第08讲 二项式定理（知识清单+8题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二下学期数学沪教版选择性必修第二册重难点讲义与测试

第08讲 二项式定理 知识清单 知识点01：二项式定理 知识点02：二项展开式的通项 知识点03：二项式系数的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：求二项展开式的第k项 题型2：二项式的系数和 题型3：求指定项的系数 题型4：二项展开式各项的系数和 题型5：求系数最大（小）的项 题型6：奇次项与偶次项的系数和 题型7：两个二项式乘积展开式的系数问题 题型8： 整数和余数问题 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点02 二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 知识点03二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 题型1：求二项展开式的第k项 【例1-1】在的二项展开式中，第3项为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26高二下·上海·月考）的二项展开式中的常数项是______． 【例1-3】求的二项展开式中的中间项． 【变式1-1】在的二项展开式中，第四项是________． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中的常数项为_____． 【变式1-3】已知，且的二项展开式中，第二项不大于第三项．求实数x的取值范围． 题型2：二项式的系数和 【例2-1】（24-25高二下·上海·期中）二项式的展开式中所有项的系数和为______． 【例2-2】（24-25高二上·上海松江·月考）二项式的展开式中所有项的系数之和为______. 【例2-3】（25-26高三上·上海·单元测试）若，则__________. 【变式2-1】（24-25高二下·上海·期中）______． 【变式2-2】（24-25高二下·上海静安·期末）_______． 【变式2-3】在二项展开式中，令，可得到什么结论？令，，可得到什么结论？ 题型3：求指定项的系数 【例3-1】（25-26高二上·上海·期末）在的二项展开式中，项的系数是______． 【例3-2】（24-25高二下·上海·月考）在的二项展开式中，项的系数为______． 【例3-3】已知，求的值． 【变式3-1】（24-25高二下·上海闵行·期末）的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 【变式3-2】（24-25高二下·上海·期末）已知，则______. 【变式3-3】若，求的值. 题型4：二项展开式各项的系数和 【例4-1】（25-26高二上·上海·期末）若，则______． 【例4-2】（25-26高二上·上海·月考）若的二项展开式中的系数为，则各项系数的和是___________． 【例4-3】（24-25高二下·上海·月考）设且. (1)求、的值; (2)求展开式中各项系数和； 【变式4-1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知，则___________． 【变式4-2】（25-26高二上·上海奉贤·期中）已知，则________． 【变式4-3】（24-25高二上·上海·期末）已知，其中，为正整数. (1)若，求的值； (2)若，且，，依次成等差数列，求的值. 题型5：求系数最大（小）的项 【例5-1】二项式的展开式中，系数最大项的是（    ） A．第项 B．第项和第项 C．第项 D．第项 【例5-2】（25-26高二上·上海浦东新·期末）的二项展开式中系数最大的项是__________. 【例5-3】（24-25高二上·上海·期末）（1）求的二项展开式的中间项； （2）若，且，求中的最大值． 【变式5-1】（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是______． 【变式5-2】（24-25高二下·上海奉贤·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是________（结果用数字表示） 【变式5-3】（24-25高二上·上海徐汇·期末）在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 题型6：奇次项与偶次项的系数和 【例6-1】（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知，则（    ） A．128 B．2187 C．78125 D．823543 【例6-2】（24-25高二下·上海·月考）若，则______. 【例6-3】（24-25高二下·上海静安·期中）设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； 【变式6-1】（24-25高二上·上海松江·期中）已知二项式. (1)求二项展开式中的常数项； (2)记二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，求. 【变式6-2】已知对任意给定的实数x，都有．求值： (1)； (2)． 【变式6-3】（24-25高二上·上海·课后作业）设，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 题型7：两个二项式乘积展开式的系数问题 【例7-1】（24-25高二下·上海·期末）在的展开式中，的系数是__________（结果用数字表示）． 【例7-2】（24-25高二下·上海·期末）若二项式的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为，则实数__________． 【例7-3】（24-25高二上·上海·暑假作业）求的展开式中的系数. 【变式7-1】（24-25高一下·上海·期末）在的展开式中，的系数是________． 【变式7-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）在的展开式中，的系数是 _________（结果用数字表示）. 【变式7-3】（24-25高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 题型8：整数和余数问题 【例8-1】（24-25高二下·上海·月考）今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．二 B．三 C．四 D．五 【例8-2】（24-25高二下·上海·期末）除以49的余数是_____________. 【例8-3】（24-25高二上·上海·课后作业）利用的二项展开式，证明：是7的倍数． 【变式8-1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）若是正整数，则除以8的余数是___________． 【变式8-2】（24-25高二下·上海·期中）若，，则被7除所得的余数为________． 【变式8-3】（23-24高二上·上海松江·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求被6除的余数. 一、单选题 1．（24-25高二上·上海松江·月考）的二项展开式中系数最大的项是（    ）. A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 2．（24-25高二下·上海·期中）若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·暑假作业）设，它等于下式中的（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 二、填空题 5．（24-25高二下·上海黄浦·期末）设，则的值为________． 6．（24-25高二上·上海·期末）的展开式中，项的系数为______． 7．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知且且则________． 8．（25-26高三下·上海·月考）设．若在的二项展开式中，项的系数为，则__________． 9．（24-25高二下·上海·期中）若，则________． 10．（24-25高二下·上海松江·期末）若的二项展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64，则二项展开式中项的系数是__________ . 11．（24-25高二下·上海松江·月考）在的二项展开式中x项的系数为________． 12．（24-25高二下·上海徐汇·期中）若，则_________． 13．（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 14．（25-26高二下·上海·月考）已知，该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，所有二项式系数之和为______．（结果用数值表示） 15．（25-26高二上·上海·期中）设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是______． 16．（25-26高二下·上海·月考）若的二项展开式中含有常数项，则正整数的最小值为__________. 三、解答题 17．（24-25高二下·上海·期中）已知在的展开式中， (1)求常数项； (2)求二项式系数最大的项． 18．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在的二项展开式中 (1)求第5项的系数； (2)求常数项． 19．（25-26高二上·上海·期中）已知（是正整数） (1)当时，若的展开式中第3项与第8项的系数相等，求展开式中的系数； (2)设，当时，求的值． 20．（25-26高二上·上海静安·月考）（1）化简； （2）设，为正整数，若在中，唯一的最大的数是，试求的值. 21．（23-24高二下·上海浦东新·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数（）称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数. 已知：，（，） (1)若，，，求的值； (2)若，，，求证：； (3)设，求S除以2023的余数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二项式定理 知识清单 知识点01：二项式定理 知识点02：二项展开式的通项 知识点03：二项式系数的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：求二项展开式的第k项 题型2：二项式的系数和 题型3：求指定项的系数 题型4：二项展开式各项的系数和 题型5：求系数最大（小）的项 题型6：奇次项与偶次项的系数和 题型7：两个二项式乘积展开式的系数问题 题型8： 整数和余数问题 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点02 二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 知识点03二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 题型1：求二项展开式的第k项 【例1-1】在的二项展开式中，第3项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式的通项，即可得出答案. 【详解】因为，的二项展开式的通项为，， 所以，第3项为. 故选：A. 【例1-2】（25-26高二下·上海·月考）的二项展开式中的常数项是______． 【答案】 【详解】二项式的展开式通项为 令，解得， 【例1-3】求的二项展开式中的中间项． 【答案】 【分析】利用二项展开式通项可求得展开式的中间项. 【详解】解：的二项展开式中的中间项为. 【变式1-1】在的二项展开式中，第四项是________． 【答案】 【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项. 【详解】在的二项展开式中，第四项是 故答案为： 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中的常数项为_____． 【答案】 【分析】利用二项式定理直接求出展开式的常数项. 【详解】二项式的展开式的常数项为. 故答案为： 【变式1-3】已知，且的二项展开式中，第二项不大于第三项．求实数x的取值范围． 【答案】 【分析】由二项展开式的通项公式得到，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】第二项为，第三项为， 故，又，故，解得. 故实数x的取值范围是. 题型2：二项式的系数和 【例2-1】（24-25高二下·上海·期中）二项式的展开式中所有项的系数和为______． 【答案】 【分析】令即可得到所有项的系数和. 【详解】因为，所有项的系数和即为. 令，则. 故答案为：. 【例2-2】（24-25高二上·上海松江·月考）二项式的展开式中所有项的系数之和为______. 【答案】 【分析】利用赋值法求解系数之和即可. 【详解】二项式，令得. 所以二项式的展开式中所有项的系数之和为. 故答案为： 【例2-3】（25-26高三上·上海·单元测试）若，则__________. 【答案】-2 【分析】分别令，利用赋值法求解即可. 【详解】由 令，则，即； 令，则，即； . 故答案为：-2. 【变式2-1】（24-25高二下·上海·期中）______． 【答案】0 【分析】利用二项式定理展开式合并即可. 【详解】 . 故答案为：0 【变式2-2】（24-25高二下·上海静安·期末）_______． 【答案】 【分析】根据二项式定理及逆用求解即得. 【详解】 . 故答案为：. 【变式2-3】在二项展开式中，令，可得到什么结论？令，，可得到什么结论？ 【答案】答案见解析 【分析】对二项展开式中的分别赋值即可. 【详解】令，则， 即，， 因此，令，可得到的结论为：； 令，，则， 即， 又， 所以， ， 因此，令，，可得到的结论为：. 题型3：求指定项的系数 【例3-1】（25-26高二上·上海·期末）在的二项展开式中，项的系数是______． 【答案】 【详解】展开式的通项为，， 所以， 所以项的系数是. 【例3-2】（24-25高二下·上海·月考）在的二项展开式中，项的系数为______． 【答案】15 【分析】利用的展开式的通项可得答案. 【详解】设展开式的通项为， 令解得， 所以项的系数为． 故答案为：15. 【例3-3】已知，求的值． 【答案】 【分析】根据题意，由，结合二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以其展开式的通项公式为 ， 令，则. 【变式3-1】（24-25高二下·上海闵行·期末）的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故答案为： 【变式3-2】（24-25高二下·上海·期末）已知，则______. 【答案】 【分析】由，结合通项公式即可求解系数. 【详解】， 的通项公式为：， 令，得，所以. 故答案为： 【变式3-3】若，求的值. 【答案】41 【分析】利用二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理可得：，， ， 所以. 题型4：二项展开式各项的系数和 【例4-1】（25-26高二上·上海·期末）若，则______． 【答案】33 【分析】由赋值法即可求解． 【详解】令，则， 令，则， 所以． 【例4-2】（25-26高二上·上海·月考）若的二项展开式中的系数为，则各项系数的和是___________． 【答案】 【分析】由二项展开式的通项公式为，结合的系数为，求得，再令即可求得各项系数的和． 【详解】由二项展开式的通项公式为， 当时，， ，解得， 即二项式为，当时，， 则各项系数的和为． 故答案为：． 【例4-3】（24-25高二下·上海·月考）设且. (1)求、的值; (2)求展开式中各项系数和； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二项式定理可得，结合题意可得，利用赋值法令即可得结果； （2）利用赋值法令即可得结果； 【详解】（1）因为展开式的通项为，可知， 又因为，解得； 所以，令，可得. （2）由（1）可知， 令，可得， 所以展开式中各项系数和. 【变式4-1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知，则___________． 【答案】 【分析】通过赋值法，将 代入已知等式，即可求出的值. 【详解】令，则， 即. 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高二上·上海奉贤·期中）已知，则________． 【答案】 【分析】利用赋值法，先令，再令可得. 【详解】令，可得， 令，可得， 所以. 故答案为：2. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·期末）已知，其中，为正整数. (1)若，求的值； (2)若，且，，依次成等差数列，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用赋值法即可求解， （2）根据展开式的通项特征，结合等差中项可列方程求解，即可求解. 【详解】（1）时，， 令，则 （2）的展开式的通项为， 故 根据，，依次成等差数列，得 故， 解得或（舍去）， 因此 题型5：求系数最大（小）的项 【例5-1】二项式的展开式中，系数最大项的是（    ） A．第项 B．第项和第项 C．第项 D．第项 【答案】A 【分析】根据该展开式中项的系数与二项式系数的关系，结合二项式中最大系数的项，分析中间的两项即可． 【详解】由二项展开式的通项公式， 可知系数为，与二项式系数相比只是符号的区别， 二项式系数最大的项为第项和第项， 又由第项系数为， 第项系数为， 故系数最大项为第项. 故选：A. 【例5-2】（25-26高二上·上海浦东新·期末）的二项展开式中系数最大的项是__________. 【答案】或 【分析】写出展开式的通项，设第项的系数最大，采用不等式法可构造不等式组求得的值，代入通项即可求得系数最大的项. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 设展开式第项的系数最大， 则，即，解得， 又，或，展开式中系数最大的项为或. 故答案为：或. 【例5-3】（24-25高二上·上海·期末）（1）求的二项展开式的中间项； （2）若，且，求中的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二项展开式的项数确定中间项，再利用通项写出该项化简即可. （2）为的第三项的系数，列方程求出n，设第项的系数为，解不等式即可求得，则 中的最大值为. 【详解】（1）的二项展开式共有11项，所以中间项为第6项：. （2）因为， 所以，解得， 设第项的系数为，则，， ，令，解得， 可得：. 所以中的最大值为. 【变式5-1】（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是______． 【答案】 【分析】二项式展开式列出系数不等式组计算求解即可得答案. 【详解】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高二下·上海奉贤·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是________（结果用数字表示） 【答案】20412 【分析】根据二项展开式得到第项系数为，再利用二项式系数最大项的求法得出的值即可求最大项的系数. 【详解】的展开式通项为，则系数为， 设第项系数最大，则 即，解得，又，所以， 所以最大项系数为第7项，最大系数为. 故答案为：20412. 【变式5-3】（24-25高二上·上海徐汇·期末）在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，利用赋值法求得答案. （2）由二项式系数性质求出，求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】（1）当时，， 取，得，取，得， 所以. （2）由所有项的二项式系数和等于4096，得，解得， 二项式展开式的通项公式， 令展开式中系数最大的项是第项，则， 整理得，解得，而，因此， 所以展开式中系数最大的项. 题型6：奇次项与偶次项的系数和 【例6-1】（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知，则（    ） A．128 B．2187 C．78125 D．823543 【答案】D 【分析】由展开式通项公式可得系数小于0，系数大于0，由赋值法令，所求值即为. 【详解】的展开式中第项为，故系数， 即当为奇数时，系数小于0，当为偶数时，系数大于0. . 故选：D 【例6-2】（24-25高二下·上海·月考）若，则______. 【答案】 【分析】利用赋值法，分别令、，即可求解. 【详解】由题意知， 当时，①， 当时，②， ①②，得， 所以. 故答案为： 【例6-3】（24-25高二下·上海静安·期中）设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)6561 【分析】（1）令，得，根据二项展开式的通项公式可得. （2）令，得，令，得，根据平方差公式展开求解即可 【详解】（1）令， 得，解得， 所以 （2）当时， 令，得， 令，得， 即， 所以 【变式6-1】（24-25高二上·上海松江·期中）已知二项式. (1)求二项展开式中的常数项； (2)记二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，求. 【答案】(1)70 (2)256 【分析】（1）先求二项展开式的通项公式，令的指数为零即可求出常数项； （2）求出，即可求得的值. 【详解】（1）的二项展开式的通项为， 令，得，所以的二项展开式中的常数项为. （2）的二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为， 因为的二项展开式的通项为， 所以，， . 【变式6-2】已知对任意给定的实数x，都有．求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则已知的等式可改写为，令即可得解； （2）令，两式相减，即可得解. 【详解】（1）令，则，从而， ， 因此，已知的等式可改写为， 令，得；① （2）令，得，② 由①②得， 所以. 【变式6-3】（24-25高二上·上海·课后作业）设，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令即可求解； （2）令求出，再令求出，再联立方程组进行求解即可； （3）利用平方差公式，结合（2）中结果进行求解即可. 【详解】（1）在中， 令，得． （2）令，得， 令，得  ②， 两式相减，得． （3） ． 题型7：两个二项式乘积展开式的系数问题 【例7-1】（24-25高二下·上海·期末）在的展开式中，的系数是__________（结果用数字表示）． 【答案】0 【分析】根据多项式乘法展开式的原理及分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据多项式乘法展开式的原理及分步乘法计数原理和分类加法计数原理可知：有以下几种方法得到： ①从的个括号中选个，的个括号中选个； ②从的个括号中选个，的个括号中选个； ③从的个括号中选个，的个括号中选个； ④从的个括号中选个，的个括号中选个； ∴的系数为：. 故答案为：. 【例7-2】（24-25高二下·上海·期末）若二项式的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为，则实数__________． 【答案】 【分析】设，通过赋值和，即可求解. 【详解】设， 令， 令， 故， 即. 故答案为： 【例7-3】（24-25高二上·上海·暑假作业）求的展开式中的系数. 【答案】 【分析】由题意可得，根据二项式展开式的通项公式分别令、、计算即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 又， 令，得， 令，得， 令，得， 所以展开式含的项的系数为. 【变式7-1】（24-25高一下·上海·期末）在的展开式中，的系数是________． 【答案】 【分析】首先将式子展开得，再利用二项式的展开通项分别求得对应的系数，则得到问题所要求的的系数． 【详解】因为， 而，所以的系数是. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）在的展开式中，的系数是 _________（结果用数字表示）. 【答案】 【分析】由中和的系数即可求解. 【详解】中的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数是， 故答案为： 【变式7-3】（24-25高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）根据二项展开式中各项的二项式系数求出n的值，再结合展开式的通项，即可求得答案； （2）求出展开式中的常数项以及项，即可求得答案. 【详解】（1）由的二项展开式中各项的二项式系数和为64， 得， 的通项为， 二项展开式的中间项为第4项，即； （2）结合（1）可得的常数项为， 展开式中的项为， 展开式中的常数项为. 题型8：整数和余数问题 【例8-1】（24-25高二下·上海·月考）今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．二 B．三 C．四 D．五 【答案】A 【分析】结合二项式定理求除以7的余数即可. 【详解】因为， 所以可以写成，的形式. 所以除以7所得的余数为4. 故天后为星期二. 故选：A 【例8-2】（24-25高二下·上海·期末）除以49的余数是_____________. 【答案】15 【分析】将转化为，利用二项式定理展开，结合整除问题，即得答案. 【详解】由题意得 ， 由于为49的倍数，除以49 余15， 故除以49的余数是15， 故答案为：15 【例8-3】（24-25高二上·上海·课后作业）利用的二项展开式，证明：是7的倍数． 【答案】证明见解析. 【分析】求出的展开式，取即可推理判断作答. 【详解】由二项式定理，得 ， 令，得， 从而， 而当时，是整数，14是7的倍数，因此是7的倍数， 所以也一定是7的倍数. 【变式8-1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）若是正整数，则除以8的余数是___________． 【答案】7 【分析】由二项式定理得到，即可求解. 【详解】根据二项式定理可知，， 又 所以除以8的余数为7. 故答案为： 7 【变式8-2】（24-25高二下·上海·期中）若，，则被7除所得的余数为________． 【答案】 【分析】应用赋值法计算系数和，再应用二项式化简计算余数即可. 【详解】若， 令，， 只有不是7的倍数，则被7除所得的余数为6. 故答案为：6. 【变式8-3】（23-24高二上·上海松江·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求被6除的余数. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，结合二项式定理写出通项公式求； （2）由题设，结合二项式定理得，即可确定余数. 【详解】（1）由题设，则展开式通项为，， 所以. （2）由题设， 而 ， 所以， 显然，除外，其它项均可被6整除，又， 所以被6除的余数为. 一、单选题 1．（24-25高二上·上海松江·月考）的二项展开式中系数最大的项是（    ）. A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二项式系数性质求解即可. 【详解】的二项展开式中共有项， 中间第n＋1项为系数最大项. 故选：B 2．（24-25高二下·上海·期中）若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的展开式的通项，令的次数等于，求出对应的值，再代入系数结合题意即可求得实数的值. 【详解】二项式的展开式的通项为, 令，解得， 所以，解得 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·暑假作业）设，它等于下式中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的特征即可求解. 【详解】， 故选：C 4．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据二项展开式定理可得展开式中共有项，即可得的值. 【详解】易知的展开式中共有6项， 则乘积展开后共有项， 因此可得，解得. 故选：C 二、填空题 5．（24-25高二下·上海黄浦·期末）设，则的值为________． 【答案】 【分析】由二项式定理即可得解. 【详解】由二项式定理得， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·期末）的展开式中，项的系数为______． 【答案】10 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中项的系数． 【详解】的展开式的通项公式为，令，求得， 可得展开式中项的系数为. 故答案为：10. 7．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知且且则________． 【答案】 【分析】根据组合数的性质和二项式定理对原式进行化简求和. 【详解】. 所以原式. 根据二项式定理，令，则. 所以原式. 故答案为：. 8．（25-26高三下·上海·月考）设．若在的二项展开式中，项的系数为，则__________． 【答案】 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，得到，所以，解得. 9．（24-25高二下·上海·期中）若，则________． 【答案】 【分析】令可得，令可得，再由平方差公式计算可得. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以 . 故答案为： 10．（24-25高二下·上海松江·期末）若的二项展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64，则二项展开式中项的系数是__________ . 【答案】 【分析】令，求得展开式的所有项的系数之和为，再由二项式系数之和为，根据题意，列出方程，求得，进而求得展开式中项的系数. 【详解】令，可得二项式的展开式的所有项的系数之和为， 又由二项式的展开式的二项式系数之和为， 可得，即，解得，即二项式为， 则二项式的展开式中项的系数为. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海松江·月考）在的二项展开式中x项的系数为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中含x项即可. 【详解】在的展开式中含x的项为， 所以所求系数为. 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海徐汇·期中）若，则_________． 【答案】 【分析】根据二项式的展开式分别令，即可得所求. 【详解】因为， 所以令可得， 令可得， 所以. 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【答案】210 【分析】根据展开式中第6项系数最大确定的值，再通过通项公式求出常数项. 【详解】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 故答案为：210. 14．（25-26高二下·上海·月考）已知，该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，所有二项式系数之和为______．（结果用数值表示） 【答案】 【详解】因为二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则为奇数，且,解得：，所以所有二项式系数之和为 15．（25-26高二上·上海·期中）设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是______． 【答案】5 【分析】根据二项式定理对的表达式进行化简，即可求出结果. 【详解】由于， 所以， 所以, 所以. 由于 ， 所以 ， 因为. 所以被除后余数为，由，则正整数的最小值为. 故答案为：. 16．（25-26高二下·上海·月考）若的二项展开式中含有常数项，则正整数的最小值为__________. 【答案】5 【分析】写出二项展开式的通项，对其进行整理，令的指数为0，建立方程求出的最小值． 【详解】该二项式展开式的通项为， 令，则，则的最小值为5. 三、解答题 17．（24-25高二下·上海·期中）已知在的展开式中， (1)求常数项； (2)求二项式系数最大的项． 【答案】(1)-84 (2)和 【分析】（1）根据二项式展开式的通项特征，即可求解， （2）根据二项式系数的单调性，即可求解. 【详解】（1）， 令，∴常数项 （2）， ∴二项式系数最大的项和 18．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在的二项展开式中 (1)求第5项的系数； (2)求常数项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得展开式的通项为，进而求得展开式的第5项的系数； （2）由（1）展开式的通项，令，即可求得常数项. 【详解】（1）由二项式展开式的通项为：， 所以展开式的第5项的系数为. （2）由（1）展开式的通项为， 令，可得常数项为. 19．（25-26高二上·上海·期中）已知（是正整数） (1)当时，若的展开式中第3项与第8项的系数相等，求展开式中的系数； (2)设，当时，求的值． 【答案】(1)84 (2)166650 【分析】（1）根据展开式中第3项和第8项的系数相等，先求出，然后进而可求出的系数. （2）先求出的表达式，然后将代入求出结果即可. 【详解】（1）由题意知，，所以，所以， 所以，所以， 所以展开式中的系数为84. （2）由题意得，， 所以， 当时，. 20．（25-26高二上·上海静安·月考）（1）化简； （2）设，为正整数，若在中，唯一的最大的数是，试求的值. 【答案】（1）；（2）或13 【分析】（1）逆用二项式定理展开式化简即可； （2）先利用二项式展开式通项公式求得，然后判断其单调性，根据题意列不等式求解即可. 【详解】（1）原式； （2）因为二项式展开式的通项为， ， 若，则，得， 当时，；当时，；当时，， 因为在中，唯一的最大的数是，且， 所以，即，又为正整数，所以或13. 21．（23-24高二下·上海浦东新·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数（）称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数. 已知：，（，） (1)若，，，求的值； (2)若，，，求证：； (3)设，求S除以2023的余数. 【答案】(1) (2)见解析 (3)1011 【分析】（1）将展开，由题意可得，即可求出的值； （2）计算，结合即可证明. （3）先求得每项除以2023的余数，求每项除以2023的余数时，分奇偶项进行讨论，余数求和后再求除以2023的余数即可. 【详解】（1）因为，， 所以当时，， 而， 因为，，， 所以,. （2）因为，，，， 则 . 故. （3）， 又， 则， 又， 所以 ， 所以当， ， 其除以2023的余数为， 当时， ， 其除以2023的余数2022和3， 当且时， ， 其除以2023的余数为， 当时， ， 其除以2023的余数为， 除以2023的余数为除以2023的余数， 即除以2023的余数， 又 其除以2023的余数为1011. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键一是分奇偶项进行讨论，特别是偶数项时，最后两项求得结果与前面项，求得结果不同，要分开讨论；二是余数求和后要再除以2023二次求余. 1 学科网（北京）股份有限公司 $