专题4 图形的性质 -第04讲等腰三角形 2026年中考数学一轮复习

第04讲等腰三角形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.己知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是() A.2 B.2或10 C.4 D.2或4 2.在如图的房屋人字梁架中，AB=AC,点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是() D A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC 3.如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=5,线段AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,则 △BDC的周长为() E B A.21 B.14 C.13 D.9 4.如图，△ABC中，AB=BC=2,∠CBA=120°.将△ABC绕点A顺时针旋转120·得到△ADE, 点B,点C的对应点分别为点D,点E连接CE,点D恰好落在线段CE上，则CD的长为() D E A.2V3 B.4C.3V2D.6 第1页，共1页 5.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=2∠C若AB=5,BC=6,则△ABD的周长为() A.8 B.10 C.11 D.12 6.如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD⊥BC,AC=5,CD=3,则BC=() B D C A.34 B.7 C.8 D.11 7.如图，在Rt△ABC中，∠A=35,CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB 的另一个交点为点E若AB=2,则正的长为() D E B A.言π B.号π C. Dπ 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D,则图中的等腰三角形有() D A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 9.在△ABC中，∠B=∠C=(0°<x<45),AH⊥BC,垂足为H,D是线段HC上的动点（不与点 H、C重合)，将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在 第1页，共1页 边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AB,当AE的长最小时，AH2=AB·AE请对两位同学的 发现作出评判() A.小明正确，小丽错误 B.小明错误，小丽正确 C.小明、小丽都正确 D.小明、小丽都错误 10.如图，直线a//b,直线1与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上，且CA=CB若∠1=32 ，则∠2的度数为() A.32 B.58o C.74o D.75 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 11.己知等腰三角形的一边为6cm,另一边为7cm,则它的周长为 12.如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为· B 13.如图，D,E分别是△ABC边AB,AC的中点，连接BE,DE若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的 长为一 A D E 14.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D若BC=2,则AD的长度 为 第1页，共1页 15.如图①，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正 五边形ABCDE在图②中，∠ACD的度数为一， ① ② 16.正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD边上，且不与点C,D重合，当△AEF为等腰三角形时， 器的值为一 17.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=2√0，点D在边AC上，CD=3若点E在边AB上，满 足CE=BD,则AE的长是一 18.如图，在△ABC中，AB=BC=3,AC=2,点D是AC的中点，连接BD,P,Q分别是BD,BC上 的动点，连接PC,PQ,则PC+PQ的最小值为一 P B 19.如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E,EF上BC于点F若 CD=3AE,CF=6,则AC的长为· 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第1页，共1页 20.(本小题8分) 如图，∠ABE=∠BAF,CE=CF,求证：AE=BF. E B 21.（本小题8分) 如图，在△ABE中，点C,D在边BE上，CB=DE,AC=AD,求证：∠BAC=∠EAD. B D E 22.（本小题8分)】 如图，己知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O. D B C (1)求证：·ABD≌。ACE: (②)判断。B0C的形状，并说明理由. 23.（本小题8分) 己知：如图，D是△ABC内的一点，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,且BD=CD。求证：AB=AC 第1页，共1页 A D B 24.(本小题8分) 己知：如图，D是∠AOB内部一点. 求作：等腰△COE,使点C,E分别在射线OA,OB上，且底边CE经过点D A ●D 0 B 25.(本小题8分】 如图，在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=AC,沿射线BE折叠△ABC,使点A恰好落在BC的延长线 上的点D处，射线BE与腰AC交于点E. B D (1)尺规作图：作出射线BE(保留作图痕迹，不写作法) (②)在(1)所作的图形中，连接DB,若CE=22,求线段DE的长. 第1页，共1页 26.(本小题8分) 如图，在△ABC中，BA=BC,AD平分∠BAC交BC于点D D (1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ADE,使得∠ADE=∠BAD,且射线DE在线段AD左侧，交AB于点E保 留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下判断AE与CD的数量关系，并证明. 27.（本小题8分) 如图，在△ABD中，C是边BD上的一点，且AC⊥BD,AC=BC=CD。 C D (1)求证：△ABD是等腰三角形 (②)求∠BAD的度数。 28.（本小题8分)】 如图，AC和BD相交于点O,且AB//DC,OA=OB,求证：OC=OD. B 第1页，共1页 答案和解析 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】B 【解析】解：在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°， ∠BAC=(180°-∠ABC)=(180°-120)=30°， 由旋转可知∠BAD=120°， ∠CAD=90°， 由旋转得：AD=AB=2,∠ADE=120°， ·∠ADC=60°， ·∠ACD=30°， CD=2AD=2×2=4, 故选：B· 由等腰三角形的性质得∠BAC=30°；再由旋转的性质得∠CAD=90°，AD=AB=2, ∠ADE=120°，从而得∠ADC=60°，∠ACD=30°，故可得CD=2AD,从而可求出结论. 本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，掌握以上性质是解题的关键 5.【答案】C 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】D 9.【答案】C 10.【答案】C 11.【答案】19cm或20cm 【解析】解：当6cm是等腰三角形的腰时，该三角形的三边为6cm,6cm,7cm, 而6+6>7， :符合三角形的三边关系，此时该三角形的周长为6+6+7=19(cm): 当7cm是等腰三角形的腰时，该三角形的三边为6cm,7cm,7cm, 第1页，共1页 而6+7>7， ·符合三角形的三边关系，此时该三角形的周长为6+7+7=20(cm): 综上所述，该三角形的周长为19cm或20cm. 故答案为：19cm或20cm 12.【答案】100° 【解析】：AC=AE,BC=BD,÷设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°， :∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°，：∠ACB+∠A+∠B=180°， ∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°，·∠ACB+(180°-2x)+(180°-2y)=180°， 180°-(x°+y)=∠DCE,:∠ACB+360°-2(x°+y)=180°， ÷∠ACB+2∠DCE=180°，：∠DCE=40°，÷∠ACB=100°. 13.【答案】4 14.【答案】2 15.【答案】72 16.【答案】1或 【解析】当△AEF为等腰三角形时，有以下两种情况： ①当AE=AF时，如图1所示. B E C 图1 易得Rt△ABE≌Rt△ADFHL), DF=BE=克BC=DC, :点F是DC的中点， &DF=PC,瓷=15 第1页，共1页 ②当AF=EF时，如图2所示. D F B E C 图2 设BE=EC=a, 则BC=DC=AD=2a, 设DF=x,则CF=DC-DF=2a-x, 在Rt△ADF中，由勾股定理得AF2=AD2+DF2, 在Rt△CEF中，由勾股定理得EF2=C2+EC2, ÷AD2+DF2=CF2+EC2, 即2a)2+x2=(2a-x2+a2解得x=, DF=X=季FC=2a-X=学·“既=臺=分 综上，架的值为1或号 17.【答案】7或g 【解析】如图，过点A作AM⊥BC于点M,过点C作CH⊥AB于点H.:AB=AC=10, BM=BC=克×2y10=V10,÷AM=VAB2-BM7=3V10.:△ABC的面积 =AB·CH=BC·AM,÷10×CH=2W10×3V10,·CH=6,÷BH=VBC2-CH=2.如 果点E在点H的上面，当BE=CD=3时，CE=BD,·AE=AB-BE=10-3=7.如果点E在点H的 下面，：CE=CE,CH⊥EE,·HE=HE.:EH=BE-BH=3-2=1, :AE'=AH+EH=8+1=9.综上所述，AE的长是7或9故答案为7或9. 第1页，共1页