7.2.2平行线的判定（3知识点+10题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（人教版）

7.2.2平行线的判定同步培优讲义 （3知识点+10题型+过关检测） 目录 【知识点1 平行线的判定】 1 【知识点2 平行线基本事实的推论】 2 【知识点3 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行】 2 【题型1 同位角相等两直线平行】 2 【题型2 内错角相等两直线平行】 4 【题型3 同旁内角互补两直线平行】 5 【题型4 利用平行线基本事实的推论证明两直线平行】 7 【题型5 在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行】 8 【题型6 添加辅助线证平行】 10 【题型7 补全推理过程】 13 【题型8 有关平行线判定的开放问题】 16 【题型9 平行线判定在生活中的应用】 17 【题型10 平行线判定的综合应用】 19 【知识点1 平行线的判定】 判定方法 文字语言 符号语言 图示 判定 方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行. 如果∠1 = ∠2,那么a∥b. 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行. 如果那么a∥b. 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 如果 那么 【知识点2 平行线基本事实的推论】 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示：若a∥b，b∥c，则a∥c。 关键说明：该推论无需借助角的关系，直接由平行的传递性判定，适用于多条直线平行的判定；前提是“同一条直线”，且三条直线在同一平面内。 【知识点3 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行】 文字表述：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。 符号表示：若a⊥c，b⊥c，则a∥b。 关键说明：① 前提是“同一平面内”（异面直线不适用）；② 可由“同位角相等”推导得出（两条直线垂直于同一直线，同位角均为90°，相等，故两直线平行）。 03 题型•汇总 【题型1 同位角相等两直线平行】 【典例1】．我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：如图， 由作法知，，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 跟随训练1-1．如图所示，以下条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定方法；根据同位角相等，两直线平行即可判断 ． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 跟随训练1-2．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 【题型2 内错角相等两直线平行】 【典例2】．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 跟随训练2-1．如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：与是内错角，且， 要使，则， 故选：A． 跟随训练2-2．如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是__________________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据和是内错角可直接得出结论． 【详解】解：， 和是内错角， ． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，解决本题的关键掌握内错角相等，两直线平行． 【题型3 同旁内角互补两直线平行】 【典例3】．若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、不能推出，不符合题意； B、不能推出，不符合题意； C、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； D、不能推出，不符合题意； 故选：C． 跟随训练3-1．汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，某时刻雨刮器的位置如图①所示，其示意图如图②所示，，此时的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，理解平行线的判定定理是解答关键． 根据同旁内角互补，两直线平行来求解． 【详解】解：， ， 依据是同旁内角互补，两直线平行． 故选：D． 跟随训练3-2．如图，，，与平行吗？为什么？ 【答案】与平行，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定．根据同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：与平行，理由： ∵，， ∴， ∴． 【题型4 利用平行线基本事实的推论证明两直线平行】 【典例4】．若直线，，则的依据是______． 【答案】如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行公理推论即可求解，掌握平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：若直线，，则的依据是如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， 故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 跟随训练4-1．如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，根据平行线的定义和平行公理的推论，进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故模型中与平行的棱共有3条； 故选C． 跟随训练4-2．如图，若，， 则与的位置关系是______ 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 【题型5 在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行】 【典例5】．若，，则与的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查直线之间的垂直关系，需考虑直线是否在同一平面内． 【详解】解：，， 当直线在同一平面内时，垂直于同一直线的两直线平行，即， 当直线不在同一平面内时，a与c不一定平行， 因此，与的关系是不确定的． 故选：D． 跟随训练5-1．如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【答案】B 【分析】本题是平行线判定在实质中的应用． 根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可作出判断． 【详解】解：亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和，则、都垂直于同一直线，则，这样做的道理是垂直于同一条直线的两条直线平行． 故选：B． 跟随训练5-2．下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定等知识，平移的性质，平行线的判定，垂直的定义逐步判断各情境即可． 【详解】解∶①如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ②如图， 根据三角板的特征知∶， 无法得出， ∴不能说明，故作法不正确． ③如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ④如图， 根据平移的性质知∶ ， ∴，故作法正确； 故选∶B． 【题型6 添加辅助线证平行】 【典例6】．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键； 过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的夹角为，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 跟随训练6-1．如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 跟随训练6-2．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点作，利用平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过顶点作， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：D． 【题型7 补全推理过程】 【典例7】．如图，直线被直线所截．请将下面的说理过程补充完整． (1)（已知）， （   ）． (2)_______________（已知）， （内错角相等，两直线平行）． (3)（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)2；3 (3)2；4 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，进行判定即可； （2）根据内错角相等，两直线平行，进行判定即可； （3）同旁内角互补，两直线平行，进行判定即可． 【详解】（1）证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． （2）证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）． （3）证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 跟随训练7-1．如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 【答案】(1)；；同位角相等，两直线平行 (2)；；同位角相等，两直线平行 (3)； 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （3）根据，进行解答即可． 【详解】（1）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （3），（已知） （等量代换）． 跟随训练7-2．如图，已知，则．请你完成下面的填空： 因为（已知）， 所以（________）， 所以________________（________）． 又因为（________）， 所以（________）， 所以（________）， 所以________________（ ）． 【答案】等量代换；；；同位角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；等式性质；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键． 由已知条件以及等量代换可得，再根据同位角相等、两直线平行即可证得；根据对顶角相等、等量代换、等式的性质可得，最后根据同旁内角互补，两直线平行即可证得． 【详解】解：因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（等式性质）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 【题型8 有关平行线判定的开放问题】 【典例8】．如图，写出一个使的条件：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线的判定方法通常有三种：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．选定一个判定方法，根据这个判定方法的条件补充角之间的关系即可． 【详解】解：， (同位角相等，两直线平行)． 故答案为： （答案不唯一）． 跟随训练8-1．如图，点在的延长线上，请添加一个的条件能判断，你添加的条件是：___________． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，涉及内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行等知识，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：当时， 由内错角相等，两直线平行，即可得到； 当时， 由同位角相等，两直线平行，即可得到； 当时， 由同旁内角互补，两直线平行，即可得到； 故答案为：或或（答案不唯一） 跟随训练8-2．如图，点D在上，任意添加一个条件，使得，则这个条件可以是________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可以添加条件为：，答案不唯一． 故答案为：． 【题型9 平行线判定在生活中的应用】 【典例9】．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，若是直角，如果能度量出______是直角，那么就可以判断两条直轨平行． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定方法． 根据同旁内角互补，两直线平行作答即可． 【详解】解：若是直角，如果能度量是直角，那么就可以判断两条直轨平行， 故答案为：. 跟随训练9-1．剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是___________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线平行即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 跟随训练9-2．如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 【题型10 平行线判定的综合应用】 【典例10】．已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 【答案】(1)；，见解析 (2)或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度运算，平行线的判定，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用四边形内角和为360度以及进行列式化简，再把数值代入，进行计算，即可作答． 运用角平分线的定义，得出，，再由得，则，故，即可作答． （2）结合当点在射线上运动，直线、相交于点，进行分类讨论，且逐个情况作图，运用角的和差关系进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：如图中， 在四边形中，， ∵， ， ，， ∴， 则 ． ，理由如下： 如图中，连接． 平分，平分． ，， 由得 ， 则， ， ． （2）解：依题意，设，． 如图中，则有， 则，， 则， ， 如图中， 依题意，， ， ， ， 如图中， 依题意，，， 两式相加可得， ， 综上所述，或或 跟随训练10-1．【知识回顾】 如图1，直线与直线被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角与的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有和这样位置关系的角称作一组“内外错角”． 【探究发现】 当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系． （1）当和满足何种数量关系时能使得？请说明理由． 【深入探究】 如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线的上方，和是一组“内外错角”， 和的角平分线所在的直线，相交于点O，设，． （2）请用含，的代数式表示的大小； （3）如图3，若与交于点Q，请直接写出当，满足何种数量关系时，是直角三角形． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的有关计算及角关系探究等；掌握平行线的判定，能熟练利用角平分线的定义进行求解是解题的关键． （1）由补角的性质得，由平行线的判定方法，即可求解； （2）由角平分线的定义得，，由，即可求解； （3）当时，即可求解． 【详解】解：（1）； 理由如下：， ， ； （2）平分， 平分， ， ， ， ； （3）当时，为直角三角形， ； ， ， 为直角三角形． 跟随训练10-2．如图，点A、B在直线上，点C、D在直线上，射线、交于点E（点E在直线的同侧），．（不可使用三角形内角和定理） (1)求证：； (2)如图2，在与的内部有一点F，连接、，与相交于点K，若，，求和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，此时绕点A以每秒的速度逆时针旋转得到，绕点B以每秒的速度顺时针旋转（旋转中，的形状和大小不发生改变），当的边落在射线上时立刻绕点A顺时针以原速旋转，当边落在射线上时，两个三角形同时停止旋转．设运动时间为t（单位：秒），请直接写出边与的其中一条边平行时t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论及列一元一次方程求解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作，所以，又，则，从而得，进而即可得解； （）作，则，，得出，由（）得，，所以，则，从而求解； （）先根据已知条件过点E作，求得的度数，再将代入得出相关角度的度数，由绕点A逆时针旋转至与重合后再顺时针旋转，绕点B顺时针旋转，得出逆时针旋转角的范围是，顺时针旋转角的范围是，此时分情况讨论：①当时，此时为逆时针旋转，②当时，此时为逆时针旋转，③当时，此时为顺时针旋转，④当时，此时为顺时针旋转，根据不同的情况作出对应的辅助线，结合平行线的性质得出相关角度的表达式，列方程求解t的值即可． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由：如图，作， ∴，， ∴ ， 由（）得，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：如图，过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， 即为的角平分线，为的角平分线， ∴由（2）， ∵绕点A逆时针旋转至与重合后再顺时针旋转，绕点B顺时针旋转， ∴逆时针旋转角的范围是，顺时针旋转角的范围是， 此时分以下情况讨论： ①如图，当时，此时为逆时针旋转， 则有， ∴设，则， ∴，解得； ②如图，当时，此时为逆时针旋转， 延长交于点D，过点作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； ③如图，当时，此时为顺时针旋转， 同理，延长交于点D，过点作， ∴， ∵逆时针旋转角超过， ∴到旋转的时间为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； ④如图，当时，此时为顺时针旋转， ∴， ∵逆时针旋转角超过， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 综上所述，t的值为． 【点睛】 04 过关•检测 1．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A.∵， ∴； B. ∵， ∴； C. ∵， ∴， 无法得出； D.∵， ∴； 【点睛】注意掌握“三线八角”模型和平行线的判定定理． 2．如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】C 【详解】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 解：和是直线和被第三条线所截形成的同位角，且淇淇是利用了得到平行的， ∴他的证明中判断平行的依据是“同位角相等，两直线平行”． 故选：C． 3．如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，则两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、、是同位角，根据同位角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； B、、是内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； C、、是同位角，两个同位角的和为，无法判断两直线的关系，故本选项符合题意； D、、是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．如图，已知四边形纸片，按如图所示的折纸方法（点在上）得到两条折痕与，则下列不能作为判断与平行的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定．由折叠的性质求得，，即，，根据平行线的判定定理即可判断． 【详解】解：由折叠的性质知，， ∵，， ∴，，即，， ∵， ∴(同位角相等，两直线平行)，故选项A不符合题意； ∵， ∴(同旁内角互补，两直线平行)，故选项B不符合题意； ∵，， ∴(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)，故选项C不符合题意； ∴不能作为判断与平行的依据是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， 故选：D． 5．小红同学从作业本上撕下一条上、下边线分别为，的纸条，为了判断线段，是否平行，她采取了以下四种不同的折叠方式，折痕均为，通过测量相关角度来判断，则不一定能判断线段的是（    ） A．如图1，展开后测得 B．如图2，测得 C．如图3，展开后测得 D．如图4，展开后测得 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行，能够得到，不符合题意； B、，根据同位角相等，两直线平行，能够得到，不符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，能够得到，不符合题意； D、，无法得出，符合题意； 故选：D． 6．如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，内错角相等两直线平行，明确内错角的定义是解题的关键． 根据内错角相等两直线平行，确定是的内错角即可． 【详解】由图可知，是的内错角， 若，则． 故答案为：C． 7．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．图是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围得如下数据：，，，，，垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据 可判断模型位置是否达标（只填序号）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定条件进行求解即可，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 8．如图所示，，那么图形中的平行线有___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等，两直线平行这一判定方法是解题的关键． 根据已知角相等的条件，利用内错角相等，两直线平行的判定定理，分别判断两组直线的平行关系． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：． 9．如图，添加一个条件：____________________，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：（答案不唯一）． 10．如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有_____．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理对条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不能判定，不符合题意； ④∵，∴，符合题意； 所以，可以判定的有①②④， 故答案为：①②④． 11．将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当______ 时，． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论． 如图①，当时，；如图②，当时，，得出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，当时，； 如图②，当时，， ∵， ∴， 即当时，， ∴当的度数为或时，， 故答案为：或． 12．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；其中能判断直线的有______．（写出所有正确条件的序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可． 【详解】①若，无法判断； ②若，则； ③若，无法判断； ④若则； ⑤若，无法判断； 故答案为：②④ 13．如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 求出，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， 理由：平分，， ， ， ， ． 14．完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【答案】90  90  4  同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，最后根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， ， 即． ，且， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 15．如图，在中，，，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定. 根据垂直的定义得到， 根据得到，由可知，即，根据同位角相等两直线平行作答即可. 【详解】证明：∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 16．如图，已知点在直线上，射线平分，过E点作，G为射线上一点，连接，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了垂直的定义，平行线的判定，角度的和差． （1）根据垂直的定义可得，从而得到，再由，即可解答； （2）根据角平分线的定义以及，可得，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． （2）解：，理由如下： 因为平分， 所以． 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． 17．阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可 【详解】解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.2平行线的判定同步培优讲义 （3知识点+10题型+过关检测） 目录 【知识点1 平行线的判定】 1 【知识点2 平行线基本事实的推论】 2 【知识点3 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行】 2 【题型1 同位角相等两直线平行】 2 【题型2 内错角相等两直线平行】 3 【题型3 同旁内角互补两直线平行】 3 【题型4 利用平行线基本事实的推论证明两直线平行】 4 【题型5 在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行】 5 【题型6 添加辅助线证平行】 6 【题型7 补全推理过程】 6 【题型8 有关平行线判定的开放问题】 8 【题型9 平行线判定在生活中的应用】 8 【题型10 平行线判定的综合应用】 9 【知识点1 平行线的判定】 判定方法 文字语言 符号语言 图示 判定 方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行. 如果∠1 = ∠2,那么a∥b. 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行. 如果那么a∥b. 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 如果 那么 【知识点2 平行线基本事实的推论】 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示：若a∥b，b∥c，则a∥c。 关键说明：该推论无需借助角的关系，直接由平行的传递性判定，适用于多条直线平行的判定；前提是“同一条直线”，且三条直线在同一平面内。 【知识点3 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行】 文字表述：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。 符号表示：若a⊥c，b⊥c，则a∥b。 关键说明：① 前提是“同一平面内”（异面直线不适用）；② 可由“同位角相等”推导得出（两条直线垂直于同一直线，同位角均为90°，相等，故两直线平行）。 03 题型•汇总 【题型1 同位角相等两直线平行】 【典例1】．我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 跟随训练1-1．如图所示，以下条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【题型2 内错角相等两直线平行】 【典例2】．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是__________________． 【题型3 同旁内角互补两直线平行】 【典例3】．若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，某时刻雨刮器的位置如图①所示，其示意图如图②所示，，此时的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 跟随训练3-2．如图，，，与平行吗？为什么？ 【题型4 利用平行线基本事实的推论证明两直线平行】 【典例4】．若直线，，则的依据是______． 跟随训练4-1．如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 跟随训练4-2．如图，若，， 则与的位置关系是______ 【题型5 在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行】 【典例5】．若，，则与的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 跟随训练5-1．如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 跟随训练5-2．下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【题型6 添加辅助线证平行】 【典例6】．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为______． 跟随训练6-1．如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    跟随训练6-2．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【题型7 补全推理过程】 【典例7】．如图，直线被直线所截．请将下面的说理过程补充完整． (1)（已知）， （   ）． (2)_______________（已知）， （内错角相等，两直线平行）． (3)（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 跟随训练7-1．如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 跟随训练7-2．如图，已知，则．请你完成下面的填空： 因为（已知）， 所以（________）， 所以________________（________）． 又因为（________）， 所以（________）， 所以（________）， 所以________________（ ）． 【题型8 有关平行线判定的开放问题】 【典例8】．如图，写出一个使的条件：__________． 跟随训练8-1．如图，点在的延长线上，请添加一个的条件能判断，你添加的条件是：___________． 跟随训练8-2．如图，点D在上，任意添加一个条件，使得，则这个条件可以是________________． 【题型9 平行线判定在生活中的应用】 【典例9】．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，若是直角，如果能度量出______是直角，那么就可以判断两条直轨平行． 跟随训练9-1．剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是___________． 跟随训练9-2．如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【题型10 平行线判定的综合应用】 【典例10】．已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 跟随训练10-1．【知识回顾】 如图1，直线与直线被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角与的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有和这样位置关系的角称作一组“内外错角”． 【探究发现】 当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系． （1）当和满足何种数量关系时能使得？请说明理由． 【深入探究】 如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线的上方，和是一组“内外错角”， 和的角平分线所在的直线，相交于点O，设，． （2）请用含，的代数式表示的大小； （3）如图3，若与交于点Q，请直接写出当，满足何种数量关系时，是直角三角形． 跟随训练10-2．如图，点A、B在直线上，点C、D在直线上，射线、交于点E（点E在直线的同侧），．（不可使用三角形内角和定理） (1)求证：； (2)如图2，在与的内部有一点F，连接、，与相交于点K，若，，求和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，此时绕点A以每秒的速度逆时针旋转得到，绕点B以每秒的速度顺时针旋转（旋转中，的形状和大小不发生改变），当的边落在射线上时立刻绕点A顺时针以原速旋转，当边落在射线上时，两个三角形同时停止旋转．设运动时间为t（单位：秒），请直接写出边与的其中一条边平行时t的值． 04 过关•检测 1．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 3．如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知四边形纸片，按如图所示的折纸方法（点在上）得到两条折痕与，则下列不能作为判断与平行的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 5．小红同学从作业本上撕下一条上、下边线分别为，的纸条，为了判断线段，是否平行，她采取了以下四种不同的折叠方式，折痕均为，通过测量相关角度来判断，则不一定能判断线段的是（    ） A．如图1，展开后测得 B．如图2，测得 C．如图3，展开后测得 D．如图4，展开后测得 6．如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 7．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．图是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围得如下数据：，，，，，垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据 可判断模型位置是否达标（只填序号）． A． B． C． D． 8．如图所示，，那么图形中的平行线有___________． 9．如图，添加一个条件：____________________，使得． 10．如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有_____．（填序号） 11．将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当______ 时，． 12．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；其中能判断直线的有______．（写出所有正确条件的序号） 13．如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 14．完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 15．如图，在中，，，．求证： ． 16．如图，已知点在直线上，射线平分，过E点作，G为射线上一点，连接，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 17．阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $