6.5 二项式定理（题型专练）数学沪教版选择性必修第二册

6.5 二项式定理 题型1 二项式定理正用、逆用 1．化简：（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】因为， ，所以.故选：C. 2．的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】B 【解析】 . 故选：B. 3．若，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【解析】由题意，， 则.故选：A. 4．已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 【答案】C 【解析】易知的展开式中共有6项， 则乘积展开后共有项， 因此可得，解得.故选：C 题型2 求常数项 5．的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 【答案】D 【解析】的展开式中的常数项为. 故选：D 6．若展开式中含有常数项，则必为（    ） A．奇数 B．偶数 C．3的倍数 D．6的倍数 【答案】C 【解析】通项为 ，. 当展开式中有常数项时，则有 ，即 . ，则必为3的倍数.故选：C. 7．在二项式的展开式中，常数项等于（    ） A．﹣42 B．42 C．14 D．﹣14 【答案】C 【解析】二项式的展开式的通项为， 令，解得，，故选：C 8．的展开式中的常数项是（    ） A．第673项 B．第674项 C．第675项 D．第676项 【答案】D 【解析】由二项式的展开式为 ， 令，解得，此时， 所以二项式的展开式的常数项为第项.故选：D. 题型3 求第k项（系数） 9．展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 【答案】D 【解析】由题意可知：展开式中的第3项为.故选：D. 10．的展开式的第7项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的展开式的第7项为：， 则第7项的系数为：，故选：B 11．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 当，解得，所以的系数为，故选：A. 12．二项式的展开式（按的降幂排列）中的第4项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知： 的展开式的通项是 ， 因为为减函数，可知二项式的展开式按的降幂排列， 所以 的展开式的第4项是 .故选：B. 题型4 二项式系数和 13．在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【解析】由题可知：的项的二项式系数为，故选：A． 14．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】D 【解析】因为的展开式的二项式系数和为32，即，解得， 令可得的展开式中各项系数和为.故选：D. 15．若的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系数为（    ） A． B．48 C． D．80 【答案】D 【解析】二项式系数和为，解得， 所以展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为.故选D． 16．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【解析】由题可知：，通项公式为， 令，所以常数项为.故选：C 题型5 杨辉三角问题 17．观察图中的数所形成的规律，则a所表示的数是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【解析】由图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以，得．故选：B. 18．“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是（   ） A．8 B．21 C．28 D．56 【答案】C 【解析】依题意，第8行的第7个数是28．故选：C． 19．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【解析】由杨辉三角知：第1行：，， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第行，第个数为， 所以第15行第15个数是．故选：B 20．如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（   ） A．66 B．120 C．165 D．220 【答案】D 【解析】由题意可知：前10项分别为， 则 ， 所以前10项的和为220.故选：D． 题型6 整除与余数问题 21．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， 对于A，，，不能被5整除，A不是； 对于B，，，不能被5整除，B不是； 对于C，，，能被5整除，C是； 对于D，，，不能被5整除，D不是. 故选：C 22．被3除的余数为（    ） A．2 B．1 C．0 D．不确定 【答案】A 【解析】. 因为246被3整除，所以被3除的余数为.故选：A 23．已知，则除以10的余数为（    ） A．0 B．1 C．8 D．9 【答案】A 【解析】由可得， ， 则得，， 即. 故m除以10的余数为0.故选：A. 24．若，且能被17整除，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．16 D．18 【答案】B 【解析】由题意， 因为能被17整除， 而能被17整除, ∴也能被 17 整除, ∴, 即, ∴的最小值为1 .故选：B. 题型1求两个多项式乘积的特定项问题 25．展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为42.故选：B 26．若，则（   ） A．8 B． C．2 D．42 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式含的项为， 所以.故选：B 27．的展开式中的系数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】解法一：因为， 所以展开式中的系数为1； 解法二：展开式中的项为， 所以的系数为1.故选：C 28．的展开式中，的系数为（   ） A．80 B．40 C． D． 【答案】D 【解析】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项，其为， 故的系数为.故选：D 题型2 三项式系数 29．的展开式中的常数项为（    ） A．120 B．88 C．24 D．18 【答案】B 【解析】因为， 要想得到常数项，则有两种可能性： （1）5个括号都取常数项，则得到的常数项为； （2）2个括号取常数项，2个括号取，1个括号取，则得到的常数项为. 根据多项式乘多项式的规则可知展开式的常数项为. 故选：B 30．的展开式中，的系数为（    ） A．4 B．32 C．60 D．120 【答案】D 【解析】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由，得， 因此展开式中的系数为．故选：D． 速解： 由5个相乘得到，要得到含的项的系数， 需要1个提供x，2个提供y，2个提供， 则展开式中的系数为．故选：D． 31．的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】D 【解析】多项式展开式的通项为 令，可得 由展开式通项为 当时，可得所以展开式中项的系数为故选：D 32．在的展开式中，常数项为（    ） A． B．31 C． D． 【答案】C 【解析】由题意变形得， 则根据展开式通项得，代入， 则常数项为.故选：C. 题型3 系数最值问题 33．若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故.故选：A. 34．的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 【答案】D 【解析】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项.故选：D 35．的二项展开式中二项系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【解析】的二项展开式中二项系数最大为， 所以二项展开式中二项系数最大的项是和.故选：C. 36．在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在的二项展开式中，根据二项式系数的性质可知最大的二项式系数是， 则二项式系数最大的项是，故选：A. 37．若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【解析】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等，所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项，故选：C． 38．在的展开式中，的系数是________（用数字作答）． 【答案】 【解析】在中， 个因式选择，个因式选择常数即可得到含的项， 所以含的项为，所以展开式中的系数是． 39．在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 【答案】 【解析】由题意得的展开式的通项为， 而， 令，解得，不符合题意；令，解得， 所以含的项为， 所以展开式中含的项的系数为. 40．若的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a的值为______． 【答案】 【解析】， 令，得①， 令，得②， ①②相减得，则， 因为的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32， 则，解得. 41．“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前4项.记，则_____. 【答案】/ 【解析】在杨辉三角中，第行的第个数（从第行开始计数）为， ， 所以， 所以, 42．的展开式中项的系数是______． 【答案】60 【解析】将看作个因式相乘， 则得到需从个因式中先选择个因式取，有种不同的取法； 再从剩余个因式中选择个因式取，有种不同的取法， 最后从剩下的因式中取，有种不同的取法， 根据分步乘法计数原理，可得的系数为， 43．已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【答案】210 【解析】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 44．在的二项展开式中，系数最大的项是______． 【答案】 【解析】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 45．在的展开式中，的系数为（    ） A．10 B．-10 C．40 D．-40 【答案】D 【解析】通项公式， 令，得，所以的系数为， 故选：D 46．二项式的奇数项二项式系数和是64，则等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】二项式的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， ，． 故选：C． 47．在的展开式中，的幂指数是整数的项共有（   ） A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 【答案】C 【解析】的展开式的通项为， 故当时，的幂指数是整数，共5项． 故选：C 48．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 令，得 ①，再令，得 ②. 得，，所以. 故选：D. 49．的展开式中常数项为（   ） A．-15 B．15 C．-20 D．20 【答案】C 【解析】该二项式展开式通项为. 令，则，所以. 故选：C. 50．已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的所有项的系数和为（   ） A．81 B．64 C．27 D．16 【答案】A 【解析】因为展开式中只有第3项的二项式系数最大，即最大， 故，令，得展开式中的所有项的系数和. 故选：A 51．若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【解析】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.5 二项式定理 题型1 二项式定理正用、逆用 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】C 【解析】易知的展开式中共有6项， 则乘积展开后共有项， 因此可得，解得.故选：C 题型2 求常数项 5.【答案】D 6.【答案】C 7.【答案】C 8.【答案】D 【解析】由二项式的展开式为 ， 令，解得，此时， 所以二项式的展开式的常数项为第项.故选：D. 题型3 求第k项（系数） 9.【答案】D 10.【答案】B 【解析】的展开式的第7项为：， 则第7项的系数为：，故选：B 11.【答案】A 【解析】由， 当，解得，所以的系数为，故选：A. 12.【答案】B 【解析】由题意可知： 的展开式的通项是 ， 因为为减函数，可知二项式的展开式按的降幂排列， 所以 的展开式的第4项是 .故选：B. 题型4 二项式系数和 13.【答案】A 14.【答案】D 15.【答案】D 16.【答案】C 题型5 杨辉三角问题 17.【答案】B 18.【答案】C 19.【答案】B 【解析】由杨辉三角知：第1行：，， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第行，第个数为， 所以第15行第15个数是．故选：B 20.【答案】D 【解析】由题意可知：前10项分别为， 则 ， 所以前10项的和为220.故选：D． 题型6 整除与余数问题 21.【答案】C 22.【答案】A 23.【答案】A 【解析】由可得， ， 则得，， 即. 故m除以10的余数为0.故选：A. 24.【答案】B 【解析】由题意， 因为能被17整除， 而能被17整除, ∴也能被 17 整除, ∴, 即, ∴的最小值为1 .故选：B. 题型1求两个多项式乘积的特定项问题 25.【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为42.故选：B 26.【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式含的项为， 所以.故选：B 27.【答案】C 【解析】解法一：因为， 所以展开式中的系数为1； 解法二：展开式中的项为， 所以的系数为1.故选：C 28.【答案】D 【解析】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项，其为， 故的系数为.故选：D 题型2 三项式系数 29.【答案】B 【解析】因为， 要想得到常数项，则有两种可能性： （1）5个括号都取常数项，则得到的常数项为； （2）2个括号取常数项，2个括号取，1个括号取，则得到的常数项为. 根据多项式乘多项式的规则可知展开式的常数项为. 故选：B 30.【答案】D 【解析】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由，得， 因此展开式中的系数为．故选：D． 速解： 由5个相乘得到，要得到含的项的系数， 需要1个提供x，2个提供y，2个提供， 则展开式中的系数为．故选：D． 31.【答案】D 【解析】多项式展开式的通项为 令，可得 由展开式通项为 当时，可得所以展开式中项的系数为故选：D 32.【答案】C 【解析】由题意变形得， 则根据展开式通项得，代入， 则常数项为.故选：C. 题型3 系数最值问题 33.【答案】A 【解析】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故.故选：A. 34.【答案】D 【解析】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项.故选：D 35.【答案】C 【解析】的二项展开式中二项系数最大为， 所以二项展开式中二项系数最大的项是和.故选：C. 36.【答案】A 【解析】在的二项展开式中，根据二项式系数的性质可知最大的二项式系数是， 则二项式系数最大的项是，故选：A. 37.【答案】C 【解析】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等，所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项，故选：C． 38.【答案】 【解析】在中， 个因式选择，个因式选择常数即可得到含的项， 所以含的项为，所以展开式中的系数是． 39.【答案】 【解析】由题意得的展开式的通项为， 而， 令，解得，不符合题意；令，解得， 所以含的项为， 所以展开式中含的项的系数为. 40.【答案】 【解析】， 令，得①， 令，得②， ①②相减得，则， 因为的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32， 则，解得. 41.【答案】/ 【解析】在杨辉三角中，第行的第个数（从第行开始计数）为， ， 所以， 所以, 42.【答案】60 【解析】将看作个因式相乘， 则得到需从个因式中先选择个因式取，有种不同的取法； 再从剩余个因式中选择个因式取，有种不同的取法， 最后从剩下的因式中取，有种不同的取法， 根据分步乘法计数原理，可得的系数为， 43.【答案】210 【解析】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 44.【答案】 【解析】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 45.【答案】D 【解析】通项公式， 令，得，所以的系数为， 故选：D 46.【答案】C 【解析】二项式的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， ，． 故选：C． 47.【答案】C 【解析】的展开式的通项为， 故当时，的幂指数是整数，共5项． 故选：C 48.【答案】D 【解析】由， 令，得 ①，再令，得 ②. 得，，所以. 故选：D. 49.【答案】C 【解析】该二项式展开式通项为. 令，则，所以. 故选：C. 50.【答案】A 【解析】因为展开式中只有第3项的二项式系数最大，即最大， 故，令，得展开式中的所有项的系数和. 故选：A 51.【答案】A 【解析】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.5 二项式定理 题型1 二项式定理正用、逆用 1．化简：（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 3．若，则（   ） A．10 B． C．5 D． 4．已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 题型2 求常数项 5．的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 6．若展开式中含有常数项，则必为（    ） A．奇数 B．偶数 C．3的倍数 D．6的倍数 7．在二项式的展开式中，常数项等于（    ） A．﹣42 B．42 C．14 D．﹣14 8．的展开式中的常数项是（    ） A．第673项 B．第674项 C．第675项 D．第676项 题型3 求第k项（系数） 9．展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 10．的展开式的第7项的系数为（    ） A． B． C． D． 11．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 12．二项式的展开式（按的降幂排列）中的第4项是（    ） A． B． C． D． 题型4 二项式系数和 13．在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 14．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（    ） A．16 B． C．32 D． 15．若的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系数为（    ） A． B．48 C． D．80 16．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．8 B．12 C．15 D． 题型5 杨辉三角问题 17．观察图中的数所形成的规律，则a所表示的数是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 18．“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是（   ） A．8 B．21 C．28 D．56 19．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 20．如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（   ） A．66 B．120 C．165 D．220 题型6 整除与余数问题 21．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 22．被3除的余数为（    ） A．2 B．1 C．0 D．不确定 23．已知，则除以10的余数为（    ） A．0 B．1 C．8 D．9 24．若，且能被17整除，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．16 D．18 题型1求两个多项式乘积的特定项问题 25．展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 26．若，则（   ） A．8 B． C．2 D．42 27．的展开式中的系数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 28．的展开式中，的系数为（   ） A．80 B．40 C． D． 题型2 三项式系数 29．的展开式中的常数项为（    ） A．120 B．88 C．24 D．18 30．的展开式中，的系数为（    ） A．4 B．32 C．60 D．120 31．的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 32．在的展开式中，常数项为（    ） A． B．31 C． D． 题型3 系数最值问题 33．若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 34．的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 35．的二项展开式中二项系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 36．在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 37．若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 38．在的展开式中，的系数是________（用数字作答）． 39．在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 40．若的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a的值为______． 41．“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前4项.记，则_____. 42．的展开式中项的系数是______． 43．已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 44．在的二项展开式中，系数最大的项是______． 45．在的展开式中，的系数为（    ） A．10 B．-10 C．40 D．-40 46．二项式的奇数项二项式系数和是64，则等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 47．在的展开式中，的幂指数是整数的项共有（   ） A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 48．若，则（   ） A． B． C． D． 49．的展开式中常数项为（   ） A．-15 B．15 C．-20 D．20 50．已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的所有项的系数和为（   ） A．81 B．64 C．27 D．16 51．若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $