精品解析：四川省达州市渠县中学2025-2026学年九年级下学期入学考试数学试题

四川省达州市渠县中学2025-2026学年九年级下学期入学考试数学试题 卷面满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等四边形是矩形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 2. 用配方法解方程时，应将其变形为（　　） A. B. C. D. 3. 一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，已知直线 ，直线 分别交直线于点，直线分别交直线 于点 ，若 ，则 （ ） A. 6 B. 16 C. 18 D. 20 5. 如图是由若干个小正方体木块搭建成的几何体从正面、左面和上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个 6. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 7. 直线y＝3x与x轴正半轴的夹角的锐角为α，那么下列结论正确的是(　　) A. tanα＝3 B. tanα＝ C. sinα＝3 D. cosα＝3 8. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，的边OB在y轴上，，，点C在AB上，，且，若双曲线经过点C，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. ______． 12. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为____________. 13. 若整数使得关于不等式组有解，也使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为______． 14. 如图，已知四边形为正方形，点E是边上一点，连接，点F在线段上，且于点F，连接．若，则_________________． 15. 已知二次函数图像的一部分如图，以下结论：①；②当时，函数有最大值；③方程的解是，；④．其中正确的有______个． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1）解方程：； （2）计算：． 17. 已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 18. 已知关于x方程：（k－2）x2－kx＋2＝0． （1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根； （2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； （2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出其坐标． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接、，求面积． 21. 某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图． （1）根据给出的信息，补全两幅统计图； （2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？ （3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？ 22. 某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤． 结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售． （1）若每公斤售价降价5元，则每天的销售利润为____元； （2）水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 23. 已知二次函数和一次函数． （1）二次函数的图象过点，求二次函数的表达式； （2）若一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点． ①求证：； ②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值． 24. 疫情突发，危难时刻，从决定建造到交付使用，雷神山、火神山医院仅用时十天，其建造速度之快，充分展现了中国基建的巨大威力！这样的速度和动员能力就是全国人民的坚定信心和尽快控制疫情的底气！改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m． （1）求线段AG的长度；（结果精确到0.1m） （2）连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间距离．（结果精确到0.1m，参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60） 25. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县中学2025-2026学年九年级下学期入学考试数学试题 卷面满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊平行四边形的判定定理即可一一判定． 【详解】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题错误，是假命题； B.一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，故该命题错误，是假命题； C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该命题错误，是假命题； D.对角线互相垂直的矩形是正方形，故该命题正确，是真命题； 故选：D． 【点睛】本题考查了特殊四边形的判定，命题真假的判定，熟练掌握和运用各特殊四边形的判定方法是解决本题的关键． 2. 用配方法解方程时，应将其变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①在一般形式下，化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；②将常数项移项至方程的另一边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．据此解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3. 一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式．应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案． 【详解】解：设袋子中白球的个数为个， 则， 解得， 经检验得是原方程的解， 估计袋中白球的个数是4个． 故选：D． 4. 如图，已知直线 ，直线 分别交直线于点，直线分别交直线 于点 ，若 ，则 （ ） A. 6 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又 ∴， ∵ ， ∴ 解得， ． 经检验：是方程的解， 故选 B 5. 如图是由若干个小正方体木块搭建成的几何体从正面、左面和上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查由不同方向看几何体得到的平面图形判断几何体，熟练根据由不同方向看几何体得到的平面图形得出几何体的形状是解题的关键． 由上面看可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由从正面看和从左面看可得第二层和第三层小木块的个数，依此将得到的正方体的个数在图上标出来计算总个数即可． 【详解】解∶从上面看有5个正方形， 最底层有5个正方体小木块， 由从正面看和从左面看可得第二层有2个正方体小木块，第三层有1个正方体小木块如图所示∶ 搭成这个几何体的小正方体的个数是（个）， 故答案为：A． 6. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数的性质得，解得，即可做出判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， 的取值可以是3， 故选：D 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数经过的象限是解题的关键． 7. 直线y＝3x与x轴正半轴的夹角的锐角为α，那么下列结论正确的是(　　) A. tanα＝3 B. tanα＝ C. sinα＝3 D. cosα＝3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合一次函数图象上点的坐标性质得出AB，OB的长，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】如图所示：AB⊥x轴于点B， ∵y=3x，A点在y=3x的图象上， ∴设BO=x，则AB=3x， 故tanα===3． 故选A． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系以及一次函数的图象上点的性质，正确把握相关定义是解题关键． 8. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 9. 如图，在直角坐标系中，的边OB在y轴上，，，点C在AB上，，且，若双曲线经过点C，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】易证△ABO∽△OBC，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OB的长，即C的纵坐标，BC的长是C的横坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：BC＝，AB＝4，即C的横坐标是1． ∵在直角△ABO和直角△OBC中，∠ABO＝∠OBC，∠BOC＝∠A， ∴△ABO∽△OBC， ∴＝， ∴OB2＝AB•BC＝4×1＝4， ∴OB＝2， 则C的坐标是（1，2 ），代入y＝ ，得：k＝2． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及待定系数法求函数的解析式，正确求得OB的长是关键． 10. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. ______． 【答案】1 【解析】 【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键． 12. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得：，，代入代数式即可求解； 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， 即：， . 故答案为： 13. 若整数使得关于的不等式组有解，也使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握不等式组解法及一元二次方程根的判别式确定的取值范围．根据不等式组有解求出的取值范围，再根据关于的一元二次方程有实数根，得且，求解即可得的取值范围，取满足条件的整数相加即可． 【详解】解：， 解不等式得，解不等式得， 原不等式组有解， ，解得， 关于的一元二次方程有实数根， 且， 解得且， 且， 满足条件的整数为0，2，3，4，5， 满足条件的整数的和为， 故答案为：14． 14. 如图，已知四边形为正方形，点E是边上一点，连接，点F在线段上，且于点F，连接．若，则_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作垂线构造全等三角形是解题的关键． 过点A作，利用正方形的性质准备条件，证明，根据全等三角形的对应边相等，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作，如图所示， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ，， ， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知二次函数图像的一部分如图，以下结论：①；②当时，函数有最大值；③方程的解是，；④．其中正确的有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数图像和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】由图像可知：， ，， ∴，故①正确； 当时，函数有最大值，故②正确； 方程的解是，，故③正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故④错误； 故答案为：3 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1） （2）0. 【解析】 【分析】熟练掌握相关运算法则，以及熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键． （1）整理为一般式，再利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）结合有理数的乘方，各特殊角的三角函数值，以及零指数幂的运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： 则或， 解得； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形，对角线与相交于点E， ， 四边形为菱形． 18. 已知关于x的方程：（k－2）x2－kx＋2＝0． （1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根； （2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根． 【答案】（1）1；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）把x=2代入方程中得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值，再把k的值代入原方程求出原方程的解即可； （2）根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵方程有一个根是2， ∴4（k-2）-2k+2=0 解得：k=3． ∴原方程为：x2－3x＋2＝0． 解得：x1=2或x2=1． ∴该方程的另一个根为1； （2）∵== = = ≥0 ∴无论k取何值，该方程总有实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的概念，根的判别式及一元二次方程的解法，掌握相关知识是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； （2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出其坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）是，见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所作图形； 【小问2详解】 解：如图，即为所作图形； 【小问3详解】 解：和是位似图形，点M为所求位似中心，如图点M即为所求． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数解析式； （2）连接、，求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题． （2）本题考查一次函数与反比例函数几何综合，根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， 点在上， ， 把、代入， 得，解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：把代入，得， ， ， ． 21. 某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图． （1）根据给出的信息，补全两幅统计图； （2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级有多少名？ （3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？ 【答案】（1）见解析 （2）420名 （3） 【解析】 【分析】（1）利用良好的人数除以良好的人数所占的百分比可得抽查的人数，然后计算出合格的人数和合格人数所占百分比，再计算出优秀人数，然后画图即可； （2）计算出成绩达到良好及以上的男生所占比例，再利用样本代表总体的方法得出答案； （3）直接利用树状图法求出所有可能，进而求出概率． 【小问1详解】 解：抽取的学生数：（名）； 抽取的学生中合格的人数：（名）， 合格所占百分比：， 优秀人数：， 如图所示： ； 【小问2详解】 解：成绩达到良好及以上的男生所占比例为：， ∴600名男生中成绩达到良好及以上等级的有名； 小问3详解】 解：如图： ， 可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有3种， 所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率． 22. 某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤． 结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售． （1）若每公斤售价降价5元，则每天的销售利润为____元； （2）水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）葡萄的销售单价为16元时，水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润达到800元，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与销售利润问题的综合运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法，正确列式求解是解题的关键． （1）每公斤售价降价5元，则每天的销售量增加50公斤，降价后每公斤的利润为（元），降价后的销售量为（公斤），由此即可求解； （2）设降价元，则销售量为公斤，得到一元二次方程，因式分解解一元二次方程，结合尽快减少库存，即可求解． 【小问1详解】 解：∵售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤， ∴每公斤售价降价5元，则每天的销售量增加50公斤， ∴降价后的销售价格为（元），降价后每公斤的利润为（元），降价后的销售量为：（公斤）， ∴每天的销售利润为：（元）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：能达到800元，理由如下， 设降价元，则销售量为公斤， ∴，整理得，， ∴， 解得，， 当降价2元时，销售量为（公斤），当降价4元时，销售量为（公斤）， ∵减少库存，， ∴降价4元，此时的销售单价为（元）， ∴葡萄的销售单价为16元时，水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润达到800元 23. 已知二次函数和一次函数． （1）二次函数的图象过点，求二次函数的表达式； （2）若一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点． ①求证：； ②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值． 【答案】（1）二次函数的表达式为； （2）①证明见解析，② 【解析】 【分析】（1）待定系数法，求出函数解析式即可． （2）①先求出二次函数与轴的交点坐标，进而得到一次函数与二次函数的图象的交点坐标，代入一次函数，即可得出结论；②求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵二次函数过， ∴， ∴二次函数的表达式为， 将点代入，得， ∴； ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 ①∵当时，解得：， ∴二次函数与x轴交于和点， 又一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点， ∴一次函数过点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点， ∵二次函数的顶点为， ∴过， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，是解题的关键． 24. 疫情突发，危难时刻，从决定建造到交付使用，雷神山、火神山医院仅用时十天，其建造速度之快，充分展现了中国基建的巨大威力！这样的速度和动员能力就是全国人民的坚定信心和尽快控制疫情的底气！改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m． （1）求线段AG的长度；（结果精确到0.1m） （2）连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60） 【答案】（1）线段的长度约为3.5m；（2）点与点之间的距离约为2.1m． 【解析】 【分析】（1）设AE＝xm，根据直角三角形中三角函数列出等式即可求出AG的长； （2）当线段AF⊥AC时，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠FAE＝∠ACE＝31°．再根据三角函数即可求出FG的长． 【详解】解：（1）在Rt△ABE中，， 在Rt△ACE中，， 设AE＝xm，则， 解得x≈2.89m， ∴AG＝AE+EG≈2.89+0.6≈3.5m． 答：线段AG的长度约为3.5m； （2）当线段AF⊥AC时， ∵AE⊥BC， ∴∠FAE+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACE＝90°． ∴∠FAE＝∠ACE＝31°． ∴， ∴m． 答：点F与点G之间的距离约为2.1m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数公式并能灵活应用解直角三角形． 25. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 分析】（1）证明，证明即可； （2）取的中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：取的中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，三角形中位线，正切函数的应用，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $