数学二模模拟卷03（浙江专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，则， 所以. 故选：B 2．命题的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题的否定是. 故选：A. 3．设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A. 4．设平面向量满足，，，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】， 所以. 故选：C 5．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线右支上且在轴的上方．若直线的斜率为，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由双曲线的左焦点为可知，则， 设点，则的中点， 已知线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， ，化简得①， 由直线的斜率为可得：，即②， 联立①②可得，解得或（舍去，在右支）， ，故， 把代入双曲线方程，则，解得， ，， 双曲线渐近线方程为，故D正确． 故选：D． 6．在无穷正项等差数列中，记为数列的前项和，则“”是“数列是等差数列”的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设正项等差数列的公差为， 若，则，解得， 所以， 所以， 所以数列是公差为的等差数列， 故“”是“数列是等差数列”的充分条件； 若数列是等差数列，设，（为常数）， 则， 又因为等差数列中， 所以，解得， 所以， “”是“数列是等差数列”的必要条件； 综上“”是“数列是等差数列”的充要条件， 故选：C 7．下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，是奇函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意； 对于B，，是偶函数，在上单调递减，不符合题意； 对于C，令，则，即， 所以定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数， 当时，，所以在上单调递增，符合题意； 对于D，令，则，即， 所以定义域为，关于原点对称，且， 所以为偶函数，当时，， 所以在上单调递减，不符合题意. 故选：C. 8．如图所示，水平地面上插有两根杆子和所在直线垂直于地面且米，所在直线与地面斜交.小明有一把卷尺.他在某时刻分别测出杆子和在阳光下影子的长度，称为一次操作.小明可以在白天的不同时刻进行多次操作.假设阳光为平行光，正午时分的影子长度为0.则下列说法正确的是（    ） A．为求出的长度，小明至少需要进行2次操作 B．为求出的长度，小明至少需要进行3次操作 C．为求出的长度，小明至少需要进行4次操作 D．无论进行多少次操作，小明都不能求出的长度 【答案】B 【解析】设点在地面的影子为,点在地面的影子为,杆子影子的长度为，杆子影子的长度为； 因为垂直于地面，如图以为原点，地面为平面，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则 ，设 ，其中为到地面的高度. 定义 CD 的水平分量：令（x方向水平距离），（y方向水平距离） 由题可知为3个定值，则 设点 ，则 由于阳光为平行光，所以,所以， 则 即,即， 方程中为3个未知数，需要列三个方程才可求解，则需要测量三次. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，函数，则下列结论正确的是（   ） A．若为偶函数，则 B．若为增函数，则 C．若，则不等式的解集为 D．若图象关于直线对称，则 【答案】ACD 【解析】函数的定义域为R， 对于A，由为偶函数，得，整理得， 而不恒为0，因此，即，A正确； 对于B，当时，函数是增函数，B错误； 对于C，由，得，函数，令， ，则函数的图象关于直线对称， 函数都是R上的增函数，则函数在R上单调递增， 对任意，，，则， 函数在上单调递增，不等式， 因此，解得，C正确； 对于D，由图象关于直线对称，得， 则，即，解得，此时， ，因此关于直线对称，D正确. 故选：ACD 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，所以，即，正确； 对于B，当时，，错误； 对于C，设， 因为和为上的增函数， 所以函数在上递增， 因为，所以，所以， 即，正确； 对于D，设，则， 所以函数在上单调递减， 因为，所以， 所以， 即，正确. 故选：ACD 11．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型，选项A正确； 当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球， 根据古典概率模型，选项B错误； 表示和同时发生，，当发生，即从甲袋取出一个红球放入乙袋， 此时乙口袋中装有3个红球，1个白球，， 根据条件概率公式可得，选项C正确； 综合以上分析得到 ，选项D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若，则 . 【答案】 【解析】显然，由得，不妨设，， ，解得，∴． 故答案为：． 13．计算： 【答案】 【解析】由指数幂的运算法则得：原式. 故答案为：. 14．圆柱的轴截面为，为下底面圆的直径，.点为下底面圆周上的一点，平面与上底面的交线为，若四边形为正方形，则四棱锥的体积为 . 【答案】 【解析】因为为下底面圆的直径，点为下底面圆周上的一点，所以， 因为是圆柱的轴截面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，四边形为正方形，， 则由解得， 以分别为轴，过点垂直于平面为轴建立如图所示坐标系，    则，，，， 所以，，， 因为，所以，， 设平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以四棱锥的体积， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值． (1)求的值； (2)设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？ 15．（13分） 【解析】(1)． (2)有理由认定李老师是投篮高手，理由见解析． 【解析】（1）投篮的次数的可能值为1，2，3， 1 2 3 所以， 由于，所以． （2）有理由认定李老师是投篮高手，理由如下： 投篮结束最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以， 所以，所以有理由认定李老师是投篮高手． 16．（15分） ．如图，该几何体由一个棱长为4的正方体与一个半圆柱拼接而成，圆心、分别为线段、的中点，动点在弧上滑动. (1)若点为弧的中点，求直线与平面所成角正弦值的大小； (2)若弧的长度为，求证：平面平面. 16．（15分） 【解析】 【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系： 则：，，，，， 若点为弧的中点，则 所以 平面的一个法向量为 所以 （2）若弧的长度为，由弧长得，则 ， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为 令 所以 所以平面平面 17．（15分） 已知数列中，，为数列的前n项和，满足 (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 17．（15分） 【解析】(1)证明见解析， (2) 【解析】（1）由题意，当时，，得， ， 当时，，① ，② ①-②得， 因为，所以则， ，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则 （2）由， 则， 所以的前n项和 18．（17分） 开口向右的抛物线以坐标原点为顶点，以轴为对称轴．已知到的准线的距离为．是以为直径的圆，是上一点． (1)求的标准方程； (2)经过点的直线与相切于点，当的面积取最大值时，求的纵坐标； (3)经过点的三条直线与抛物线分别交于两点在下方．若的纵坐标成等差数列，比较与的大小． 18．（17分） 【解析】(1) (2)-1或3. (3). 【解析】（1）设的方程为， 因为到的准线的距离为3，所以，所以， 所以的标准方程为. （2）由题得，设点到的距离为， 则，当且仅当时，最大，即最大， 令的纵坐标为，则，直线的方程为，即， 所以，所以或3，即的纵坐标为-1或3. （3）设直线的方程为， 则，所以， ． 其中， 所以，即. 19．（17分） 已知函数，． (1)当时， ①证明：时，； ②求函数的极值点个数； (2)两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切线”．若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求、的值． 19．（17分） 【解析】(1)①证明见解析；②一个. (2)， 【解析】（1）当时，， ①当时，则，当且仅当时，等号成立， 故函数在上为增函数， 故当时，，故原不等式得证； ②由题意可得， 所以，且. 当时，. 因为，，所以. 因为对任意恒成立， 所以当时，，所以是的唯一极值点. （2）由题意可得，则， 设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为、， 其斜率分别为、，则. 因为，所以，所以. 不妨设，则. 因为， 由“合一切线”的定义可知. 所以. 由“合一切线”的定义可知，所以. 当，，时，取，， 则，，，，符合题意. 所以，. 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D C -------------D ,0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A C D C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）投篮的次数的可能值为1，2，3， 1 2 3 所以，(3分) 由于，所以．(6分) （2）有理由认定李老师是投篮高手，理由如下： 投篮结束最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3，(7分) ，，(9分) ，，(11分) 所以， 所以，所以有理由认定李老师是投篮高手．(13分) 16．（15分） 【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系： 则：，，，，， 若点为弧的中点，则 所以 平面的一个法向量为(4分) 所以(7分) （2）若弧的长度为，由弧长得，则 ， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为 令 所以 所以平面平面(15分) 17．（15分） 【解析】（1）由题意，当时，，得， ， 当时，，① ，② ①-②得，(3分) 因为，所以则， ，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列.(7分) 所以，则(8分) （2）由， 则， 所以的前n项和 (15分) 18．（17分） 【解析】（1）设的方程为， 因为到的准线的距离为3，所以，所以， 所以的标准方程为.(5分) （2）由题得，设点到的距离为， 则，当且仅当时，最大，即最大， 令的纵坐标为，则，直线的方程为，即， 所以，所以或3，即的纵坐标为-1或3.(11分) （3）设直线的方程为， 则，所以， ． 其中， 所以，即.(17分) 19．（17分） 【解析】（1）当时，， ①当时，则，当且仅当时，等号成立， 故函数在上为增函数， 故当时，，故原不等式得证；(5分) ②由题意可得， 所以，且. 当时，. 因为，，所以. 因为对任意恒成立， 所以当时，，所以是的唯一极值点.(10分) （2）由题意可得，则， 设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为、， 其斜率分别为、，则. 因为，所以，所以. 不妨设，则. 因为， 由“合一切线”的定义可知. 所以. 由“合一切线”的定义可知，所以. 当，，时，取，， 则，，，，符合题意. 所以，.(17分) 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题的否定是（   ） A． B． C． D． 3．设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 4．设平面向量满足，，，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 5．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线右支上且在轴的上方．若直线的斜率为，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．在无穷正项等差数列中，记为数列的前项和，则“”是“数列是等差数列”的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，水平地面上插有两根杆子和所在直线垂直于地面且米，所在直线与地面斜交.小明有一把卷尺.他在某时刻分别测出杆子和在阳光下影子的长度，称为一次操作.小明可以在白天的不同时刻进行多次操作.假设阳光为平行光，正午时分的影子长度为0.则下列说法正确的是（    ） A．为求出的长度，小明至少需要进行2次操作 B．为求出的长度，小明至少需要进行3次操作 C．为求出的长度，小明至少需要进行4次操作 D．无论进行多少次操作，小明都不能求出的长度 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，函数，则下列结论正确的是（   ） A．若为偶函数，则 B．若为增函数，则 C．若，则不等式的解集为 D．若图象关于直线对称，则 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 11．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若，则 . 13．计算： 14．圆柱的轴截面为，为下底面圆的直径，.点为下底面圆周上的一点，平面与上底面的交线为，若四边形为正方形，则四棱锥的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值． (1)求的值； (2)设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？ 16．（15分） 如图，该几何体由一个棱长为4的正方体与一个半圆柱拼接而成，圆心、分别为线段、的中点，动点在弧上滑动. (1)若点为弧的中点，求直线与平面所成角的正弦值的大小； (2)若弧的长度为，求证：平面平面. 17．（15分） 已知数列中，，为数列的前n项和，满足 (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 18．（17分） 开口向右的抛物线以坐标原点为顶点，以轴为对称轴．已知到的准线的距离为．是以为直径的圆，是上一点． (1)求的标准方程； (2)经过点的直线与相切于点，当的面积取最大值时，求的纵坐标； (3)经过点的三条直线与抛物线分别交于两点在下方．若的纵坐标成等差数列，比较与的大小． 19．（17分） 已知函数，． (1)当时， ①证明：时，； ②求函数的极值点个数； (2)两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切线”．若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求、的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题的否定是（   ） A． B． C． D． 3．设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 4．设平面向量满足，，，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 5．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线右支上且在轴的上方．若直线的斜率为，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．在无穷正项等差数列中，记为数列的前项和，则“”是“数列是等差数列”的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，水平地面上插有两根杆子和所在直线垂直于地面且米，所在直线与地面斜交.小明有一把卷尺.他在某时刻分别测出杆子和在阳光下影子的长度，称为一次操作.小明可以在白天的不同时刻进行多次操作.假设阳光为平行光，正午时分的影子长度为0.则下列说法正确的是（    ） A．为求出的长度，小明至少需要进行2次操作 B．为求出的长度，小明至少需要进行3次操作 C．为求出的长度，小明至少需要进行4次操作 D．无论进行多少次操作，小明都不能求出的长度 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，函数，则下列结论正确的是（   ） A．若为偶函数，则 B．若为增函数，则 C．若，则不等式的解集为 D．若图象关于直线对称，则 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 11．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若，则 . 13．计算： 14．圆柱的轴截面为，为下底面圆的直径，.点为下底面圆周上的一点，平面与上底面的交线为，若四边形为正方形，则四棱锥的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值． (1)求的值； (2)设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？ 16．（15分） 如图，该几何体由一个棱长为4的正方体与一个半圆柱拼接而成，圆心、分别为线段、的中点，动点在弧上滑动. (1)若点为弧的中点，求直线与平面所成角正弦值的大小； (2)若弧的长度为，求证：平面平面. 17．（15分） 已知数列中，，为数列的前n项和，满足 (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 18．（17分） 开口向右的抛物线以坐标原点为顶点，以轴为对称轴．已知到的准线的距离为．是以为直径的圆，是上一点． (1)求的标准方程； (2)经过点的直线与相切于点，当的面积取最大值时，求的纵坐标； (3)经过点的三条直线与抛物线分别交于两点在下方．若的纵坐标成等差数列，比较与的大小． 19．（17分） 已知函数，． (1)当时， ①证明：时，； ②求函数的极值点个数； (2)两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切线”．若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求、的值． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $