山东烟台招远市（五四制）2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

绝密★启用前 2025-2026学年度第一学期期末考试 初四数学试题 说明：1. 考试时间120分钟，满分120分。 2. 考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验。 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1.抛物线的开口方向是（ ） A.向上 B． C．向下 D． 2.下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ） 3.如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是米.若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ） A. B. C. D. 4.如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．若， ∠AED＝80°，则∠COB的度数为（ ） A. 80° B. 100° C. 110° D. 120° 5.图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘.现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动。随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是（ ） A. B. C. D. 0 6.某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是6cm，∠P＝30°，则的长是（     ） A．cm B．cm C．cm D．cm 7. 如图，已知点A，点C在反比例函数y=（，）的图象上，AB⊥x轴于点B，OC交AB于点D，若CD=4OD，则△BDC与△ADO的面积比为（ ） A. B. C. D. 8.一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（CBE=α，如图①所示），此时液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图②所示.当将该正方体平放（正方形ABCD在桌面上）时，液体的深度是（ ） A.cm B.4.8cm C.cm D. 2cm 9． 如图，OA是⊙O半径，P是OA中点，Q在⊙O上从点A开始沿逆时针方向匀速运动一周停止，运动时间是t（s），线段PQ的长度是y（cm），图2是y随t变化的关系图象，则当点Q运动到使PQ⊥OA时，t的值是（ ） A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A、B.结合图象，判断下列结论:①当时，； ②是方程的一个解；③若（，），（4，）是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是0<<5.其中正确结论是（ ） A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11.若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|cosα﹣|+（﹣tan β）2＝0，则此三角形的形状是 . 12.在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移个单位后的抛物线与轴只有一个交点，则的值为 . 13.在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽 .如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了______m． 14. 小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD上的点F处， 连接CF、EF，若AB：BC=3：5，则tan∠AEF的值为 . 15.如图，在直角坐标系中放置一个边长为2的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径与x轴围成的面积为 . 16.如图，⊙O的半径是1，点P是直线上一动点，过点P作 ⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为 . 三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.） 17.计算：（1） （2） 18.已知：点P和直线m.尺规作图，不写作法，保留痕迹. 求作：以点P为直角顶点的等腰直角三角形，使它 的斜边落在直线m上，并在三角形内部作出以斜边中 点为圆心的最大的半圆. 19.某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组 织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育 处对全校学生答题成绩进行了统计，将成绩分为优秀、 良好、一般、不合格四个等级，并绘制成如下不完整的统 计图．请根据图①、②中所给的信息解答下列问题： （1） 该校共有______名学生； （2） 图②中“不合格”所对应扇形的圆心角的度数为______；并将图①补充完整； （3） 已知该市共有12000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次活动中成绩优秀． （4） 该校德育处从全校答题成绩为前四名的学生甲、乙、丙、丁中随机抽取2名参加全市现场禁毒知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出必有“丁”参加的概率． 20.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝∠AOE，AC与 OE交于点F. （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若DC//AB，DC＝2，求阴影部分的面积． 21.笔记本电脑的发展趋势是体积越来越小，重量越来越轻，功能越来越强，它在人们的办公和生活上有着巨大的贡献．如图1，小明的爸爸正在使用笔记本电脑办公，此时他的身体与地面垂直，眼睛B在笔记本“底座边沿”正上方（眼睛、身体在一条线上，与屏幕中心在一个平面内），视线与电脑屏幕垂直，垂足为屏幕中心C，其结构示意图如图2所示．已知笔记本电脑屏幕OD与笔记本电脑底座OA（笔记本电脑水平放于桌面上）长度相等，即OD=OA=22.8cm，笔记本开合角度∠AOD＝106°，求笔记本电脑屏幕中心C到小明爸爸眼睛的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 22.如图，斜坡AB长8米，按图中的直角坐标系可用y=表示，点A，B分别在x轴和y轴上.在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y=表示. （1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）； （2）请直接写出水柱离坡面AB的最大高度； （3）在斜坡上距离A点2米的点C处有一棵2.5米高的树，水柱能不能越过这棵树？请说明理由. 23．带着对山区儿童的深切关爱，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给边远山区留守 儿童．已知该商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，13≤x＜23）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件） 13 14 15 16 17 y（件） 1000 900 800 700 600 （1）求y与x的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜3元，且线上的月销量固定为300件．试问：当线下售价为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 24.图①和图②中，优弧AB所在⊙O的半径为4，AB＝4.点P为优弧AB上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′. （1） 点O到弦AB的距离是________， 当BP经过点O时，弧A′P的度数为________； （2） 当BA′与⊙O相切时，如图②，求折痕BP的长； （3） 若线段BA′与优弧AB只有一个公共点B，设∠ABP＝α，请直接写出α的取值范围． 25.已知抛物线y＝与x轴交于点A（2，0），B（4，0），与y轴交于点C，. （1）请直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，点F为线段OC上一点（不与端点重合），直线FA，FB分别交抛物线于点P、D，连接AD，PB.设△FAD面积为，△PBF面积为，若点F的坐标为（0，2），请求出的值； （3）如图2，若点P是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧，连接BC、AP，交于点M，连接PB.若，求点P的坐标； （4）如图3，在（3）的条件下，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，将线段0E绕点0逆时针旋转得到OE'，旋转角为α (0°<α<90°)，连接E'B，E'C，直接写出E'B+E'C的最小值。 2025—2026学年度第一学期期末考试 初四数学试题参考答案及评分意见 （仅供参考） 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.A 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11.直角三角形 12. 13. 1或7 14. 15.4π＋4 16. 三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.） 17.（6分）解：（1） . ...............................................3分 （2） . ................................................6分 18.（4分）解：作法不唯一 △ABP即为所要求作的等腰直角三角形，最大半圆如图所示...4分 19．（7分）解：（1）500； ...............................................1分 （2）36°，补全统计图如图； ...............................3分 （3）12000×＝3600(名)． 答：估计该市大约有3600名学生在这次活动中成绩优秀．.......................4分 （4）画树状图如图． ...........................................5分 由图中可知，共有12种等可能的结果，其中必有丁参加的结果有6种， ............................................6分 所以＝................................................7分 20. （8分）（1）证明：连接OC，...............................................1分 ∵D是的中点， ∴＝. ∴∠AOD＝∠DOC......................2分 又∵OA＝OC， ∴OE⊥AC，即∠AFE＝90°，∴∠E＋∠CAE＝90°. ∵∠CAE＝∠AOE， ∴∠E＋∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°. 即OA⊥EA..................3分 又∵OA是⊙O的半径， ∴AE是⊙O的切线． ...............................................4分 （2）解：∵DC∥AB，∴∠CDO＝∠AOD. ∵∠AOD＝∠DOC， ∴∠CDO＝∠DOC. ∴DC＝OC＝OD=2， ∴△DOC为等边三角形， ∴∠AOD＝∠DOC＝60° ..........................................6分 ∵DC＝2，∴OA＝OD＝DC＝2. 在Rt△AOE中，tan∠AOE ∴AE＝OA·tan 60°＝2................................7分 ∴S阴影＝S△AOE－S扇形AOD＝×2×2－＝ 答：阴影部分的面积为． ............................................8分 21.（8分）解：过点C作CF⊥AB，点O作OE⊥CF，垂足为点F、E.................................1分 ∴∠OEF＝∠AFE＝90°，由题意得：AB⊥OA，∴∠OAB＝90°， ∴四边形OAFE是矩形，∴EF=OA=22.8，∠EOA＝90°， ，，....................2分 ∵C为OD的中点，∴OC，......................................3分 在中，， ∴...............................................4分 ∴ ...............................................5分 ∵BC⊥OD，∴∠OCB＝90°，∴∠BCF+∠OCF＝90°， 又∵∠COE+∠OCF＝90°，∴∠BCF=∠OCE=，...............................................6分 在Rt△BCF中，， ∴ ...............................................7分 答：笔记本电脑屏幕中心C到小明爸爸眼睛的距离为cm...........................................8分 22.（8分）解：（1）当时，y=，∴点B的坐标为（0，4），∴OB=4 在Rt△AOB中，根据勾股定理得： ，即， ∴，∴AO= ，∴点A的坐标为（，0），..................................2分 把点A（，0），B（0，4）代入y=中得： 解之得：，∴抛物线的函数关系式为y=...................................3分 （2）4； .................................5分 （3）过点C作CE⊥轴，交轴于点E，延长EC交抛物线于点F， ∴∠AEC=∠AOB=90°，又∵∠EAC=∠OAB，∴△AEC∽△AOB， ∴，由题意可得：AC=2，∴， ∴AE=，CE=，∴OE=AOAE=4， ..................................6分 当时，y=，∴EF=4 ∵，∴水柱能越过这棵树（方法不唯一） ..................................8分 23.（9分）解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，∴设y＝kx+b， 将x＝13，y＝1000；x＝14，y＝900代入得：，解得：， ∴y与x的函数关系式为：y＝100x+2300（13≤x＜23）； .....................................3分 （2）设线上和线下月利润总和为w元，由题意得： ............................................4分 w＝300（x310）+y（x10） ＝300x3900+（100x+2300）（x10）＝100（x18）2+5500，............................7分 ∵，13≤x＜23，∴当时， ∴当x为18元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为5500元．...9分 24．（10分）解：（1）2（1分）；60°（2分）； ............................................3分 （2）如图，过点O作OC⊥AB于点C，OD⊥PB于点D，连接OB. .............................4分 ∵BA′与⊙O相切， ∴∠OBA′＝90°. 在Rt△OBC中，sin∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30° ∴∠ABA′＝∠OBC+∠OBA′＝30°+90°＝120°..............................5分 由折叠可得：∠ABP＝∠ABA′＝120°＝60°. ∴∠OBD＝∠ABP∠OBC＝60°-30°＝30°. ∵OD⊥BP, OD过圆心， ∴BP＝2BD................................................6分 在Rt△OBD中，cos∠OBD＝ ∴BD＝OB·cos 30°＝4， ∴BP＝2BD＝22，∴折痕BP的长为4. ..............................................7分 （3）α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°. ...............................................10分 25．（12分）解：（1）抛物线的解析式为y＝ .......................................2分 （2）设直线AP的表达式为 把点A(-2,0)，F(0,2)代入直线得：， ∴直线AP的表达式为 ∴ ，解之得：， ∴，∴点P的坐标为（2，4）， 同理可求得：点D的坐标为（-1，）， ∴...............................................5分 （3）过点P作PH//y轴，过点A作AK//y轴，分别交直线BC于点H、K，则PH//AK ∴∠PHM＝∠AKM，∠HPM＝∠KAM，∴△PMH△AMK，∴ 当时，y＝，∴点C的坐标为（0，4） 把点B(4,0)，C(0,4)代入直线得：， ∴直线BC的表达式为 设点P的坐标为（a，），则点H的坐标为（，），∴PH ∵点A的坐标为（，0），∴点K的坐标为（，），∴AK ∵，∴，∴，∴， 解之得：1， 抛物线y＝的对称轴为直线，点P在对称轴右侧 ∴，∴，∴点P的坐标为（3，）................9分 （4）. ..............................................12分 学科网（北京）股份有限公司 $