专题02 二项式定理九大题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题02 二项式定理九大题型 题型一：二项展开式的正用或逆用 题型二：二项展开式的特定的系数问题 题型三：二项乘积的特定的系数问题 题型四：三项展开式问题 题型五：求系数或二项式系数的最值 题型六：项的系数和问题 题型七：整除与余数问题 题型八：近似计算问题 题型九：杨辉三角问题 题型一：二项展开式的正用或逆用 1．化简：（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】由二项式定理写可得答案. 【详解】因为， ，所以. 故选：C. 2．（1）求证：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）法一：根据将左式整理为，即可证；法二：令，结合得，即可证； （2）将原式化为，应用二项式定理有，即可得. 【详解】（1）证法1：因为，所以，左式． 证法2：令，① 由，得，② 所以①＋②得，， 即． （2）． 3．根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项展开式直接运算即可； （2）根据二项展开式分别求的展开式，即可得结果. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为 ， 因为 ， 所以 . 4．（1）求的展开式； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由直接应用或化简后应用二项式定理展开可得； （2）逆用二项式定理化简即可. 【详解】方法一  ： . 方法二：   . （2）原式 . 题型二：二项展开式的特定的系数问题 5．的展开式的常数项为（ ） A．2430 B．4860 C．4680 D．2340 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式的展开式的通项为， 由，得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：B. 6．在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 ． 【答案】14或23 【分析】表示各二项式系数，利用等差数列公式求解即可. 【详解】由题意得，． 在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，，可得， 即， 化简得，解得或． 故答案为：14或23. 7．若的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则 ． 【答案】7 【分析】根据二项式定理和组合数的性质求解即可. 【详解】二项式的展开式中，第项的二项式系数为， 所以第4项和第5项的二项式系数为，则由题意得， 由组合数性质可知，，所以，即. 故答案为：7. 8．的展开式中常数项为 . 【答案】14 【分析】求出展开式的通项公式，进而求出常数项. 【详解】的展开式的通项公式为， 由，得，所以所求常数项为. 故答案为：14 9．在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式定理，求得二项展开式的通项，把含x的进行幂运算合并，然后令指数等于7，即可求解. 【详解】因为的通项为， 令，得， 所以的系数为． 故答案为：. 10．二项式中展开式中项的系数为 【答案】 【分析】展开式的通项公式为，计算可求结果. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，所以， 所以二项式中展开式中x项的系数为. 故答案为：. 11．若的展开式中第4项为160，则 . 【答案】 【分析】根据二项式展开的通项公式，结合题意，列出等式，化简计算，即可得答案. 【详解】的展开式中第4项为， 所以，解得. 故答案为： 12．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求出含项的系数，再代入计算. 【详解】二项式的通项为：， 当时，系数为， 故答案为：. 题型三：二项乘积的特定的系数问题 13．的展开式的常数项是（    ） A．400 B． C． D．80 【答案】D 【分析】首先原式变形为，再分别求两部分的常数项，即可求解. 【详解】原式， 其中的常数项是， 的常数项是中含项的系数， 即，所以的常数项是， 所以的展开式中常数项是. 故选：D 14．在的展开式中，的系数为（   ） A． B．14 C．56 D． 【答案】A 【分析】写出展开式的通项，结合乘法分配律求解可得. 【详解】的展开式的通项为，， 所以在的展开式中，含的项为： ， 所以的系数为. 故选：A． 15．若，则（   ） A．8 B． C．2 D．42 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式含的项为， 所以. 故选：B 16．在展开式中的系数为（    ） A．-20 B．-30 C．-40 D．-50 【答案】C 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】展开式中的系数为. 故选：C. 17．已知，则 ． 【答案】10 【分析】根据二项式定理求解即可得. 【详解】二项式展开式的通项为， 所以， 则展开式中的系数. 故答案为：. 18．展开式中含项的系数为 【答案】20 【分析】应用两项乘积的二项式展开式计算求解系数即可. 【详解】展开式的通项公式为， ， 展开式的一般项为 由，得，符合题意； 展开式的一般项为 由，得(舍去)， 所以含项的系数为. 故答案为：20. 19．的展开式中的系数为 . 【答案】15 【分析】利用二项展开式及多项式的乘法，分类讨论求解即可. 【详解】展开式的通项为， 则的展开式中项有两种情况： ①当时，展开式中含项为，系数为； ②当时，展开式中含项为，系数为. 所以的展开式中项的系数为15. 故答案为：15 题型四：三项展开式问题 20．的展开式中的系数为（   ） A．60 B．120 C．160 D．220 【答案】D 【分析】确定展开式中对应的各项指数组合，即可列出各项求解． 【详解】的展开式中含项为， 故选：D． 21．若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据二项式定理，写出指定项的系数，结合题意，建立方程，可得答案. 【详解】依题意，，所以，即． 故选：C. 22．展开式中项系数为（   ） A．32 B．64 C．96 D．128 【答案】D 【分析】写出展开式通项，令的指数为2，求出参数的值，代入通项求解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为 ， 由，可得或， 因此，展开式中项的系数为. 故选：D. 23．的展开式中，的系数为 【答案】 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 24．的展开式中，的系数为 .（用数值作答） 【答案】 【分析】根据多项式乘积的性质即可求解． 【详解】由于表示5个因式的乘积， 故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项， 故展开式中含的项为，其系数为. 故答案为：． 25．的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】分析可得，写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】因为， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得或或或， 因此，展开式中的系数为 . 故答案为：. 26．的常数项为 . 【答案】31 【分析】本题如果使用公式，计算将非常繁琐，选择使用组合数的方法，进行解答即可. 【详解】选取常数项；应将含有的项全部消掉（约分掉），观察项中的的指数比，为， 为了将指数化为0，如果选了一个，则应该选择2个， 所以所有选择的可能性有以下两种：①分别选择0个、0个、5个；②分别选择1个、2个、2个， 应用组合数可得：. 故答案为：. 题型五：求系数或二项式系数的最值 27．求的展开式中二项式系数最大的项、系数最大的项． 【答案】 【分析】利用二项式系数的性质求出二项式系数最大的项；求出展开式的通项公式，再利用不等式法求出系数最大的项. 【详解】依题意，的展开式中二项式系数最大的项为； 展开式的通项， 由，得， 即，解得， 因此，所以系数最大的项为. 28．求的展开式里系数最大的项． 【答案】， 【分析】根据二项式确定系数最大项所在位置，应用二项式展开式写出对应项. 【详解】因为，由二项式系数的性质知，中间项系数最大，即第8项和第9项系数最大． 所以，． 29．已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． (1)求； (2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项． 【答案】(1)； (2)系数绝对值最大的项和系数最大的项分别为，； 【分析】（1）根据二项式展开式的性质及已知确定展开式项数，即可得参数值； （2）写出二项式展开式通项，得系数的绝对值为，应用不等式法求参数，进而确定系数绝对值最大的项；根据展开式通项知系数最大的项应在项数为奇数的项之中，列举出各项系数，即可得. 【详解】（1）因为二项式展开式中间项的二项式系数最大，而只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共有11项，得． （2）展开式的通项是， 系数的绝对值为，若它最大，则，整理得． 因为，所以．故系数绝对值最大的项是第4项，即． 系数最大的项应在项数为奇数的项之中，即当取偶数0，2，4，6，8，10时， 相应各项系数分别为． 故系数最大的项是第5项为. 30．已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等. (1)求的值，并求二项式系数的最大值； (2)求第四项的二项式系数与系数； (3)的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值. 【答案】(1)，最大值为 (2)二项式系数：，系数： (3)第项的系数最大，最大值为 【分析】（1）首先由第三项与第九项的二项式系数相等的条件可得：，求出的值，进而求解二项式系数的最大值； （2）直接根据二项式定理的通式进行求解即可； （3）首先由，得：，进而可知时，，时，，从而确定第8项的系数最大，进而求解出系数的最大值. 【详解】（1）记展开式的第项为的二项式系数为， 因为第三项的二项式系数与第九项的二项式系数相等， 即，故 因为10是偶数，故二项式系数的最大值为 （2），故， 所以第四项的二项式系数为， 系数为. （3）因为，故 因为，令， 得： 因为是正整数，故时，； 时，. 所以第8项的系数最大，最大值为. 31．在的展开式中，求： (1)求常数项及此项的二项式系数． (2)求系数绝对值最大的项． (3)求展开式中第奇数项的系数之和． 【答案】(1)常数项为，其二项式系数为 (2) (3) 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式计算可得结果； （2）设第项的系数绝对值最大，列不等式组计算可得结果； （3）根据展开式中第奇数项的系数和等于展开式中第奇数项系数和计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式中的常数项为，其二项式系数为． （2）设第项的系数绝对值最大， 则， 即，解得， 因为，所以，故系数绝对值最大的项为． （3）因为， 所以展开式中第奇数项的系数和等于展开式中第奇数项系数和， 设， 令，得， 两式相加得，， 所以展开式中第奇数项的系数之和为. 32．若，且. (1)求的展开式中二项式系数最大的项； 【答案】(1) 【分析】（1）根据展开式的通项公式为，令，结合，即可求出的值，判断出的展开式中二项式系数最大的项，根据通项公式即可求解； 【详解】（1）展开式的通项公式为， 所以令得. 又，所以，化简整理得，解得或（舍）. 故的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为； 33．若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据二项式系数公式，结合组合数的计算公式进行求解可得，再求出展开式的通项公式求解； （2）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果. 【详解】（1）由题，可得，即， 得，又，所以， 因为展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. （2）因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 题型六：项的系数和问题 34．已知，则 ； ． 【答案】 1 81 【分析】令代入运算求得；给条件式两边同乘16，再令运算得解. 【详解】由，令，得，即； 由，两边同乘16，可得， 令，则， 所以，即 . 故答案为：1；81. 35．若，则 . 【答案】33 【分析】由赋值法分别令，即可求解. 【详解】令，得， 令，得，所以. 故答案为：33 36．已知，则 ． 【答案】 【分析】通过赋值法，将 代入已知等式，即可求出的值. 【详解】令，则， 即. 故答案为：. 37．若，则 ； ． 【答案】 【分析】令，可得，再令，即可求解；分别令和，两式相加即可求解. 【详解】令，可得， 令，可得，① ∴； 令，可得，② ①②两式相加，可得. 故答案为： 38．若，则 . 【答案】49 【分析】令得，令得，从而求出答案. 【详解】中， 令得， 中， 令得，即， 解得. 故答案为：49 39．已知的展开式中含的项为第项，设，则 . 【答案】 【分析】利用二项展开式通项结合已知条件可求出的值，然后利用赋值法可求得的值. 【详解】因为的展开式中含的项为第项， 即， 由题意可知，解得， 在等式中， 令可得， 令可得， 故. 故答案为： 40．已知，且的展开式中各项的二项式系数之和为64． (1)求； (2)求的展开式中的系数； (3)求． 【答案】(1) (2)-20 (3) 【分析】（1）基于二项式展开的基本性质，即展开式中所有二项式系数之和为2的n次幂，通过建立指数方程求解未知指数n. （2）运用二项展开式的通项公式，将目标项的次数与通项中的指数对应，确定特定项的位置并计算其系数. （3）通过赋值法构造代数等式，先利用特殊值确定常数项，再选取合适的变量代入值将所求表达式与原展开式联系起来，从而整体求出系数和的值. 【详解】（1）因为展开式中各项的二项式系数之和为64， 所以，解得. （2）的展开式的通项， 令，得， 所以展开式中的系数为． （3）令，得， 令，得， 则． 41．已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二项式定理可得，利用赋值法计算可解； （2）由赋值法可得，由二项式定理可得，计算可解. 【详解】（1）因为， 所以， 令，得， 所以 . （2）由（1）可得， 令得，即， 因为且， 令，即，得， 所以. 题型七：整除与余数问题 42．被7除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】把用二项式定理展开，进而求解即可. 【详解】由 ， 展开式中除了最后的6均能被7整除， 则被7除所得的余数为6. 故选：D 43．若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数． 【详解】令，得， 令，得， 两式相减得， 所以． 因为 能被8整除， 被8整除的余数为3， 所以被8整除的余数为3， 故选：C． 44．若是正整数，则除以8的余数是 ． 【答案】7 【分析】由二项式定理得到，即可求解. 【详解】根据二项式定理可知，， 又 所以除以8的余数为7. 故答案为： 7 45．（1）已知对任意给定的实数，都有，求值： （2）求除以的余数. （3）7本不同的书，分给甲、乙、丙3个同学.若其中一人分得2本，另一个人分得2本，第三人分得3本，共有多少种不同的分法. 【答案】（1）1；（2）；（3）630 【分析】（1）利用赋值法求解. （2）将变形为，再根据二项式定理展开运算即可. （3）先分组，再分配，平均分组问题要除以组（相等的组）的全排列. 【详解】（1）令，得， 整理得. （2） ， 所以除以的余数为. （3）第一步，将7本不同的书分成2本、2本、3本三组，方法数为种. 第二步，将这三组书分配给甲、乙、丙3名同学，方法数为种. 故共有种不同方法. 46．已知. (1)若的展开式的二项式系数和为64. （i）求的值； （ii）求展开式中的常数项. (2)证明：能被4整除. 【答案】(1)（i）；（ii）240. (2)证明见解析 【分析】（1）（i）应用赋值法计算求出参数；（ii）应用二项式通项公式计算求解常数项； （2）应用二项式展开式计算证明整除. 【详解】（1）（i）由题知，解得. （ii）展开式的第项为. 令，得，故常数项为第5项，且， 即展开式中的常数项为240. （2）因为 ， 故能被4整除. 47．已知，求证：能被20整除. 【答案】证明见解析 【分析】法一：要证能被20整除，只需证明能被5整除，且能被4整除，而这只需按二项式定理展开和；法二：由，联想到等比数列的前项和公式，，当，或时，便可将与表示成若干个正整数的和，由此证明本题结论． 【详解】法一： ． 因为对任意正整数，，，，，，，都是正整数， 所以是20的倍数，即能被20整除. 法二：因为，， 所以，． 故， 此式是20的倍数，即能被20整除. 题型八：近似计算问题 48．的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 49．求精确到0.001的近似值． 【答案】0.951 【分析】根据给定条件可得，再利用二项式定理求解. 【详解】依题意， . 所以精确到0.001的近似值为. 50．已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. (1)试求中的系数的最小值； (2)对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； (3)利用上述结果，求的近似值(精确到0.001). 【答案】(1)25 (2)30 (3)2.033 【分析】（1）根据组合数公式及二项式展开式的二项式系数计算求解； （2）应用二项式展开式及组合数计算求解； （3）应用二项式展开式结合近似值计算求解. 【详解】（1）根据二项式定理，x项的系数为 需要找到使得项系数最小的正整数m和n. 将代入， 得到 该二次函数的顶点位于 因此当或时取得最小值. 此时对应的或 计算得 故项的系数最小值为25. （2）当， 时， 项的系数为 （3）展开至三次项： 相加后得到： 计算各项： 考虑更高次项的影响，发现对小数点后第三位无影响，故近似值为2.033. 51．已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. (1)求的值； (2)求的近似值（精确到0.01）； (3)求的二项展开式中系数最大的项. 【答案】(1)7 (2)128.45 (3) 【分析】（1）根据二项式系数列方程，即可求解， （2）利用二项式展开，即可代入求解， （3）根据二项式展开式的通项，列不等式求解即可. 【详解】（1）∵展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列， ∴，整理得,解得， 又∵，∴ （2） （3） 依题意得，，即, 解之，， 又∵，∴ 故展开式中系数最大得项为 题型九：杨辉三角问题 52．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【分析】A选项，分别得到第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数，第9行的第8个数，得到A正确；B选项，第2023行中第1012个数为，第1013个数为，结合组合知识得到B正确；C选项，先得到，得到；D选项，第15个数与第16个数之比为. 【详解】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 53．如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A．124 B．185 C．220 D．330 【答案】D 【分析】由题意可知问题转化为 根据组合数性质计算即可. 【详解】根据题意可知：这些数分别为 ， 则由 逐步应用得： ， 所以这些数和为 330. 故选：D. 54．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 【答案】C 【分析】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误； 对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和， 因，故，故C正确； 对于选项D，因为 ， 则，故D错误； 故选：C. 55．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是的展开式的二项式系数，直观解释了二项式系数规律.记第行从左至右的第个数为，若被675除所得的余数为，则 ， . 【答案】 26 325 【分析】对于第一空，将表示为，然后利用二项式知识可得答案；对于第二空，由第一空结合二项式定理与杨辉三角关系可得答案. 【详解】对于第一空， 因为 所以被675除所得的余数为26； 对于第二空，由图可得第行，第个数为展开式的第项二项式系数. 则. 故答案为：；. 56．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则 ． 【答案】 【分析】由组合数的运算性质即可求解. 【详解】解：由“杨辉三角”性质，得： ． 故答案为：799 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二项式定理九大题型 题型一：二项展开式的正用或逆用 题型二：二项展开式的特定的系数问题 题型三：二项乘积的特定的系数问题 题型四：三项展开式问题 题型五：求系数或二项式系数的最值 题型六：项的系数和问题 题型七：整除与余数问题 题型八：近似计算问题 题型九：杨辉三角问题 题型一：二项展开式的正用或逆用 1．化简：（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（1）求证：； （2）化简：． 3．根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 4．（1）求的展开式； （2）化简：. 题型二：二项展开式的特定的系数问题 5．的展开式的常数项为（ ） A．2430 B．4860 C．4680 D．2340 6．在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 ． 7．若的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则 ． 8．的展开式中常数项为 . 9．在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 10．二项式中展开式中项的系数为 11．若的展开式中第4项为160，则 . 12．在的展开式中，的系数为 ． 题型三：二项乘积的特定的系数问题 13．的展开式的常数项是（    ） A．400 B． C． D．80 14．在的展开式中，的系数为（   ） A． B．14 C．56 D． 15．若，则（   ） A．8 B． C．2 D．42 16．在展开式中的系数为（    ） A．-20 B．-30 C．-40 D．-50 17．已知，则 ． 18．展开式中含项的系数为 19．的展开式中的系数为 . 题型四：三项展开式问题 20．的展开式中的系数为（   ） A．60 B．120 C．160 D．220 21．若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 22．展开式中项系数为（   ） A．32 B．64 C．96 D．128 23．的展开式中，的系数为 24．的展开式中，的系数为 .（用数值作答） 25．的展开式中的系数为 . 26．的常数项为 . 题型五：求系数或二项式系数的最值 27． 求的展开式中二项式系数最大的项、系数最大的项． 28． 求的展开式里系数最大的项． 29．已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． (1)求； (2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项． 30．已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等. (1)求的值，并求二项式系数的最大值； (2)求第四项的二项式系数与系数； (3)的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值. 31．在的展开式中，求： (1)求常数项及此项的二项式系数． (2)求系数绝对值最大的项． (3)求展开式中第奇数项的系数之和． 32．若，且. (1)求的展开式中二项式系数最大的项； 33．若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 题型六：项的系数和问题 34．已知，则 ； ． 35．若，则 . 36．已知，则 ． 37．若，则 ； ． 38．若，则 . 39．已知的展开式中含的项为第项，设，则 . 40．已知，且的展开式中各项的二项式系数之和为64． (1)求； (2)求的展开式中的系数； (3)求． 41．已知. (1)求的值； (2)求的值. 题型七：整除与余数问题 42．被7除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 43．若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 44．若是正整数，则除以8的余数是 ． 45．（1）已知对任意给定的实数，都有，求值： （2）求除以的余数. （3）7本不同的书，分给甲、乙、丙3个同学.若其中一人分得2本，另一个人分得2本，第三人分得3本，共有多少种不同的分法. 46．已知. (1)若的展开式的二项式系数和为64. （i）求的值； （ii）求展开式中的常数项. (2)证明：能被4整除. 47．已知，求证：能被20整除. 题型八：近似计算问题 48．的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 49．求精确到0.001的近似值． 50．已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. (1)试求中的系数的最小值； (2)对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； (3)利用上述结果，求的近似值(精确到0.001). 51．已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. (1)求的值； (2)求的近似值（精确到0.01）； (3)求的二项展开式中系数最大的项. 题型九：杨辉三角问题 52．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 53．如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A．124 B．185 C．220 D．330 54．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 55．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是的展开式的二项式系数，直观解释了二项式系数规律.记第行从左至右的第个数为，若被675除所得的余数为，则 ， . 56．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $