精品解析：广西 南宁市第十四中学2025-2026学年度春季学期九年级自主学习测评 数 学

2025-2026学年度春季学期九年级自主学习测评 数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 2. 下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 广西南宁市青秀山是国家级旅游景区，规划保护面积1354万平方米，核心保护区面积约586万平方米，森林植物园区面积约768万平方米．将7680000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 设计如图所示的手机支架，其数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形是具有稳定性的图形 7. 如图，数轴上点N表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，如果，那么度数为（ ） A. B. C. D. 10. 若点在第二象限，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 11. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 因式分解：________． 14. 函数的图象经过点，则______． 15. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图．双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm． 16. 如图，在矩形中，，，点E在边上运动，以为直径作圆与交于点F，连接，则线段最小值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. 近年来网约车十分流行，初二某班学生对“花小猪”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 “花小猪” “滴滴” （1）直接填空：_____；_____； （2）求的值； （3）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司？请说明理由． 19. 如图，在中，完成下列问题． （1）用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 20. 南宁大桥是连接青秀区和良庆区的重要过江通道．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过55吨的车辆禁止通行．现有一辆自重7吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； （2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备． 21. 如图，在⊙中，直径与弦垂直，垂足为，连接，将△沿翻折得到△，直线与直线相交于点． （1）证明：直线与⊙相切； （2）若，求证：四边形菱形． 22. 综合与实践 问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形的研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 概念辨析】 （1）用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有________．（填序号）； 【性质探究】 （2）乐思学习小组根据定义得出“邻等对补四边形”的边、角性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，小组讨论后，针对此猜想做了以下证明：设，将绕着点A顺时针旋转度得到．请你补充解题思路完成对猜想的证明； 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件采用了如图2所示的“邻等对补四边形”结构．其中，主支架为13米，辅助支架为5米，支架夹角，工程师需要计算该零件四边形的材料用量，请你求出四边形的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接并延长至点Q，使．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点Q作y轴的垂线交y轴于点B，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）被y轴分成的四边形与的面积比为________； （3）当的边经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标； （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度春季学期九年级自主学习测评 数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵， ∴四个数中最小的数是． 2. 下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可． 【详解】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 广西南宁市青秀山是国家级旅游景区，规划保护面积1354万平方米，核心保护区面积约586万平方米，森林植物园区面积约768万平方米．将7680000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，需将写成（，n为整数）的形式来求解． 【详解】∵科学记数法的表示形式为，其中，n为整数， ∴将转化为该形式时，取，小数点向左移动了6位，即． ∴用科学记数法表示为． 4. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，画出从前面看到图形，即可． 【详解】解：它的主视图是： ， 故选：C． 5. 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，分析可知6个益智玩具中有1个七巧板，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵一共6个盒子里面有6个益智玩具，6个益智玩具中有1个七巧板， ∴从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是：， 故选：D． 6. 设计如图所示的手机支架，其数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形是具有稳定性的图形 【答案】D 【解析】 【分析】本题重点考查了三角形稳定性，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性及其应用是解题的关键．手机支架是利用了三角形的稳定性防止抖动． 【详解】解：A、手机支架设计依据的数学道理不是两点确定一条直线，A不正确； B、手机支架设计依据的数学道理不是垂线段最短，B不正确； C、手机支架设计依据的数学道理不是两点之间，线段最短，C不正确； D、手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性，D正确． 故选：D． 7. 如图，数轴上点N表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴可得点N表示的数大于3且小于4，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，点N表示的数大于3且小于4， ∵， ∴， ∴点N表示的数可能是． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 9. 如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据邻补角的定义得，再根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：根据题意知：， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故选：A． 10. 若点在第二象限，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正列出不等式组即可求解． 【详解】∵点在第二象限， ∴， 解得：， 综上，． 11. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，关于原点对称，牢记根与系数的关系是解题的关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系求出m和n，得到点坐标，再求该点关于原点对称的点． 【详解】解：方程 中，，，， ，． 点在平面直角坐标系中坐标为． 点 关于原点对称的点为， 点在平面直角坐标系中关于原点对称的点为． 故选：C． 12. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】设，，借助等腰直角三角形的几何性质，用含a，b的式子表示出点B的坐标，从而得到与b的关系，再整体代入即可求解． 【详解】解：设，， ∵和都等腰直角三角形， ∴，，轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 函数的图象经过点，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】把点代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意可把点代入函数解析式得：， 解得：； 故答案为1． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 15. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图．双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm． 【答案】68 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示过作于，过作于， 则中，， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为， 故答案：68． 16. 如图，在矩形中，，，点E在边上运动，以为直径作圆与交于点F，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查定弦定角的四点共圆求最值问题， 根据圆周角定理可知，，故，因此可推出点F在以为直径的圆上，通过点圆最值的求解方法计算即可． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，，， ∵点F在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆上，半径， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，，即， ∴，的最小值为． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 近年来网约车十分流行，初二某班学生对“花小猪”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 “花小猪” “滴滴” （1）直接填空：_____；_____； （2）求的值； （3）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司？请说明理由． 【答案】（1）6，4.5 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数，众数，平均数． （1）利用中位数、众数的定义分别计算即可求解； （2）利用平均数的定义计算即可； （3）根据平均数一样，中位数及众数的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：从扇形统计图知，“花小猪”网约车司机的收入人数最多的是6千元， 则； 从条形统计图知，“滴滴”网约车司机的收入的中位数是千元， 则； 故答案为：6；； 【小问2详解】 “滴滴”网约车司机的收入的平均数是： （千元）， 【小问3详解】 答案一：选“花小猪”网约车公司，理由如下： 两家公司月收入平均数一样，“花小猪”平均月收入中位数（6千元）、众数（6千元）高，收入水平更稳定．因为其收入的集中趋势更优，所以我选“花小猪”网约车公司． 答案二：选“滴滴”网约车公司，理由如下： 两家公司月收入平均数一样，滴滴的收入数据有高收入段（如9千元、12千元），虽然“滴滴”（中位数4千元、众数4.5千元）低，但存在收入更高的可能性，适合追求高收入潜力的司机．所以我选“滴滴”网约车公司． 19. 如图，在中，完成下列问题． （1）用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线和三角形内角和定理，熟练掌握基本作图，是解题的关键． （1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ， ∴． 20. 南宁大桥是连接青秀区和良庆区的重要过江通道．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过55吨的车辆禁止通行．现有一辆自重7吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； （2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备． 【答案】（1）一个A的质量为1.2吨，一个B质量为0.8吨 （2）该卡车一次最多可运输13套这种设备通过此大桥 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键， （1）设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可； （2）设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过55吨的车辆禁止通行”列不等式再结合m为整数求解即可． 【小问1详解】 解：设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨， 由题意得：， 解得：， 答：一个A的质量为1.2吨，一个B质量为0.8吨． 【小问2详解】 解：设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥， ∴， 解得：， 因为m为整数，所以最大整数解， 答：该卡车一次最多可运输13套这种设备通过此大桥． 21. 如图，在⊙中，直径与弦垂直，垂足为，连接，将△沿翻折得到△，直线与直线相交于点． （1）证明：直线与⊙相切； （2）若，求证：四边形菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接OC，由折叠的性质证明∥，则，由切线的判定定理即可证明结论； （2）连接OC，CB，OD，BD，由垂径定理得，再由直角三角形斜边上中线的性质得，由四边相等的四边形是菱形证明结论． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折得，，， ∴， ∴∥， ∴，即垂直直线， ∵点在圆上， ∴直线与⊙相切； （2）如图，连接OC，CB，OD，BD， 在△中，， ∴， ∵直径垂直弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查圆的证明，解题的关键是掌握切线的判定定理，菱形的判定定理． 22. 综合与实践 【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形的研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有________．（填序号）； 【性质探究】 （2）乐思学习小组根据定义得出“邻等对补四边形”的边、角性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，小组讨论后，针对此猜想做了以下证明：设，将绕着点A顺时针旋转度得到．请你补充解题思路完成对猜想的证明； 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件采用了如图2所示的“邻等对补四边形”结构．其中，主支架为13米，辅助支架为5米，支架夹角，工程师需要计算该零件四边形的材料用量，请你求出四边形的面积． 【答案】（1）①②④（2）见解析（3）平方米 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义并结合图形即可得解； （2）由题意可知，再由全等三角形的性质可得，，，再证明C，B，E三点共线，由等边对等角得出，即可得证； （3）过点A作交于F，先求出，由等腰三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，再由勾股定理计算可得，即可得解． 详解】解：（1）如图① ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； 如图② ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； 如图③ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形不是邻等对补四边形； 如图④ ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； 综上所述，是邻等对补四边形的有①②④； （2）如图所示， ∵将绕着点A顺时针旋转度得到， ∴， ∴，，， ∵四边形是“邻等对补四边形” ∴， ∴， ∴C，B，E三点共线， 在中，， ∴， 即：平分； （3）过点A作交于F，如图： ∵主支架为13米，辅助支架为5米， ∴（米）， 在中，，， ∴（米）， ∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即 解得或（不符合题意，舍去）， ∴（平方米）， 由（2）得，， ∴， ∴四边形的面积（平方米）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接并延长至点Q，使．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点Q作y轴的垂线交y轴于点B，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）被y轴分成的四边形与的面积比为________； （3）当的边经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标； （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）利用相似三角形的判定和性质进行求解； （3）求出顶点坐标，表示出相关点的坐标，假设，利用相似三角形的判定和性质进行求解； （4）分三种情况进行讨论，根据相似三角形的性质进行求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵轴，轴， ∴轴，轴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴四边形与的面积比为； 【小问3详解】 解：如图所示，顶点为， ∵， ∴抛物线最低点坐标为， ∴， ∵， ∴， 假设， 由（2）得， ∴， 即，， ∴，或， ∴或， ∴或； 【小问4详解】 解：①当经过顶点时，过点作轴，交轴于点， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得（舍去），或， ∴当点向左运动时，满足题意， ∴； ②如图所示，当点在抛物线上时，过点作轴，交轴于点， 同理，，相似比为， 此时，，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向下一直移动，直至到轴时，都符合题意， 当时， 解得，， 当时，符合题意； ③如图所示，当点在抛物线上时，点在第二象限，点在第四象限， 同②得，此时，代入抛物线解析式得， ， 解得或（舍去）， 此时，当点向右一直移动，直至到轴时，都符合题意， 当时，符合题意； 综上，当或或时，符合题意． 【点睛】重点掌握二次函数的图象和性质以及抛物线和几何图象的结合问题，掌握分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $