专题02平行线期中复习讲义(13大题型+题型突破) 2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题02平行线期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.知道平面内两直线的位置关系：相交、平行（不重合） 2.掌握平行公理及推论： 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 平行具有传递性（若a∥b，b∥c，则a∥c） 3.牢记平行线的判定（由角→线）： 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 4.牢记平行线的性质（由线→角）： 两直线平行 ⇒ 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 5.会用直尺、三角板画平行线，能规范书写简单几何推理的理论依据 1.能规范画出已知直线的平行线（直尺 + 三角板作图）。 2.能在复杂图形中快速识别同位角、内错角、同旁内角，并运用判定 / 性质解决角度问题。 3.能综合运用平行线判定 + 性质完成简单的几何推理与计算。 4.能规范书写 “∵…∴…（依据）” 的几何证明格式，为后续几何证明打基础。 1.必拿分点： 平面内两直线位置关系、平行公理及推论的概念辨析（选择题） 平行线判定 / 性质的基础角度计算（填空题） 2.提分关键： 熟练解决 “判定 + 性质” 综合的角度计算题（解答题核心考点） 能规范完成平行线相关的简单证明题（期中难点） 3.衔接铺垫： 熟练识别三线八角，为后续更复杂的平行线综合题做好准备。 题型01 平面内两直线的位置关系 题型02 .用直尺.三角板画平行线 题型03 平行公理及推论的应用 题型04 同位角相等,两直线平行 题型05 内错角相等,两直线平行 题型06 同旁内角互补,两直线平行 题型07 同平面,垂直同直线的两直线平行 题型08 平行线的性质 题型09 根据平行线的判定与性质求角度 题型10 根据平行线的性质求角的度数 题型11 根据平行线判定与性质证明 题型12 根据平行线性质探究角的关系 题型13 平行线性质的应用 解答题(6题) 知识点01:平行线的基础概念 1.平面内两直线的位置关系 不重合的两条直线，在同一平面内只有两种位置关系：相交、平行 平行定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作 a∥b 拓展：立体图形中（如长方体），平行的棱是指不相交也不异面的棱（了解即可） 2.平行公理 内容：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 注意：必须是 “直线外一点”，若点在直线上则无法作平行线（与直线重合） 3.平行公理的推论（传递性） 内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 符号语言：若 a∥b，b∥c，则 a∥c 作用：用于间接证明两直线平行 4.平行线的画法 工具：直尺 + 三角板 步骤：一 “落”（三角板一边落在已知直线上）→ 二 “靠”（直尺靠紧三角板另一边）→ 三 “移”（沿直尺移动三角板）→ 四 “画”（沿三角板原边画直线） 知识点02:平行线的判定(由角线) 核心：通过角的数量关系，判断直线的位置关系（期中必考） · 同位角相等 ⇒ 两直线平行 · 内错角相等 ⇒ 两直线平行 · 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 · 拓展：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 知识点03:平行线的性质(由线角) 核心：已知直线平行，推导角的数量关系（期中必考，与判定互为逆命题） · 两直线平行 ⇒ 同位角相等 · 两直线平行 ⇒ 内错角相等 · 两直线平行 ⇒ 同旁内角互补 知识点04:期中应试核心 1.必背：判定与性质的 3 组核心结论（可逆推） 2.高频考法：利用判定 / 性质进行角度计算与简单推理 3易错提醒：判定是 “由角推线”，性质是 “由线推角”，不可混淆 题型01:平面内两直线的位置关系 【典例】在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【跟踪专练1】在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为________． 【跟踪专练2】有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线的平行线有无数条； ④与同一条直线相交的两条直线一定也相交． 其中正确的有______．（只填序号） 【跟踪专练3】有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 题型02:用直尺.三角板画平行线 【典例】如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【跟踪专练1】下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有______（填序号）． 【跟踪专练2】画一画． (1)过点画射线的平行线．再过点画射线的垂线． (2)画出平行四边形底边上的高． 【跟踪专练3.】如图，在三角形中，P是边上一点．过点P分别画，的平行线． 题型03:平行公理及推论的应用 【典例】如图，在平面内过点作已知直线的平行线，可作的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【跟踪专练1】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是________________ 【跟踪专练2】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【跟踪专练3】已知在同一平面内，有三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则直线a与直线c之间的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．平行或相交 题型04:同位角相等.两直线平行 【典例】如图，由，则可得出（    ） A． B． C．且 D． 【跟踪专练1】如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件_________，使得．（只写一个） 【跟踪专练2】如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则__________时，． 【跟踪专练3】如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 题型05:内错角相等,两直线平行 【典例】如图，要使，必须使______（写出你认为正确的一个条件即可）． 【跟踪专练1】下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝___________．    【跟踪专练3】如图所示，点在的延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 题型06:同旁内角互补,两直线平行 【典例】在铺设栅栏时，要求栅栏是互相平行的．如图，已知，要判断两条栅栏是否平行，需要再度量图中标出的哪个角（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，当___________度时，． 【跟踪专练2】将一副三角板按如图放置，则下列结论： ①； ②如果，则有； ③如果，则有； ④如果，必有． 其中正确的有________．（请填写所有正确的序号） 【跟踪专练3】下列各图中，能判定的是（    ） A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 题型07:同平面.垂直同直线的两直线平行 【典例】在同一平面内，如果，，则a__________c． 【跟踪专练1】将一副三角尺按如图所示的方式放置在直线上，则与的位置关系是__________，其根据是___________． 【跟踪专练2】在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【跟踪专练3】在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 题型08:平行线的性质 【典例】如图，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，小明想到过点P作，量出直线a与的夹角为，则两条直线a，b所夹的锐角为________． 【跟踪专练1】如图所示，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，则________度． 【跟踪专练3】如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　） A．∵，∴（内错角相等，两直线平行） B．∵，∴（两直线平行，内错角相等） C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补） D．∵，∴（两直线平行，同位角相等） 题型09:根据平行线判定与性质求角度 【典例】如图，点，分别在和上，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点、在线段上，点在线段上，连接、、，若，，，则__________度． 【跟踪专练2】如图，直线，，，则____． 【跟踪专练3】如图，点在的延长线上，，交于点，且，，，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型10:根据平行线的性质求角的度数 【典例】如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图， ，，则_______． 【跟踪专练2】如图，已知，于点E，点G在直线上，且位于直线的右侧．若，，则的度数是______． 【跟踪专练3】如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 题型11:根据平行线判定与性质证明 【典例】如图，若，图中与相等的角有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】国家倡导绿色出行，小明的爸爸给他买了一辆单车．图①是该品牌单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为________度时，．    【跟踪专练2】如图，在四边形中，平分交于点，连接，点为上方一点，连接，点分别是延长线上的点，已知．下列结论：①与为内错角；②；③；④平分．其中所有正确结论的序号为_________． 【跟踪专练3】如图，下列结论中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型12:根据平行线性质探究角的关系 【典例】汽车灯如图是某汽车前照灯纵剖面，从位于点O的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，则________． 【跟踪专练2】如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有_____． 【跟踪专练3】如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 题型13:平行线性质的应用 【典例】汽车经过两次拐弯后仍按原来的方向前进，这两次拐弯的方向和角度可能是（　　） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次右拐 【跟踪专练1】如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 【跟踪专练2】某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则_______度． 【跟踪专练3】如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 2．如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 3．如图，，交于点，如果，，，那么和的位置关系怎样？的度数是多少？请说明理由（注明推理过程）． 4．已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 5．如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 6．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02平行线期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.知道平面内两直线的位置关系：相交、平行（不重合） 2.掌握平行公理及推论： 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 平行具有传递性（若a∥b，b∥c，则a∥c） 3.牢记平行线的判定（由角→线）： 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 4.牢记平行线的性质（由线→角）： 两直线平行 ⇒ 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 5.会用直尺、三角板画平行线，能规范书写简单几何推理的理论依据 1.能规范画出已知直线的平行线（直尺 + 三角板作图）。 2.能在复杂图形中快速识别同位角、内错角、同旁内角，并运用判定 / 性质解决角度问题。 3.能综合运用平行线判定 + 性质完成简单的几何推理与计算。 4.能规范书写 “∵…∴…（依据）” 的几何证明格式，为后续几何证明打基础。 1.必拿分点： 平面内两直线位置关系、平行公理及推论的概念辨析（选择题） 平行线判定 / 性质的基础角度计算（填空题） 2.提分关键： 熟练解决 “判定 + 性质” 综合的角度计算题（解答题核心考点） 能规范完成平行线相关的简单证明题（期中难点） 3.衔接铺垫： 熟练识别三线八角，为后续更复杂的平行线综合题做好准备。 题型01 平面内两直线的位置关系 题型02 .用直尺.三角板画平行线 题型03 平行公理及推论的应用 题型04 同位角相等,两直线平行 题型05 内错角相等,两直线平行 题型06 同旁内角互补,两直线平行 题型07 同平面,垂直同直线的两直线平行 题型08 平行线的性质 题型09 根据平行线的判定与性质求角度 题型10 根据平行线的性质求角的度数 题型11 根据平行线判定与性质证明 题型12 根据平行线性质探究角的关系 题型13 平行线性质的应用 解答题(6题) 知识点01:平行线的基础概念 1.平面内两直线的位置关系 不重合的两条直线，在同一平面内只有两种位置关系：相交、平行 平行定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作 a∥b 拓展：立体图形中（如长方体），平行的棱是指不相交也不异面的棱（了解即可） 2.平行公理 内容：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 注意：必须是 “直线外一点”，若点在直线上则无法作平行线（与直线重合） 3.平行公理的推论（传递性） 内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 符号语言：若 a∥b，b∥c，则 a∥c 作用：用于间接证明两直线平行 4.平行线的画法 工具：直尺 + 三角板 步骤：一 “落”（三角板一边落在已知直线上）→ 二 “靠”（直尺靠紧三角板另一边）→ 三 “移”（沿直尺移动三角板）→ 四 “画”（沿三角板原边画直线） 知识点02:平行线的判定(由角线) 核心：通过角的数量关系，判断直线的位置关系（期中必考） · 同位角相等 ⇒ 两直线平行 · 内错角相等 ⇒ 两直线平行 · 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 · 拓展：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 知识点03:平行线的性质(由线角) 核心：已知直线平行，推导角的数量关系（期中必考，与判定互为逆命题） · 两直线平行 ⇒ 同位角相等 · 两直线平行 ⇒ 内错角相等 · 两直线平行 ⇒ 同旁内角互补 知识点04:期中应试核心 1.必背：判定与性质的 3 组核心结论（可逆推） 2.高频考法：利用判定 / 性质进行角度计算与简单推理 3易错提醒：判定是 “由角推线”，性质是 “由线推角”，不可混淆 题型01:平面内两直线的位置关系 【典例】在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系的基本概念． 【详解】解：∵在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种． ∴两直线的位置关系必是相交或平行， 故选：C． 【跟踪专练1】在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为________． 【答案】在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，注意数形结合思想的运用．根据在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交即可得到答案． 【详解】在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 故答案为：在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 【跟踪专练2】有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线的平行线有无数条； ④与同一条直线相交的两条直线一定也相交． 其中正确的有______．（只填序号） 【答案】②③ 【分析】根据平行线，平行公理的推论，两条直线的位置关系，逐一判断各说法，即可得到结果． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误，不符合题意； ②平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理的推论，故原说法正确，符合题意； ③一条直线的平行线有无数条，此说法正确，符合题意； ④与同一条直线相交的两条直线可能相交或平行，故原说法错误，不符合题意， 综上，正确说法为②③ 【跟踪专练3】有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 【答案】C 【分析】首先可得、、、、、这6条直线最多有个交点，最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，然后可得答案． 【详解】解：如图，∵，、、交于同一点，    ∴这6条直线最多有个交点， ∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点， ∴这8条直线的交点个数最多为（个）， 故选：C． 【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键． 题型02:用直尺.三角板画平行线 【典例】如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】先过B，C两点画直线BC，再根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行可求解． 【详解】解：如图， 根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行， 故选：B． 【点睛】本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有______（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 【跟踪专练2】画一画． (1)过点画射线的平行线．再过点画射线的垂线． (2)画出平行四边形底边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-基本作图、垂线、平行线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角板和直尺可过点画射线的平行线，利用三角板的两条直角边可过点画射线的垂线． （2）利用三角板的两条直角边可画出平行四边形底边上的高． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． 【跟踪专练3.】如图，在三角形中，P是边上一点．过点P分别画，的平行线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的画法．利用三角尺，从边平移直到直线过P点，做出平行线，同理做出的平行线． 【详解】解：如图所示，，，直线即为所求． 题型03:平行公理及推论的应用 【典例】如图，在平面内过点作已知直线的平行线，可作的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】A 【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，解答即可． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据经过经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选：A． 【跟踪专练1】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是________________ 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【跟踪专练2】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【跟踪专练3】已知在同一平面内，有三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则直线a与直线c之间的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．平行或相交 【答案】B 【分析】根据：平行公理推论可得. 【详解】∵在同一平面内，直线a∥b，直线b∥c， ∴直线c与直线a的位置关系是：a∥c． 故选B． 【点睛】熟记平行公理推论是关键. 题型04:同位角相等.两直线平行 【典例】如图，由，则可得出（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 和没有条件求证． 【跟踪专练1】如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件_________，使得．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的三个判定定理添加即可． 【详解】解：添加， 由同位角相等两直线平行，即可得； 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则__________时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 【详解】解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质是解题关键．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴，故④正确， 综上可得：能判断的条件是①②③④． 故选：D． 题型05:内错角相等,两直线平行 【典例】如图，要使，必须使______（写出你认为正确的一个条件即可）． 【答案】或或或（任选一个） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定解答即可求解，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：要使，则必须使或或或， 故答案为：或或或（任选一个）． 【跟踪专练1】下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. ，得，不符合要求；     B. ，无法判定任何平行线，不符合要求；     C. ，无法判定任何平行线，不符合要求；         D. ，得，符合要求． 【跟踪专练2】如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝___________．    【答案】或 【分析】运用分类思想，结合平行线的判定，计算即可． 【详解】解：设运动x秒后，使得与平行， 此时转过了，转过了， 当与在的两侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当转了一圈，与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键． 【跟踪专练3】如图所示，点在的延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），本选项不符合题意； B、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，本选项符合题意； C、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），本选项不符合题意； D、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），本选项不符合题意． 故选：B． 题型06:同旁内角互补,两直线平行 【典例】在铺设栅栏时，要求栅栏是互相平行的．如图，已知，要判断两条栅栏是否平行，需要再度量图中标出的哪个角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行可得当时，可以判断栅栏是互相平行的，据此可得答案． 【详解】解：当时，可以判断栅栏是互相平行的， ∵， ∴只需要度量图中的度数即可， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，，当___________度时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行），熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．要使，需利用平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）确定的度数． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】将一副三角板按如图放置，则下列结论： ①； ②如果，则有； ③如果，则有； ④如果，必有． 其中正确的有________．（请填写所有正确的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定，余角性质，直角三角形两锐角互余，由余角性质可判断①；证明可判断②；证明可判断③；分别求出，可判断④；正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 如果，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如果，则， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， 如果， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴其中正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【跟踪专练3】下列各图中，能判定的是（    ） A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可得①正确； 根据垂直于同一直线的两条直线平行，可得②③正确； 根据内错角相等，两直线平行，可得④正确； 综上所述，能画出的是①②③④，故选：D． 题型07:同平面.垂直同直线的两直线平行 【典例】在同一平面内，如果，，则a__________c． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决本题的关键．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】将一副三角尺按如图所示的方式放置在直线上，则与的位置关系是__________，其根据是___________． 【答案】 平行 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， 故， 故平行；理由是：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 【跟踪专练2】在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】先根据垂直与平行的性质推导直线与后续直线的位置关系，总结位置关系的循环规律，再根据规律计算得到与的位置关系． 【详解】解：根据平行线和垂直的性质，推导与前若干条直线的位置关系如下： 由，，可得， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 以此类推，可知与各直线的位置关系按照“垂直，垂直，平行，平行”为一个周期循环，周期为， 从开始，直线是第条直线，计算得， 余数为，对应周期中第三个位置关系，即平行． 【跟踪专练3】在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行， ∵， ∴， 故选：B． 题型08:平行线的性质 【典例】如图，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，小明想到过点P作，量出直线a与的夹角为，则两条直线a，b所夹的锐角为________． 【答案】35 【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，将画板外的角转化到画板内进行求解． 【详解】解：设直线与直线相交形成的锐角为， ， ∴ 直线与所夹的锐角等于直线与的夹角， ∵ 直线与的夹角为， ∴ 两条直线，所夹的锐角为． 【跟踪专练1】如图所示，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可直接得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，，则________度． 【答案】 【分析】通过分析，，，等简单图形的角度和，总结规律即可得出． 【详解】解：如图，图②，③，④：分别过、、作的平行线， 图①：∵， ∴； 图②中：， 图③中：， 图④中：， 总结规律可得：． 【点睛】解决本题的核心是运用平行线性质“两直线平行，同旁内角互补”计算角度和，同时理解并掌握从特殊到一般的归纳推理思想． 【跟踪专练3】如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　） A．∵，∴（内错角相等，两直线平行） B．∵，∴（两直线平行，内错角相等） C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补） D．∵，∴（两直线平行，同位角相等） 【答案】D 【分析】此题考查平行线的性质定理及平行线的判定定理，熟记定理是解题的关键． 根据平行线的性质及平行线的判定定理解答． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），正确，该选项不符合题意； B、∵， ∴（两直线平行，内错角相等），正确，该选项不符合题意； C、∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补），正确，该选项不符合题意； D、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），原结论错误，该选项符合题意． 故选：D． 题型09:根据平行线判定与性质求角度 【典例】如图，点，分别在和上，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由角平分线的定义得出，再根据同位角相等两直线平行得出，再根据平行线的性质即可得出. 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴, 故选：A． 【跟踪专练1】如图，点、在线段上，点在线段上，连接、、，若，，，则__________度． 【答案】44 【分析】由，可得到，由，得，继而结合平行线的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，直线，，，则____． 【答案】/度 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线， 则，， ， ， ， ∵，， ， ． 【跟踪专练3】如图，点在的延长线上，，交于点，且，，，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，推出，进一步推出，得，继而得到，根据角平分线的定义得，再根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， 即的度数是． 题型10:根据平行线的性质求角的度数 【典例】如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据邻补角可得，结合得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ． 【跟踪专练1】如图， ，，则_______． 【答案】/230度 【分析】过点作，利用平行线的性质进行求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意掌握“铅笔头”模型． 【跟踪专练2】如图，已知，于点E，点G在直线上，且位于直线的右侧．若，，则的度数是______． 【答案】 【分析】过点H作，过点F作，推出，，再根据平行线的性质求出的度数，得出的度数，再根据平行线的性质分别求出、的度数，即可得解． 【详解】解：过点H作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义；过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义，分别表示出，分三种情况讨论，根据点的位置．当在和之间时，，即，得出，当在的上方时，当在的下方时，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作 ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 设 ∴ 当在和之间时，，即 ∴， 当在的上方时，如图所示， 同理可得 当在的下方时，如图所示， 同理可得 故选：D． 题型11:根据平行线判定与性质证明 【典例】如图，若，图中与相等的角有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质及对顶角相等，因为，所以，所以与它的同位角相等，内错角相等，又因为对顶角相等，所以图中与相等的角有个． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 又， ∴． 即和相等的角有个． 故选C． 【跟踪专练1】国家倡导绿色出行，小明的爸爸给他买了一辆单车．图①是该品牌单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为________度时，．    【答案】65 【分析】首先得到，然后由平行得到，进而求解即可． 本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：当为65度时，． 证明如下：如图所示，    当为65度时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：65． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，平分交于点，连接，点为上方一点，连接，点分别是延长线上的点，已知．下列结论：①与为内错角；②；③；④平分．其中所有正确结论的序号为_________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平线的定义，三线八角的判定等知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据三线八角的定义结合图形可判定①；根据垂线的定义，平行线的判定方法可判定②③；根据角平分线的定义，角的和差计算，数量关系的可判定④，由此即可求解． 【详解】解：根据图示，与为内错角，故①正确； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，平分， ∴， ∴，且， ∴， ∴平分，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 【跟踪专练3】如图，下列结论中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的综合判定，熟练掌握平行线判定方法是解题的关键； 根据平行线的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：A、利用“内错角相等，两直线平行”即可判定原结论正确，不符合题意； B、当时，无法判定，原结论不一定正确，符合题意； C、利用“同位角相等，两直线平行”即可判定原结论正确，不符合题意； D、利用“两直线平行，同旁内角互补”即可判定原结论正确，不符合题意； 故选： B． 题型12:根据平行线性质探究角的关系 【典例】汽车灯如图是某汽车前照灯纵剖面，从位于点O的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 过点O作，然后根据平行线的性质即可得的度数，本题得解． 【详解】解：过点O作，如图： ， ， ，， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，，则________． 【答案】 【分析】作平行线，根据平行线的性质构造等量关系即可求解． 【详解】解：分别过点，，作，，， 则， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵ ， ， ． 【跟踪专练2】如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出；根据角平分线定义得出，，求出，即可得出，从而得出；根据平行线的性质得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【跟踪专练3】如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 题型13:平行线性质的应用 【典例】汽车经过两次拐弯后仍按原来的方向前进，这两次拐弯的方向和角度可能是（　　） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次右拐 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质．根据题意作图即可求解． 【详解】解：如图：    第一次拐的角是，第二次拐的角是且方向不同 因为平行前进，故， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D. 【跟踪专练1】如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则_______度． 【答案】150 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．过点B作，可得，进而得到，由即可得出答案． 【详解】解：过点B作，如图， ∵平行地面， ∴， ∵， ∴ ∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：150． 【跟踪专练3】如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，求出，结合，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：C． 【解答题】 1．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 2．如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 【答案】垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 【分析】根据平行线的判定推出，即可推出． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（__垂直定义__）， 所以， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）． 因为（已知）， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【点睛】本题考查了平行线判定的应用，解决本题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行． 3．如图，，交于点，如果，，，那么和的位置关系怎样？的度数是多少？请说明理由（注明推理过程）． 【答案】，，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定及性质，根据平行线的判定方法及性质即可求得答案． 【详解】解：，，理由如下： 因为，， 所以． 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为， 所以． 4．已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）直接根据平行线的判定和性质证明即可； （2）①过点作，可得，由，可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，求解即可； ②如图，过点作．可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得方程组，求解即可． （3）过点作，过点作．设，，同理可知，，进而可得，根据规律可得答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图，过点作， ∴． 由题意可知：， 故可设，则． ∴，，． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，解得：， ∴，． ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作． 由题意可设，则． ∵，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴， 即，解得：， ∴． （3）过点作，过点作． 设，， 同理（2）可得：，， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点， ∴，， 由（2）得， ∴. ∵的角平分线和的角平分线相交于点。 同理可得： ∴， ∴， ∴ 5．如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用平行线的性质得出的度数，再结合角平分线的定义求出； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析与的关系； （3）通过角的等量关系和已知条件，求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． 平分，平分， ， ， ． （2）不变，． 证明：， ， 平分， ， ． （3）解：， ， 当时，， ， ． 由（1）可知，， ． 【点睛】本题考查平行线与角平分线的综合应用，掌握利用平行线的性质得出角的关系，结合角平分线的定义进行角的计算与推导是解题的关键． 6．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴．\. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $