第31讲 图形的对称﹑平移﹑旋转（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2026年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

该初中数学讲义聚焦中考图形变换核心考点，系统梳理轴对称、平移、旋转、中心对称及坐标变换五大知识点，构建“概念-性质-作图-应用”知识体系，通过考点梳理、典例精析、变式训练、分层练习四环节，帮助学生突破折叠、旋转等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于融入数学眼光与思维培养，如通过“折叠正方形求线段长”典例，引导学生用几何直观分析轴对称性质，结合三级变式题强化推理意识。设基础、提升、挑战分层练习，配合网格作图实战训练，助力教师把控节奏，高效提升学生空间观念与应考能力。

第31讲 图形的对称﹑平移﹑旋转 知识点1：轴对称图形与轴对称 知识点2：图形的平移 知识点3：图形的旋转 知识点4：中心对称图形与中心对称 知识点5：坐标变换的规律 知识点1：轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 图 形 定 义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴 性 质 对应线段相等 AB=AC AB=A′B′，BC=B′C′， AC=A′C′ 对应角相等 ∠B=∠C ∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∠C=∠C′ 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 区 别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 关 系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆． 2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤 1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点． 4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤 1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点； 2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形． 知识点2：图形的平移 1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小． 2．三大要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离． 3．性质： 1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等． 4．作图步骤： 1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 知识点3：图形的旋转 1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 3．性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用． 知识点4：中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 图 形 定 义 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称 性 质 对应点 点A与点C，点B与点D 点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′ 对应线段 AB=CD， AD=BC AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角 ∠A=∠C ∠B=∠D ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′ 区 别 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 中心对称是指两个图形的关系 联 系 把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称 把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形 常见的中心对称图形 平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等． 注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”. 知识点5：坐标变换的规律 （1）P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,－b)； （2）P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(－a,b)； （3）P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(－a,－b)． 【题型1 平移、旋转与轴对称的识别】 【典例1】小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（    ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【变式1】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【变式2】下列四个图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用平移的性质求解】 【典例2】如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_______． 【变式2】如图，已知点，若将线段平移至，其中点，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．3 【变式3】如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．12 【题型3 利用折叠的性质求解】 【典例3】如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则______cm． 【变式3】如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【题型4 关于原点中心对称的点的坐标】 【典例4】在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】点关于原点对称的点是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型5 利用旋转的性质求解】 【典例5】在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型6 与平移、旋转与轴对称相关的网格作图】 【典例6】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【变式1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【变式2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留） 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的位置均在小方格格点上． (1)画出关于y轴对称的． (2)将绕原点O逆时针旋转，画出旋转后的，并写出点的坐标． (3)在（2）的条件下，求在旋转的过程中边扫过的面积．（结果保留π） 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 3．若点与点关于原点中心对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 4．如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，交于点．当点落在边上时，的大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针旋转得线段，点的对应点为，则点的坐标为______． 6．在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标是_____． 7．如图，在矩形中，，，点是上一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的面积为_______.    8．在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第31讲 图形的对称﹑平移﹑旋转 知识点1：轴对称图形与轴对称 知识点2：图形的平移 知识点3：图形的旋转 知识点4：中心对称图形与中心对称 知识点5：坐标变换的规律 知识点1：轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 图 形 定 义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴 性 质 对应线段相等 AB=AC AB=A′B′，BC=B′C′， AC=A′C′ 对应角相等 ∠B=∠C ∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∠C=∠C′ 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 区 别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 关 系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆． 2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤 1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点． 4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤 1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点； 2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形． 知识点2：图形的平移 1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小． 2．三大要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离． 3．性质： 1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等． 4．作图步骤： 1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 知识点3：图形的旋转 1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 3．性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用． 知识点4：中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 图 形 定 义 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称 性 质 对应点 点A与点C，点B与点D 点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′ 对应线段 AB=CD， AD=BC AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角 ∠A=∠C ∠B=∠D ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′ 区 别 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 中心对称是指两个图形的关系 联 系 把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称 把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形 常见的中心对称图形 平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等． 注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”. 知识点5：坐标变换的规律 （1）P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,－b)； （2）P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(－a,b)； （3）P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(－a,－b)． 【题型1 平移、旋转与轴对称的识别】 【典例1】小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（    ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【答案】A 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握平移的概念． 根据平移的概念解答即可． 【详解】解：小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是平移， 故选：A． 【变式1】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的概念，逐一分析各选项是否符合题意即可． 【详解】解：A项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，但不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A不符合题意； B项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，但不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意； C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，也能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故C符合题意； D项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半重合，也不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故D不符合题意， 故选：C． 【变式2】下列四个图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是中心对称图形的定义：中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转后，能够与原来的图形重合的图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； C、选项中的图形是中心对称图形，符合题意； D、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 【变式3】传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握相关的定义．根据轴对称图形的定义：将图形沿某直线对折，直线两边的部分能够重合，则该图形称为轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转，如果旋转后的图形与原来的图形重合，这个图形称为中心对称图形；据此求解即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【题型2 利用平移的性质求解】 【典例2】如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离．本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点．平移的距离为的长度， 又∵，， ∴． 故选：． 【变式1】如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_______． 【答案】30 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成为解题的关键． 由平移的性质可得,,再根据的周长为可得，然后根据四边形的周长公式及等量代换即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴,, ∵的周长为， ∴,即， ∴四边形的周长为． 故答案为：30． 【变式2】如图，已知点，若将线段平移至，其中点，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据，两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题． 【详解】解：线段由线段平移得到， 且，，，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图象的变化，解题的关键是熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同． 【变式3】如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．12 【答案】B 【分析】根据平移的方向可得，平移到，则点与点重合，故的平移距离为的长． 【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式时，将平移到， 故平移后点与点重合，则的平移距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【题型3 利用折叠的性质求解】 【典例3】如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 【变式1】如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键. 根据折叠得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，再由正方形的性质求解即可. 【详解】解：∵正方形沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D. 【变式2】如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则______cm． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得，结合三角形的外角性质可得，进而得到，再利用30度角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 【变式3】如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【题型4 关于原点中心对称的点的坐标】 【典例4】在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，掌握关于原点对称的性质是解决本题的关键． 根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可． 【详解】解：∵点关于坐标原点的对称点是点， ∴点的坐标为， 故选A． 【变式1】如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键． 先根据图中的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点，再根据绕原点O旋转即可求解点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． 故选：A． 【变式3】点关于原点对称的点是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点关于原点对称的点是， ∴，， ∴， 故选：． 【题型5 利用旋转的性质求解】 【典例5】在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 【变式1】如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案. 【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 【题型6 与平移、旋转与轴对称相关的网格作图】 【典例6】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： ∵， ∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 【变式1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 【变式2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留） 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变； （2）根据网格结构找出点、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出． 【详解】（1）解：如图，为所求；点的坐标为， （2）如图，为所求；， （3）， 点B旋转到点的过程中所经过的路径长． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的位置均在小方格格点上． (1)画出关于y轴对称的． (2)将绕原点O逆时针旋转，画出旋转后的，并写出点的坐标． (3)在（2）的条件下，求在旋转的过程中边扫过的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，轴对称的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质可求解； （2）由旋转的性质可求解； （3）由勾股定理可求，的长，由面积的关系可求解． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：如图，即为所求，点； （3）解：由勾股定理得，，， ∴旋转的过程中边扫过的面积为：． 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，逐选项判断即可． 【详解】解：选项A：是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求，排除； 选项B：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求，排除； 选项C：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 选项D：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求，排除． 故选：C． 2．如图所示几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：几何体的主视图为： 即C选项符合题意． 3．若点与点关于原点中心对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题考查点关于原点对称的性质．关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数． 根据点A和点B的坐标，求解m和n，再求． 【详解】解：∵点与点关于原点中心对称， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 4．如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，交于点．当点落在边上时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，可知是等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等，可得：，根据三角形内角和定理可以求出，由旋转可知，根据全等三角形的性质可知，利用三角形内角和定理可以求出． 【详解】解：由旋转可知，， ， 在中，， ， 由旋转可知， ， 在中，． 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针旋转得线段，点的对应点为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，一线三直角全等，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，构造一线三直角全等模型证明三角形全等即可． 【详解】解：如图， 过点作轴于点，过点作轴于点， ． 由旋转得，，， ， ， ， ． 点的坐标为， ． 在第一象限， 点的坐标为． 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标与轴对称、点坐标与平移，熟练掌握轴对称变换和平移变换规律是解题关键．先根据点坐标与轴对称变换规律可得点的坐标为，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点， ∴， ∵将点向右平移2个单位长度得到点， ∴，即， 故答案为：． 7．如图，在矩形中，，，点是上一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的面积为_______.    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，熟悉掌握判定的方法是解题的关键． 过点作于点，利用矩形的性质判定出，得到，即可通过三角形面积公式求解． 【详解】解：过点作于点，如图所示：    ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴， ∴在和中 ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据题意得为等边三角形，为直角三角形，继而求得； （2）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答； （3）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答． 【详解】解：（1）由旋转可知： 是等边三角形， ， 是直角三角形， （2） 理由如下：如图， 把绕点C顺时针旋转得到， 连接， 由旋转可知: ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， 即   （3）如图，将 绕点B顺时针旋转，得到 连接， 由旋转可知： 是等腰直角三角形， 点在线段上， 是直角三角形， 的长为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $