专题01 算术平方根的双重非负性（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦算术平方根双重非负性，通过四题型系统构建“定义理解-性质应用-综合迁移”的解题体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |被开方数非负性|6题|直接应用被开方数≥0构建不等式|从算术平方根定义出发，强化概念本质理解| |非负式和为0|6题|利用“非负性+和为0则各部分为0”求值|结合绝对值等非负式，培养推理意识| |被开方数互为相反数|6题|相反数性质推导被开方数为0|深化非负性与相反数概念的关联应用| |整数与小数部分|6题|估算确定整数部分，差值求小数部分|通过阅读理解题提升运算能力与模型意识|

专题01 算术平方根的双重非负性 题型一：利用被开方数非负性求字母取值范围 题型二：非负式和为0型代数式求值 题型三：被开方数互为相反数型求值 题型四：算术平方根的整数与小数部分求值 题型一：利用被开方数非负性求字母取值范围 1．在实数范围内，要使有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）列出不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内， 有意义， ∴， 解得：． 2．要使在实数范围内有意义，则x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得 ． 3．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式在实数范围内有意义的条件，二次根式的被开方数必须是非负数，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解不等式得． 4．使有意义的的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，二次根式的被开方数必须大于等于，可得 解得． 5．若有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 6．写出一个使代数式有意义的的值，则的值可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键，根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． ∴实数可以是任意大于或等于的数，例如． 题型二：非负式和为0型代数式求值 1．若与互为相反数，则________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a，b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ， ，且， ， ． 2．已知实数满足，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】先根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ，， 解得，． ∴． 3．若实数a、b满足，则___________． 【答案】0 【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性求出a、b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∴． 4．若，则______． 【答案】 【分析】利用算术平方根与绝对值的非负性，由两个非负数的和为，可得每个非负数均为，据此求出，的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 将，代入得：． 5．已知实数，满足，则_________． 【答案】 【分析】根据平方的非负性和算术平方根的非负性，两个非负数的和为时，每个非负数均为，据此得到关于，的二元一次方程组，整理即可求出所求代数式的值． 【详解】解：∵，且，， ∴， 由得， ∴． 6．若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，先求出的值，再计算，最后求的平方根即可． 【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且 ∴ ， 解得， 的平方根为． 题型三：被开方数互为相反数型求值 1．已知实数，满足 ，则 __________． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的非负性求出的值，再代入求出的值，最后计算幂得到结果． 【详解】解：根据算术平方根的非负性可得，，， 解得且， ， ， ． 2．已知，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用绝对值和算术平方根的非负性解题，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程组求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵任意实数的绝对值和算术平方根都是非负数， ∴， 又∵ ∴ 将两个方程相加，得，解得 把代入，得，解得 把代入，得 因此的值为． 3．若，则_______． 【答案】2 【分析】根据被开方数为非负数，求出的值，进而求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ，且 ， ∴， ∴. 4．已知，则的值是______． 【答案】13 【分析】根据算术平方根的意义确定的值，再代入求出，最后计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 因此． 将代入 ，得： 因此． 5．已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据非负性可得到的值，将的值代入已知式子可求得的值，从而根据平方根的定义求解的平方根． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， ， ， ， 的平方根是． 6．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 题型四：算术平方根的整数与小数部分求值 1．阅读下面的文字，解答问题． 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是可以用来表示的小数部分，再比如因为的整数部分是2，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)整数部分是___________，小数部分是___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值 (3)已知：，其中是整数，且，求的值 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】（1）估算无理数的大小即可得出整数部分和小数部分； （2）估算，的大小，确定的值，即可求解； （3）估算的大小，再求出的值即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵，即， ∴的小数部分为， ∵，即， ∴的整数部分为， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分是， ∴， ∵，x是整数，且， ∴，， ∴． 2．阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意方法，则，求整数部分和小数部分的方法，即可； （2）根据题意方法，分别求和整数部分和小数部分的方法，进行计算，即可； （3）根据题意方法，求出的取值范围，得到，的值，再进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的整数部分为：； ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∵ 其中是整数，且， ∴， ∴； ∴， ∴的相反数为：． 3．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 4．阅读材料：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 请你结合以上材料，解答下列问题： (1)的小数部分是___________，的整数部分是___________； (2)若的小数部分是，的整数部分是，求的值； (3)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) (3)17 【分析】（1）估算出的整数部分，即可求得其小数部分；估算出的整数部分，即可确定的整数部分； （2）求出的整数部分，再得到的整数数部分，即可求得m；估算出的整数部分，即可求得n，代入即可求解； （3）估算出的整数部分与小数部分，从而确定出a与b的值，进而求得的值，从而求得其平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为5，则小数部分为； ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为11； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为1，则小数部分为，即， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为10，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 5．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是__________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求，的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了无理数估算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）估算无理数的大小即可得出整数部分和小数部分； （2）估算，的大小，确定的值，即可求解； （3）估算的大小，再求出的值即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵，即， ∴的小数部分为， ∵，即， ∴的整数部分为， ∴ ； （3）解：∵ ∴， ∴的整数部分为，小数部分是， ∴， ∵，x是整数，且， ∴，， ∴， 6．阅读下面的文字，解答问题： 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用来表示的小数部分，又例如：，即的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的整数部分为a，的小数部分为b，则_______，_______； (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值； (3)若，其中x是整数，且，求． 【答案】(1)3， (2)1 (3) 【分析】此题考查了实数的混合运算、无理数的估算等知识，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据题意计算求解即可； （2）根据题意先求出a，b的值，代入求解即可； （3）求出，则，由，其中x是整数，得到，然后即可求出． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为3，即， ∵，即 ∴的小数部分为，即 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为， 即； 由可得，， ∴， ∴的小数部分为， 即； ∴． （3）解：∵， 即， ∴， ∴的整数部分为12，小数部分为， ∴， 又∵，其中x是整数，且， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 算术平方根的双重非负性 题型一：利用被开方数非负性求字母取值范围 题型二：非负式和为0型代数式求值 题型三：被开方数互为相反数型求值 题型四：算术平方根的整数与小数部分求值 题型一：利用被开方数非负性求字母取值范围 1．在实数范围内，要使有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．要使在实数范围内有意义，则x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．使有意义的的取值范围是______． 5．若有意义，则的取值范围是__________． 6．写出一个使代数式有意义的的值，则的值可以是________． 题型二：非负式和为0型代数式求值 1．若与互为相反数，则________． 2．已知实数满足，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．1 3．若实数a、b满足，则___________． 4．若，则______． 5．已知实数，满足，则_________． 6．若，则的平方根是__________． 题型三：被开方数互为相反数型求值 1．已知实数，满足 ，则 __________． 2．已知，则的值为（） A． B． C． D． 3．若，则_______． 4．已知，则的值是______． 5．已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 6．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 题型四：算术平方根的整数与小数部分求值 1．阅读下面的文字，解答问题． 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是可以用来表示的小数部分，再比如因为的整数部分是2，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)整数部分是___________，小数部分是___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值 (3)已知：，其中是整数，且，求的值 2．阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． 3．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 4．阅读材料：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 请你结合以上材料，解答下列问题： (1)的小数部分是___________，的整数部分是___________； (2)若的小数部分是，的整数部分是，求的值； (3)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 5．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是__________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求，的值． 6．阅读下面的文字，解答问题： 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用来表示的小数部分，又例如：，即的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的整数部分为a，的小数部分为b，则_______，_______； (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值； (3)若，其中x是整数，且，求． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $