专题7.3 平行线的性质（2大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题7.3 平行线的性质（2大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【要点提示】 （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． （2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 【知识点2】两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离． 【要点提示】 （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． （2） 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 【考点一】平行线的性质 【题型1】两直线平行，同位角相等............................................2 【题型2】两直线平行，内错角相等............................................2 【题型3】两直线平行，同旁内角互补..........................................3 【题型4】利用平行线的性质求角的度数........................................4 【题型5】利用平行线的性质探究角的关系......................................5 【考点二】平行线的性质与判定综合 【题型6】利用平行线的性质与判定求角度......................................6 【题型7】利用平行线的性质与判定进行证明....................................6 【考点三】平行线间的距离 【题型8】平行线间的距离....................................................7 【题型9】利用平行线间的距离解决问题........................................8 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接.........................................................9 【题型11】拓展延伸.........................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】两直线平行，同位角相等 【例1】（23-24七年级下·云南昭通·期中）如图，直线与被直线所截，交点分别为M、N．已知，求证：． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ． 【题型2】两直线平行，内错角相等 【例2】（24-25八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，点是上的一点，，．试说明． 解：（已知）， ________， （两直线平行，同位角相等）， （________）， （_________）， （________）， （等量代换）， ______（平角的定义）， （等量代换）， 即． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，平分，，交于点．若，则的度数为 ． 【题型3】两直线平行，同旁内角互补 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，平分，平分． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，，，，则 ． 【题型4】利用平行线的性质求角的度数 【例4】（24-25八年级上·新疆·期中）已知：如图所示，，平分，交于M，，求的度数． 【变式1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知与，若，，若的补角比的余角的2倍大，则的度数为 ． 【题型5】利用平行线的性质探究角的关系 【例5】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． （1）若，求的度数； （2）数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·重庆江津·阶段练习）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 【题型6】利用平行线的性质与判定求角度 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 【题型7】利用平行线的性质与判定进行证明 【例7】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，，平分，．请判断与的位置关系并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，，求证：．证明过程如下，则“…”处补充的过程为（    ） 证明：∵，，…，∴． A．∴，∴ B．∴，∴ C．∴ D．∴ 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 【题型8】平行线间的距离 【例8】（21-22七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求直线与的距离． 【变式1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【题型9】利用平行线间的距离解决问题 【例9】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． （1）如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； （2）如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【变式1】（24-25七年级上·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·上海·期中）如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】中考链接 【例1】（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 【例2】（2021·湖北武汉·中考真题）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：． 【题型11】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知直线，点P在直线之间，连接． 下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则 ②如图2，点Q在之间，，则； ③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.3 平行线的性质（2大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【要点提示】 （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． （2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 【知识点2】两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离． 【要点提示】 （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． （2） 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 【考点一】平行线的性质 【题型1】两直线平行，同位角相等............................................2 【题型2】两直线平行，内错角相等............................................3 【题型3】两直线平行，同旁内角互补..........................................6 【题型4】利用平行线的性质求角的度数........................................8 【题型5】利用平行线的性质探究角的关系.....................................10 【考点二】平行线的性质与判定综合 【题型6】利用平行线的性质与判定求角度.....................................13 【题型7】利用平行线的性质与判定进行证明...................................16 【考点三】平行线间的距离 【题型8】平行线间的距离...................................................19 【题型9】利用平行线间的距离解决问题.......................................21 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接........................................................23 【题型11】拓展延伸........................................................24 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】两直线平行，同位角相等 【例1】（23-24七年级下·云南昭通·期中）如图，直线与被直线所截，交点分别为M、N．已知，求证：． 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角相等． 根据两直线平行，同位角相等得出，再根据对顶角相等得出，然后根据等量代换即可得证． 解：证明： （两直线平行，同位角相等） （对顶角相等） （等量代换） 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平角定义得，再根据平行线的性质可得结论． 解：如图，且， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 【题型2】两直线平行，内错角相等 【例2】（24-25八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，点是上的一点，，．试说明． 解：（已知）， ________， （两直线平行，同位角相等）， （________）， （_________）， （________）， （等量代换）， ______（平角的定义）， （等量代换）， 即． 【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，找邻补角等知识点，看懂题意并理清整个证明过程是解题的关键． 由平行线的性质可得，，，，进而可得，由平角的定义可得，利用等量代换即可得出结论，据此补全证明过程即可． 解：（已知）， ， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）， （平角的定义）， （等量代换）， 即． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，利用垂直的定义得出，再利用平行线的性质得出的度数． 解：∵于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，平分，，交于点．若，则的度数为 ． 【答案】20 【分析】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，根据平行线的性质求得度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，然后利用两直线平行，内错角相等即可求解． 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶20． 【题型3】两直线平行，同旁内角互补 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，平分，平分． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查了平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，据此求解即可证明； （2）设，则，根据平分线的性质结合角平分线的定义得到，据此计算即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即； （2）解：设，则， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，根据垂线的定义得到，进而求出，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角，先过点作，分别得，，再根据邻补角互补列式计算，即可作答． 解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4】利用平行线的性质求角的度数 【例4】（24-25八年级上·新疆·期中）已知：如图所示，，平分，交于M，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线定义及邻补角定义．由于，根据两直线平行，同旁内角互补，可知；而平分，由角平分线定义，可知；又根据邻补角定义，可知；而由，根据两直线平行，同位角相等，得出． 解：，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（等量代换） 是直线，（已知） ．（邻补角定义） ．（等式性质） 平分，（已知） ．（角平分线定义） ，（已知） ．（两直线平行，同旁内角互补） ．（等式性质） 答：． 【变式1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质以及平角的定义，理解并掌握平行线的性质是解题的关键． 如下图，根据平行线的性质可得，由题意知，再根据平角的定义即可求解． 解：如图， ， ， 由题意知， ， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知与，若，，若的补角比的余角的2倍大，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，和余角与补角的概念，掌握余角与补角的概念是解题的关键．根据，，得出，再设，则，根据题意列式得求解即可． 解：如图，，， ， ∴， 且， ∴， 设， 则， 则的补角为， 的余角为， ∴， 解得， 的度数为， 故答案为：． 【题型5】利用平行线的性质探究角的关系 【例5】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． （1）若，求的度数； （2）数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见分析 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义； （1）先证明，证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）先证明，，，再进一步可得结论. 解：（1）解：∵，， ∴， ∵平分交于点C、平分交于点D， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵BD平分， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 解：过点E作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（22-23七年级下·重庆江津·阶段练习）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键． 根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系． 解：过点作，过点作 ， ，分别平分和 故答案为： 【题型6】利用平行线的性质与判定求角度 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点向左作，过点向右作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键． 解：如图，过点向左作，过点向右作， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见分析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由，根据“同位角相等，两直线平行”，得出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据补角的和为，则计算得出答案即可． 解：如图，标记， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7】利用平行线的性质与判定进行证明 【例7】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，，平分，．请判断与的位置关系并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．由可得，利用平行线的性质得出，，再结合角平分线的定义和等量代换可得，最后利用平行线的判定即可得出结论． 解：，理由如下： ， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）， 平分， ， ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，，求证：．证明过程如下，则“…”处补充的过程为（    ） 证明：∵，，…，∴． A．∴，∴ B．∴，∴ C．∴ D．∴ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键．由同旁内角互补，可判断，再根据两直线平行，内错角相等，即可得到答案． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质定理逐项分析判断即可． 解：， ， ， ， 故结论①正确； 当时， ， ， 又， ， ， 故结论②正确； 当时， ， ， 与不平行， 故结论③错误； 当时， 则， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【题型8】平行线间的距离 【例8】（21-22七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求直线与的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果； （2）过作于，根据，即可求解． 解：（1） ∵ ∴ 又∵ ∴ （2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离 ∵，， 是直角三角形 ∵ ∴ ∴直线与的距离 【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 【变式1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵，点在上，点在上， ∴的长度是到的距离， 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 【题型9】利用平行线间的距离解决问题 【例9】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． （1）如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； （2）如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【答案】（1），同底等高的两个三角形的面积相等；（2）与，与 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”是解题的关键． （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答． 解：（1）解：∵直线，, ∴点P和点C到直线n的距离相等． 又∵在和中，， ∴（同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答案为：，同底等高的两个三角形的面积相等． （2）解：设直线m和n之间的距离为h ∵, ∴． ∴,即． 故答案为：与，与． 【变式1】（24-25七年级上·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积平行四边形的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形， 设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，， 则图中阴影部分的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵厘米， ∴图中阴影部分的面积（平方厘米）， 故选：． 【变式2】（22-23七年级下·上海·期中）如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离，根据平行线间距离处处相等得到，则，得到，由即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】中考链接 【例1】（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 【答案】（1）；（2）详见分析 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键 【例2】（2021·湖北武汉·中考真题）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：． 【答案】见分析 【分析】根据已知条件，，得到，从而得到，即可证明． 解：证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点拨】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行． 【题型11】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知直线，点P在直线之间，连接． 下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则 ②如图2，点Q在之间，，则； ③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论． 解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴, ∴，即，②正确； ③过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，③说法错误． 综上，正确的有2个， 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 【答案】/度 【分析】过G点作，过E点作．如图设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 解：如图，过G点作，过E点作． ， ． 设，，则，，． ∵平分， ， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$