精品解析：广西南宁市第三十七中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷

2024-2025年春季学期九年级数学开学大作业 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第I卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 如图，水平的讲台上放置了一个圆柱形笔筒，笔筒的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 正六边形的中心角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图， ，，相交于点若，，：（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 4. 已知关于的方程的一个根为2，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(　　) . A. B. C. D. 6. 在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，若，的面积为4，则的面积是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 16 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是（　　） A. x＜﹣1 B. x＞2 C. ﹣1＜x＜2 D. x＜﹣1或x＞2 10. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点，点恰好落在边上，此时等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在一张三角形纸片中，，，，是它内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（ ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 22 12. 函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且，当时，该函数的最大值与最小值的关系式是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_____． 14. 圆锥的底面圆的半径是2，母线长是6，则圆锥的侧面积是_______（结果保留）． 15. 一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共20张．随机从箱子里摸出1张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，由此估计箱子中蓝色卡片有_______张． 16. 如图，在中，，，，是线段上的一个动点，以为直径作分别交，于点，，连接，则线段长度的最小值是_______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作出的平分线，交于点．（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）； （2）已知，，求线段的长． 19. 如图，某教室摆放了16把椅子，图中每个方框代表一把椅子，规定横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有10位老师入座．现在又有李老师和王老师需要入座，根据会议安排，李老师需要坐第二排，王老师需要坐第三排，假设这两位老师选择每一个空座位的可能性相等． （1）李老师选择座位的概率是 ； （2）请通过列表法或树状图法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率． 20. 小明在纸上画了某个反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺按如图的位置放置，点，在反比例函数图象上，点，，，都在矩形的边上．已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点的坐标． 21 某商场购进了，两种商品，若销售件商品和件商品，则可获利元；若销售件商品和件商品，则可获利元． （1）求，两种商品每件的利润； （2）已知商品的进价为元/件，目前每星期可卖出件商品，市场调查反映：如调整商品价格，每降价元，每星期可多卖出件，如何定价才能使商品的利润最大？最大利润是多少？ 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 23. 已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）判断线段、、之间的数量关系，并加以证明． （3）若，，求半径的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年春季学期九年级数学开学大作业 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第I卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 如图，水平的讲台上放置了一个圆柱形笔筒，笔筒的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图的认识，熟知三视图的判断方法是解答的关键．根据俯视图的识别方法，从上面看图形进行分析判断即可． 【详解】解：水平的讲台上放置了一个圆柱形笔筒，其俯视图是一个圆， 故选：A． 2. 正六边形的中心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形中心角定义．根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 【详解】解：∵是正六边形， ∴中心角为：， 故选：C． 3 如图， ，，相交于点若，，：（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 【答案】A 【解析】 【分析】通过证明，可得． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 4. 已知关于的方程的一个根为2，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握基础知识是解题关键．将代入方程即可求出的值． 【详解】解：已知是的一个根， ∴， 解得：． 故选：B． 5. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(　　) . A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5， 故选C. 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦是解题的关键． 6. 在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象增减性与的关系是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质，当反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，得到，解得，从而得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大， ，解得． 故选：D． 7. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：A． 8. 如图，在中，，若，的面积为4，则的面积是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，由，易证，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是（　　） A. x＜﹣1 B. x＞2 C. ﹣1＜x＜2 D. x＜﹣1或x＞2 【答案】D 【解析】 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【详解】观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞2时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方， ∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的综合应用，注意掌握图象与不等式的关系是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 10. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点，点恰好落在边上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形性质，以及三角形外角的性质，根据旋转得到，，利用等腰三角形性质求出、、根据题意算出，利用，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质，可知，，， ． ， ， 故选：B． 11. 如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（ ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 12. 函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且，当时，该函数的最大值与最小值的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合题，主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的图象与性质，根据抛物线与一元二次方程的关系求出抛物线与x轴两个交点，然后求出抛物线中参数b的值，进而利用端点来求函数的最大和最小值即可． 【详解】解：∵函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，， ∴， 又∵， ∴，则， ∴该函数的对称轴为直线， 又该函数的图象开口向上，在中， ∴当时，该函数有最小值，最小值， 当时，该函数有最大值，最大值， ∴， ∴， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解题关键．根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 14. 圆锥的底面圆的半径是2，母线长是6，则圆锥的侧面积是_______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．根据圆锥的底面圆的半径是2，母线长是6，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】解：圆锥的底面圆的半径是2，母线长是6， 则圆锥的侧面积是， 故答案为：． 15. 一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共20张．随机从箱子里摸出1张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，由此估计箱子中蓝色卡片有_______张． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由频率估计概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握由频率估计概率的方法． 根据频率估计概率，然后根据概率公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设箱子中蓝色卡片有x张，根据题意得： ， 解得， 则箱子中蓝色卡片有8张． 故答案为：8． 16. 如图，在中，，，，是线段上的一个动点，以为直径作分别交，于点，，连接，则线段长度的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，根据圆周角定理可得，由垂径定理可得，，，在中，根据含角直角三角形的性质可得，，当最小时，的值最小，当时，即的值，此时的值最小，即的值最小，根据，可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最小时，的值最小， 当时，即的值，此时的值最小，即的值最小， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识的综合，掌握圆周角定理，垂径定理，最短路径的计算方法是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查解实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先进行乘方，去绝对值运算，再进行除法，最后算加减运算即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）中， ∵，，， ∴， 则， 即，． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作出平分线，交于点．（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）； （2）已知，，求线段的长． 【答案】（1）作图见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质与角平分线的尺规作图及应用，等腰三角形的判定，解题关键是利用平行四边形对边平行且相等，结合角平分线推出等腰三角形，进而计算线段长度． （1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、．分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，作射线，交于，则就是的平分线． （2）由四边形是平行四边形，得出，且，根据平行线的性质得到．结合角平分线得，通过等量代换得出．由，可知是等腰三角形，所以．根据，将，代入，求出． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求． 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ，， ． 平分， ， ， ． ． 19. 如图，某教室摆放了16把椅子，图中每个方框代表一把椅子，规定横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有10位老师入座．现在又有李老师和王老师需要入座，根据会议安排，李老师需要坐第二排，王老师需要坐第三排，假设这两位老师选择每一个空座位的可能性相等． （1）李老师选择座位的概率是 ； （2）请通过列表法或树状图法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求简单事件的概率，列表法或树状图法求概率，关键是求出所有等可能的结果及事件发生的等可能结果； （1）李老师选择第二排空座位的所有可能结果有3种，选择座位只有1种结果，由此即可求得概率； （2）列表求出所有可能结果，两位老师刚好坐同一列的所有可能结果， 【小问1详解】 解：由题意知，李老师选择座位的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表知，所有等可能的结果共有9种，其中两位老师选择坐同一列的所有可能结果有2种，则这两位老师刚好坐在同一列的概率为； 答：这两位老师刚好坐在同一列的概率为． 20. 小明在纸上画了某个反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺按如图的位置放置，点，在反比例函数图象上，点，，，都在矩形的边上．已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）如图，过点作轴于，过点作轴于，可得，即得，设，则，，代入求出的值即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定和性质． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则， ∵点，，，都在矩形的边上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴． 21. 某商场购进了，两种商品，若销售件商品和件商品，则可获利元；若销售件商品和件商品，则可获利元． （1）求，两种商品每件的利润； （2）已知商品的进价为元/件，目前每星期可卖出件商品，市场调查反映：如调整商品价格，每降价元，每星期可多卖出件，如何定价才能使商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）元，元 （2）元，元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二次函数的应用，读懂题意并能列出等量关系是解答本题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组解答即可； （2）根据“商品利润单件利润销售数量”，列出二次函数解析式，将其化成顶点式，再结合“售价进价利润”解答即可． 【小问1详解】 解：设商品每件的利润为元，商品每件的利润为元， 根据题意得：， 解得：， 答：商品每件的利润为元，商品每件的利润为元； 【小问2详解】 解：设降价元，利润为元，根据题意得： ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时定价（元）， 答：定价为元时，利润最大，最大为元． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解； ②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴． 即的长为． 【小问2详解】 解：①在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 23. 已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）判断线段、、之间的数量关系，并加以证明． （3）若，，求的半径的长． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图：连接、，根据切线的性质得，再根据垂径定理得，则，于是证得得到，再根据切线的判定定理即可证明结论； （2）由圆周角定理得到，再利用同角的余角相等得到，加上则，进而证明可得，再整理即可解答； （3）由垂径定理可得，进而得到；由可得；再根据可得则、，进而得到即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：连接、， 是的切线， ， ，是直径， ， ， 在和中， ， ， ， 在上， 是的切线． 【小问2详解】 解：，理由如下 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 的半径的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $