性质证明垂直。 2. 切线性质应用 已知切线，必连过切点的半径，构造直角三角形（“见切线，连半径，得直角”）； 利用直角三角形的性质（勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形）求解线段长度、角度； 结合切线长定理，证明线段相等、角相等，简化计算。 题型 3 切线长定理与内心相关计算 解题思路 切线长定理应用： 标记切点，利用 “从圆外一点引圆的两条切线长相等” 转化线段，将多边形周长转化为三角形边长（如：四边形的内切圆，对边和相等）； 结合角平分线性质，证明角相等，或求角度（如：内心平分角，可求三角形内角的一半）。 内心与内切圆半径计算： 利用面积法求内切圆半径r= ​（S为三角形面积，C为周长），直角三角形优先用特殊公式r=​； 涉及内切圆与三角形边的切点，可设切线长为未知数，列方程求解边长。 题型 4 直线与圆的综合计算（弦长、切线长、距离） 解题思路 弦长计算：利用垂径定理，构造 “半径r、圆心到直线的距离d、弦长的一半” 组成的直角三角形，用勾股定理r2=d2+求解； 切线长计算：从圆外一点P引圆的两条切线，切点为A、B，则PA=PB，且OP垂直平分AB（O为圆心），构造直角三角形OPA，用勾股定理PA=​求解； 综合计算：结合三角形全等、相似、锐角三角函数，将直线与圆的位置关系转化为线段、角度的数量关系，多用到 “直角三角形”“方程思想”。 题型 5 直线与圆的动态问题（最值、存在性） 解题思路 最值问题： 线段最值：利用 “垂线段最短”（如：圆上一点到直线的最短距离为r−d，最长距离为r+d）；“两点之间线段最短”（如：圆外一点到圆上一点的最短距离为OP−r，最长距离为OP+r，P为圆外点）； 面积最值：结合弦长、距离的最值，求解三角形或四边形的面积最值。 存在性问题： 假设存在满足条件的直线（如：切线、截得特定弦长的直线），根据直线与圆的位置关系列方程，判断方程是否有解（Δ≥0），有解则存在，无解则不存在。 三、易错警示 切线判定条件遗漏 错误：只证明 “直线垂直于半径” 或 “直线过半径外端”，忽略另一个条件；误将 “与圆有一个公共点的直线是切线” 用于无明确公共点的情况。 提醒：切线的几何判定必须同时满足 “过半径外端” 和 “垂直于半径” 两个条件，缺一不可；无明确公共点时，需用 “作垂线，证半径” 的方法，不能仅凭 “一个公共点” 判定。 圆心到直线的距离计算错误 错误：计算距离时，未准确作出垂线段（如：将斜线段当作距离）；使用点到直线的距离公式时，代入坐标或公式记错。 提醒：圆心到直线的距离是 “垂线段的长度”，不是任意线段的长度；牢记点到直线的距离公式d= ​，代入时注意符号和公式结构，避免计算失误。 切线长定理应用混淆 错误：混淆 “从圆外一点引圆的切线长” 与 “圆的弦长”；忽略切线长定理中 “圆心与圆外点的连线平分切线夹角” 的性质。 提醒：切线长是 “从圆外点到切点的线段长”，弦长是 “直线与圆相交的两点间线段长”，二者定义不同；利用切线长定理时，可同步利用角平分线性质，简化角度计算。 内心与外心性质混淆 错误：将三角形内心（内切圆圆心，角平分线交点）与外心（外接圆圆心，垂直平分线交点）的性质混淆，如：误将内心到顶点的距离当作内切圆半径。 提醒：内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径），外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）；直角三角形的内心在三角形内部，外心在斜边中点。 动态问题中漏解或多解 错误：解决直线与圆的动态问题时，未考虑直线的不同位置（如：切线的左右两侧）、点的不同位置（如：圆上点在直线的两侧），导致漏解；或未验证解的合理性，导致多解。 提醒：动态问题需分类讨论，明确直线、点的运动范围，画出不同情况的图形；求解后需验证解是否符合题意（如：距离为正、边长为正），排除不合理的解。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（23-24·江苏模拟）在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，点为圆上的一个动点，则点到直线的最大距离是（ ） A. B. C. D. 2.（24-25·四川中考）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A. B. C. D.或 3.（24-25·贵州模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（    ） A. B. C. D. 4.（23-24·云南模拟）如图，在中，，的半径为， 点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为（    ） A. B. C. D. 5.（22-23·内蒙古中考）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为，则的长为（      ） A. B. C. D. 6.（24-25·山东中考）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A. B. C. D. 7.（23-24·四川中考）如图是的切线，切点为，点在上，若则（      ） A. B. C. D. 8.（24-25·山东中考）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是，则图中阴影部分的面积是（   ） A. B. C. D. 9.（24-25·山东中考）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，则下列结论正确的是（    ） A. B. C.当与相切时， D.当时， 10.（24-25·浙江模拟）如图，是的直径，切于点，交于点，连结、． 若，，则的长为     A. B. C. D. 11.（24-24·江苏模拟）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为    A. B. C. D. 12.（24-25·四川模拟）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（    ） A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 13.（24-25·安徽模拟）如图，将抛物线进行平移，使其经过点 和点，设平移后的顶点为，连接，以为圆心、的长为半径作圆，交抛物线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（        ） A. B. C. D. 14.（24-25·四川模拟）如图，半径为的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为（    ） A. B. C. D. 15.（23-24·黑龙江模拟）如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论： ①， ②， ③， ④若四边形的面积为，则该正方形的面积为， ⑤． 其中正确的结论有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·达州模拟）如图，、是圆的切线，、为切点，是直径，，____________ 17.（24-25·江苏模拟）如图，四边形是的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数是___________． 18.（23-24·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，分别以点，点为圆心，画半径为的和．当，分别与轴相切时，切点分别为点和点，连接，，则阴影部分图形的面积和为____________．（结果保留） 19.（22-23·江苏中考）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点为圆心，为半径作．若对于符合条件的任意实数，一次函数的图象与总有两个公共点，则的最小值为   ． 20.（22-23·江苏中考）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 6 步（注：“步”为长度单位）． 21.（23-24·四川中考）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，次测量会得到个数据，，…，，如果与各个测量数据的差的平方和最小，就将作为测量结果的最佳近似值．若名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：，，，，（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为__________． 22.（22-23·江苏中考）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走里到达城堡边，再往前走里到达树下．则该城堡的外围直径为  里． 23.（24-25·四川模拟）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为__________________． 24.（22-23·内蒙古中考）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点，，若该圆半径是，则主视图的面积为____________． 25.（23-24·四川模拟）如图，正方形的边长为，经过点，为的直径，且．过点作的切线分别交边，于点，．与，分别交于点，，绕点在平面内旋转（始终保持圆心在正方形内部）．给出下列四个结论： ①；②；③，，，四点在同一个圆上；④四边形面积的最大值为．其中正确的结论有 __________（填写所有正确结论的序号）． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·山东模拟）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 27.（23-24·山东模拟）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 28.（22-23·四川中考）如图，在中，，的平分线交于点，点是边上一点，以点为圆心、长为半径作圆，恰好经过点，交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若点为的中点，，求阴影部分的面积； （3）连接，若，求的值． 29.（24-25·广西模拟）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为，，求的长． 30.（23-24·贵州中考）如图，是的切线，点为切点．点为上一点，射线交于点，连接，点在上，过点作，，交于点，作，垂足为点．． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 31.（23-24·四川中考）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 32.（24-25·山西模拟）如图，点是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，，均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切； （2）当半径时，令，，，，比较与的大小，并说明理由； （3）在的条件下，如图，当半径时，若点为与该半圆的切点，与交于点，连接并延长交于点，连接，，令，，求关于的函数解析式．（不考虑自变量的取值范围） 33.（23-24·北京模拟）对于平面内的点和点，给出如下定义： 若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图，点是点关于点的锐角旋转点． （1）已知点，在点中，是点关于点的锐角旋转点的是______． （2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围； （3）点是轴上的动点，，点是以为圆心，为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围． 34.（23-24·全国同步）【理解概念】 分别经过两个不相似的直角三角形的直角顶点的两条直线，把这两个直角三角形分别分成两个小三角形，当一个直角三角形中的一个小三角形与另一个直角三角形中的一个小三角形相似时，另外两个小三角形也相似，则称这样的两条直线叫做这两个直角三角形的相似分割线． 【巩固新知】 （1）已知：如图①、②，在和中，． ①求证：、分别是和的相似分割线； ②若，求的长． 【拓展提高】 （2）如图③，为的直径，点、在上，、分别是和的相似分割线，且． ①若点是的黄金分割点，则点是否也是的黄金分割点？说明理由； ②若．当时，直接写出的长． 35.（23-24·陕西模拟）【问题提出】 （1）如图，在中，，，点是的中点，以点为圆心，为半径向上方作半圆，点为半圆上一点，连接，则线段的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图，在等边中，，点为内一点，连接，，求线段长度的最小值； 【问题解决】 （3）如图，某小区有四栋楼，刚好围成正方形，其边长米，现计划在小区内部（正方形内）修建一个游泳馆，满足栋楼到栋楼之间的距离与栋楼到游泳馆之间的距离相等（即），过点作于点，在的内心处修建一个健身房，使得栋楼的居民到健身房的距离最小，请问是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 71 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 22 课时 直线与圆的位置关系 一、核心知识 （一）直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，其判定与性质如下表所示： 位置关系 定义 数量关系 公共点个数 性质 备注 相离 直线与圆没有公共点 d > r 0 个 无公共点，直线上所有点都在 圆外 圆心到直线的距离d与圆的半径r 相切 直线与圆有唯一公共点（该公共点为切点） d = r 1 个 圆的切线垂直于 过切点的 半径；反之，过半径外端且 垂直于 半径的直线是圆的切线 相交 直线与圆有两个公共点 d < r 2 个 直线被圆截得的线段为弦，过圆心垂直于弦的直线平分弦（垂径定理）​ 圆心到直线的距离d：从圆心向直线作垂线，______垂线段______的长度（计算时常用勾股定理、面积法）就是圆心到直线的距离； 切线的关键特征：“唯一公共点”“d=r”“垂直于过切点的半径” 三者等价，是判定与性质的核心。 （二）切线的判定与性质 1. 切线的判定定理 定义判定：直线与圆有 唯一 公共点，则直线是圆的切线（较少直接使用）； 数量关系判定：圆心到直线的距离______d=r______，则直线是圆的切线（计算型判定，需先求距离）； 判定定理：经过______半径外端____且______垂直于这条半径______的直线是圆的切线（几何型判定，需证明 “垂直” 和 “过半径外端” 两个条件）。 2. 切线的性质定理 基本性质：圆的切线______垂直于过切点的半径______（核心性质，常用来构造直角三角形）； 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线______必过切点______； 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线______必过圆心______。 3. 切线长定理 定义：从圆外一点引圆的两条切线，这点到每条切线的长度叫做______切线长______； 定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这点和圆心的连线______平分两条切线的夹角______（常用来证明线段相等、角相等）。 （三）切线与三角形的综合（切线长、内心） 1. 三角形的内切圆与内心 内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的______内切圆______，其圆心叫做三角形的______内心______； 内心性质：内心是三角形三条______角平分线______的交点，到三角形三边的距离相等（距离等于内切圆半径r）； 常见结论： 设三角形三边长为a、b、c，周长为p，面积为S，则S = （海伦公式）; S = pr（r为内切圆半径）； 直角三角形的内切圆半径r = （a、b为直角三角形两直角边，c为斜边）。 2. 切线长与三角形的结合 从三角形一个顶点引内切圆的两条切线，切线长相等； 切线长可用来求三角形边长、角度，或证明线段、角的等量关系。 二、核心能力 题型 1 直线与圆的位置关系判定 解题思路 直接计算法：求出圆心到直线的距离d和圆的半径r，比较d与r的大小： d>r→相离；d=r→相切；d<r→相交； 几何判定法：根据直线与圆的公共点个数或切线的判定条件间接判断； 注意：计算d时，若直线与坐标轴平行 / 垂直，可直接用坐标差求距离；若为一般直线，可利用点到直线的距离公式d= ​（直线Ax+By+C=0，圆心(x0​,y0​)）。 题型 2 切线的判定与性质应用 解题思路 1. 切线判定（重点） 当直线与圆有明确公共点时：连接圆心与该公共点（构造半径），证明直线与这条半径垂直（“连半径，证垂直”）； 当直线与圆无明确公共点时：过圆心向直线作垂线（构造距离d），证明垂线段长度等于半径（“作垂线，证半径”）； 辅助线技巧：无论哪种情况，都需围绕 “半径” 和 “垂直” 构造图形，常用全等三角形、勾股定理、平行线性质证明垂直。 2. 切线性质应用 已知切线，必连过切点的半径，构造直角三角形（“见切线，连半径，得直角”）； 利用直角三角形的性质（勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形）求解线段长度、角度； 结合切线长定理，证明线段相等、角相等，简化计算。 题型 3 切线长定理与内心相关计算 解题思路 切线长定理应用： 标记切点，利用 “从圆外一点引圆的两条切线长相等” 转化线段，将多边形周长转化为三角形边长（如：四边形的内切圆，对边和相等）； 结合角平分线性质，证明角相等，或求角度（如：内心平分角，可求三角形内角的一半）。 内心与内切圆半径计算： 利用面积法求内切圆半径r= ​（S为三角形面积，C为周长），直角三角形优先用特殊公式r=​； 涉及内切圆与三角形边的切点，可设切线长为未知数，列方程求解边长。 题型 4 直线与圆的综合计算（弦长、切线长、距离） 解题思路 弦长计算：利用垂径定理，构造 “半径r、圆心到直线的距离d、弦长的一半” 组成的直角三角形，用勾股定理r2=d2+求解； 切线长计算：从圆外一点P引圆的两条切线，切点为A、B，则PA=PB，且OP垂直平分AB（O为圆心），构造直角三角形OPA，用勾股定理PA=​求解； 综合计算：结合三角形全等、相似、锐角三角函数，将直线与圆的位置关系转化为线段、角度的数量关系，多用到 “直角三角形”“方程思想”。 题型 5 直线与圆的动态问题（最值、存在性） 解题思路 最值问题： 线段最值：利用 “垂线段最短”（如：圆上一点到直线的最短距离为r−d，最长距离为r+d）；“两点之间线段最短”（如：圆外一点到圆上一点的最短距离为OP−r，最长距离为OP+r，P为圆外点）； 面积最值：结合弦长、距离的最值，求解三角形或四边形的面积最值。 存在性问题： 假设存在满足条件的直线（如：切线、截得特定弦长的直线），根据直线与圆的位置关系列方程，判断方程是否有解（Δ≥0），有解则存在，无解则不存在。 三、易错警示 切线判定条件遗漏 错误：只证明 “直线垂直于半径” 或 “直线过半径外端”，忽略另一个条件；误将 “与圆有一个公共点的直线是切线” 用于无明确公共点的情况。 提醒：切线的几何判定必须同时满足 “过半径外端” 和 “垂直于半径” 两个条件，缺一不可；无明确公共点时，需用 “作垂线，证半径” 的方法，不能仅凭 “一个公共点” 判定。 圆心到直线的距离计算错误 错误：计算距离时，未准确作出垂线段（如：将斜线段当作距离）；使用点到直线的距离公式时，代入坐标或公式记错。 提醒：圆心到直线的距离是 “垂线段的长度”，不是任意线段的长度；牢记点到直线的距离公式d= ​，代入时注意符号和公式结构，避免计算失误。 切线长定理应用混淆 错误：混淆 “从圆外一点引圆的切线长” 与 “圆的弦长”；忽略切线长定理中 “圆心与圆外点的连线平分切线夹角” 的性质。 提醒：切线长是 “从圆外点到切点的线段长”，弦长是 “直线与圆相交的两点间线段长”，二者定义不同；利用切线长定理时，可同步利用角平分线性质，简化角度计算。 内心与外心性质混淆 错误：将三角形内心（内切圆圆心，角平分线交点）与外心（外接圆圆心，垂直平分线交点）的性质混淆，如：误将内心到顶点的距离当作内切圆半径。 提醒：内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径），外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）；直角三角形的内心在三角形内部，外心在斜边中点。 动态问题中漏解或多解 错误：解决直线与圆的动态问题时，未考虑直线的不同位置（如：切线的左右两侧）、点的不同位置（如：圆上点在直线的两侧），导致漏解；或未验证解的合理性，导致多解。 提醒：动态问题需分类讨论，明确直线、点的运动范围，画出不同情况的图形；求解后需验证解是否符合题意（如：距离为正、边长为正），排除不合理的解。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（23-24·江苏模拟）在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，点为圆上的一个动点，则点到直线的最大距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据圆心到直线的距离为，而圆的半径为，此时直线与圆相离，当点在上运动时，当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，根据题意画出图形进行解答即可． 【解答】解：如图，由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 故选：． 2.（24-25·四川中考）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A. B. C. D.或 【答案】D 【解析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案. 【解答】解：如图，连接，， 分别与相切于两点， ， ， ， ，， 故选： 3.（24-25·贵州模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【解答】连接，，则：， 与相切于点， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 故选． 4.（23-24·云南模拟）如图，在中，，的半径为， 点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】首先连接，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【解答】解：连接． 是的切线， ； 根据勾股定理知， 当时，线段最短， 在中，， ， ， ． 故选：． 5.（22-23·内蒙古中考）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为，则的长为（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据三角形外接圆的性质得出点、、分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【解答】解：是锐角三角形的外接圆，，点、、分别是的中点， ， 的周长为， 即， ， 故选：． 6.（24-25·山东中考）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了勾股定理，三角形内接圆半径，令，根据选项中关系式计算比较判断即可． 【解答】解：为直角三角形， 令． 选项，选项，选项，选项， 只有选项结果跟其他选项结果不一致， 表达式错误的是选项， 故选：． 7.（23-24·四川中考）如图是的切线，切点为，点在上，若则（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据圆的内接四边形的性质得由得由切线长定理得即可求得结果． 【解答】解：如图，连接 四边形是的内接四边形， 即 是的切线， 根据切线长定理得 ． 故此题答案为．   8.（24-25·山东中考）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是，则图中阴影部分的面积是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接相交于，由正方形的内切圆的半径是，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【解答】解：如图：连接相交于， 正方形的内切圆的半径是， ，， ，， 图中阴影部分的面积是． 故选．   9.（24-25·山东中考）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，则下列结论正确的是（    ） A. B. C.当与相切时， D.当时， 【答案】C 【解析】本题考查了切线的性质定理和勾股定理，由题意可得从而可判断、选项，如图：当与相切时，求解，可得，可判断；当时，如图，可得，，，可判断；从而可得答案．理解题意并熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 【解答】解：如图，由题意可得： ，故不符合题意； ，故不符合题意； 如图，当与相切时， ， ， ，故符合题意； 如图：当时， ，， ，故不符合题意； 故选：． 10.（24-25·浙江模拟）如图，是的直径，切于点，交于点，连结、． 若，，则的长为     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】此题暂无解析 【解答】试题分析：先证明为等边三角形，可得，再根据切线的性质可求得，然后根据正切的定义求得 故选 11.（24-24·江苏模拟）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】连接，根据直线与坐标轴的交点，得出，的坐标，求出的长，即可得出的半径，证，可得四边形面积＝，当时，四边形的面积最小，利用三角函数求出的长，即可求得答案. 【解答】如图，连接， 直线与轴、轴分别相交于、两点， 当时，，当时，， ，， ， 过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为、， ，， ，， ， 的半径为， ， 当时，最小，此时， 四边形面积＝， 四边形面积的最小值为． 故选． 12.（24-25·四川模拟）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（    ） A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 【答案】B 【解析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点作于点，求出，由即可得到结论． 【解答】解：过点作于点， 在中，，，， ， ， ， ， ， 则圆与直线的关系是相离． 故选：． 13.（24-25·安徽模拟）如图，将抛物线进行平移，使其经过点 和点，设平移后的顶点为，连接，以为圆心、的长为半径作圆，交抛物线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（        ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】此题暂无解析 【解答】B 14.（24-25·四川模拟）如图，半径为的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接，取的中点，连接，过点作于，先证明点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的，设交于点，解得直线与坐标轴的交点，即可解得的长，再由勾股定理解得的长，证明解得的长，最后当点与点重合时， 此时面积的最小值，即可求解． 【解答】解：如图，连接,取的中点，连接，过点作于， ， ， 的运动轨迹是以点为圆心、半径为的圆，设交于点， 直线的解析式为， 令，得， ， 令，得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点与点重合时， 此时面积的最小值， 故选：． 15.（23-24·黑龙江模拟）如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论： ①， ②， ③， ④若四边形的面积为，则该正方形的面积为， ⑤． 其中正确的结论有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】B 【解析】①正确:证明，再利用三角形的外角的性质即可得出答案； ②正确：利用四点共圆证明即可； ③正确：设，求出，即可解决问题； ④错误：通过计算正方形的面积为； ⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可. 【解答】①正确：如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ，故①正确； ②正确：如图，连接， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ，故②正确； ③正确：设，则，， ，即，故③正确； ④错误：根据对称性可知，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，故④错误； ⑤正确：，， ， ， ， ，故⑤正确； 综上所诉一共有个正确，故选：． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·达州模拟）如图，、是圆的切线，、为切点，是直径，，_____________ 【答案】度 【解析】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据是切线，得到，从而，根据切线长定理得到，从而，进而由三角形的内角和定理即可求解． 【解答】解：是切线， ，即， ， ， 、是圆的切线， ， ， ． 故答案为：． 17.（24-25·江苏模拟）如图，四边形是的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数是______60°______． 【答案】 【解析】根据菱形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【解答】解：四边形为菱形， ， 由圆周角定理得：， 四边形为的内接四边形， ， ，解得：， 故答案为：． 18.（23-24·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，分别以点，点为圆心，画半径为的和．当，分别与轴相切时，切点分别为点和点，连接，，则阴影部分图形的面积和为______________．（结果保留） 【答案】 【解析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则点的纵坐标为，代入解析式求得的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【解答】解：当，分别与轴相切时，切点分别为点和点， 轴，轴， 半径为， ， 点的纵坐标为， 把代入，求得， ， ，， ， ， 第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ． 故答案为：． 19.（22-23·江苏月中考）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点为圆心，为半径作．若对于符合条件的任意实数，一次函数的图象与总有两个公共点，则的最小值为  2 ． 【答案】 【解析】在中，令，则，于是得到一次函数的图象与轴交于，求得一次函数过定点，当过时，两者至少有一个交点，根据一次函数经过一、二、四象限，得到直线与圆必有两个交点，而当半径小于时，圆与直线存在相离可能，于是得到结论． 【解答】解：在中，令，则， 一次函数的图象与轴交于， 一次函数过定点， 当过时，两者至少有一个交点， 一次函数经过一、二、四象限， 直线与圆必有两个交点， 而当半径小于时，圆与直线存在相离可能， 半径至少为， 故的最小值为， 故答案为：． 20.（22-23·江苏中考）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 6 步（注：“步”为长度单位）． 【答案】 【解析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径． 【解答】解：根据勾股定理得：斜边为， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为步， 故答案为：．  21.（23-24·四川中考）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，次测量会得到个数据，，…，，如果与各个测量数据的差的平方和最小，就将作为测量结果的最佳近似值．若名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：，，，，（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为______6.1______． 【答案】 【解析】根据题意，这些青稞穗的最佳近似长度可以取使函数为最小值的的值，整理上式，并求出青稞穗长的最佳近似长度． 【解答】解：由题意，与各个测量数据的差的平方和 ， 时，有最小值， 青稞穗长的最佳近似长度为． 故答案为：． 22.（22-23·江苏中考）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走里到达城堡边，再往前走里到达树下．则该城堡的外围直径为 9 里． 【答案】 【解析】由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案． 【解答】解：如图，表示圆形城堡， 由题意知：切圆于，切圆于，连接， ，，里， 里， 里， ， ， ， （里）． 城堡的外围直径为（里）． 故答案为：． 23.（24-25·四川模拟）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为__________________． 【答案】 【解析】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由圆的切线的性质证明四边形为矩形，则，可求圆的半径为，设，在中有勾股定理建立方程，解得：或（舍），同理可得：，，最后由即可求解． 【解答】解：设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ，， ， 梯形，， 点共线， 四边形为矩形， ， 的面积为， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得：或（舍）， ， 同理可得：，， ， ， ， ， ， ， 点到的距离为， 故答案为：． 24.（22-23·内蒙古中考）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点，，若该圆半径是，则主视图的面积为____________． 【答案】 【解析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据主视图的面积为计算即可． 【解答】解：设圆心为，过作，，和相交于点，连接，如图， ，分别与所在圆相切于点，． ， ， ，， 优弧对应的圆心角为，， 该圆半径是， ， 主视图的面积为 ， 故答案为：． 25.（23-24·四川模拟）如图，正方形的边长为，经过点，为的直径，且．过点作的切线分别交边，于点，．与，分别交于点，，绕点在平面内旋转（始终保持圆心在正方形内部）．给出下列四个结论： ①；②；③，，，四点在同一个圆上；④四边形面积的最大值为．其中正确的结论有 ____②③④_______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】②③④ 【解析】根据切线的性质，正方形的性质，通过三角形全等，证明，，，，可判断前两个结论；运用对角互补的四边形内接于圆，证明，取的中点，连接，则，当最大时，最小，根据直径是圆中最大的弦，故时，最小，计算即可． 【解答】是的切线，为切点，且是的直径， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ，， 同理可证，，， ，无法确定， 故①错误； ， ， ， 即， 故②正确； ，是正方形的对角线， ，， ， 根据对角互补的四边形内接于圆， ，，，四点在同一个圆上， 故③正确； 正方形的边长为， ，， 取的中点，连接， ， ， 当取最小值时，有最大值， 连接，， 则， ， 当最大时，最小， 直径是圆中最大的弦， 时，最小， 当，，三点共线时，且最大时，最小， ， 最大值为：， 四边形面积的最大值为， ④正确； 故答案为: ②③④． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·山东模拟）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】见解答 【解析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得证； （2） 设，则，，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质求出的值，由此即可得出答案． 【解答】证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ，即， ， 又是的半径， 是的切线． 解：， 设，则， ，， ，， ， ， ，即， 解得， ．  27.（23-24·山东模拟）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】见解答 【解析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【解答】（1）证明：连接， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 为半径， 与相切； （2）解：设半径为，则，，， ， 在中，，， ，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， 半径为，则， 在中，，，， ， ． 28.（22-23·四川中考）如图，在中，，的平分线交于点，点是边上一点，以点为圆心、长为半径作圆，恰好经过点，交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若点为的中点，，求阴影部分的面积； （3）连接，若，求的值． 【答案】见解答 【解析】（1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可； （3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案． 【解答】（1）解：证明：如图所示，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：点为的中点， ， ， ， 由可得， 在中，， ， ， ； （3）解：是的直径， ， 在中，， 设， ； ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 29.（24-25·广西模拟）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】见解答 ． 【解析】（1）利用等边对等角求得，由角平分线的定义求得，可证明，即可证明为的切线； （2）先证明等腰三角形，求得，据此求解即可． 【解答】（1）解：证明：， ， ， ， 是的平分线， ， ， 即且为半径， 为的切线； （2）解：，又， 等腰直角三角形， 的半径为， ， ， ． 30.（23-24·贵州中考）如图，是的切线，点为切点．点为上一点，射线交于点，连接，点在上，过点作，，交于点，作，垂足为点．． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】见解答 【解析】（1）连接，证明，则，而，则，由于是的切线，则，再由等式的性质即可证明； （2）可得，设，则，，由切线长定理得到，则，求出，即可求解半径． 【解答】（1）解：证明：连接， 是的切线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的切线； （2）解：，， ， 设， ，， 是的切线，是的切线， ， ， 解得：， 半径为． 31.（23-24·四川中考）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 【答案】(1)见解答; (2)． 【解析】（1）连接，由，得，故，根据，得，即，，从而可得是的切线； （2）连接，，证明，可得，，故，的半径为；再证，得，从而． 【解答】（1）证明：连接，如图： ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 是半径， 是的切线； （2）解：连接，，如图： 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 的半径为； ， ， ，， ， ，即， ， 的半径为，的长为． 32.（24-25·山西模拟）如图，点是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，，均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切； （2）当半径时，令，，，，比较与的大小，并说明理由； （3）在的条件下，如图，当半径时，若点为与该半圆的切点，与交于点，连接并延长交于点，连接，，令，，求关于的函数解析式．（不考虑自变量的取值范围） 【答案】见解答 ，理由见解答 【解析】（1）如图，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【解答】（1）解：如图，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 与均为该半圆的切线， ． ． ． 为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． 与该半圆相切． （2）解：．理由如下： 如图，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3）解：如图，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由可知， ． 又在中， ， ． ， ． 33.（23-24·北京模拟）对于平面内的点和点，给出如下定义： 若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图，点是点关于点的锐角旋转点． （1）已知点，在点中，是点关于点的锐角旋转点的是__，____． （2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围； （3）点是轴上的动点，，点是以为圆心，为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围． 【答案】，． 【解析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点以及轴上的点），点，满足条件． （2）如图中，以为圆心，为半径作半圆，交轴于，当直线与半圆有交点（不包括，）时，满足条件． （3）根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图，半圆扫过的区域为图中阴影部分，求出图，图（3）中，的值，可得结论． 【解答】（1）解：如图，，， ，， 点不是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， ， ， ， 点是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， 则， ， ， ， 不是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， 则， ， ， 是点关于点的锐角旋转点； 综上所述，在点，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是，， 故答案为：，． （2）解：在轴上取点，当直线经过点时，可得， 当直线经过点时，则， 解得：， 当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定可以落在某条直线上， 过点作直线，垂足在第四象限时，如图， 则，， ， 当时，取得最小值， ， ， ． （3）解：根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图，半圆扫过的区域为图中阴影部分， 如图中，阴影部分与直线相切于点，，，过点作轴于点，过点作于点， ， ， ，， ， ， ，即， 解得， 如图（3）中，阴影部分与相切于点，，，则，， ， 解得， 观察图象可知，．   34.（23-24·全国同步）【理解概念】 分别经过两个不相似的直角三角形的直角顶点的两条直线，把这两个直角三角形分别分成两个小三角形，当一个直角三角形中的一个小三角形与另一个直角三角形中的一个小三角形相似时，另外两个小三角形也相似，则称这样的两条直线叫做这两个直角三角形的相似分割线． 【巩固新知】 （1）已知：如图①、②，在和中，． ①求证：、分别是和的相似分割线； ②若，求的长． 【拓展提高】 （2）如图③，为的直径，点、在上，、分别是和的相似分割线，且． ①若点是的黄金分割点，则点是否也是的黄金分割点？说明理由； ②若．当时，直接写出的长． 【答案】①证明见解答；② ①为黄金分割点；答案见解答；②． 【解析】（1）①根据直角三角形的相似分割线的定义进行证明即可；②由，得，，设，根据，可求出， （2）①根据．可得，由点是的黄金分割点，可得出为黄金分割点；②证明，作交于，证明，分别求出，即可得到结论． 【解答】（1）解：①， 为相似分割线； ②由①得， 设， （2）①、分别是和的相似分割线，且． ， ， 为黄金分割点 为黄金分割点． ②、分别是和的相似分割线，且． 如图，作交于 ， 35.（23-24·陕西模拟）【问题提出】 （1）如图，在中，，，点是的中点，以点为圆心，为半径向上方作半圆，点为半圆上一点，连接，则线段的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图，在等边中，，点为内一点，连接，，求线段长度的最小值； 【问题解决】 （3）如图，某小区有四栋楼，刚好围成正方形，其边长米，现计划在小区内部（正方形内）修建一个游泳馆，满足栋楼到栋楼之间的距离与栋楼到游泳馆之间的距离相等（即），过点作于点，在的内心处修建一个健身房，使得栋楼的居民到健身房的距离最小，请问是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】 【解析】（1）连接，，根据即可求解 （2）由题意可推出，结合，为定值以为底边作底角为的等腰三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，据此即可求解 （3）连接，延长，可推出，以为底边等腰直角三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，据此即可求解； 【解答】（1）解：连接，，如图所示： 由题意得：， 故答案为： （2）由题意得： ，为定值 以为底边作底角为的等腰三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示： ， 即：线段长度的最小值为 （3）连接，延长，如图所示： ，点是的内心 ， 平分 垂直平分线段 为定值， 以为底边等腰直角三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示： ， 作，则 ， 第 1 页 共 71 页 学科网（北京）股份有限公司 $