精品解析： 山东省烟台招远市（五四制）2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试 初四数学试题 说明：1． 考试时间120分钟，满分120分． 2． 考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是 A. ③①④② B. ③②①④ C. ③④①② D. ②④①③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西－西北－北－东北－东，影长由长变短，再变长，由此判断出时间先后顺序． 【详解】∵从早晨到傍晚物体影子的指向是：西－西北－北－东北－东，影长由长变短，再变长， ∴①为东北，②为东，③为西，④为西北， ∴将它们按时间先后顺序排列为③④①②． 故选C． 【点睛】本题考查平行投影，解题的关键是知道太阳光是平行光线以及太阳光下物体影子的变化规律． 2. 圆的直径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相离或相切 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，准去判断是解题的关键．先求出半径，得到圆心到直线的距离，再根据已知数据进行判断即可． 【详解】解：∵圆的直径是， ∴圆的半径是， ∵圆心与直线上某一点的距离是， ∴圆心到直线的距离， ∴该直线和圆的位置关系是相交或相切， 故答案选D． 3. 已知反比例函数，下列结论不正确的（ ） A. 若，则 B. 图象经过点 C. 图象在第二、四象限内 D. 在每一象限内，y值随x值的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，反比例函数，当时，图象位于第一、三象限，且在每一个象限，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，且在每一个象限，y随x的增大而增大．在做本题的时候可根据k值画出函数的大致图，结合图象进行分析． 【详解】解：∵反比例函数， ∴当时，， 即图象经过点，故B选项说法是正确的，但不符合题意； 由反比例函数的系数，得到反比例函数图象位于第二、四象限， 故C选项说法是正确的，但不符合题意； 由反比例函数的系数，且在每一个象限，y随x的增大而增大． 则D选项说法是正确的，但不符合题意； 所以若，则，故A选项说法是不正确的，本选项符合题意； 故选：A． 4. 如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有2个面被涂色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式的应用．直接根据题意得出恰有2个面被涂色的有12个，再利用概率公式求出答案． 【详解】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面被涂色的为棱长为2的正方体顶点处的12个小正方体； 故取得的小正方体恰有三个面被涂色的概率为． 故选：B． 5. 中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆曲线的半径，则这段圆曲线（弧）的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、弧长公式；由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理求出，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵转角为， ∴， ∵过点，B的两条切线相交于点， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：C． 6. 形状与抛物线相同，并且图象有最低点，则抛物线可能是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，根据二次函数的性质判断即可． 【详解】∵所求抛物线与抛物线的图象形状相同， ∴所求抛物线的二项式的系数为1或， 所求抛物线的图象有最低点， ∴所求抛物线的二次项系数为1， ，A正确，BCD均有抛物线的二次项系数为的式子，BCD错误， 故选：A． 7. 在中，，点是的外心，则的度数是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理的相关知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 已知点是的外心，那么、即为同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：由于点是的外心， 在的外接圆中， 、同对着弧； 由圆周角定理得：．   故选：B ． 8. 如图，电线杆的顶上有一盏高为的路灯，电线杆底部为A，身高的男孩站在与点A相距的点B处，若男孩以为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．根据，即可得到，，再根据男孩以为半径绕电线杆走一圈，即可得出他在路灯下的影子扫过的面积． 【详解】解：如图，，，， ∵， ∴， ，即 解得， ∴， ∴男孩以为半径绕电线杆走一圈，他在路灯下的影子扫过的面积为 ． 故选：B． 9. 已知是抛物线上的点，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， A、若，则，故本选项错误，不符合题意； B、当时，若，则，故本选项错误，不符合题意； C、当时，若，则，故本选项错误，不符合题意； D、若，则，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10. 如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），弦，交于点．下列结论：；当最长时，；当时，； ．其中一定正确的结论有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得，然后通过圆周角定理得出，即可判断；由等边三角形的判定与性质可判断；在上截取，以为圆心，截取交于点，证明，故有，然后通过外角性质和等腰三角形的性质即可判断；由相似三角形的判定与性质可判断． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴，故正确； 当最长时，即为直径，连接，如图， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故正确； 如图，在上截取，以为圆心，截取交于点， 同上理可证是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器__________ 台． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的应用：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，熟记相关结论即可．先画图，得出，再进一步求解即可． 【详解】解：如图所示：记与的交点为，连接， ∴ ∵ ∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台 故答案为： 12. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为_____． 【答案】（2，5） 【解析】 【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，得出顶点横坐标为2，代入函数解析式得出纵坐标ax2+bx+c＝5，由此求得顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，方程ax2+bx+c＝5的一个根是2， ∴当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝5， ∴抛物线的顶点坐标是（2，5）． 故答案为（2，5）． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，属于简单题,熟悉顶点坐标的计算方法是解决问题的关键． 13. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，再根据正切的定义计算即可． 【详解】解：由图可得：，， ∵为直径 ∴在中， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，正切定理，熟悉掌握正切的比值关系是解题的关键． 14. 如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 算出围成圆锥的扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：∵将半径为4的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面， ∴围成圆锥的弧长所对圆心角度数是 围成圆锥的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在函数和的图象上，轴，点是轴上一点，线段与轴的正半轴交于点，若的面积为，，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义以及三角形面积的计算方法是解题的关键． 设与轴交于点，过点、点分别作轴，轴，垂足分别为，反比例函数系数的几何意义可知，， ，由的面积为，，从而求出，则有，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点，过点、点分别作轴，轴，垂足分别为， ∵点、点分别在函数和的图象上， ∴反比例函数系数的几何意义可知，， ， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解． 【详解】解：连接， 的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，， 过点C作，且使， ∴， 连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点， ∵，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为5+1＝6， 故答案为：6． 三．解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，含特殊角的三角函数值的混合运算； （1）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 18. 用直尺和圆规作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积． （1）如图①，已知扇形，过点O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； （2）如图②，已知扇形，作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图，勾股定理，扇形面积等知识，解题关键熟练掌握角平分线的画法，以及线段垂直平分线的画法； （1）根据题意，作的平分线即可； （2）要使扇形的面积被这条圆弧平分，则新作圆弧围成的扇形面积等于原来扇形面积一半，即，根据扇形面积推出半径关系为，由勾股定理可证，满足半径关系，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图，作的平分线即为所求． 【小问2详解】 解：如图，作的垂直平分线交于C，以C为圆心，为半径作弧交于H，以O为圆心，为半径作弧交，分别于，，由勾股定理可证，∴，即，则即为所求． 19. 4张相同的卡片上分别写有数字、、、，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ； （2）小明设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为正数时，甲获胜：否则，乙获胜．小明设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【答案】（1） （2）游戏规则公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，用列表法或画树状图法判断游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据概率公式计算即可； （2）用画树状图法求出所有等可能的情况，进而求出甲、乙获胜的概率即可得到答案． 【小问1详解】 解：数字是负数的卡片有一张， 第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图 由树状图可知：共有12种等可能的结果，两个数的差为正数的情况有6种， ∴， ， ∵， ∴游戏规则公平． 20. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． （1）作于点C，求的长； （2）将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 【答案】（1）的长 （2）此时水面截线减少了 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【小问1详解】 解：如图1：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． 【小问2详解】 解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接， ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴， ∴， ∴此时水面截线减少了． 21. 如图1，在中，，，点P为边上一点，，过点P作，交于点Q．点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1）， （2）函数图象如图所示； 随x增大而增大，随x增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，的取值范围． 22. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到）.参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点E作于，则，，由题意可得，，，， 解求出、，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点E作于，则，，由题意可得，，，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴在，， ∴， ∴． 23. 如图，中，，，，，反比例函数，）的图象与交于点，与交于点E． （1）求m，k的值； （2）点P为反比例函数，）图象上一动点（点P在D、E之间运动，不与D、E重合），过点P作，交y轴于点M，作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数顶点式求最值是关键． （1）根据条件先求出点B坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，将D坐标代入两个函数解析式得到m、k的值． （2）延长交y轴于点Q，交于点L．先设点P的坐标为，求出，再利用三角形面积列出函数解析式，利用最值求出t和面积最大值及点P坐标即可． 【小问1详解】 解：，， , 又， ， ， ∴点, 设直线的函数表达式为， 将，代入， 得， 解之得：， ∴直线的函数表达式为， 将点代入中得：， ∴点D的坐标为, 将代入中得：． 【小问2详解】 解：延长交y轴于点Q，交于点L． ，， ， 轴， ，, ， ， ， ∴ , 设点P的坐标为，则点N的坐标为, ，，, ∴， 当时，, ∴当时，的最大面积为2，此时点P的坐标． 24. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D过D作直线DG∥BC． （1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝　 　；∠AEB＝　 　． （2）求证：DE＝CD； （3）求证：DG是⊙O的切线． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理求出，根据三角形的内心的概念，三角形内角和定理求出； （2）连接，由点是的内心，得到，，推出，根据等角对等边得到，即可得到结论； （3）连接交于，根据圆周角定理和切线的判定即可证明． 【详解】（1）连接BD， 由圆周角定理得，， ， ， 点是的内心， ，， ， 故答案为：；； （2）证明：连接， 点是的内心， ，∠BAD=∠CAD， ∵∠DBC=∠DAC， ∴， ∵∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE， ， ， ∵∠BAD=∠CAD， ∴， ， ； （3）证明：连接交于，如图， 点是的内心 平分， 即， ∴， ， ∴， ， ， 是的切线； 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解题的关键是综合运用以上知识． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是线段上不与点O、A重合的点，过点E作轴，交抛物线于点P，交于点D，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段的长度取得最大值时，请求出的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段的长度取最大值时的点D，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点，，， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移3个单位，向下平移3个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为，代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 在上截取， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末考试 初四数学试题 说明：1． 考试时间120分钟，满分120分． 2． 考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是 A. ③①④② B. ③②①④ C. ③④①② D. ②④①③ 2. 圆的直径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相离或相切 D. 相交或相切 3. 已知反比例函数，下列结论不正确的（ ） A. 若，则 B. 图象经过点 C. 图象在第二、四象限内 D. 在每一象限内，y值随x值的增大而增大 4. 如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有2个面被涂色的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆曲线的半径，则这段圆曲线（弧）的长为（ ） A. B. C. D. 6. 形状与抛物线相同，并且图象有最低点，则抛物线可能是（ ） A. B. C. D. 或 7. 在中，，点是的外心，则的度数是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，电线杆的顶上有一盏高为的路灯，电线杆底部为A，身高的男孩站在与点A相距的点B处，若男孩以为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知是抛物线上的点，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），弦，交于点．下列结论：；当最长时，；当时，； ．其中一定正确的结论有（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器__________ 台． 12. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为_____． 13. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为__． 14. 如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 _____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在函数和的图象上，轴，点是轴上一点，线段与轴的正半轴交于点，若的面积为，，则的值为______ ． 16. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是________． 三．解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 计算： （1） （2） 18. 用直尺和圆规作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积． （1）如图①，已知扇形，过点O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； （2）如图②，已知扇形，作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 19. 4张相同的卡片上分别写有数字、、、，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ； （2）小明设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为正数时，甲获胜：否则，乙获胜．小明设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 20. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． （1）作于点C，求的长； （2）将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 21. 如图1，在中，，，点P为边上一点，，过点P作，交于点Q．点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 22. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到）.参考数据：，，）． 23. 如图，中，，，，，反比例函数，）的图象与交于点，与交于点E． （1）求m，k的值； （2）点P为反比例函数，）图象上一动点（点P在D、E之间运动，不与D、E重合），过点P作，交y轴于点M，作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 24. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D过D作直线DG∥BC． （1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝　 　；∠AEB＝　 　． （2）求证：DE＝CD； （3）求证：DG是⊙O的切线． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是线段上不与点O、A重合的点，过点E作轴，交抛物线于点P，交于点D，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段的长度取得最大值时，请求出的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段的长度取最大值时的点D，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $